河南省洛陽市汝陽縣2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(版含答案)

2021-2022學(xué)年河南省洛陽市汝陽縣九年級第一學(xué)期期末

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（各小題四個(gè)答案中，只有一個(gè)是正確的，將正確的答案代號字母填入題后括

號內(nèi)。每小題3分，共30分。）

1.二次根式出了有意義，則X滿足的條件是（）

A.x<2B.x>2C.D.xW2

2.“某彩票的中獎(jiǎng)率是1%”，下列對這句話的理解，說法一定正確的是（）

A.買1張彩票肯定不會(huì)中獎(jiǎng)

B.買100張彩票肯定會(huì)中1張獎(jiǎng)

C.買1張彩票也可能會(huì)中獎(jiǎng)

D.一次買下所有彩票的一半，肯定1%張彩票中獎(jiǎng)

3.拋物線y=2（x-1）2-吉"的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（1,B.（-1,-1）C.D.（1,1）

4.如圖，在Rtz^ABC中，NC45=90°,ADLBC.在圖中的三角形中，兩兩相似的三角

形對數(shù)為（）

B

A

A.2B.3C.4D.5

5.在函數(shù)y=2（x+1）2-J■的圖象上有三點(diǎn)A（1,yp、8（-3,%）、C（-2,匕），

則X、為、上,的大小關(guān)系是（）

A.）1=丫2>>3B.曠3>%=>2C.D.%>%=%

6.已知X=1是一元二次方程（。-2）X2+（〃2-3）尢-〃+1=0的一個(gè)根，則。的值是（）

A.2B?-2C.2,-2D.1

7.如圖，點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為100米，要測量河對岸8點(diǎn)到河岸4。的距離,小明在A點(diǎn)

測得8在北偏東60°的方向上，在。點(diǎn)測得8在北偏東30°的方向上，則8點(diǎn)到河岸

AD的距離為（）

1/21

B

200如也

—工—木D.50>/3X

8.已知一株植物原高度為a米，兩年后，該株植物高度為b米.若該株植物每年的高度平

均增長率為x,則x滿足的方程是（）

L.卜

A.(1+x)2=—B.l+2x=一C.(1+x)2=—D.l+2x=—

aabb

9.在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1,點(diǎn)A,B,。都在格點(diǎn)上，求NA的余弦值（)

2^5

D.1

2

10.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,2）,若點(diǎn)尸在x軸上，且△APO是等腰三角形，則點(diǎn)尸的

C.(-2加，0)D.(3,0)

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.方程x（x+1）=0的解是.

12.不透明的袋子中裝有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)藍(lán)球，每個(gè)球除顏色不同外其它都相同,

從中任意摸出一個(gè)球，則摸出球的可能性最大.

13.已知四邊形A5CO與四邊形AEC'D相似,邊A3與邊Ab是對應(yīng)邊，5:S

V^ABCDM

3。。=2：4,AB=2,則A'B'=.

14.如圖，二次函數(shù)y=ox2+Zzx-c的圖象與x軸交于4,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,則下列

結(jié)論：①。V0；②8V0；③CVO；?b2-4ac>0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè).

2/21

15.如圖，菱形A8C。中，AC=16,BD=U,將△AB。沿AC方向向右平移到△4B77的

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，滿分75分。要求寫出必要的規(guī)范的解答步驟。)

16.計(jì)算或解方程.

./1O

(1)計(jì)算(1W2)<1-V2)-75^-2732^/12xV3-

V2

(2)解方程壯+2匹+3=0.

17.汝陽縣為了迎接國家文明城市的驗(yàn)收，需要選取1或2名同學(xué)作為志愿者.三一班的A

同學(xué)、8同學(xué)和三二班的C同學(xué)、。同學(xué)4名同學(xué)報(bào)名參加.

(1)若從這4名同學(xué)中隨機(jī)選取1名志愿者，則被選中的這名同學(xué)恰好是三一班同學(xué)的

概率是:

(2)若從這4名同學(xué)中隨機(jī)選取2名志愿者，請用列舉法(畫樹狀圖或列表)求這2名

同學(xué)恰好都是三二班同學(xué)的概率.

18.己知關(guān)于x的方程X2-(m+2)x+(2m-1)=0.

(1)求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)若此方程的一個(gè)根是1,請求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長的直角三角

形的面積.

19.如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅

方在公路上的8處沿南偏西60。方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因

前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45。方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在。

處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)。處到公路的距離(結(jié)果不取近似值).

