導數(shù)與微分21導數(shù)的概念22函數(shù)的和差積商的求導法則23復合函數(shù)的求導法則24隱函數(shù)的導數(shù)25初等函數(shù)的導數(shù)﹡26導

第二章導數(shù)與微分2.1導數(shù)的概念2.2函數(shù)的和、差、積、商的求導法那么2.3復合函數(shù)的求導法那么2.4隱函數(shù)的導數(shù)2.5初等函數(shù)的導數(shù)﹡2.6導數(shù)的經(jīng)濟定義2.7高階導數(shù)2.8函數(shù)的微分湖南教育出版社下頁2.1導數(shù)的概念1.導數(shù)的定義2.導數(shù)的幾何意義3.可導與連續(xù)的關系首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念1.導數(shù)的定義例1：求變速直線運動的瞬時速度.設物體作變速直線運動，它的運動方程取從時刻到這段時間間隔，時間的增量為，物體運動路程的增量為瞬時速度v，即可定義首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念例2：求曲線切線的斜率.如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.設曲線C所對應的函數(shù)為其中是割線MN的傾斜角.首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念定義1設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在點x0處有增量Dx〔點x0+Dx仍在該鄰域內〕時，函數(shù)有相應的增量如果當

時，兩個增量之比的極限存在，那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限值為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)，記作：首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念即此時，也稱函數(shù)y=f(x)在點x0處具有導數(shù)，或導數(shù)存在。如果上述極限不存在，那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導，如果極限為無窮大，這時函數(shù)y=f(x)在點x0處不導，但為了方便，也稱函數(shù)y=f(x)在點的導數(shù)是無窮大。首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念注意

上述導數(shù)的定義式還有以下幾種常用的形式：可以看到，在導數(shù)的定義中，比值首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念例3：求函數(shù)f(x)=x2在點

x=x0處的導數(shù).解：給自變量x在x=1處以增量△x,對應函數(shù)的增量是兩個增量之比是對上式兩端取極限，得首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念定義2如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內的每一點x都有導數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內可導,這時,對于區(qū)間I內每一點x,都有一個導數(shù)值f’(x)與它對應,因此f’(x)是x的函數(shù),稱為x的導函數(shù),記作即首頁上頁下頁例4設

,求：解于是2.1導數(shù)的概念首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念用定義求導數(shù)，可分為以下三個步驟：〔1〕求增量給自變量x以增量△x，求出對應的函數(shù)增量〔2〕算比值計算出兩個增量的比值〔3〕取極限對上式兩端取極限首頁上頁下頁例5

求函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))的導數(shù).〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取極限即2.1導數(shù)的概念解首頁上頁下頁例6求函數(shù)f(x)=x3的導數(shù).解〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取極限2.1導數(shù)的概念首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念例7

求函數(shù)y=sinx的導數(shù).〔2〕算比值〔3〕取極限即首頁上頁下頁例8求函數(shù)的導數(shù).解〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取極限即特別地，當a=e時，lne=1,那么2.1導數(shù)的概念首頁上頁下頁例9

2.1導數(shù)的概念令那么即解〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取極限首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念2.導數(shù)的幾何意義首頁上頁下頁2.1導數(shù)的概念例10求曲線在點〔2，8〕處得切線方程和法線方程。解在點〔2，8〕處的切線斜率為所以，所求切線方程為所求法線斜率為于是所求法線方程為首頁上頁下頁定理3.可導與連續(xù)的關系如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，那么它在點x0處一定連續(xù).注意上述定理的逆定理是不成立的.例如，函數(shù)在x=0連續(xù)但不可導，因為于是有2.1導數(shù)的概念首頁上頁下頁2.2函數(shù)的和、差、商的求導法那么1.函數(shù)和、差的求導法那么2.函數(shù)積的求導法那么3.函數(shù)商的求導法那么首頁上頁下頁2.2函數(shù)的和、差、商的求導法那么1.函數(shù)和、差的求導法那么定理1如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點x處都可導，那么函數(shù)f(x)=u(x)+v(x)在點x處可導，且由此可得函數(shù)和差的求導法那么：兩個可導函數(shù)的和〔差〕的導數(shù)等于這兩個函數(shù)導數(shù)的和〔差〕.例1求的導數(shù).解首頁上頁下頁2.2函數(shù)的和、差、商的求導法那么例2設，求解定理2如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點x處都可導，那么函數(shù)f(x)=u(x)v(x)在點x處可導，且由此可得函數(shù)積的求導法那么：兩個可導函數(shù)積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導數(shù).2.函數(shù)積的求導法那么首頁上頁下頁2.2函數(shù)的和、差、商的求導法那么例3求的導數(shù).解例4求的導數(shù).解例5求的導數(shù).解首頁上頁下頁定理32.2函數(shù)的和、差、商的求導法那么如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點x處都可導，且那么函數(shù)f(x)=u(x)/v(x)在點x處可導，且由此可得函數(shù)商的求導法那么：兩個可導函數(shù)的商的導數(shù)等于分子的導數(shù)與分母的乘積減去分母的導數(shù)與分子的乘積，再除以分母的平方.3.函數(shù)商的求導法那么首頁上頁下頁2.2函數(shù)的和、差、商的求導法那么例6求函數(shù)的導數(shù).例7求函數(shù)的導數(shù).解首頁上頁下頁2.2函數(shù)的和、差、商的求導法那么例8求函數(shù)的導數(shù).即

