數(shù)學(xué) 第二十二章 課件 各種積分間的關(guān)系與場(chǎng)論的初步

第二十二章

各種積分間的聯(lián)系與場(chǎng)論初步

§1各種積分間的聯(lián)系

1、格林公式區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)復(fù)連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)區(qū)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理22.1（格林公式）設(shè)區(qū)域D是由逐段光滑閉曲線L圍成的平面單連通閉區(qū)域，函數(shù)則有(格林公式)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或證明：見380頁(yè)說明1)對(duì)復(fù)連通區(qū)域，公式也成立。強(qiáng)調(diào)：(i)所有邊界.(ii)每段的方向2)記憶：

其中:為切向量（與同向）;為外法線2、高斯公式定理22.2.設(shè)空間閉區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)閉曲函數(shù)P,Q,R在V及S上具有連續(xù)的一階面S所圍成,偏導(dǎo)數(shù)數(shù)，則有(Gauss公式)證明：P377仿照格林公式的證明，先對(duì)簡(jiǎn)單的區(qū)域證明高斯公式。其中V如圖22-9，它的邊界由下，上，中三部分S1，S2，S3

構(gòu)成。上部為S2，由方程下部為S1，由方程給出，給出，中間由母線平行于Z軸的柱面S3構(gòu)成。S1與S2在Oxy平面上由公式投影D.V可表為考慮V的邊界曲面S的外側(cè)可表為下側(cè)，上側(cè)，以D的邊界為準(zhǔn)線夾在S1與S2之間的柱面外側(cè)由三重積分的積算方法及第二型曲面積分的積算方法得：上面珍第四壁個(gè)等昌式成染立是勁因?yàn)镾3在Ox離y面上怨得投寬影面曾積為零民，所草以同理禍可證3、st楊ok結(jié)es公式光滑盈曲面的邊每界為欣光滑征曲線L，函失數(shù)在及上具壺有連段續(xù)的眉一階零偏導(dǎo)株數(shù)，愚則其中的側(cè)阻與的方朝向按驚右手美法則米確定證明靈：縮慧先奧證設(shè)曲頭面S的方插程為它在Ox鍬y面上見得投頭影為與過的點(diǎn)幸且平飽行于z軸的他直線丈只交攏于以西點(diǎn)。L是S的邊鬼界，累它它在Ox筒y面上持的投板影為l.取S的上腔側(cè)為妹正側(cè)絨，則敏單位分法向粉量為因此因?yàn)長(zhǎng)在曲慎面上，冠所以免由格州林公起式，通有同理吳可證把三虎個(gè)公銀式加俗起來畜，便功得斯候托克怨斯公虹式。些證畢鳴！說明彈：記憶或：公式漂的推崇廣格林肯公式竊的推謹(jǐn)廣，犬即奶格林綿公式斷為其唱特例斯托漆克斯息公式奴建立崗了函擇數(shù)在嘉空間研曲面S上的摔第二顛型曲生面積答分與余其“穴原函冷數(shù)”克在S的邊貌界曲谷線L上的尤第二滔型曲詢線積棕分之夾間的調(diào)聯(lián)系徹，因市此也壤是牛括頓－胃萊布僚尼茨叨公式艘的一撞種高該維的至推廣愉。利絞用兩鑒種曲壯面積廣分之洲間的夸關(guān)系負(fù)，常曾把它涼寫成小如下鞏便于榮記憶具的形好式：背景膨：在獸力學(xué)壟里，粒質(zhì)汽點(diǎn)在稠保守鍛力場(chǎng)恐中移訓(xùn)動(dòng)時(shí)蘋，場(chǎng)紀(jì)力場(chǎng)否所做物的功糾和所見走的映路徑臺(tái)無關(guān)卵，而輩只與紹質(zhì)點(diǎn)黑運(yùn)動(dòng)盈的起雹點(diǎn)和緣瑞終點(diǎn)脖有關(guān)仰，而融此時(shí)據(jù)功可舊用第盛二型釣曲線撿積分地表示私。因討此，破要討失論問飲題：申在什育么條據(jù)件下臉，第愿二型鼻曲線摟積分勁與積偏分路傷徑無閣關(guān)（眼只依悠賴曲毛線的陡端點(diǎn)悅）第二臣節(jié)孤曲線準(zhǔn)積分唉與路燭徑無蔥關(guān)定理22峽.4設(shè)D是平層面單錢連通帳區(qū)域,在D上有連寶續(xù)偏蔬導(dǎo)數(shù),(1陳)沿D中任捕意光炸滑閉夠曲線L,有(2向)對(duì)D中任撈一分擁段光鞠滑曲爆線L,曲線祝積分(3飄)(4樹)在D內(nèi)每桂一點(diǎn)諒都有與路膽徑無松關(guān),只與蝴起止柴點(diǎn)有院關(guān).函數(shù)則以故下四使個(gè)斷洗言等攝價(jià):在D內(nèi)是啄某一喝函數(shù)的全串微分,即平面因上曲拆線積耳分與克路徑嘴無關(guān)查的等誘價(jià)條箱件定理22讓.4的證百明1－4：設(shè)D是平撿面單鋒連通厘區(qū)域,在D內(nèi)具有競(jìng)一階包連續(xù)確偏導(dǎo)偵數(shù),(1墾)沿D中任賢意光書滑閉拿曲線L,有(2領(lǐng))對(duì)D中任著一分海段光夠滑曲閃線L,曲線議積分(3土)(4爪)在D內(nèi)每睜一點(diǎn)待都有與路與徑無箱關(guān),只與具起止鴉點(diǎn)有怒關(guān).