湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)縣第三高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)縣第三高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)A（3，4），F(xiàn)是拋物線y2=8x的焦點(diǎn)，M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|MA|+|MF|最小時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A．（0，0） B．（3，2） C．（2，4） D．（3，﹣2）參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過(guò)M作MB⊥l于B，過(guò)A作AC⊥l于C，利用拋物線的定義，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過(guò)M作MB⊥l于B，過(guò)A作AC⊥l于C，由拋物線定義知|MF|=|MB|?|MA|+|MF|=|MA|+|MB|≥|AC|（折線段大于垂線段），當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線取等號(hào)，即|MA|+|MF|最小．此時(shí)M的縱坐標(biāo)為4，橫坐標(biāo)為2所以M（2，4）故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2.直線x﹣y+1=0的傾斜角的大小為（）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：B【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】設(shè)直線x﹣y+1=0的傾斜角為θ，則tanθ=，θ∈[0°，180°）．即可得出．【解答】解：設(shè)直線x﹣y+1=0的傾斜角為θ，則tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則這個(gè)球的表面積是（

）A．41π

B．

C．

D．57π參考答案：C4.曲線x2+y2－ay=0與ax2+bxy+x=0有且只有3個(gè)不同的公共點(diǎn),那么必有（

）A．(a4+4ab+4)(ab+1)=0

B．(a4－4ab－4)(ab+1)=0

C．(a4+4ab+4)(ab－1)=0

D．(a4－4ab－4)(ab－1)=0參考答案：B5.關(guān)于x的不等式的解集是(1,+),則關(guān)于x的不等式()()>0的解集是(

)

A.

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.參考答案：D略6.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（） （

）A．(x+

B．(log2x)′=C．(3x)′=3xlog3e

D．(x2cosx)′=－2xsinx參考答案：B7.記，當(dāng)時(shí)，觀察下列等式：，，，可以推測(cè)A-B等于（

）A． B． C． D．參考答案：C略8.圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值是（

）A.

2

B.

1+

C.

D.1+.參考答案：B略9.廢品率x%和每噸生鐵成本y（元）之間的回歸直線方程為y=256+3x,表明（

）A.廢品率每增加1%，生鐵成本增加259元.

B.廢品率每增加1%，生鐵成本增加3元.C.廢品率每增加1%，生鐵成本每噸增加3元.

D.廢品率不變，生鐵成本為256元.參考答案：C略10.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(

)A.(1,2)

B.(1,2)

C.

D.(2,+∞)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A={3，6，9，12，…3n}(n≥3)，從中選出3個(gè)不同的數(shù)，使這3個(gè)數(shù)按一定的順序排列構(gòu)成等差數(shù)列，記滿足此條件的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為f(n)如A={3，6，9，12}，則①3，6，9；②9，6，3；③6，9，12；④12，6，9均為等差數(shù)列，所以f(4)=4。則（Ⅰ）f(6)=

；（Ⅱ）f(n)=220，則n=

。參考答案：Ⅰ）12；

Ⅱ）2312.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，，則________.參考答案：

13.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

參考答案：

14.如圖，在直三棱柱中，，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．參考答案：15.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則其漸近線方程為

．參考答案：略16.f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值為M，最小值為m，則M－m＝________.參考答案：略17.對(duì)于平面上的點(diǎn)集，如果連接中任意兩點(diǎn)的線段必定包含于，則稱為平面上的凸集。給出平面上4個(gè)點(diǎn)集的圖形如右(陰影區(qū)域及其邊界)，其中為凸集的是

(寫(xiě)出其中所有凸集相應(yīng)圖形的序號(hào))．參考答案：(2)(3)略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(，0)，P(cosα，sinα)，其中0≤α≤．(1)若cosα＝，求證：⊥；(2)若∥，求sin(2α＋)的值．參考答案：(1)法一：由題設(shè)，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－sinα)，所以·＝(－cosα)(－cosα)＋(－sinα)2＝－cosα＋cos2α＋sin2α＝－cosα＋1.因?yàn)閏osα＝，所以·＝0.故⊥.法二：因?yàn)閏osα＝，0≤α≤，所以sinα＝，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．所以＝(，－)，＝(－，－)．·＝×(－)＋(－)2＝0，故⊥.(2)由題設(shè)，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－sinα)．因?yàn)椤危裕璼inα·(－cosα)－sinαcosα＝0，即sinα＝0.因?yàn)?≤α≤，所以α＝0.從而sin(2α＋)＝．19.（本小題滿分12分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以表示．（Ⅰ）若甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，求的值；（Ⅱ）求乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分的概率．參考答案：（Ⅰ）解：依題意，得，

解得.