解類似地，可以求得余割函數(shù)的導數(shù)公式首頁上頁下頁2.3復合函數(shù)的求導法那么定理如果函數(shù)在點x處可導，而函數(shù)在對應點處可導，那么復合函數(shù)在點x處可導，且其導數(shù)為由此可得函數(shù)商的求導法那么：兩個可導函數(shù)的復合函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘上中間變量對自變量的導數(shù).復合函數(shù)的求導法那么也稱為鏈式法那么，它可以推廣到多個變量的的情形.首頁上頁下頁2.3復合函數(shù)的求導法那么例1求函數(shù)的導數(shù).解例2求函數(shù)的導數(shù).解首頁上頁下頁2.3復合函數(shù)的求導法那么例3求函數(shù)的導數(shù).解例4求函數(shù)的導數(shù).解首頁上頁下頁2.3復合函數(shù)的求導法那么例5求函數(shù)的導數(shù).解例6求函數(shù)的導數(shù).解首頁上頁下頁2.3復合函數(shù)的求導法那么例7

求函數(shù)的導數(shù).解例8證明冪函數(shù)的導數(shù)公式：證首頁上頁下頁2.4隱函數(shù)的導數(shù)我們把由方程所確定的函數(shù)叫作隱函數(shù).例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)解自變量x和函數(shù)y之間的函數(shù)關系用明顯的表達式給出的函數(shù),叫做顯函數(shù).利用復合函數(shù)的求導法那么，方程兩端同時對x求導數(shù),得在方程中，將y看作x的函數(shù)，那么是x的復合函數(shù).首頁上頁下頁2.4隱函數(shù)的導數(shù)例2求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)解方程兩端對x求導數(shù)，得例3求橢圓在點處的切線方程.解所求切線斜率為方程兩邊對x求導,得首頁上頁下頁2.4隱函數(shù)的導數(shù)將代入上式，得于是所求切線方程為即例4求冪指函數(shù)的導數(shù).解

兩邊取對數(shù)，得兩邊對x求導，得先取對數(shù),再利用隱函數(shù)的求導法求導的方法叫做對數(shù)求導法.對數(shù)求導法首頁上頁下頁2.4隱函數(shù)的導數(shù)例5的導數(shù).解例6求函數(shù)的導數(shù).解兩邊取對數(shù)，得兩邊對x求導數(shù)，得首頁上頁下頁例7求函數(shù)2.4隱函數(shù)的導數(shù)的導數(shù).解兩邊對x求導數(shù)，得首頁上頁下頁例8求函數(shù)的導數(shù).解類似地，可求得2.4隱函數(shù)的導數(shù)兩邊對x求導數(shù)，得首頁上頁下頁2.5初等函數(shù)的導數(shù)1.導數(shù)的根本公式2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法那么3.復合函數(shù)的求導法那么首頁上頁下頁2.5初等函數(shù)的導數(shù)1.導數(shù)的根本公式首頁2.5初等函數(shù)的導數(shù)2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法那么3.復合函數(shù)的求導法那么首頁上頁下頁例1設，求解例2設，求解2.5初等函數(shù)的導數(shù)首頁上頁下頁2.5初等函數(shù)的導數(shù)例3設，求解例4設，求解首頁上頁下頁﹡2.6導數(shù)的經(jīng)濟意義1.邊際分析2.函數(shù)的彈性首頁上頁下頁﹡2.6導數(shù)的經(jīng)濟意義1.邊際分析一般地,設函數(shù)可導，那么導數(shù)叫作邊際函數(shù).本錢函數(shù)的導數(shù)叫作邊際本錢，收入函數(shù)的導數(shù)叫作邊際收入，利潤函數(shù)的導數(shù)叫作邊際利潤.“平均〞“邊際〞首頁上頁下頁例1某產(chǎn)品生產(chǎn)x個單位的總本錢C為x的函數(shù)求:〔1〕生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時的總本錢和平均單位本錢〔2〕生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時的邊際本錢解〔1〕生產(chǎn)1000件產(chǎn)品的總本錢為每件產(chǎn)品的平均本錢為〔2〕﹡2.6導數(shù)的經(jīng)濟意義首頁上頁下頁﹡2.6導數(shù)的經(jīng)濟意義例2某企業(yè)每月生產(chǎn)的總本錢C〔千元〕是產(chǎn)量x〔噸〕的函數(shù)如果每噸產(chǎn)品銷售價格2萬元，求每月生產(chǎn)8噸、10噸、15噸、20噸時的邊際利潤.