3/21

B

20.如圖，在平行四邊形ABC。中，AEVBC^E,AFLCD^-F,B。與AE、A尸分別相交

于G、H.

（1）求證：

21.為滿足市場需求，某超市在新年來臨前夕，購進(jìn)一款商品，每盒進(jìn)價(jià)是40元.超市規(guī)

定每盒售價(jià)不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)；當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可

以賣出700盒，如果每盒售價(jià)每提高1元，則每天要少賣出20盒.

（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使每天銷售的利潤為6000元，且讓顧客得到最大的實(shí)惠.售價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？

22.設(shè)二次函數(shù)y=Cmx-2）（x-2m）,其中，”是常數(shù).

（1）當(dāng)機(jī)=2時(shí)，試判斷點(diǎn)（1,0）是否在該函數(shù)圖象上；

（2）用含"的代數(shù)式表示函數(shù)的對稱軸；

（3）當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，求，”的取值范圍.

m

23.小明在網(wǎng)上學(xué)習(xí)了梅涅勞斯定理之后，編制了下面一個(gè)題，請你解答.已知△48C,延

長BC到。，使CD=BC.取AB的中點(diǎn)尸，連結(jié)尸。交AC于點(diǎn)E.

（1）求上色的值；

AC

（2）若AB=a,FB=AE,求AC的長.

A

BD

4/21

5/21

參考答案

一、選擇題(各小題四個(gè)答案中，只有一個(gè)是正確的，將正確的答案代號字母填入題后括

號內(nèi)。每小題3分，共30分。)

1.二次根式舊!有意義，則x滿足的條件是()

A.x<2B.x>2C.x22D.xW2

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,列不

等式求解.

解：根據(jù)題意得：1-2>0,

解得，x>2.

故選：B.

【點(diǎn)評】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子F"20)叫二次根式.性質(zhì)：

二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.當(dāng)二次根式在分母上時(shí)還

要考慮分母不等于零，此時(shí)被開方數(shù)大于0.

2.“某彩票的中獎(jiǎng)率是1%”，下列對這句話的理解，說法一定正確的是()

A.買1張彩票肯定不會(huì)中獎(jiǎng)

B.買100張彩票肯定會(huì)中1張獎(jiǎng)

C.買1張彩票也可能會(huì)中獎(jiǎng)

D.一次買下所有彩票的一半，肯定1%張彩票中獎(jiǎng)

【分析】根據(jù)概率的意義解答即可.

解：中獎(jiǎng)率是1%,就是說中獎(jiǎng)的概率是1%,機(jī)會(huì)較小，但也有可能發(fā)生.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查概率的意義，解決的關(guān)鍵是理解概率只是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小.

3.拋物線y=2(x-1)2-/■的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(1,——)B.(-1,——)C.(-1,—■)D.(1,-)

2222

【分析】已知拋物線的頂點(diǎn)式，可直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo).

解：拋物線y=2(x-1)2?的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,--1).

6/21

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，記住頂點(diǎn)式y(tǒng)="（x-/?）2+k,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（力，A）,

對稱軸是直線x=h.

4.如圖，在Rt^ABC中，NC48=90°,AD1BC.在圖中的三角形中，兩兩相似的三角

形對數(shù)為（）

【分析】由垂線的定義得出/AQC=/8DC=90°,由/BAC=/ADC=90°,ZC-Z

C,得出△AOCs/\BAC,同理：△AQBsaCAB,即可得出△AQCSZ\BACSZ\2D4；

解：CDLAB,

.../BAC=NA￡)C=90°

又,：NC=/C,

：.AADC^ABAC,

同理：^ADB^/\CAB,

二Z\4DCs△84Cs△BDA,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，并

能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

5.在函數(shù)y=2（x+1）2-?的圖象上有三點(diǎn)A（1,yp、8（-3,曠2）、。（蟲,y3）,

則%、為、＞3的大小關(guān)系是（）

A.%=%>丫3B.丫3>%=>C.)尸3>為D.丫2>%=%

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)為頂點(diǎn)式，可得對稱軸為x=-l,圖象開口向上，根據(jù)

二次函數(shù)圖象的對稱性和增減性可判斷％=丫2＞丫3,于是得出答案.

7/21

解：由二次函數(shù)y=2（x+1）2-卷■可知其對稱軸為x=-1,圖象開口向上，

，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，點(diǎn)A（1,%）與點(diǎn)（-3,%）對稱，

V-3<-2<-1,

二%=>2>&，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性及增減性

是解題的關(guān)鍵.

