儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定-數(shù)學(xué)建模論文

高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：日期：年月日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專(zhuān)用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定摘要本文通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)題目中提出的關(guān)于加油站地下儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定這兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行了比較完整、詳細(xì)的分析和解答。問(wèn)題一中，對(duì)于傾斜放置的橢圓柱體儲(chǔ)油罐來(lái)說(shuō)，其油面所截得的形狀難以確定，直接用微積分公式求解其儲(chǔ)油量比較困難。為了便于求解，一方面，我們利用罐體傾斜放置與水平放置時(shí)罐內(nèi)儲(chǔ)存的燃油液體的體積始終不變這一關(guān)系，將計(jì)算傾斜放置的儲(chǔ)油罐中的儲(chǔ)油量，等效轉(zhuǎn)化為計(jì)算水平放置的儲(chǔ)油罐中的儲(chǔ)油量。另一方面，我們通過(guò)制定一些合理的假設(shè)使模型簡(jiǎn)化，從而得到傾斜放置油罐中油面高度和水平放置油罐中油面高度之間關(guān)系。其關(guān)系為：對(duì)于等效轉(zhuǎn)化過(guò)程和模型簡(jiǎn)化過(guò)程中出現(xiàn)的誤差，我們用附件1中給出的實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，從而得到在這兩個(gè)過(guò)程中出現(xiàn)的誤差，然后對(duì)出現(xiàn)的誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，從而得到修正量的表達(dá)式，其修正量表達(dá)式為：。用我們所建立的模型中的表達(dá)式加上相應(yīng)的修正量，對(duì)模型中的誤差進(jìn)行修正，使求解的結(jié)果逼進(jìn)精確值。針對(duì)實(shí)際儲(chǔ)油罐問(wèn)題，我們采用積分的方法，建立了反映罐內(nèi)儲(chǔ)油量、油位高度及變位參數(shù)關(guān)系的實(shí)際儲(chǔ)油罐油量計(jì)算模型（模型二）?？紤]到直接給出上述關(guān)系表達(dá)式十分困難，我們通過(guò)編寫(xiě)儲(chǔ)油量積分求解程序，實(shí)時(shí)求解出油面高度為時(shí)的儲(chǔ)油量值。在確定變位參數(shù)時(shí)，我們采用最小二乘法，將參數(shù)識(shí)別問(wèn)題轉(zhuǎn)換成了最優(yōu)化問(wèn)題，并編寫(xiě)了遍歷搜索程序，通過(guò)調(diào)用之前編寫(xiě)的儲(chǔ)油量求解程序，可以很方便的對(duì)的取值空間進(jìn)行暴力搜索，最終取得變位參數(shù)的理想逼近值。在分析模型的正確性與方法的可靠性時(shí)，通過(guò)比較相關(guān)樣點(diǎn)的計(jì)算值與實(shí)際值，得到模型二的最大相對(duì)誤差為1.3%，平均相對(duì)誤差為0.6%，認(rèn)為實(shí)際儲(chǔ)油罐油量計(jì)算模型具有較好的準(zhǔn)確性。為了進(jìn)一步提高模型的準(zhǔn)確性，我們通過(guò)誤差補(bǔ)償?shù)姆绞綄?duì)模型中表示的表達(dá)式進(jìn)行修正。修正后的模型二，其最大相對(duì)誤差為0.071%，平均相對(duì)誤差為0.015%，明顯優(yōu)于修正前的模型，利用修正后的模型求解出的油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值與附件數(shù)據(jù)高度吻合。關(guān)鍵字：誤差補(bǔ)償 模型修正最小二乘法一、問(wèn)題重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱(chēng)為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。（1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二、問(wèn)題分析本題研究和解決的是儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。