線性規(guī)劃標準型以及定義

第一節(jié)線性規(guī)劃的標準型目標函數(shù)：約束條件：松弛變量，剩余變量線性規(guī)劃問題的標準形式特點：(1)目標函數(shù)求最小值（有時求最大值）(2)約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項bi都大于或等于零(3)決策變量xj為非負。（2）如何化標準形式

目標函數(shù)的轉(zhuǎn)換

如果是求極大值即，則可將目標函數(shù)乘以(-1)，可化為求極小值問題。也就是：令，可得到上式。即

若存在取值無約束的變量，可令其中：

變量的變換

約束方程的轉(zhuǎn)換：由不等式轉(zhuǎn)換為等式。稱為松弛變量稱為剩余變量

變量的變換

可令，顯然例1將下列線性規(guī)劃問題化為標準形式用替換，且解:（１）因為x3無符號要求，即x3取正值也可取負值，標準型中要求變量非負，所以(2)第一個約束條件是“≤”號，在“≤”左端加入松馳變量x4，x4≥0,化為等式；(3)第二個約束條件是“≥”號，在“≥”左端減去剩余變量x5，x5≥0；(4)第3個約束方程右端常數(shù)項為-5，方程兩邊同乘以(-1),將右端常數(shù)項化為正數(shù)；(5)目標函數(shù)不變標準形式如下：一、圖解法第二節(jié)解的性質(zhì)maxZ=2X1+X2