函數(shù)則以缺下四深個(gè)條妻件等齒價(jià):在D內(nèi)是雄某一咸函數(shù)的全類微分,即說明:積分茅與路著徑無鹽關(guān)時(shí),曲線晉積分壺可記霜為證明(1腦)臂(2信)設(shè)為D內(nèi)任意兩條超由A到B的有患向分葵段光桿滑曲線,則(根據(jù)越條件(1腿))證明(2船)鳴(3涉)在D內(nèi)取蒼定點(diǎn)因曲縮慧線積枕分則同理扛可證因此遮有和任托一點(diǎn)B(x,y),與路蛙徑無摔關(guān),有函數(shù)證明(3溫)續(xù)(額4)設(shè)存蝴在函蛙數(shù)u(x休,油y)使得則P,顛Q在D內(nèi)具承有連折續(xù)的村偏導(dǎo)婆數(shù),從而渠在D內(nèi)每騾一點(diǎn)載都有證明(4是)哈(僚1)設(shè)L為D中任癥一分虛段光盲滑閉攜曲線,(如圖)握,利用格林敏公式,得所圍喪區(qū)域合為證畢在區(qū)帆域上考卻察積所分（1）其中為從到沿上蹈半圓般周（2）從到沿下番半圓繞周解：（1）（2）在區(qū)統(tǒng)域上考昆察上方述積宗分：這時(shí)是單鑒連通毫的，肥為近什么嘴仍有實(shí)際的上：訂不滿喜足定理巧中關(guān)并于敘及刷其偏僅導(dǎo)數(shù)欣的連僻續(xù)性條件芝。我矩們注抱意：猾若有轉(zhuǎn)破壞莊連續(xù)選性條械件的鎮(zhèn)“奇柏點(diǎn)”蓄，我畢們將這些灰點(diǎn)從爬區(qū)域裹中除悠去，眉于是倚區(qū)域就變沫為含昨有點(diǎn)掌“洞獲”的區(qū)域,而在上具顯有了滔連續(xù)揀性。煙從而可化停為上辭面的謀情形圓的膨方程尚：例.意義對(duì)內(nèi)任織一條灰不包覽含奇突點(diǎn)的閉多曲線，由決格林踐公式件，怕有環(huán)繞甩奇點(diǎn)的任騎意兩鏡條簡(jiǎn)杜單閉誰(shuí)曲線鴿和見的旁正向役的積間分相等單，續(xù)即環(huán)繞妥某一夸奇點(diǎn)n圈的放光滑筐閉曲老線L，其里中n1圈是慢正向口，n2圈是娃負(fù)向則積群分等于狡該點(diǎn)座循環(huán)方常數(shù)圈的倍。(i雖ii聽)(i栗v)若不辰自相猾交光濟(jì)滑閉悄曲線L包圍耽了k個(gè)奇遷點(diǎn)，繁則沿L正向百的積同分等于瓦這k個(gè)奇蠻點(diǎn)的訪循環(huán)證常數(shù)母之和港。第三拋節(jié)、茂場(chǎng)論嗽初步1.梯度宵場(chǎng)梯度:稱為燥函數(shù)故的梯休度，機(jī)它定惹義了去一個(gè)輩向量嚴(yán)場(chǎng)，稱為蚊梯度醉場(chǎng)，又稱為梯玻度場(chǎng)短的勢(shì)忍函數(shù)葵，則記函數(shù)沿的方街向?qū)Ш麛?shù)，利用詞梯度磨得：其中為與梯嫂度之間辜的夾筐角。2.散度覽場(chǎng)散度:設(shè)是空認(rèn)間區(qū)役域上的撞向量殊場(chǎng)，相在上每一清點(diǎn)，定義羨向量章場(chǎng)的破散度覆為，記熊為散度栗構(gòu)成路了的一悉個(gè)數(shù)男量場(chǎng)誤。灘利用算子該有公式壁可寫縫成物理間意義：就是歇流體鐮在點(diǎn)的翁單位察體積四的流輪量，斜即流答量密乘度。向量面場(chǎng)定義公式爹可寫生成：3.旋度利場(chǎng)小結(jié)格林皇公式單連斷通區(qū)往域積分游與路駛徑無差關(guān)習(xí)題1、設(shè)L是一皇條分幅段光虛滑的秘閉曲劑線,證明證:令則利用茶格林態(tài)公式,得2、計(jì)算其中D是以O(shè)(0萍,0劣)噸,A(1姿,1先)許,B(0鳳,1跪)為頂秤點(diǎn)的艱三角兔形閉烤域.解:令,則利用僚格林褲公式,有3、計(jì)算其中L為上左半從O(0焦,把0)到A(4磁,證0)慮.解:為了朵使用仔格林沙公式,添加拆輔助撇線段它與L所圍原式圓周區(qū)域孟為D愁,則4、驗(yàn)證是某察個(gè)函喂數(shù)的柜全微狀分,并求出這標(biāo)個(gè)函敗數(shù).證:設(shè)則由定冊(cè)理2可知,存在咬函數(shù)u(x英,次y)使。。5、設(shè)質(zhì)穩(wěn)點(diǎn)在芽力場(chǎng)作用臂下沿跪曲線L:由移動(dòng)線到求力罰場(chǎng)所爛作的餐功W解:令則有可見,在不末含原尾點(diǎn)的出單連鳴通區(qū)截域內(nèi)準(zhǔn)積分撒與路炸徑無突關(guān).取圓抄弧5、質(zhì)點(diǎn)M沿著妥以AB為直配徑的秀半圓,從A(1擋,2帆)運(yùn)動(dòng)麻到點(diǎn)B(3厚,沒4)畝,到原蹤蝶點(diǎn)的助距離,解:由圖立知故所嘆求功狹為銳角,其方