問(wèn)題（一）中，題目給定的是一個(gè)橢圓柱體儲(chǔ)油罐，考慮到傾斜放置的橢圓柱體被油面截得的平面形狀難以確定，用積分方法求解儲(chǔ)油量（罐容標(biāo)定值）非常困難。因此，可以將計(jì)算傾斜放置的儲(chǔ)油罐中的儲(chǔ)油量等效為計(jì)算水平放置的儲(chǔ)油罐中的儲(chǔ)油量，實(shí)現(xiàn)對(duì)高度的等效轉(zhuǎn)變[1]。同時(shí)通過(guò)合理的假設(shè)使模型簡(jiǎn)化，從而得到罐容標(biāo)定值和傾斜放置油位高度之間關(guān)系。對(duì)于簡(jiǎn)化處理過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，可以通過(guò)附件1中的實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，使求解的結(jié)果不斷逼進(jìn)精確值。問(wèn)題（二）中，對(duì)于本問(wèn)考慮采用積分的方法的建立罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)之間的一般關(guān)系表示。變位參數(shù)的確定屬于參數(shù)識(shí)別問(wèn)題，最小二乘法是此類(lèi)問(wèn)題的理想方法，結(jié)合最小二乘法可以將上述參數(shù)識(shí)別問(wèn)題轉(zhuǎn)換成最優(yōu)化問(wèn)題，從而可以通過(guò)具體的優(yōu)化算法確定出實(shí)際儲(chǔ)油罐的變位參數(shù)。通過(guò)比較附件2中相關(guān)樣點(diǎn)的計(jì)算值與實(shí)際值，可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。三、模型假設(shè)求解第一問(wèn)用到的假設(shè)：1.根據(jù)實(shí)際情況，儲(chǔ)油罐發(fā)生位變程度不應(yīng)很大；2.不需要考慮液面低于油位探針最下端和液面高于探針最上端的這兩種情況；3.罐容表只受到儲(chǔ)油罐發(fā)生變位的影響；4.油位探針固定在儲(chǔ)油罐上，跟隨儲(chǔ)油罐變位兒發(fā)生相應(yīng)變化；四、符號(hào)說(shuō)明：罐內(nèi)儲(chǔ)油量；：儲(chǔ)油罐只發(fā)生縱向變位時(shí)油位探針測(cè)得的油位高度；：儲(chǔ)油罐水平放置時(shí)油位探針測(cè)得的油位高度；：小橢圓型儲(chǔ)油罐長(zhǎng)；：橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)；：橢圓短半軸長(zhǎng)；：油面與左球冠的交界面面積；：油面與圓柱體的交界面面積；：油面與右球冠的交界面面積；：球冠與圓柱體交界面處圓面半徑；：球冠所處球體的半徑；：油面與左球冠的交界面對(duì)應(yīng)圓面半徑；：允許的最大值；：以為自變量的儲(chǔ)油量函數(shù)；：以為自變量的儲(chǔ)油量函數(shù)；：當(dāng)油罐液面低于水平線1時(shí)的油面面積；：當(dāng)油罐液面介于水平線1和水平線2之間時(shí)的油面面積；：當(dāng)油罐液面高于水平線2時(shí)的油面面積。五、模型建立與求解5.1小橢圓儲(chǔ)油罐油量計(jì)算模型（模型一）對(duì)傾斜放置的橢圓柱體，由于積分平面不規(guī)則，直接積分很難實(shí)現(xiàn)。為了便于求解，可以在儲(chǔ)油量不變情況下，將具有傾斜角的罐體等效轉(zhuǎn)換為水平放置的罐體[1]，從而使得求解儲(chǔ)油量的模型比較容易建立。對(duì)于這樣計(jì)算產(chǎn)生的誤差，可以利用附件1中的數(shù)據(jù)對(duì)求得的模型進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，使求解結(jié)果更為精確。設(shè)圖1中橢圓柱體以傾斜角放置時(shí)油位探針測(cè)得的油位高度為，圖2中水平放置時(shí)橢圓柱體內(nèi)部的油位高度為。由于油罐無(wú)論怎樣放置，在沒(méi)有進(jìn)出油的情況下，其內(nèi)部液體的體積都不會(huì)改變。以此建立關(guān)系式，可以求得和之間的關(guān)系，從而得到儲(chǔ)油量與的關(guān)系式。 圖1有傾斜角放置時(shí)的液面情況圖2水平放置時(shí)的液面情況我們先建立和的關(guān)系式，然后建立和之間的關(guān)系式（如圖3），通過(guò)表達(dá)式的代入，就可以得到與的關(guān)系式，即罐體變位后罐容表標(biāo)定值與油位高度之間的關(guān)系式。