系統(tǒng)的穩(wěn)定性 常見(jiàn)判據(jù)

第六章系統(tǒng)的穩(wěn)定性——系統(tǒng)能正常工作的首要條件系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Bode穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象例：液壓位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理：外力→閥芯初始位移Xi(0)→閥口2、4打開(kāi)→活塞右移→閥口關(guān)閉（回復(fù)平衡位置）→（慣性）活塞繼續(xù)右移→閥口1、3開(kāi)啟→活塞左移→平衡位置→（慣性）活塞繼續(xù)左移→閥口2、4開(kāi)啟……①

隨動(dòng)：活塞跟隨閥芯運(yùn)動(dòng)②慣性：引起振蕩③振蕩結(jié)果：①

減幅振蕩（收斂，穩(wěn)定）②等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）③

增幅振蕩（發(fā)散，不穩(wěn)定）一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件結(jié)論：系統(tǒng)是否穩(wěn)定，取決于系統(tǒng)本身（結(jié)構(gòu)，參數(shù)），與輸入無(wú)關(guān)不穩(wěn)定現(xiàn)象的存在是由于反饋?zhàn)饔梅€(wěn)定性是指自由響應(yīng)的收斂性定義：系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下無(wú)輸入時(shí)的初態(tài)輸入引起的初態(tài)輸出（響應(yīng)）收斂（回復(fù)平衡位置）系統(tǒng)穩(wěn)定發(fā)散（偏離越來(lái)越大）系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定條件線性定常系統(tǒng)：強(qiáng)迫響應(yīng)輸入引起的自由響應(yīng)系統(tǒng)的初態(tài)引起的自由響應(yīng)自由響應(yīng)si:系統(tǒng)的特征根系統(tǒng)穩(wěn)定條件當(dāng)系統(tǒng)所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有負(fù)實(shí)部（位于[s]平面的左半平面）自由響應(yīng)收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定若有任一sk具有正實(shí)部（位于[s]平面的右半平面）自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定條件若有特征根sk

=±jω（位于[s]平面的虛軸上），其余極點(diǎn)位于[s]平面的左半平面自由響應(yīng)等幅振動(dòng)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定若有特征根sk

=0（位于[s]平面的原點(diǎn)），其余極點(diǎn)位于[s]平面的左半平面自由響應(yīng)收斂于常值，系統(tǒng)穩(wěn)定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定條件結(jié)論：線性定常系統(tǒng)是否穩(wěn)定，完全取決于系統(tǒng)的特征根。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：若系統(tǒng)的全部特征根（傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)）均具有負(fù)實(shí)部（位于[s]平面的左半平面），則系統(tǒng)穩(wěn)定。如何判別？求出閉環(huán)極點(diǎn)？實(shí)驗(yàn)？①高階難求②不必要如果不穩(wěn)定，可能導(dǎo)致嚴(yán)重后果思路：①特征方程→根的分布（避免求解）②開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)→閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)易知，閉環(huán)極點(diǎn)難求）穩(wěn)定判據(jù)二、Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)——代數(shù)判據(jù)（依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的分布）系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s1,s2,…,sn：特征根

因?yàn)楸容^系數(shù)：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：各系數(shù)同號(hào)且不為零或：an>0,

an-1>0,…,a1>0,

a0>0二、Ro平ut夢(mèng)h（勞支斯）賄穩(wěn)定制判據(jù)系統(tǒng)謎穩(wěn)定肚的充皆要條姐件特征忌方程宋：Ro鬼ut橡h表：其中跌：Ro蔑ut費(fèi)h判據(jù)：Ro郵ut進(jìn)h表中鋒第一瞞列各條元符騾號(hào)改謊變的顆次數(shù)嶺等于街系統(tǒng)巨特征歇方程佛具有霞正實(shí)遵部特茫征根蓋的個(gè)物數(shù)。訓(xùn)因此奧，系統(tǒng)沿穩(wěn)定江的充芳要條商件是Ro睜ut欲h表中績(jī)第一記列各飄元的字符號(hào)敞均為軍正，圖且值冰不為鳴零。例1系統(tǒng)的特征方程D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0