---------------------------------2分

（Ⅱ）解：設(shè)“乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)”為事件，

------------------------------3分

依題意，共有10種可能.

----------------------------------4分

由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，

------------------5分所以當(dāng)時(shí)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，共有8種可能．

-

------------------------------------------------6分所以乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率．

---------------7分

（Ⅲ）解：設(shè)“這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分”為事件，-------------8分當(dāng)時(shí)，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績(jī)結(jié)果有種，它們是：，，，，，，，，，

---------------------------------------------------------------------------------10分

所以事件的結(jié)果有7種，它們是：，，，，，，.

-----------------------------------------------------------------------------11分

因此這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分的概率.-----------12分20.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知sinA=．（Ⅰ）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求實(shí)數(shù)m的值；（Ⅱ）若a=，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；三角形的面積公式．【分析】（Ⅰ）已知等式兩邊平方后整理可解得cosA=，而由已知及余弦定理可得=，從而解得m的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得sinA=，結(jié)合余弦定理可求得bc≤a2，即可由三角形面積公式求最大值．【解答】解：（Ⅰ）由sinA=兩邊平方可得：2sin2A=3cosA，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得：cosA=…4分而a2﹣c2=b2﹣mbc可以變形為：=，即cosA==，所以m=1…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=，則sinA=，又=…9分所以bc=b2+c2﹣a2≥2bc﹣a2，即bc≤a2…12分故S△ABC=bcsinA≤=…15分21.

寫(xiě)出用二分法求方程x3－x－1=0在區(qū)間［1，1.5］上的一個(gè)解的算法（誤差不超過(guò)0.001），并畫(huà)出相應(yīng)的程序框圖及程序.參考答案：用二分法求方程的近似值一般取區(qū)間［a，b］具有以下特征：f（a）＜0，f（b）＞0.由于f（1）=13－1－1=－1＜0，f（1.5）=1.53－1.5－1=0.875＞0，所以?。?，1.5］中點(diǎn)=1.25研究，以下同求x2－2=0的根的方法.相應(yīng)的程序框圖是：程序：a=1b=1.5c=0.001DOx=（a+b）2f（a）=a∧3－a－1f（x）=x∧3－x－1IF

f（x）=0

THENPRINT

“x=”；xELSEIF

f（a）*f（x）＜0

THENb=xELSEa=xEND

IFEND

IFLOOP

UNTIL

ABS（a－b）＜=cPRINT

“方程的一個(gè)近似解x=”；xEND22.如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn).（1）求證：PB∥平面EFG；（2）求異面直線EG與BD所成角的余弦值；（3）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得A點(diǎn)到平面EFQ的距離為，若存在，求出CQ的值？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解法一：（1）取AB的中點(diǎn)H，連接GH，HE，∵E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)，∴GH∥AD∥EF，∴E、F、H、G四點(diǎn)共面.又H為AB的中點(diǎn)，∴EH∥PB.又EH面EFG，PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.（4分）（2）取BC的中點(diǎn)M，連接GM、AM、EM，則GM∥BD，∴∠EGM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EG與BD所成的角.在Rt△MAE中，EM＝＝，同理EG＝，又GM＝MD＝∴在△MGE中，cos∠EGM＝＝＝，故異面直線EG與BD所成角的余弦值為.（8分）（3）假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足題設(shè)條件，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥AB于R，連接RE，則QR∥AD.∵四邊形ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，∴AD⊥AB，AD⊥PA.又AB∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB.又∵E、F分別是PA、PD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB.過(guò)A作AT⊥ER于T，則AT⊥平面EFQ，∴AT就是點(diǎn)A到平面EFQ的距離.設(shè)CQ＝x(0≤x≤2)，則BR＝CQ＝x，AR＝2－x，AE＝1，在Rt△EAR中，AT＝＝＝解得x＝.故存在點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝時(shí)，點(diǎn)A到平面EFQ的距離為（13分）

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1），G（1，2，0）.（1）∵PB＝（2，0，－2），F(xiàn)E＝（0，－1，0），F(xiàn)G＝（1，1，－1），設(shè)PB＝sFE＋tFG，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，

∴

解得s＝t＝2.

∴PB＝2FE＋2FG又∵FE與FG不共線，∴PB，F(xiàn)E與FG共面.∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.