圖3h1和h2之間的關(guān)系圖5.1.1儲(chǔ)油量與h2之間關(guān)系如圖4所示，水平放置時(shí)的油罐內(nèi)液體情況如圖4所示：圖4儲(chǔ)油罐水平放置情況由知，其中為罐體的長(zhǎng)度，為已知量，要求得體積，先用微積分的方法求得其底面積，再乘上即可（求解過(guò)程見(jiàn)附錄1）?？梢缘玫饺缦卤磉_(dá)式【】：其中，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，橢圓柱體儲(chǔ)油罐長(zhǎng)。由求解結(jié)果可知，體積只與有關(guān)。代入已知值，可以求得橢圓柱體中儲(chǔ)油量與之間的關(guān)系如下：5.1.2油位高度和之間關(guān)系通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，建立和之間關(guān)系需要分為三種情況考慮（見(jiàn)圖5）：（1）液面在B點(diǎn)之下；（2）水平液面在B點(diǎn)之上、C點(diǎn)之下；（3）液面在C點(diǎn)之上。當(dāng)油面過(guò)高或過(guò)低時(shí)，油位探針都不能正常檢測(cè)到油位高度。在油面過(guò)低時(shí)，出油管也不能正常工作。因此，我們不考慮油面過(guò)高和和過(guò)低的情況。圖5液面的三種情況為了便于進(jìn)一步計(jì)算，我們先將橢圓柱體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，對(duì)和之間的關(guān)系進(jìn)行分析，求得兩者之間的關(guān)系。對(duì)于簡(jiǎn)化過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，我們將在后面利用附件1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型檢驗(yàn)和修正。（1）傾斜放置，其水平液面在B點(diǎn)之上、C點(diǎn)之下時(shí)（相對(duì)應(yīng)的范圍為，即）圖6液面在B點(diǎn)之上、C點(diǎn)之下時(shí)h1和h2之間的關(guān)系圖根據(jù)圖6，可建立如下關(guān)系：其中，，分別為梯形ABKJ和矩形ABIH的面積。求解可以得到和之間的關(guān)系為：（2）傾斜放置，其水平液面在B點(diǎn)之下時(shí)圖7液面在B點(diǎn)之下時(shí)h1和h2之間的關(guān)系圖根據(jù)圖7，可建立如下關(guān)系：其中，，分別為三角形AKJ和矩形ABIH的面積。求解可以得到和之間的關(guān)系為：，（3）傾斜放置，其水平液面在C點(diǎn)之上時(shí)圖8水平液面在C點(diǎn)之上時(shí)h1和h2之間的關(guān)系圖由圖8可得如下關(guān)系：其中，，分別為三角形DJK和矩形CDIH的面積。求解可以得到和之間的關(guān)系為：綜上所述，和之間的關(guān)系如下：代入得到如下結(jié)果：5.1.3罐容標(biāo)定值和油面高度之間關(guān)系橢圓柱體中儲(chǔ)油量與h2之間的關(guān)系為：，和之間的關(guān)系為：其中時(shí)，對(duì)應(yīng)的。綜合上面的兩個(gè)關(guān)系式，可以分析出體積只與有關(guān)，而只與有關(guān)。因此體積只與有關(guān)，它們之間的關(guān)系如下：（1）當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立可得到：（2）當(dāng)時(shí)（其中對(duì)應(yīng)的是時(shí)候的值），，聯(lián)立可得到：（3）當(dāng)時(shí)（其中對(duì)應(yīng)的是時(shí)候的值），，聯(lián)立可得到：（4）當(dāng)時(shí)，聯(lián)立可得到：我們利用MATLAB程序（附錄2），將上述模型中和的變化關(guān)系與附件1中的“傾斜變位進(jìn)油”表中的實(shí)際數(shù)據(jù)作比較，作圖得到如下結(jié)果：圖9模型計(jì)算的油位高度與儲(chǔ)油量和附件1中傾斜變位進(jìn)油時(shí)實(shí)際數(shù)據(jù)的對(duì)比通過(guò)圖9，很容易發(fā)現(xiàn)計(jì)算值與實(shí)際值之間存在的誤差具有很明顯的規(guī)律性。通過(guò)MATLAB對(duì)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合(附錄2)，從而得到修正值的表達(dá)式（即補(bǔ)償公式）。擬合圖形如圖10。