第二章 材料科學中常用的數值

第二章材料科學研究中常用的數值分析方法有限差分法和有限元法第一節(jié)有限差分法一、概述以有限差分代替無限微分、以差分代數方程代替微分方程、以數值計算代替數值推導的過程，從而將連續(xù)函數離散化，以有限的、離散的數值代替連續(xù)的函數分布。有限差分法的主要步驟如下：1）構成差分格式。首先選擇網格布局、差分形式和步長；其次，以有限差分代替無限微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及邊界條件。2）求解差分方程：直接法和間接法3）對所得到的數值解進行精度與收斂性分析和檢驗。二、差分方程的建立導出差分方程的途徑有兩種：一是從微分方程出發(fā)，以泰勒級數截斷，從有限差分的數學含義去建立有限差分和差分方程；另一種則是從由網格所劃分的單元體的能量平衡出發(fā)，由積分方程去建立差分方程，該方法又稱單元體平衡法。兩種方法各具特色，但無論采取哪種方法，在建立差分方程前，均需對所論區(qū)域進行離散化。1、合理選擇網格布局及步長

區(qū)域離散化離散化網格的選擇有兩種方法：物理劃分法和以幾何區(qū)域形狀為依據去劃分。

2、將微分方程轉化為差分方程將微分方程轉化為差分方程實際上就是以差分代替微分、以差商代替微商，是以有限小量代替無限微量的近似化過程。（1）差分所謂差分，就是某物理量的有限增量。1）向前差分2）向后差分3）中心差分（2）差商差商為函數的差分與自變量差分之比。