Ro棍ut逃h表：第一抱列各浮元符牙號(hào)改晨變次夜數(shù)為2，因插此系統(tǒng)碼不穩(wěn)劈燕定系統(tǒng)棍有兩愚個(gè)具虎有正塘實(shí)部氏的特?cái)痴鞲?已知=0溫.2及n=8斃6.緣瑞6，試窮確定K取何今值時(shí)病，系蛾統(tǒng)方云能穩(wěn)旬定。D(笛s)員=s3+3肅4.伯6s2+7窯50吃0s筒+7純50謀0K使=0由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，有(1)7500K>0，亦即K>0。顯然，這就是由必要條件所得的結(jié)果。(2)，亦即K<34.6。故能使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)K的取值范圍為0<K<34.6。

系統(tǒng)援開(kāi)環(huán)昨傳遞認(rèn)函數(shù)：系統(tǒng)峰閉環(huán)累傳遞申函數(shù)：特征逼方程：即：二階初系統(tǒng)(n鄭=2女)穩(wěn)定捏的充凡要條涂件為：a2>0倚,a1>0筍,a0>0蔬,三階棍系統(tǒng)(n熔=3熊)穩(wěn)定頃的充驚要條層件為：a3>0尸,a2>0脈,a0>0扒,a1a2－a0a3>0特別：三、Ny霉qu低is案t穩(wěn)定獵判據(jù)——幾何尼判據(jù)汗（利告用開(kāi)嫌環(huán)頻評(píng)率特?fù)湫耘写謹(jǐn)嚅]徒環(huán)系朱統(tǒng)的捎穩(wěn)定火性）幅角道原理Ls：[s跳]平面懂上一抖封閉虧曲線（不廉經(jīng)過(guò)F(云s)的奇食點(diǎn)）設(shè)有復(fù)變函數(shù)：幅角害原理：ｓ按順結(jié)時(shí)針遙方向盒沿Ls變化嚷一周婚時(shí)，F(xiàn)(壤s)將繞愈原點(diǎn)眼順時(shí)虛針旋寸轉(zhuǎn)N周，絡(luò)即包厭圍原矮點(diǎn)N次。N=拐Z(yǔ)-詳PZ：Ls內(nèi)的F(炮s)的零客點(diǎn)數(shù)P：Ls內(nèi)的F(器s)的極佛點(diǎn)數(shù)三、Ny厲qu對(duì)is冊(cè)t穩(wěn)定恨判據(jù)開(kāi)、攔閉環(huán)嚴(yán)零極殊點(diǎn)與F(殿s)取F(黎s)躁=1＋G(逃s)購(gòu)H(口s)嚼=1衛(wèi)+Gk(s啄)三、Ny沉qu蓋is翁t穩(wěn)定讓判據(jù)[s]平面葛上的Ny寺qu浩is炎t軌跡常的選恰取[F(仔s)]與[GH]平面瞎上的Ny粱qu有is交t軌跡F(哀s)牽=1布+Gk(s蠻)①s沿虛軸L1：s=jω，（ω從－∞到+∞）；LGH：G(jω)H(jω)s沿L2：s→0；LGH：②糟LF包圍陶原點(diǎn)在的圈木數(shù)=晴LGH包圍弟（－1，j0）點(diǎn)頂?shù)娜﹀N數(shù)N=因Z-非P三、Ny天qu把is焰t穩(wěn)定錢(qián)判據(jù)當(dāng)由－到+時(shí)，遠(yuǎn)若[GH]平面澇上的蠟開(kāi)環(huán)豆頻率笨特性G(零j)H銅(j)逆時(shí)央針?lè)綕娤虬矅迹?，j0）點(diǎn)P圈，暑則閉術(shù)環(huán)系翁統(tǒng)穩(wěn)駛定。（P為G(夾s)磨H(付s)在[s]平面葉的右綱半平覆面的著極點(diǎn)抬數(shù)）對(duì)于咽開(kāi)環(huán)涂穩(wěn)定孫的系小統(tǒng)，哪有P=郊0，此尸時(shí)閉留環(huán)系縱統(tǒng)穩(wěn)嚇定的筑充要復(fù)條件蜓是，系統(tǒng)板的開(kāi)期環(huán)頻布率特騎性G(志j)H豪(j)不包雹圍（-1，j0）點(diǎn)揉。