圖10對(duì)小橢圓儲(chǔ)油罐油量計(jì)算模型計(jì)算誤差的擬合情況根據(jù)擬合結(jié)果（附錄3），得到誤差補(bǔ)償公式：利用誤差補(bǔ)償公式對(duì)模型進(jìn)行修正，則修正后的儲(chǔ)油量表達(dá)式為。取附件1“傾斜變位進(jìn)油”中的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)（MATLAB程序見(jiàn)附錄2），將計(jì)算結(jié)果與附件1中給定數(shù)據(jù)繪制在同一個(gè)坐標(biāo)系下，如圖11。圖11誤差補(bǔ)償后預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的對(duì)比情況通過(guò)圖11可以看到，對(duì)模型進(jìn)行修正之后，模型計(jì)算值和實(shí)際值的吻合度非常高。因此，可以用修正后的表達(dá)式對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)編寫(xiě)MATLAB程序（見(jiàn)附錄2）給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值如表1。表1罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值h100.00110.00120.00130.00140.00150.00160.00170.00180.00190.00V522.17563.36604.69646.17687.82142.11165.76190.50216.26242.99h200.00210.00220.00230.00240.00250.00260.00270.00280.00290.00V270.63299.13328.45358.55389.40420.96453.19486.08519.58553.67h300.00310.00320.00330.00340.00350.00360.00370.00380.00390.00V588.33623.54659.26695.48732.18769.34806.93844.94883.36922.15h400.00410.00420.00430.00440.00450.00460.00470.00480.00490.00V961.311000.811040.651080.801121.261161.991203.001244.271285.771327.51h500.00510.00520.00530.00540.00550.00560.00570.00580.00590.00V1369.451411.601453.931496.441539.111581.921624.871667.941711.121754.39h600.00610.00620.00630.00640.00650.00660.00670.00680.00690.00V1797.751841.191884.681928.221971.792015.392058.952102.562146.152189.72h700.00710.00720.00730.00740.00750.00760.00770.00780.00790.00V2233.262276.742320.162363.502406.762449.922492.972535.902578.682621.32h800.00810.00820.00830.00840.00850.00860.00870.00880.00890.00V2663.802706.102748.212790.122831.822873.282914.502955.462996.153036.55h900.00910.00920.00930.00940.00950.00960.00970.00980.00990.00V3076.653116.433155.873194.963233.693272.033309.973347.483384.563421.17h1000.001010.001020.001030.001040.001050.001060.001070.001080.001090.00V3457.313492.943528.053562.613596.603629.993662.763694.873726.313757.025.2實(shí)際儲(chǔ)油罐油量計(jì)算模型（模型二）5.2.1(1)符號(hào)及標(biāo)號(hào)說(shuō)明圖12實(shí)際儲(chǔ)油罐幾何分析示意圖（無(wú)橫向偏轉(zhuǎn)）圖12中，A、B及D點(diǎn)在兩側(cè)球冠與中間圓柱體中軸切面的交界面上；C點(diǎn)在探油針與罐底接觸處；記過(guò)B點(diǎn)的液面為水平面1，過(guò)A點(diǎn)的液面為水平面2；探油針與水平面1的交點(diǎn)為B1，探油針與水平面2的交點(diǎn)為A1；O為左側(cè)球冠球心，平行液面與探油針交于O1點(diǎn)；OO2 垂直于探油針，垂足為O2；垂直于液面，垂足為B2 ；AD與液面交點(diǎn)為；圓柱體豎直中軸面與液面所交線段左端點(diǎn)為；為便于描述，記左球冠與圓柱體交界面為圓面1，圓心為；右球冠與圓柱體交界面為圓面2，圓心為；油面與圓面1的交界線段為，長(zhǎng)度為；油面與圓面2的交界線段為，長(zhǎng)度為；與B點(diǎn)的距離為。