3.有限霉差分粒法的食求解逮步驟第二戰(zhàn)節(jié)罪有限弊元法fi傷ni電te廢e弄le懶me煩nt主m盜et尖ho娃d分1用有籃限個朝單元帶將連抵續(xù)體浩離散席化，妄通過俗對有瞇限個蓄單元治作分礎片插忘值求乖解各蟲種力落學、眨物理茄問題粗的一蓬種數勺值方側法。有限缸元法頭把連喚續(xù)體部離散氏成有材限個豎單元喝：桿杠系結中構的聰單元仆是每割一個踩桿件混；連噸續(xù)體宅的單仗元是呈各種漫形狀及（漸如三睬角形料、四徑邊形才、六黨面體擴等門）的央單元眉體。溜每個恐單元絹的場曲函數紹是只疤包含玩有限旅個待虧定節(jié)蜻點參鼻量的愁簡單汁場函惹數，袋這些絨單元濟場函規(guī)數的挽集合繼就能魯近似積代表妖整個鍵連續(xù)淋體的杠場函踢數。佛根據分能量逢方程轉或加硬權殘吸量方咬程可倉建立砍有限自個待稅定參玩量的欲代數照方程掙組，盯求解衛(wèi)此離由散方藍程組喜就得碌到有家限元拾法的未數值鎖解。型有限沫元法欲已被完用于刪求解掌線性券和非紅線性絞問題風，并監(jiān)建立刮了各熱種有此限元旋模型候，如獵協(xié)調禿、不底協(xié)調假、混下合、緩雜交喉、擬命協(xié)調侄元等憂。有限礙元法亮十分晃有效弦、通軋用性里強、光應用鮮廣泛似，已百有許怕多大追型或頭專用厭程序角系統(tǒng)灣供工日程設鈔計使和用。借結合貪計算濾機輔巨助設壓計技糠術，掘有限姐元法臺也被怪用于粘計算變機輔灘助制佩造中星。2有限竟元分掌析（FE呀A，Fi麥ni麗te潤E煌le需me鐵nt刮A仆na躺ly療si憂s）的鄰基本貍概念崗是用擔較簡尤單的耕問題典代替灑復雜絨問題迫后再究求解鼻。它擱將求障解域昌看成脆是由熟許多雁稱為默有限億元的瞧小的面互連幼子域筋組成轉，對桌每一爬單元典假定憤一個列合適趣的(較簡炸單的它）近煙似解混，然著后推糧導求抱解這論個域搭總的否滿足淺條件(如結番構的機平衡狗條件挽），并從而使得到對問題傾的解召。這敬個解諸不是播準確斃解，顧而是隸近似單解，鉤因為蚊實際鑼問題急被較文簡單疲的問子題所戚代替詢。由究于大階多數喪實際討問題蜂難以鍵得到形準確慎解，盲而有凍限元暖不僅座計算藏精度打高，子而且充能適畝應各后種復技雜形行狀，族因而維成為霉行之膜有效魚的工瞎程分懸析手驗段。3有限奧元是陪那些購集合支在一鼻起能夕夠表竊示實適際連饞續(xù)域霞的離篇散單圓元。支有限他元的豎概念久早在籠幾個頓世紀佛前就貪已產相生并惠得到腎了應智用，縫例如水用多顏邊形?。ㄓ袛老迋€欺直線癢單元鵝）逼潑近圓曉來求賭得圓敬的周帽長，惠但作繞為一爺種方全法而篩被提范出，怎則是鬧最近撥的事廁。有懸限元割法最蛇初被貢稱為釣矩陣牲近似窩方法抬，應中用于拘航空嬌器的糾結構解強度反計算需，并意由于鳳其方財便性先、實盡用性限和有沒效性著而引弄起從魄事力見學研樂究的孝科學站家的柄濃厚蒙興趣泥。經框過短菊短數住十年朝的努簡力，駱隨著和計算者機技振術的刪快速喜發(fā)展柏和普吹及，誼有限袖元方共法迅圍速從遭結構辛工程來強度串分析存計算模擴展詢到幾網乎所待有的沙科學茂技術府領域艙，成掠為一耽種豐歪富多曲彩、派應用羽廣泛棒并且?guī)煂嵱蒙赘咝О莸臄靛\值分道析方般法。直接璃剛度拿法對于渣不同論物理換性質胞和數倍學模抄型的稍問題躁，有藝限元柴求解衰法的喜基本煩步驟值是相粒同的啄，只錫是具哄體公琴式推卸導和褲運算任求解來不同牌。有哈限元內求解講問題丸的基劃本步捷驟通素常為拖：第一違步：倉問題樹及求講解域諷定義巾：根漁據實過際問逼題近仇似確紗定求訂解域游的物嗓理性物質和嘴幾何希區(qū)域洞。第二誕步：肝求解匹域離攻散化障：將味求解難域近湊似為蠅具有脖不同運有限逐大小植和形傲狀且尿彼此靜相連辣的有相限個胸單元劈燕組成溜的離舅散域幫，習灰慣上漲稱為泊有限霧元網聾絡劃州分。榴顯然范單元逮越小決（網病絡越霉細）徒則離甘散域斃的近琴似程幅度越京好，陶計算縣結果陪也越洲精確動，但椅計算莫量及洗誤差鋸都將齊增大敢，因秩此求附解域死的離洪散化湖是有解限元壘法的信核心罰技術籃之一墾。第三擦步：捐確定納狀態(tài)作變量濫及控獅制方昆法：回一個較具體恢的物符理問蛾題通習?？擅{以用耳一組錢包含路問題顏狀態(tài)柏變量摟邊界企條件壤的微療分方融程式侄表示渾，為癥適合棄有限蠶元求帽解，畏通常礎將微敬分方池程化腥為等倦價的追泛函辮形式牧。第四升步：親單元濱推導撥：對全單元汁構造土一個城適合錯的近賠似解體，即滋推導斤有限萌單元荒的列竊式，蛾其中巷包括構選擇窗合理嗓的單顆元坐稠標系仇，建模立單灑元試陳函數召，以迎某種沖方法捎給出址單元切各狀繞態(tài)變勸量的驢離散殊關系慶，從漆而形惠成單黨元矩懸陣（歉結構贈力學黃中稱宣剛度續(xù)陣或騰柔度蛛陣）戶。鄉(xiāng)豐為保絞證問時題求字解的接收斂矛性，高單元獻推導沸有許漿多原踐則要躲遵循舟。懸對工更程應父用而鋪言，哪重要胳的是此應注聰意每雀一種獄單元費的解圍題性多能與鞠約束纏。例些如，迫單元堤形狀潑應以紡規(guī)則投為好乒，畸個形時薪不僅窗精度睬低，騾而且難有缺猛秩的搭危險阻，將穗導致蛇無法宣求解杏。第五纖步：婚總裝額求解吹：將落單元眼總裝該形成啄離散授域的傻總矩齊陣方軋程（會聯合上方程愧組）妖，反障映對通近似音求解院域的諒離散畏域的鉛要求我，即遷單元涼函數挨的連超續(xù)性紹要滿托足一核定的獻連續(xù)野條件哭?？傆鹧b是辛在相汁鄰單卷元結虎點進舟行，炎狀態(tài)楚變量趁及其構導數序（可仁能的擦話）咳連續(xù)站性建存立在賤結點竟處。第六辯步：咳聯立少方程養(yǎng)組求嘴解和鼻結果枯解釋迎：有旨限元酒法最范終導細致聯筋立方她程組皮。聯坦立方郊程組拋的求律解可來用直凡接法挑、選醫(yī)代法房誠和隨從機法佳。求浸解結珍果是挨單元濕結點尤處狀蕩態(tài)變吹量的閱近似招值。象對于萬計算克結果秘的質系量，耽將通勒過與俗設計超準則斬提供酒的允圣許值葡比較遲來評因價并僻確定襪是否跡需要資重復館計算渾。簡言賺之，話有限殊元分花析可蘭分成披三個森階段勢，前處慨理、朗處理窄和后鉆處理。前疊處理彼是建點立有末限元蜂模型嘆，完銹成單柏元網撐格劃向分；水后處弦理則諸是采誰集處享理分黎析結即果，騾使用隨戶能毀簡便媽提取叨信息窯，了疑解計傾算結姓果。有限淚元分角析，柱表明凝上看票起來過簡單笨，實收際上廁是有促較大題科技訪含量我的一妨項辛貫苦工視作。恰在一雁些情度況下編，找厲出分常析對拋象的享載荷概和邊丙界條識件是邪非常診困難僚的，剝要對嚴分析天對象岸的使坑用情截況進孩行仔叮細的蚊觀察賞和分獅析，謎最后檔還要幫對計塘算結腦果進供行分杏析和丸確認貝，不撤是像魄有人皇說的井那樣古做有堂限元為分析打很容圣易，頌所謂焰一按挨電鈕濾，計寶算結裝果就臉出來危了。觸看別叨人有音限元感分析柱容易宇，自盤己做雨起來表就不托一定森容易濃。有束限元聾分析擊入門朽容易住，但凝做好斷分析脖就不士容易良了。亮國內墓外的鑰許多膛實例嘴表明黎，有饅限元攜分析企人員鐵責任再重大要，做蟻好有因限元怎分析眾就能選給公粒司和聯企業(yè)球帶來寄輝煌桂，做腸不好總有限置元分僚析就提會誤茶導設疼計，幫給公四司和虧企業(yè)肌帶來晃損失栽。