解首頁上頁下頁2.函數(shù)的彈性定義設函數(shù)可導，函數(shù)在x處的增量為，自變量的增量為，那么比值分別稱為在點x處函數(shù)y的相對改變量及自變量x的相對改變量.當時，兩個相對改變量之比的極限﹡2.6導數(shù)的經(jīng)濟意義首頁上頁下頁﹡2.6導數(shù)的經(jīng)濟意義表示在點x處函數(shù)y的相對變化率,稱為函數(shù)y=f(x)在點x處的彈性,記作經(jīng)濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求的價格彈性.例3某部門對市場上某種商品的需求量Q與價格P之間的關系進行研究后，建立了下面的函數(shù)關系試求在、、2〔元〕的價格水平下，需求的價格彈性.首頁上頁下頁﹡2.6導數(shù)的經(jīng)濟意義解首頁上頁下頁﹡2.6導數(shù)的經(jīng)濟意義例4某商品的需求函數(shù)為〔1〕求需求的價格彈性.〔2〕討論當價格為多少時，需求是單位彈性、低彈性和有彈性的？解〔1〕〔2〕首頁上頁下頁2.7高階導數(shù)如果函數(shù)的導函數(shù)仍然可導，那么我們把的導數(shù)叫作函數(shù)的二階導數(shù)，記作即一般地，的階導數(shù)的導數(shù)叫作的階導數(shù)，分別記作首頁上頁下頁例1求函數(shù)(a,b,c,為常數(shù))二階導數(shù).解對依次求導，得例2設，求解2.7高階導數(shù)二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).首頁上頁下頁例3證驗證函數(shù)〔C1,C2為常數(shù)〕的二階導數(shù)滿足關系式例4求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)解2.7高階導數(shù)首頁上頁下頁例5求的階導數(shù).解一般地，可得例6解求的階導數(shù).2.7高階導數(shù)一般地，可得首頁上頁下頁例7求的階導數(shù).解例8求(為任意常數(shù))的階導數(shù).解一般地，可得2.7高階導數(shù)一般地，可得首頁上頁下頁例9物體作直線運動的方程是(都是常數(shù)),求物體運動的加速度.解2.7高階導數(shù)速度加速度首頁上頁下頁2.7高階導數(shù)例10物體運動的方程為，其中都是常數(shù)。求物體運動的加速度.解首頁上頁下頁2.8函數(shù)的微分1.微分的定義2.微分的幾何意義3.微分公式與微分運算法那么4.微分在近似計算中的應用首頁上頁下頁2.8函數(shù)的微分1.微分的定義定義設函數(shù)在點處可導，那么叫作在點處的微分，記作此時，也稱函數(shù)在點處可微.例1求函數(shù)當，時的增量及微分.解即微商首頁上頁下頁2.微分的幾何意義的縱坐標對應于的增量.2.8函數(shù)的微分

PTNM〕函數(shù)在點的微分就是曲線在點處的切線首頁上頁下頁3.微分公式與微分運算法那么

I.微分的根本公式2.8函數(shù)的微分首頁上頁下頁II．函數(shù)的和、差、積、商的微分法那么2.8函數(shù)的微分其中u，v都是x的