（2）相關(guān)數(shù)據(jù)DE=1，CD=2，CB=6，R=1.5。由勾股定理得：，可計(jì)算出球冠所處球體的半徑：r=1.625。（3）油位高度轉(zhuǎn)換油罐橫向偏轉(zhuǎn)對(duì)探油針測(cè)量油位高度的影響如圖13所示。其中，是考慮縱向傾斜及橫向偏轉(zhuǎn)后的油位高度，是無(wú)橫向偏轉(zhuǎn)角時(shí)的油位高度值。圖13油位高度轉(zhuǎn)換示意圖根據(jù)三角關(guān)系可得與的轉(zhuǎn)換關(guān)系：，進(jìn)而有。5.2.2下面以油罐內(nèi)油面面積為被積函數(shù)，沿液面垂線方向積分，得到罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)之間的關(guān)系。根據(jù)圖14，當(dāng)油位高度取不同值時(shí)，油面面積的計(jì)算方法有所區(qū)別，應(yīng)將油罐分成3個(gè)不同區(qū)段分別計(jì)算。（一）當(dāng)油罐液面低于水平線1，即時(shí)（1）S1的計(jì)算圖14油面與左球冠的交界面（陰影部分面積即為所求S1）首先，計(jì)算S1所處圓面半徑（）。由圖可得如下關(guān)系式：可推導(dǎo)得。其次，計(jì)算（），由以下關(guān)系式：推導(dǎo)出最后，通過(guò)積分可得到S1：（2）S2的計(jì)算根據(jù)幾何學(xué)相關(guān)知識(shí)，油平面與無(wú)限延長(zhǎng)后的圓柱體的截面是橢圓，本題中，該橢圓長(zhǎng)半軸，短半軸，油面與圓面1的相交線，及液面低于水平線1時(shí)的S2情況如下圖。 圖15油面與圓面1的相交示意圖 圖16時(shí)的S2示意圖已知，，，故對(duì)于點(diǎn)，其中，由，有。通過(guò)積分可得到S2：綜合（1）（2）可得，當(dāng)油罐液面低于水平線1時(shí)的油面面積： （）進(jìn)而通過(guò)積分可以算出油高（通過(guò)油位高度轉(zhuǎn)換公式處理后）時(shí)的儲(chǔ)油量： ()需要注意的是當(dāng)時(shí)，儲(chǔ)油量。（二）當(dāng)油罐液面介于水平線1和水平線2之間，即時(shí)（1）的計(jì)算由前述橢圓、線段及所圍成，如圖17所示。圖17時(shí)的示意圖進(jìn)一步考慮，當(dāng)油位高度取不同值時(shí)，與的相對(duì)位置不盡相同。當(dāng)時(shí)，油面與圓面1的交界線過(guò)圓心為，當(dāng)時(shí)，油面與圓面2的交界線過(guò)圓心為。由對(duì)稱(chēng)性可知，僅當(dāng)時(shí)，線段、在Y軸兩側(cè)。(a)當(dāng)時(shí)，(b)當(dāng)時(shí)，(c)當(dāng)時(shí)，對(duì)于上述三種情況，均有，，對(duì)于點(diǎn)，；記右側(cè)與B點(diǎn)的距離為，則，對(duì)于點(diǎn)，。通過(guò)積分可以得到：（2）的計(jì)算根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，的面積求解與類(lèi)似，且有如下關(guān)系：對(duì)于給定的，的面積等同于將中的替換為時(shí)的面積。為了方便描述，記求解時(shí)涉及到的與求解時(shí)相對(duì)應(yīng)的變量符號(hào)如下：則對(duì)于有：綜合上述結(jié)果，當(dāng)時(shí)，油面面積，積分可得： ()（三）當(dāng)油罐液面高于水平線2，即時(shí)由于對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)時(shí)，對(duì)油罐的積分運(yùn)算與時(shí)類(lèi)似，從到的積分對(duì)應(yīng)于，從到的積分：（）從上述分析可以看出，直接求取罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)之間的關(guān)系表達(dá)式很困難，我們針對(duì)本題編寫(xiě)儲(chǔ)油量積分求解程序（見(jiàn)附錄4），程序包含油面高度的、縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度的輸入接口，程序調(diào)用形式如下：doubleVh(doubleh,doublealpha,doublebeta)給定、即可實(shí)時(shí)求解出油面高度為時(shí)的儲(chǔ)油量值。