浙江省溫州市鹿城實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

浙江省溫州市鹿城實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：,由的假設(shè)到證明時(shí),等式左邊應(yīng)添加的式子是(

)A. B.C. D.參考答案：D【分析】分別寫出和時(shí)，左邊的式子，兩式作差，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，等式左邊等于，共項(xiàng)求和；當(dāng)時(shí)，等式左邊等于，共項(xiàng)求和；所以由的假設(shè)到證明時(shí),等式左邊應(yīng)添加的式子是.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，熟記數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟即可，屬于?？碱}型.2.某學(xué)校周五安排有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、體育六節(jié)課，要求體育不排在第一節(jié)課,數(shù)學(xué)不排在第四節(jié)課，則這天課表的不同排法種數(shù)為（

）A.600 B.288

C.480

D.504參考答案：D略3.下圖中的幾何體是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（

）參考答案：A略4.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（

）A.

B.C.

D.參考答案：B5.雙曲線﹣=1的焦距的最小值為（）A． B．2 C．5 D．10參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】由題意，2c=2，即可求出雙曲線﹣=1的焦距的最小值．【解答】解：由題意，2c=2，∴雙曲線﹣=1的焦距的最小值為2，故選B．6.已知直線l：y=–+m與曲線C：y=1+僅有三個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）（A）(–1，+1)

（B）(1，)

（C）(1，1+)

（D）(2，1+)參考答案：D7.設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣2x，則（）A．x=為f（x）的極小值點(diǎn) B．x=為f（x）的極大值點(diǎn)C．x=ln2為f（x）的極小值點(diǎn) D．x=ln2為f（x）的極大值點(diǎn)參考答案：C【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)為0，判斷函數(shù)單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值，得到選項(xiàng)．【解答】解：由函數(shù)f（x）=ex﹣2x，得f′（x）=ex﹣2=0，解得x=ln2，又x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在x=ln2時(shí)取得極小值．故選：C．8.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D9.如果為遞增數(shù)列，則的通項(xiàng)公式可以為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D10.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，1，4）關(guān)于xOy平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，﹣1，4） D．（2，1，﹣4）參考答案：A【考點(diǎn)】空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于xOy平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y，﹣z）．【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，1，4）關(guān)于xOy平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，1，﹣4）．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),,,則不等式的解集是

.

參考答案：12.各項(xiàng)為整數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則的值為

參考答案：13.兩個(gè)等差數(shù)列則--=___________.參考答案：14.已知圓C過(guò)點(diǎn)（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線：被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。參考答案：略15.設(shè),函數(shù),則的值等于

．參考答案：816.不等式4x＞的解集為

．參考答案：{x|﹣1＜x＜3}．根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到一元二次不等式，解出即可．解：∵4x＞2，∴2x＞x2﹣3，即x2﹣2x﹣3＜0，解得：﹣1＜x＜3，故答案為：{x|﹣1＜x＜3}．17.已知函數(shù)有極值，則的取值范圍為

參考答案：a>1或a<-1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)及.

（I）求橢圓的方程；（II）求證：為定值；(Ⅲ)求的最小值.

參考答案：解：（I）由，得，即，即．（1），

……1分由橢圓過(guò)點(diǎn)知，．（2） ……2分聯(lián)立（1）、（2）式解得．

……3分

故橢圓的方程是；

……4分（II）為定值

……5分法一：證明橢圓的右焦點(diǎn)為，分兩種情況．1°當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB:，則CD:．此時(shí)，,；

……6分2°當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB:，則CD：．又設(shè)點(diǎn)．聯(lián)立方程組消去并化簡(jiǎn)得，所以，

……7分

……8分

由題知，直線的斜率為，同理可得

……9分所以為定值.

……10分

法二：證明橢圓的右焦點(diǎn)為，分兩種情況．1°當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB:，則CD:．此時(shí)，,；

……6分2°當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB:，則CD：．又設(shè)點(diǎn)．聯(lián)立方程組消去并化簡(jiǎn)得，所以，

……7分

由，同理

……8分

故由題知，直線的斜率為，同理可得

……9分所以為定值.

……10分

(Ⅲ)解：由（II）知，

所以

……11分，

……12分當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)

……13分所以的最小值為.

……14分略19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是線段PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）求證：AQ∥平面PCD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及PA⊥平面ABCD推斷出PA⊥AC，PA⊥AB，進(jìn)而利用PB⊥AC，推斷出AC⊥平面PAB，利用線面垂直性質(zhì)可知AC⊥AB，再根據(jù)PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A推斷出AB⊥平面PAC．（Ⅱ）取PC中點(diǎn)E，連結(jié)QE，ED，推斷出QE為中位線，判讀出QE∥BC，BC=2AD，進(jìn)而可知QE∥AD，QE=AD，判斷出四邊形AQED是平行四邊形，進(jìn)而可推斷出AQ∥DE，最后根據(jù)線面平行的判定定理證明出AQ∥平面PCD．【解答】證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AC，AB?平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB，∵PB⊥AC，AP⊥AC，PA，PB?平面PAB，PA∩PB=P，∴AC⊥平面PAB，∵AB?平面PAB，∴AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A；∴AB⊥平面PAC．（Ⅱ）取PC中點(diǎn)E，連結(jié)QE，ED，∵Q是線段PB的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，∴QE∥BC，BC=2AD，∴QE∥AD，QE=AD，∴四邊形AQED是平行四邊形，∴AQ∥DE，∵AQ∥ED，ED?平面PCD，∴AQ∥平面PCD．20.(本小題滿分13分)某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，從裝有編為0，1，2，3四個(gè)小球的抽獎(jiǎng)箱中同時(shí)抽出兩個(gè)小球，兩個(gè)小球號(hào)碼之和等于5中一等獎(jiǎng)，等于4中二等獎(jiǎng)，等于3中三等獎(jiǎng).（Ⅰ）求中三等獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）求中獎(jiǎng)的概率.參考答案：兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3中三等獎(jiǎng)，兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和不小于3中獎(jiǎng)，設(shè)“中三等獎(jiǎng)”的事件為A，“中獎(jiǎng)”的事件為B，從四個(gè)小球任選兩個(gè)共有（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）六種不同的方法.

（Ⅰ）兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3的取法有2種：（0，3），（1，2）.故

------6分（Ⅱ）兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于1的取法有1種：（0，1）；兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于2的取法有1種：（0，2）.故

------------------13分21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.（Ⅲ）若對(duì)任意及任意，恒有

成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?

當(dāng)時(shí)，令得.

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

無(wú)極大值.4分（Ⅱ）

5分

當(dāng)，即時(shí)，

在上是減函數(shù)；

當(dāng)，即時(shí)，令得或

令得

當(dāng)，即時(shí)，令得或

令得

7分

綜上，當(dāng)時(shí)，在定義域上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值.

10分而經(jīng)整理得

由得，所以

12分略22.（本題滿分10分）一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲(chǔ)蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到孩子18歲生日時(shí)，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？參考答案：【解