6.已知x=l是一元二次方程（。-2）X2+（42-3）x-a+l=O的一個(gè)根，則a的值是（）

A.2B.-2C.2,-2D.1

【分析】把1代入方程，解關(guān)于“的方程，求出。的值，因?yàn)椤?2不為0,所以。=2

要舍去.

解：把1代入方程有：

a-2+6/2-3-a+\=0,

02=4,

.,.a=+2；

\'a-2W0,

：.a^2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出字母系數(shù)。

的值，因?yàn)橐辉畏匠痰亩雾?xiàng)系數(shù)不為0,所以把。=2舍去.

7.如圖，點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為100米，要測量河對岸B點(diǎn)到河岸AD的距離.小明在4點(diǎn)

測得8在北偏東60°的方向上，在C點(diǎn)測得B在北偏東30°的方向上，則B點(diǎn)到河岸

AD的距離為（）

A.100米B.50米C.史學(xué)1?米D.50/3XC

【分析】過8作于M,先證得8C=AC=100米，再在為△

8cM中，由銳角三角函數(shù)定義求出即可.

解：過B作BMLAD于M,如圖：

由題意得：ZBAD=90°-60°=30°,NBCQ=90°-30°=60°,

，/ABC=/BCD-NBA。=30°,

：.ZBAD=ZABC,

.?.BC=4C=100米，

?JBMLAD,

，/BMC=90°,

Dll

在Rtz^BCM中，sin/BCM=繆，

BC

...BM=BCXsin/BCM=100X券=50代（米），

即B點(diǎn)到河岸AD的距離為5胞米，

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及等腰三角形的判定等知識，正確作出

輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

8.已知一株植物原高度為“米，兩年后，該株植物高度為6米.若該株植物每年的高度平

均增長率為x,則x滿足的方程是（）

A.（1+x）2=—B.l+2x=—C.（1+x）2=—D.l+2x=—

aabb

【分析】利用兩年后植物的高度=植物的原高度義（1+每年的高度平均增長率）2,即可

得出關(guān)于X的一元二次方程，此題得解.

解：依題意得：a（1+x）2=b,

即（1+工）2=—.

a

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

9.在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1,點(diǎn)A,B,。都在格點(diǎn)上，求N4的余弦值（)

9/21

叵B店2^51

A.BD.

5-元2

【分析】首先把/A放在一個(gè)直角三角形內(nèi)，再求出斜邊長，然后根據(jù)余弦定義可得/A

的余弦值.

解：4。=山2+22=2?,

AC4275

COSZA=A0=W5~5~

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角4的鄰邊b

與斜邊C的比叫做NA的余弦，記作cosA.

10.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,2）,若點(diǎn)尸在x軸上，且△4P。是等腰三角形，則點(diǎn)P的

坐標(biāo)不可能是（）

A.(2,0)B.(4,0)C.(-2V2-0)D.(3,0)

【分析】先根據(jù)勾股定理求出0A的長，再根據(jù)①AP=P。；?AO=AP-,③AO=OP分

別算出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.

解：點(diǎn)4的坐標(biāo)是（2,2）,

根據(jù)勾股定理可得：。4=2證,

①若AP=PO,可得：P(2,0),

②若AO=A尸可得：P(4,0),

10/21

③若40=。尸，可得：P(2^/2)0)或(-2點(diǎn)，0),

：.P(2,0),(4,0),(-2V2.0),

故點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是：(3,0).

【點(diǎn)評】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等腰三角

形的判定：有兩邊相等的三角形是等腰三角形，再分情況討論.

二、填空題(每小題3分，共15分)

11.方程x(x+1)=0的解是0或-1.

【分析】本方程的左邊為兩個(gè)一次因式相乘，右邊為0,所以直接得方程x(x+1)=0

的根是0,-1.

解：x(x+1)=0

x=0或x+l=0

Xj=0,x2=-1

故本題的答案是玉=0,々=-1

【點(diǎn)評】因式分解法解一元二次方程時(shí)，應(yīng)使方程的左邊為兩個(gè)一次因式相乘，右邊為0,

再分別使各一次因式等于0即可求解.

12.不透明的袋子中裝有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)藍(lán)球，每個(gè)球除顏色不同外其它都相同，

從中任意摸出一個(gè)球，則摸出藍(lán)球的可能性最大.

【分析】分別求出摸出各種顏色球的概率，即可比較出摸出何種顏色球的可能性大.