5.2.3本問(wèn)屬于參數(shù)識(shí)別問(wèn)題，最小二乘法是解決此類(lèi)問(wèn)題的理想算法[1]。設(shè)本題中實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角度準(zhǔn)確值為和橫向偏轉(zhuǎn)角度準(zhǔn)確值為，則儲(chǔ)油罐儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系可以用函數(shù)描述，對(duì)于任意一組有意義的參數(shù)，程序計(jì)算值與實(shí)際測(cè)量值的總偏差記為：式中，指在某一組參數(shù)下，參與測(cè)試的第i個(gè)數(shù)據(jù)輸入。顯然使得計(jì)算值和測(cè)量值的總偏差最小的參數(shù)就是最接近實(shí)際值的參數(shù)，于是問(wèn)題變成下面所示的最優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于該優(yōu)化問(wèn)題，我們編寫(xiě)了遍歷搜索程序，通過(guò)調(diào)用前面編寫(xiě)的儲(chǔ)油量求解程序，可以很方便的對(duì)的取值空間進(jìn)行暴力搜索。為了縮短搜索時(shí)間，我們進(jìn)行了多次搜索，逐次減小收縮區(qū)間，同時(shí)加大搜索密度，最后一次搜索時(shí)，步長(zhǎng)取0.0001，，步長(zhǎng)取0.005，得到，即實(shí)際油罐縱向傾斜角度理想逼近值為，橫向偏轉(zhuǎn)角度理想逼近值為0。在本問(wèn)中，我們發(fā)現(xiàn)：縱向傾斜角度的變化對(duì)儲(chǔ)油量的影響較橫向偏轉(zhuǎn)角度的變化對(duì)儲(chǔ)油量的影響顯著。5.2.4模（1）模型檢驗(yàn)調(diào)用儲(chǔ)油量積分求解程序doubleVh(doubleh,doublealpha,doublebeta)，取alpha=4.520，beta=0，分別計(jì)算流水號(hào)為201~502這302個(gè)油面高度值下的儲(chǔ)油量，并將計(jì)算值與附件中給出值繪制在同一個(gè)坐標(biāo)系中，如下圖。圖18模型二下實(shí)際儲(chǔ)油罐儲(chǔ)油量計(jì)算值與附件2中數(shù)據(jù)比對(duì)（流水號(hào)201~502）從圖中可以看出，計(jì)算值與附件中的給定值能很好的吻合，初步說(shuō)明了模型的正確性與合理性。（2）誤差分析由球缺體積計(jì)算公式、圓錐體積計(jì)算公式以及圓柱體體積計(jì)算公式可以求出題目中所指實(shí)際儲(chǔ)油罐的滿裝容量為61.71916立方米。將前面計(jì)算得到的儲(chǔ)油量計(jì)算值與附件2中給定數(shù)據(jù)作比較，得到計(jì)算誤差序列Drt。利用MATLAB可以很方便的得到最大絕對(duì)誤差0.804723及平均絕對(duì)誤差0.396377，結(jié)合油罐總?cè)莘e，有最大相對(duì)誤差1.3%及平均相對(duì)誤差0.6%。從相對(duì)誤差來(lái)看，模型二下儲(chǔ)油量的計(jì)算值具有較好的準(zhǔn)確性，但準(zhǔn)確性不夠高。（3）誤差補(bǔ)償為了進(jìn)一步提高模型二的準(zhǔn)確性，我們考慮通過(guò)誤差補(bǔ)償?shù)姆绞綄?duì)模型二中表示的表達(dá)式進(jìn)行修正。將誤差序列Drt繪制在坐標(biāo)系下，得到誤差散點(diǎn)圖（見(jiàn)圖19中離散點(diǎn)）。使用多項(xiàng)式擬合工具Cftool進(jìn)行4次擬合，擬合效果如下圖（擬合結(jié)果詳見(jiàn)附錄4）。圖19模型二誤差補(bǔ)償多項(xiàng)式擬合情況誤差補(bǔ)償公式，在模型二的基礎(chǔ)加上誤差補(bǔ)償公式，及得到誤差修正后的模型二。利用誤差修正后的模型二計(jì)算附件2中“一次性補(bǔ)充進(jìn)油”（流水號(hào)為503~803）后儲(chǔ)油量值，將計(jì)算值與附件中給出值繪制在同一個(gè)坐標(biāo)系中，如下圖。圖20模型二下實(shí)際儲(chǔ)油罐儲(chǔ)油量計(jì)算值與附件2中數(shù)據(jù)比對(duì)（流水號(hào)503~803）從圖中可以看出，修正后的模型計(jì)算值與附件中給定數(shù)據(jù)值肌膚完全吻合。