X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2≤3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≥-3.8X1，X2≥0例2用圖解法求解線性規(guī)劃問題圖解亂法x1x2oX1-幻玉1.偷9X2=獄3.像8(≤礎)X1+撤1.閣9X2=議3.校8(≥)X1-敗1.州9X2=羨-3斯.8像(≥)X1+錢1.落9X2=茶10面.2(≤眨)4養(yǎng)=之2X1+杜X220賭=登2X1+六X217片.2嘗=夕2X1+舒X211護=拔2X1+胳X2Lo：0控=喇2X1+醋X2（7.貼6，2）Dma熟x苗Zmi嘆n跳Z此點帳是唯炭一最辟優(yōu)解跳，且最無優(yōu)目孫標函圾數(shù)值ma槍x匆Z=賢17翅.2可行兼域ma尼x渣Z饞=滴2港X1+桐X2圖解報法ma壓x蠶Z=家3X1+5米.7肯X2x1x2oX1-連1.析9X2=哀3.存8(≤抹)X1+窗1.唐9X2=特3.騎8(≥)X1-庭1.首9X2=煙-3室.8放(≥)X1+失1.務9X2=迷10裳.2(≤除)（7.村6，2）DL0：0=濱3X1+5圖.7絹X2ma征x厭Z（3.層8，4）34昏.2=壁3X1+5澆.7額X2藍色膛線段漸上的麗所有壩點都拌是最優(yōu)解性這種鄭情形障為有們無窮功多最優(yōu)解艇，但巨是最展優(yōu)目筐標函扔數(shù)值ma傘x肉Z=攀34賴.2是唯座一的暖。可行半域圖解向法mi指n父Z=役5X拉1+廊4X均2x1x2oX1-藝1.許9X2=華3.偽8(≤歲)X1+駁1.拔9X2=爽3.抱8(≥)X1+布1.驚9X2=上10陸.2(≤賤)DL0：0=攤5X1+4把X2ma督x筑Zmi尸n爹Z8=息5X1+4藍X243腳=5車X1+4消X2（0，2）可行樸域此點刮是唯補一最輩優(yōu)解圖解床法246x1x2246無界哈解(無最亡優(yōu)解)ma享xZ=x1+2x2例3x1嶄+x張2=索4(賊≥)x1逃+3傷x2絲式=6總(≥挑)3x肯1+鼓x2制=6饞(≥擾)ma含x俘Zmi袍n懼Zx1x2O10203040102030405050無可擠行解(即無預最優(yōu)早解)ma旋x黃Z=增3x1+4x2例4圖解督法學習衛(wèi)要點逼：1.通過卷圖解問法了芽解線鋤性規(guī)淹劃有內(nèi)幾種維解的纖形式（唯蒸一最乞優(yōu)解范；無踐窮多距最優(yōu)微解；末無界背解；揮無可朋行解抓）2.作圖燥的關醬鍵有彈三點夠：(1吹)可行幟解區(qū)喬域要摟畫正湯確(2難)目標閃函數(shù)昌增加很的方越向不宵能畫撒錯(3崖)目標乘函數(shù)候的直隆線怎竊樣平糊行移剪動二線束性規(guī)港劃解干的定未義可行胃解：滿恢足約揀束條氏件Ax踐=b、x≥疫0的解達為可泳行解駱。所攝有可腔行解榜的集槍合為搭可行外域。最優(yōu)倘解：使旬目標凳函數(shù)陳達到床最小尋值的矩可行責解。基：設A為約輔束條京件Ax強=b的m×蠅n階系績數(shù)矩瘋陣(m鋪<n用)，其塘秩為m，B是矩搶陣A中m階滿暑秩子哀矩陣久（∣B∣蔥≠0），祖稱B是規(guī)切劃問級題的叢一個物基。而設：稱B中每偏個列羨向量Pj(沾j躍=雕1縫2……m)為基添向量需。與汽基向電量Pj對應借的變同量xj為基變剛量。除命基變寄量以田外的遷變量哪為非基判變量?；饣危耗骋毁I確定澇的基B，令頑非基尊變量喚等于雄零，勢由約購束條加件方繞程Ax染=b解出絡基變居量，們稱這滔組解扯為基姻解。中在基車解中錄變量須取非0值的帽個數(shù)爽不大滅于方松程數(shù)m，基混解的壁總數(shù)店不超傳過基可非行解優(yōu)：滿足堡變量仍非負笨約束譯條件溝的基肅本解翻，簡烘稱基禾可行雅解。可行符基：對應胸于基續(xù)可行移解的巡壽基稱仆為可火行基橫。非可行解可行解基解基可行解例1.辜4求線診性規(guī)王劃問絞題的銳所有勇基矩蘋陣。解:約束倡方程耍的系爺數(shù)矩宮陣為2×套5矩陣r(惜A)友=2，2階子雜矩陣塌有10個，哨其中柏基矩惱陣只丸有9個，聰即解的勾定義解的銳定義解的史定義解的衡定義類似屯可得共所有尸基解止。代入死目標盼函數(shù)雅，通邁過比塑較可額得最寶優(yōu)解彈。思考桶：線性偽規(guī)劃固的基存解最傳多有曉多少系個？酬基可深行解廁呢？引理1：設x0＝0是線命性規(guī)甩劃的進可行狐解，控則x0必定沙是基虹可行院解。解的湯定義分析僻：要指證x0＝0是基丑解，茶由定庭義，揭只需倡要證械明存鐵在非雕奇異發(fā)子陣B，使際得xB=B-1b=埋0,何xN=0壓,從而塘，x0是基奶解。解的樹定義證明洋：因殖為x0＝0是可孔行解燒，所有戶滿足Ax0＝A0＝0＝b。設r(常A)賀=m彩,任取兇一個m階非針奇異貌方陣引理2：設x0是線性規(guī)劃的可行解，并且若相應的P1，P2，Ps線性無關，則x0是基可行解。證明怒：設r(震A)爐=m纏,因為P1，P2，Ps線性后無關織，所形以s<員m.可以荒從A中補推充(m生-s頌)個列偷向量曉，使犯得新儉向量百組是A的一濱個極幟大線想性無喊關組晃，解的懼定義不妨盒設為P1，P2，…Ps，Ps+例1…,Pm,則B=謠(盾P1，P2，…Ps，Ps+西1…,Pm)為非告奇異推矩陣狐，又解的酒定義問:1。若x是線寨性規(guī)引劃的塵一基朗解,那么嗎其中脅非廊零變客量最純多有花多少注個?零變初量最尿少多預少個僵？解的厲定義2。已惜知一聽可行億解，退且非擠零個禮數(shù)小管于m，是題否一聲定是派基可告行解房誠？解的剃定義解的彎定義解的維定義注:由可蹤蝶行解畏中非饞零變脈量的刪個數(shù)旋以及摟對應速列的飼相關底無關嚷性可稠判斷債是否和是基宰解.解的釀定義定理2:線性敏規(guī)劃虛可行取解的艷集合R=絹{x驢|A程x健=b虎,x客≥0河}是凸者集.點x0是R的極僻點充慕分必捧要條墓件是x0是線慎性規(guī)奏劃的矩基可貓行解.二.解釋濟及相愉關性期質(zhì)再證x0是R的極賊點.假設歷不是,由定進義,解釋飄及相格關性似質(zhì)解釋扛及相茂關性疼質(zhì)解釋躬及相岸關性腔質(zhì)解釋晨及相脈關性買質(zhì)再證錘必要扎性.反證.（即構玻造兩喂個可利行解x1，x2使得x0是這成兩個氣點的算組合）設x0是極烈點,但不株是基距可行幅解.不失柏一般賤性,設前s個分熱量大腹于0,后面n-混s個分尖量為0.定理3的第好二個孩結(jié)論遼可知A的前s個列別向量間線性住相關.于是噴存在休一組練不全朝為0的數(shù)顏滿足解釋躬及相冒關性搶質(zhì)解釋剪及相錦關性飼質(zhì)解釋乓及相紡關性述質(zhì)解釋嘗及相師關性零質(zhì)說明:從證砍明的朱過程等來看,對于彩任意斗一個啞可行勤解,如果壁不是總基解挎，可泳以通假過所禾給的譯方法鞋，可澡以得絮到一漿可行臂解，央其中0分量耐的個揀數(shù)至范少增腫加一絡個。旱反復冒進行走，一鞭定會鳳得到閥一基脹可行從解。解釋濟及相跨關性陣質(zhì)解釋扯及相僅關性珠質(zhì)解釋征及相劣關性立質(zhì)線性哨規(guī)劃困基本相定理:1.若線休性規(guī)騙劃有李可行勉解,則一墊定有輩基可恐行解.可行解xx是基解x不是基解,則逐漸增加0分量個