解：因?yàn)榇又杏?個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)藍(lán)球，從中任意摸出一個(gè)球，

①為紅球的概率是條=2；

②為黃球的概率是2=);

124

③為藍(lán)球的概率是得■.

可見摸出藍(lán)球的概率大.

【點(diǎn)評】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例時(shí)，應(yīng)注意記

11/21

清各自的數(shù)目.

13.已知四邊形ABC。與四邊形ABC'。相似，邊A8與邊A0是對應(yīng)邊，S”巾,俄。：5I,

邊形AH。。，=2：4,AB=2f則A?=_2\/2_-

【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)解決問題即可.

解：：四邊形A8C。與四邊形A5C'。'相似，邊A8與邊45是對應(yīng)邊，、.…阮小5?,

四邊形A8C。四(

=2?4,

邊形A'B，CD4?f

.AB..[2V2

Bv

\"AB=2,

.'.A'B'=2&,

故答案為：2近.

【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)，屬于

中考?？碱}型.

14.如圖，二次函數(shù)y=or2+fex-c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,則下列

結(jié)論：①a<0；②bVO；③cVO：@h2-4ac>0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè).

【分析】由拋物線的開口方向判斷?與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的

關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

解：圖象開口向下，與y軸交于負(fù)半軸，對稱軸在y軸右側(cè)，能得到：。>0,-c>0,

-2>0,

2a

：.a>0,b<0,c<0,

故結(jié)論①不正確，結(jié)論②③正確；

,/圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)根的判別式可知hi-4ac>0,

故結(jié)論④正確.

故正確結(jié)論的序號是②③④，共3個(gè).

故答案是：3.

【點(diǎn)評】此題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對稱軸的范圍求2a與b

12/21

的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用.

15.如圖，菱形A8C。中，4c=16,BD=\2,將△48。沿4c方向向右平移到△4B7T的

位置，若平移距離為4,則陰影部分的面積為30.

【分析】首先設(shè)A'D'交C￡＞于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)M,BD交A，C于點(diǎn)N,過點(diǎn)E作

EFLA'C于點(diǎn)、F,由平移的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)，易求得A'G,A'N,A'F與D'G

的長，易得BD〃EF〃B，D',即可求得MNsXA，D'G,EF^/^A'D'

G,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得MN與E尸的長，繼而求得梯形MNFE

的面積，則可求得答案.

解：根據(jù)題意得：NG=4,

設(shè)A'D'交CO于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)、M,BD交A'C于點(diǎn)M過點(diǎn)E作所L4'C于點(diǎn)

F,

由平移及圖形的對稱性可得：NF=GF=^NG=2,

,菱形A8c。中，AC=16,BD=\2,

：.A'G=%C=8,D'G=/BO=6,B'D'_L4‘C,BD±A'C,

.?.4'N=A'G-NG=8-4=4,A'F=A'G-GF=8-2=6,BD//EF//B'D',

.?.△A'MNsD'G,△A,EF<^/\A'D'G,

.MNAzNEFA'F

*'DyG-A'G'DyG-AyG'

nnMN4EF6

9

:.MN=3,EF~,

T，

?q=—?CMN+EF)-NF^—X(

?梯形MA榨22

；3「4Sw=4X晉IB=30.

故答案為：30.

13/21

【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì).掌握輔助

線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分75分。要求寫出必要的規(guī)范的解答步驟。）

16.計(jì)算或解方程.

（1）計(jì)算（1+72）（1-&）^/18

VT

(2)JW方程m+2亞+3=0.

【分析】（1）先利用平方差公式計(jì)算，同時(shí)計(jì)算二次根式的乘除法，再進(jìn)一步計(jì)算即可;

（2）利用因式分解后求解可得.

解：（1）原式=1-2-5揚(yáng)8揚(yáng)6-3

=2+3x/2；

（2）x2+2j^r+3=0,

（x+V3）2=0,

A.'+^^3=0,

二/=々=-

【點(diǎn)評】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算和解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元

二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的

特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

17.汝陽縣為了迎接國家文明城市的驗(yàn)收，需要選取1或2名同學(xué)作為志愿者.三一班的A

同學(xué)、8同學(xué)和三二班的C同學(xué)、。同學(xué)4名同學(xué)報(bào)名參加.

（1）若從這4名同學(xué)中隨機(jī)選取1名志愿者，則被選中的這名同學(xué)恰好是三一班同學(xué)的

概率是;

一2-

（2）若從這4名同學(xué)中隨機(jī)選取2名志愿者，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求這2名

同學(xué)恰好都是三二班同學(xué)的概率.