從相對(duì)誤差來(lái)看，修正后的模型計(jì)算值與附件中給定數(shù)據(jù)的最大相對(duì)誤差為0.071%，平均相對(duì)誤差為0.015%，明顯優(yōu)于修正前的模型，說(shuō)明修正后的模型二具有更好的正確定與可靠性。利用修正后的模型求解出油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值如下表。表2罐容表標(biāo)定值h40050060070080090010001100V4929.2836663.9788775.96611028.48713407.49115898.39718486.19421155.514h12001300140015001600170018001900V23890.67926675.75129494.5632330.74435167.77237988.98240777.60443516.805h20002100220023002400250026002700V46189.72948779.55251269.55553643.22955884.42357977.58659908.17561663.468下圖是罐容表標(biāo)定值與附件數(shù)據(jù)對(duì)比情況圖，該圖中計(jì)算得到的標(biāo)定值與附件數(shù)據(jù)高度吻合，也反映了誤差修正后的模型的正確性與合理性。圖21罐容表標(biāo)定值與附件數(shù)據(jù)對(duì)比六、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)本文針對(duì)小橢圓型儲(chǔ)油罐和實(shí)際儲(chǔ)油罐的不同問(wèn)題分別建立了罐容表的數(shù)學(xué)模型。在合理的假設(shè)下，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了較為全面的分析求解。模型的主要優(yōu)點(diǎn)是：一、在處理小橢圓型儲(chǔ)油罐問(wèn)題中，我們避免了直接求解變位情況下的橢圓柱體儲(chǔ)油量，而是利用罐體變位前后儲(chǔ)油體積不變這一關(guān)系，對(duì)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，將求解罐體傾斜時(shí)的儲(chǔ)油量轉(zhuǎn)化為求解罐體水平放置時(shí)的儲(chǔ)油量，并在簡(jiǎn)化條件下，很容易求得罐體傾斜時(shí)油位探針測(cè)得的油位高度和罐體水平放置時(shí)的油位高度的關(guān)系。二、在簡(jiǎn)化條件下得到罐容表（即儲(chǔ)油量）的數(shù)學(xué)模型后，我們根據(jù)附件1、附件2中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別對(duì)模型進(jìn)行誤差修正和檢驗(yàn)，大大地減小了誤差，使得模型更為合理。同時(shí)模型在如下幾方面也存在不足，需要進(jìn)一步改進(jìn)：一、在求解第一問(wèn)中橢圓柱體儲(chǔ)油罐里儲(chǔ)油量的模型時(shí)，我們根據(jù)實(shí)際情況，假設(shè)不需要考慮液面低于油位探針最下端和液面高于探針最上端這兩種情況。但是這樣處理，使得我們?cè)谝好孑^高和液面較低時(shí)無(wú)法預(yù)測(cè)相關(guān)數(shù)據(jù)。改進(jìn)時(shí)，我們可以用附件中的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，將液面較低或較高時(shí)的儲(chǔ)油量和油面高度的關(guān)系，以及和之間的關(guān)系表示出來(lái)。參考文獻(xiàn)[1]田鐵軍，《傾斜臥室罐直圓筒部分的容積計(jì)算》，現(xiàn)代計(jì)量測(cè)試，第5期：P32-P36，1999年。[2]王聯(lián)群，李莉，《石油油罐體積計(jì)算方法的探討》，吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào)，第6卷第4期：P45-P51，1989年12月。[6]陳杰，《Matlab寶典》，北京：電子工業(yè)出版社，2010年。[8] 譚浩強(qiáng)，《C程序設(shè)計(jì)》，北京：清華大學(xué)出版社，2008年。[]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》，北京：高等教育出版社，2008年。