確定P作G(尺j)H亡(j)的Ny馬qu抖is蝴t圖運(yùn)用嚼判據(jù)判據(jù)例1三、Ny嬌qu綠is總t穩(wěn)定義判據(jù)三、Ny況qu應(yīng)is涉t穩(wěn)定罪判據(jù)例2開(kāi)環(huán)六不穩(wěn)鼠定，閉環(huán)棕穩(wěn)定P=碎1三、Ny丟qu末is章t穩(wěn)定掀判據(jù)開(kāi)環(huán)麗含有東積分籃環(huán)節(jié)休的Ny秀qu棋is穗t軌跡當(dāng)s沿?zé)o窮小半圓逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)時(shí)，有映射到[GH]平面上的Nyquist軌跡為：當(dāng)s沿小半圓從=0－變化到=0＋時(shí)角從－/2經(jīng)0變化到/2[GH]平面上的Nyquist軌跡將沿?zé)o窮大半徑按順時(shí)針?lè)较驈慕?jīng)0轉(zhuǎn)到P=0三、Ny確qu產(chǎn)is線t穩(wěn)定數(shù)判據(jù)開(kāi)環(huán)段含有賴積分種環(huán)節(jié)句的Ny隔qu查is熟t軌跡例3例4穩(wěn)定不穩(wěn)螺定P=1三、Ny濕qu誘is工t穩(wěn)定腿判據(jù)應(yīng)用矮舉例例1不論K取任魔何正撫值，便系統(tǒng)熔總是刻穩(wěn)定溉的開(kāi)環(huán)蔬為最援小相別位系粉統(tǒng)時(shí)踏，只效有在附三階杏或三植階以優(yōu)上，案其閉楚環(huán)系稍統(tǒng)才籌有可堅(jiān)能不停穩(wěn)定漏。P=需0P=廊0例2三、Ny貴qu煩is捉t穩(wěn)定強(qiáng)判據(jù)應(yīng)用壺舉例例3P=獅0若G(桐j)H接(j)如圖環(huán)中曲門(mén)線①例所示罰，包別圍點(diǎn)償（－1，j0），眉則系鼠統(tǒng)不叔穩(wěn)定曲。減小K值，價(jià)使G(辛j)H莊(j)減小況，曲悟線①暮有可秀能因兩模減流小，贏相位紐奉不變旱，而牙不包理圍(－1，j0），腹因而慈系統(tǒng)瀉趨于刃穩(wěn)定呈。若K不變阻，亦虜可增醋加導(dǎo)際前環(huán)找節(jié)的徑時(shí)間蜓常數(shù)T4、T5使相防位減腰小，屬曲線脹①變厲成曲芹線②織。由狠于曲哀線②績(jī)不包航圍點(diǎn)(－1，j0桂),故系蠢統(tǒng)穩(wěn)用定。三、Ny盡qu后is嗚t穩(wěn)定致判據(jù)應(yīng)用攜舉例P=外0例4當(dāng)導(dǎo)治前環(huán)飼節(jié)作萌用小尼，即遣當(dāng)T4小時(shí)匙，開(kāi)脆環(huán)Ny蛾qu細(xì)is棕t軌跡符為曲惜線①殺，它釀包圍覽點(diǎn)(－1，j0），嫩閉環(huán)蹈系統(tǒng)倚不穩(wěn)銹定；當(dāng)導(dǎo)失前環(huán)得節(jié)作域用大何，即鉗當(dāng)T4大時(shí)壺，開(kāi)北環(huán)Ny貨qu張is沖t軌跡育為曲滴線②裕，它屯不包跳圍點(diǎn)(－1，j0），啟閉環(huán)毀系統(tǒng)槐穩(wěn)定誦。三、Ny隔qu騙is始t穩(wěn)定蒙判據(jù)具有襖延時(shí)抄環(huán)節(jié)婦的系完統(tǒng)的住穩(wěn)定研性GK(s咱)＝G1(s氏)e－sGK(j)＝G1(j特)e－j鑄GK(j禾)=G1(j回)GK(j)=G1(j)－頓延時(shí)央環(huán)節(jié)代不改和變?cè)到y(tǒng)由的幅軍頻特訪性，氏而僅愿僅使浙相頻顆特性剪發(fā)生嗽變化豆。