導(dǎo)數(shù)與微分21導(dǎo)數(shù)的概念22函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則23復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則24隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)25初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)﹡26導(dǎo)

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.5初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)﹡2.6導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)定義2.7高階導(dǎo)數(shù)2.8函數(shù)的微分湖南教育出版社下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義例1：求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)方程取從時(shí)刻到這段時(shí)間間隔，時(shí)間的增量為，物體運(yùn)動(dòng)路程的增量為瞬時(shí)速度v，即可定義首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念例2：求曲線切線的斜率.如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線.設(shè)曲線C所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為其中是割線MN的傾斜角.首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有增量Dx〔點(diǎn)x0+Dx仍在該鄰域內(nèi)〕時(shí)，函數(shù)有相應(yīng)的增量如果當(dāng)

時(shí)，兩個(gè)增量之比的極限存在，那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作：首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念即此時(shí)，也稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù)，或?qū)?shù)存在。如果上述極限不存在，那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，如果極限為無(wú)窮大，這時(shí)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不導(dǎo)，但為了方便，也稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是無(wú)窮大。首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念注意

上述導(dǎo)數(shù)的定義式還有以下幾種常用的形式：可以看到，在導(dǎo)數(shù)的定義中，比值首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念例3：求函數(shù)f(x)=x2在點(diǎn)

x=x0處的導(dǎo)數(shù).解：給自變量x在x=1處以增量△x,對(duì)應(yīng)函數(shù)的增量是兩個(gè)增量之比是對(duì)上式兩端取極限，得首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念定義2如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)的每一點(diǎn)x都有導(dǎo)數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),這時(shí),對(duì)于區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)x,都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值f’(x)與它對(duì)應(yīng),因此f’(x)是x的函數(shù),稱為x的導(dǎo)函數(shù),記作即首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例4設(shè)

,求：解于是2.1導(dǎo)數(shù)的概念首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念用定義求導(dǎo)數(shù)，可分為以下三個(gè)步驟：〔1〕求增量給自變量x以增量△x，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量〔2〕算比值計(jì)算出兩個(gè)增量的比值〔3〕取極限對(duì)上式兩端取極限首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例5

求函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取極限即2.1導(dǎo)數(shù)的概念解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例6求函數(shù)f(x)=x3的導(dǎo)數(shù).解〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取極限2.1導(dǎo)數(shù)的概念首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念例7

求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù).〔2〕算比值〔3〕取極限即首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例8求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取極限即特別地，當(dāng)a=e時(shí)，lne=1,那么2.1導(dǎo)數(shù)的概念首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例9

2.1導(dǎo)數(shù)的概念令那么即解〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取極限首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.1導(dǎo)數(shù)的概念例10求曲線在點(diǎn)〔2，8〕處得切線方程和法線方程。解在點(diǎn)〔2，8〕處的切線斜率為所以，所求切線方程為所求法線斜率為于是所求法線方程為首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)定理3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么它在點(diǎn)x0處一定連續(xù).注意上述定理的逆定理是不成立的.例如，函數(shù)在x=0連續(xù)但不可導(dǎo)，因?yàn)橛谑怯?.1導(dǎo)數(shù)的概念首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.2函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法那么1.函數(shù)和、差的求導(dǎo)法那么2.函數(shù)積的求導(dǎo)法那么3.函數(shù)商的求導(dǎo)法那么首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.2函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法那么1.函數(shù)和、差的求導(dǎo)法那么定理1如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點(diǎn)x處都可導(dǎo)，那么函數(shù)f(x)=u(x)+v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且由此可得函數(shù)和差的求導(dǎo)法那么：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和〔差〕的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和〔差〕.例1求的導(dǎo)數(shù).解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.2函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法那么例2設(shè)，求解定理2如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點(diǎn)x處都可導(dǎo)，那么函數(shù)f(x)=u(x)v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且由此可得函數(shù)積的求導(dǎo)法那么：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù).2.函數(shù)積的求導(dǎo)法那么首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.2函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法那么例3求的導(dǎo)數(shù).解例4求的導(dǎo)數(shù).解例5求的導(dǎo)數(shù).解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)定理32.2函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法那么如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點(diǎn)x處都可導(dǎo)，且那么函數(shù)f(x)=u(x)/v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且由此可得函數(shù)商的求導(dǎo)法那么：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的乘積減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的乘積，再除以分母的平方.3.函數(shù)商的求導(dǎo)法那么首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.2函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法那么例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.2函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法那么例8求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即

解類似地，可以求得余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么定理如果函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為由此可得函數(shù)商的求導(dǎo)法那么：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么也稱為鏈?zhǔn)椒敲矗梢酝茝V到多個(gè)變量的的情形.首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么例5求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么例7