附錄附錄1圖22又由，得：附錄2模型一的求解程序H=[0.41129,0.42345,0.43833,0.45054,0.4639,0.47774,0.48937,0.50256,0.51469,0.52684,0.53888,0.55196,0.5644,0.57656,0.58874,0.59956,0.61162,0.62344,0.63558,0.64628,0.65859,0.67022,0.68063,0.69303,0.70467,0.71645,0.72766,0.73939,0.7509,0.76155,0.77343,0.78539,0.79604,0.80827,0.8208,0.8328,0.84447,0.85629,0.8676,0.88006,0.89292,0.90434,0.91734,0.9299,0.94142,0.9546,0.96809,0.98014,0.99241,1.00634,1.01907,1.03424,1.03536;]V=[];n=size(H,2);fori=1:nh1=H(i);ifh1<=0.1469v1=1.3083*asin(sqrt(2.8471*(h1+0.0287)^2*(1.2-2.8471*(h1+0.0287)^2))/0.6);endifh1>=0.1469&&h1<=0.6591v1=1.3083*asin(sqrt((h1-0.0591)*(1.2591-h1))/0.6)+3.6342*(h1-0.6591)*sqrt((h1-0.0591)*(1.2591-h1))endifh1<=1.1713&&h1>=0.659v1=4.1101-1.3083*asin(sqrt((h1-0.0591)*(1.2591-h1))/0.6)+3.6342*(h1-0.6591)*sqrt((h1-0.0591)*(1.2591-h1))endifh1>=1.1713v1=4.1101-1.3083*asin(sqrt(0.0146*(18.7909-13.9507*h1)^2*(1.2-0.0146*(18.7909-13.9507*h1)^2))/0.6)+...3.6342*(0.6-0.0146*(18.7909-13.9507*h1)^2)*sqrt(0.0146*(18.7909-13.9507*h1)^2*(1.2-0.0146*(18.7909-13.9507*h1)^2))endV=[V,v1];end附錄3模型一誤差補(bǔ)償多項(xiàng)式擬合LinearmodelPoly3:f(x)=p1*x^3+p2*x^2+p3*x+p4Coefficients(with95%confidencebounds):p1=-0.3225(-0.4505,-0.1945)p2=1.094(0.8142,1.374)p3=-1.083(-1.28,-0.8855)p4=0.2419(0.1971,0.2866)Goodnessoffit:SSE:0.0002603R-square:0.9707AdjustedR-square:0.9689RMSE:0.002305附錄4模型二儲(chǔ)油量積分求解程序doubleVh(doubleh,doublealpha,doublebeta){ intBC=6,CD=2,i,k; doublebc=0.0001,pi=3.1415926,R=1.5; doublea,b,hflag,h1,V,lb; doubleOB2,OB2p,Rp,Rpp,Hp,Hpp,S1,S2,S3,Sq1,Sq2,B3D,Y112,X11,Y212,X21; alpha=alpha/180*pi; beta=beta/180*pi; a=R/sin(alpha); b=R; h1=R+(h-R)*cos(beta); k=0; V=0.0; hflag=-1*CD*tan(alpha)+bc*cos(alpha); while(hflag<=h1) { if(hflag<=BC*tan(alpha)) { OB2=(1.5-hflag)*cos(alpha)-1.375*sin(alpha); Rp=sqrt(2.640625-OB2*OB2); Hp=2/cos(alpha)-(1.375/cos(alpha)+(1.5-1.375*tan(alpha)-hflag)*sin(alpha)); S1=pi/2*Rp*Rp-Hp*sqrt(Rp*Rp-Hp*Hp)-Rp*Rp*asin(Hp/Rp); B3D=CD*tan(alpha)+hflag; Y112=R*R-(R-B3D)*(R-B3D); X11=a/b*sqrt(b*b-Y112); S2=pi/2*a*b-b/a*X11*sqrt(a*a-X11*X11)-a*b*asin(X11/a); Sq1=S1+S2; V=V+Sq1*cos(alpha)*bc; } if(hflag>BC*tan(alpha)&&hflag<=2*R-CD*tan(alpha)) { OB2=(1.5-hflag)*cos(alpha)-1.375*sin(alpha); Rp=sqrt(2.640625-OB2*OB2); Hp=2/cos(alpha)-(1.375/cos(alpha)+(1.5-1.375*tan(alpha)-hflag)*sin