河南省南陽市文昌中學2022年高三數(shù)學理期末試題含解析

河南省南陽市文昌中學2022年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，集合Q={}，則（

）

A．P

B．Q

C．{-1,1}

D．參考答案：A2.已知集合，集合，則

A．(-)

B．(-]

C．[-)

D．[-]參考答案：D略3.設是兩個實數(shù)，命題“中至少有一個數(shù)大于”成立的充分不必要條件是A．

B． C．

D．參考答案：B4.函數(shù)的定義域為（

）A

B

C

D

參考答案：B5.下列函數(shù)中周期為且圖象關于直線對稱的函數(shù)是

（

）（Ａ）

A． B．

C． D．參考答案：C略6.函數(shù)的單調遞增區(qū)間是

A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.在等比數(shù)列中，若，，則該數(shù)列前5項的積為（

）A．±3

B．3

C．±1

D．1參考答案：D8.已知向量a，b不共線，設向量，，，若A，B，D三點共線，則實數(shù)k的值為（A）10

（B）2（C）－2

（D）－10參考答案：B9.甲、乙、丙三人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（）A．258 B．306 C．336 D．296參考答案：C【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】由題意知本題需要分類解決，共有兩種情況，對于7個臺階上每一個只站一人，若有一個臺階有2人另一個是1人，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結果．【解答】解：由題意知本題需要分類解決，∵對于7個臺階上每一個只站一人有A73種；若有一個臺階有2人另一個是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故選C．10.已知函數(shù)f（n）=n2cos（nπ），且an=f（n）+f（n+1），則a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．﹣100 C．100 D．10200參考答案：B【考點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】先求出分段函數(shù)f（n）的解析式，進一步給出數(shù)列的通項公式，再使用分組求和法，求解．【解答】解：∵，由an=f（n）+f（n+1）=（﹣1）n?n2+（﹣1）n+1?（n+1）2=（﹣1）n[n2﹣（n+1）2]=（﹣1）n+1?（2n+1），得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100．故選B【點評】本小題是一道分段數(shù)列的求和問題，綜合三角知識，主要考查分析問題和解決問題的能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)有零點，則的取值范圍是

．參考答案：；12.已知，則的值為 .參考答案：13.數(shù)列滿足，且，則通項公式

．參考答案：14.若集合,,則=________.參考答案：15.設滿足約束條件，若目標函數(shù)的最大值為，則的最大值為__________.

參考答案：2略16.數(shù)列的通項，其前項和為，則為______.參考答案：47017.計算：=（i是虛數(shù)單位）參考答案：i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算．【分析】i2017=（i4）504?i=i，可得原式=，再利用復數(shù)的運算法則即可得出．【解答】解：i2017=（i4）504?i=i，原式====i，故答案為：i．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx(a∈R)，g(x)＝(1﹣x)ex.（1）討論函數(shù)f(x)的單調性；（2）若對任意給定的x0∈[﹣1，1]，在區(qū)間(0，e]上總存在兩個不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范圍．參考答案：（1）答案見解析；（2）[，+∞)【分析】（1）首先求出函數(shù)的導數(shù)，分a≤0和a>0兩種情況討論，然后根據(jù)導數(shù)與單調區(qū)間的關系確定函數(shù)的單調區(qū)間；（2）首先利用導數(shù)求出g(x)的值域為[0，1]，根據(jù)（1）可排除a≤0和0＜a的情況，由函數(shù)f(x)的單調性和圖象分析可知，a滿足以下條件時符合題意，結合構造函數(shù)求解不等式即可得到結果.【詳解】（1）f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx，x＞0，則f′(x)＝a，①當a≤0時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，②當a>0時，令f′(x)＞0得x，令f′(x)＜0得0＜x.故f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，)，單調遞增區(qū)間為(，+∞)，綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，當a>0時，f(x)在(0，)上為減函數(shù)，在(，+∞)為增函數(shù)；（2）∵g(x)＝(1﹣x)ex，∴g′(x)＝﹣xex，當x∈[﹣1，0)時，g′(x)>0，當x∈(0，1]時，g′(x)<0，又g(0)＝1，g(1)＝0，g(﹣1)，∴當x∈[﹣1，1]時，g(x)的值域為[0，1]，由（1）可知，①當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0，e]上為減函數(shù)，不滿足題意；②當e，即0＜a時，函數(shù)f(x)在(0，e]上為減函數(shù)，不滿足題意；③當0e時，即a時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)，在(，e]上為增函數(shù)，又x＞0，且x→0時，f(x)→+∞，函數(shù)f(x)的大概圖像如下圖，故對任意給定的x0∈[﹣1，1]，在區(qū)間(0，e]上總存在兩個不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，當且僅當a滿足以下條件，即（*）令h(a)＝1﹣a+lna，a∈(，+∞)，則h′(a)＝﹣1，當a＜1時，h′(a)＞0，當a＞1時，h′(a)＜0，∴函數(shù)h(a)在(，1)上為增函數(shù)，在(1，+∞)上為減函數(shù)，故h(a)max＝h(1)＝0，從而（*）等價于，故a，故a的取值范圍為[，+∞)．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結合的思想，著重考查學生對題意的理解與轉化的思想，特別是問題（2）的設置，考查了學生創(chuàng)造性分析和解決問題的能力，屬難題.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑。注意所做題目的題號必須與所涂題目的題號一致，在答題卡選答區(qū)域指定位置答題。如果多做，則按所做的第一題計分.19.交強險是車主必須為機動車購買的險種．若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如表：交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素浮動比率A1上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（Ⅰ）按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定a=950．記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求X的分布列與數(shù)學期望值；（數(shù)學期望值保留到個位數(shù)字）（Ⅱ）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車．假設購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：①若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值．參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知其概率及其分布列．（II）①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=+．②設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為﹣5000，10000．即可得出分布列與數(shù)學期望．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列為：X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP…所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=+=．…②設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為﹣5000，10000．所以Y的分布列為：Y﹣500010000P所以EY=﹣5000×+10000×=5000．…所以該銷售商一次購進100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為100EY=50萬元．…20.如圖，四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別為BC，DE中點．（1）證明：CN∥平面AEM；（2）若△ABE是等邊三角形，平面ABE⊥平面BCE，，，求三棱錐的體積．參考答案：解：（1）取中點，連結．因為中，分別為中點，所以．又因為四邊形是平行四邊形，所以．又是中點，所以，所以．所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取中點，連結，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．又由（1）知平面，所以．又因為為中點，所以．所以三棱錐的體積為．

21.已知數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù)，對于n＝1，2，3，…，有（Ⅰ）當a1＝19時，a2014＝

；（Ⅱ）若an是不為1的奇數(shù)，且an為常數(shù)，則an＝

．參考答案：（Ⅰ）98；（Ⅱ）5試題分析：（Ⅰ）,因為是使為奇數(shù)的正整數(shù)，而為奇數(shù)，則，于是，所以，，同理…于是發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列是周期數(shù)列，且,所以；（Ⅱ）若是奇數(shù)，則為偶數(shù),所以為奇數(shù)，又因為為常數(shù)，于是，所以，即，因為數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù)，所以當時滿足題意.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax3＋3x2－x＋1在R上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：解析：f′(x)=3ax2＋6x－1，其判別式△=36＋12a．

(4分)當a＜－3時，有△＜0，∴f′(x)＜0，f(x)在R上是減函數(shù)；

(6分)當a=－3時，有△=0，此時，由于y=－x3是R上的減函數(shù)，所以f(x)在R上是減函數(shù)；