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例8證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：證首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們把由方程所確定的函數(shù)叫作隱函數(shù).例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解自變量x和函數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系用明顯的表達(dá)式給出的函數(shù),叫做顯函數(shù).利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么，方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù),得在方程中，將y看作x的函數(shù)，那么是x的復(fù)合函數(shù).首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得例3求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解所求切線斜率為方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)將代入上式，得于是所求切線方程為即例4求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得先取對(duì)數(shù),再利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求導(dǎo)的方法叫做對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例5的導(dǎo)數(shù).解例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例7求函數(shù)2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例8求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解類似地，可求得2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.5初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)的根本公式2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.5初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)的根本公式首頁(yè)2.5初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例1設(shè)，求解例2設(shè)，求解2.5初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.5初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3設(shè)，求解例4設(shè)，求解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)﹡2.6導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義1.邊際分析2.函數(shù)的彈性首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)﹡2.6導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義1.邊際分析一般地,設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，那么導(dǎo)數(shù)叫作邊際函數(shù).本錢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作邊際本錢，收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作邊際收入，利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作邊際利潤(rùn).“平均〞“邊際〞首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例1某產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位的總本錢C為x的函數(shù)求:〔1〕生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時(shí)的總本錢和平均單位本錢〔2〕生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時(shí)的邊際本錢解〔1〕生產(chǎn)1000件產(chǎn)品的總本錢為每件產(chǎn)品的平均本錢為〔2〕﹡2.6導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)﹡2.6導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義例2某企業(yè)每月生產(chǎn)的總本錢C〔千元〕是產(chǎn)量x〔噸〕的函數(shù)如果每噸產(chǎn)品銷售價(jià)格2萬(wàn)元，求每月生產(chǎn)8噸、10噸、15噸、20噸時(shí)的邊際利潤(rùn).

解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.函數(shù)的彈性定義設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)在x處的增量為，自變量的增量為，那么比值分別稱為在點(diǎn)x處函數(shù)y的相對(duì)改變量及自變量x的相對(duì)改變量.當(dāng)時(shí)，兩個(gè)相對(duì)改變量之比的極限﹡2.6導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)﹡2.6導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義表示在點(diǎn)x處函數(shù)y的相對(duì)變化率,稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的彈性,記作經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把需求量對(duì)價(jià)格的相對(duì)變化率稱為需求的價(jià)格彈性.例3某部門對(duì)市場(chǎng)上某種商品的需求量Q與價(jià)格P之間的關(guān)系進(jìn)行研究后，建立了下面的函數(shù)關(guān)系試求在、、2〔元〕的價(jià)格水平下，需求的價(jià)格彈性.首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)﹡2.6導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)﹡2.6導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義例4某商品的需求函數(shù)為〔1〕求需求的價(jià)格彈性.〔2〕討論當(dāng)價(jià)格為多少時(shí)，需求是單位彈性、低彈性和有彈性的？解〔1〕〔2〕首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.7高階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然可導(dǎo)，那么我們把的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作即一般地，的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作的階導(dǎo)數(shù)，分別記作首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例1求函數(shù)(a,b,c,為常數(shù))二階導(dǎo)數(shù).解對(duì)依次求導(dǎo)，得例2設(shè)，求解2.7高階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例3證驗(yàn)證函數(shù)〔C1,C2為常數(shù)〕的二階導(dǎo)數(shù)滿足關(guān)系式例4求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解2.7高階導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例5求的階導(dǎo)數(shù).解一般地，可得例6解求的階導(dǎo)數(shù).2.7高階導(dǎo)數(shù)一般地，可得首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例7求的階導(dǎo)數(shù).解例8求(為任意常數(shù))的階導(dǎo)數(shù).解一般地，可得2.7高階導(dǎo)數(shù)一般地，可得首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例9物體作直線運(yùn)動(dòng)的方程是(都是常數(shù)),求物體運(yùn)動(dòng)的加速度.解2.7高階導(dǎo)數(shù)速度加速度首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.7高階導(dǎo)數(shù)例10物體運(yùn)動(dòng)的方程為，其中都是常數(shù)。求物體運(yùn)動(dòng)的加速度.解首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.8函數(shù)的微分1.微分的定義2.微分的幾何意義3.微分公式與微分運(yùn)算法那么4.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.8函數(shù)的微分1.微分的定義定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么叫作在點(diǎn)處的微分，記作此時(shí)，也稱函數(shù)在點(diǎn)處可微.例1求函數(shù)當(dāng)，時(shí)的增量及微分.解即微商首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)2.微分的幾何意義的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于的增量.2.8函數(shù)的微分

PTNM〕函數(shù)在點(diǎn)的微分就是曲線在點(diǎn)處的切線首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)3.微分公式與微分運(yùn)算法那么

I.微分的根本公式2.8函數(shù)的微分首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)II．函數(shù)的和、差、積、商的微分法那么2.8函數(shù)的微分其中u，v都是x的