例1+泄G1(s尼)e－s＝0，G1(j率)授＝1，G1(j趁)－賢＝排－解得喜：＝0.久78攻6，團(tuán)＝1.處15。所以書(shū)，盛＞1.背15時(shí)，乳閉環(huán)浙系統(tǒng)賤不穩(wěn)恥定。四、Bo賭de穩(wěn)定祥判據(jù)扇（對(duì)莖數(shù)判婚據(jù)）Ny有qu塞is影t圖與Bo猾de圖的培對(duì)應(yīng)兵關(guān)系——幾何茫判據(jù)恭（Ny塔qu動(dòng)is敢t判據(jù)逆的引否申）Ny怖qu無(wú)is航t圖上秀的單位肢圓→Bo粘de圖上配的0d狗B線，即對(duì)破數(shù)幅孟頻特廈性圖艱的橫袖軸單位宗圓之愛(ài)外→對(duì)數(shù)柄幅頻跑特性丙圖的0d謹(jǐn)B線之戴上。(2鬼)Ny觀qu阻is昆t圖上織的負(fù)實(shí)止軸→Bo賀de圖上麗的－18評(píng)0°線，即對(duì)怖數(shù)相氏頻特箭性圖液的橫叛軸。ωgωgωc：幅收值穿腸越頻斬率（剪丹切頻拐率）ωg：相惹位穿陪越頻六率四、Bo瓦de穩(wěn)定比判據(jù)包（對(duì)太數(shù)判沿?fù)?jù)）穿越霉的概緩念穿越家：開(kāi)環(huán)Ny趕qu豪is杠t軌跡磚在(－1，j0滑)點(diǎn)以國(guó)左穿滾過(guò)負(fù)實(shí)野軸（對(duì)曲數(shù)相艇頻特具性穿多過(guò)－18篇0°線）負(fù)穿英越：開(kāi)環(huán)Ny酷qu躍is睬t軌跡自下鏟而上的穿攔越（動(dòng)隨ω的增野加）（對(duì)滑數(shù)相己頻特賴性自上傅而下穿過(guò)－18少0°線）正穿令越：開(kāi)環(huán)Ny詢qu勤is杰t軌跡自上蠢而下的穿僻越（斷隨ω的增派加）（對(duì)腥數(shù)相聲頻特僅性自下陣而上穿過(guò)－18宿0°線）半次老穿越異：起始勇于－18蝦0°的穿槽越四、Bo羊de穩(wěn)定季判據(jù)秧（對(duì)焦數(shù)判橡據(jù)）正穿楊越一次檢，Ny麗qu敢is其t軌跡逆時(shí)豎針包圍(－1，j0充)點(diǎn)一旋圈負(fù)穿婚越一次兆，Ny粉qu助is業(yè)t軌跡順時(shí)咸針包圍(－1，j0矩)點(diǎn)一椅圈開(kāi)環(huán)Ny手qu姨is左t軌跡竟逆時(shí)盡針包侄圍(－1，j0醬)點(diǎn)的篇次數(shù)→正穿帆越和斗負(fù)穿檢越的盛次數(shù)頓之差櫻。判據(jù)：閉環(huán)苗系統(tǒng)烏穩(wěn)定踩的充膀要條換件是上，在Bo技de圖上怪，當(dāng)由0變到耕＋∞押時(shí)，因在開(kāi)憂環(huán)對(duì)哲數(shù)幅獲頻特乞性為春正值理的頻拼率范射圍內(nèi)歪，開(kāi)度環(huán)對(duì)提數(shù)相縮慧頻特說(shuō)性對(duì)看－18魂0°線的正穿賀越與斧負(fù)穿飲越次榴數(shù)之懸差為P／2。特別：P＝0時(shí)，辮若ωc＜ωg，閉午環(huán)系腫統(tǒng)穩(wěn)啟定；ωc＞ωg，閉肥環(huán)系題統(tǒng)不屠穩(wěn)定惹；ωc=ωg，賭閉環(huán)院系統(tǒng)匹臨界棄穩(wěn)定五、系統(tǒng)完的相石對(duì)穩(wěn)胸定性系統(tǒng)恭的相晌對(duì)穩(wěn)熔定性碰：GK(j公ω)靠近(－1,麻j電0)的程王度定量喂指標(biāo)擺：相位淘裕度幅值軍裕度Kｇ五、系統(tǒng)