【分析】（1）四名同學(xué)中初三一班占一半，求出所求概率即可；

（2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出這2名同學(xué)恰好都是初三二班同學(xué)的情況數(shù)，

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即可求出所求概率.

解：（1）若從這4名同學(xué)中隨機(jī)選取1名志愿者，則被選中的這名同學(xué)恰好是初三一班

同學(xué)的概率是

故答案為：

（2）根據(jù)題意列表如下:

ABCD

4----(B,A)(C,A)(Q,A)

B(A,B)----(C,B)（。，B）

C(A,C)(B,C)----(￡>,C)

D(A,D)(B,D)(C,￡?----

所有等可能的情況數(shù)有12種，其中這2名同學(xué)恰好都是初三二班同學(xué)的情況有2種，

則這2名同學(xué)恰好都是三二班同學(xué)的概率是■9今=言1.

【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解

題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

18.已知關(guān)于x的方程廢-（利+2）x+（2機(jī)-1）=0.

（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）若此方程的一個(gè)根是1,請求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長的直角三角

形的面積.

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于X的方程X2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判別式的符號來證

明結(jié)論；

（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一

根.分類討論：①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是2、3時(shí)，即可求得直角三角形的面積為

/1X3=*②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是I、3時(shí)，由勾股定理得該直

角三角形的另一直角邊為2a；即可求得直角三角形的面積為IX2/=6.

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【解答】（1）證明：：△=（〃?+2）2-4（2m-1）=（〃?-2）2+4,

.??在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，機(jī)無論取何值，（山-2）2+4>0,即△>（）,

.?.關(guān)于x的方程（根+2）x+（2/n-1）=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：根據(jù)題意，得

|2-IX（，〃+2）+（2m-1）=0,

解得，m=2,

則方程的另一根為：，〃+2-1=2+1=3；

①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時(shí)，

該直角三角形的面積為/IX3=母

②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時(shí)，由勾股定理得該直角三角形的另一直

角邊為2&；則該直角三角形的面積為IX20=我；

綜上，該直角三角形的面積為趣或

【點(diǎn)評】本題綜合考查了勾股定理、根的判別式、一元二次方程解的定義.解答（2）時(shí)，

采用了“分類討論”的數(shù)學(xué)思想.

19.如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅

方在公路上的B處沿南偏西60。方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因

前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45。方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在。

處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)。處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）.

【分析】過3作4B的垂線，過C作A8的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過C作AB的垂線，

過。作A8的平行線，兩線交于點(diǎn)F,則NE=NF=90°,攔截點(diǎn)。處到公路的距離D4

=BE+CF.解R3BCE,求出BE=3碇=恭1000=500米：解RtZ\CQF,求出CF=

華CD=50（X/^米，則DA-BE+CF=（500+500最）米.

解：如圖，過8作A8的垂線，過C作A8的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過C作A8的垂線,

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過。作A8的平行線，兩線交于點(diǎn)尸，則/七=/尸=90°,攔截點(diǎn)。處到公路的距離D4

=BE+CF.

在中，VZE=90°,NCBE=6G0,

AZBCE=30°,

：.BE=^BC=-^X1000=500米；

在RtZ\CD尸中，VZF=90°,ZDCF=45°,CC=BC=1000米，

CF=^CO=50M米，

：.DA=BE+CF=(500+500/2)米，

故攔截點(diǎn)。處到公路的距離是(500+50(h/^)米.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義，正確理

解方向角的定義，進(jìn)而作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在平行四邊形ABCQ中，AE_LBC于E,AFLCD^F,BZ)與AE、A尸分別相交

于G、H.

(1)求證：△ABES^AOF；

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的對角相等，以及垂直的定義可得△A8E和△AO尸的兩

角對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形相似；

(2)證明△A8G出ZVI。，CASA),則AG=A"，從而得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)-：AELBC,AFLCD,

.../AEB=/AFD=90°,

四邊形A8C。是平行四邊形，

:.ZABE=ZADF,

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（2）,:XABEsXADF,

：.ZBAG=ZDAH,

:.AB=AD9

：.ZAGH=/AHG,

：.ZABG=ZADH,

在△ABG和△AOH中，

2BAG=/DAH

，AB=AD,

,ZABG=ZADH

.?.△ABG絲△AOH（ASA）,

：.AG=AH.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等角形的判定與

性質(zhì)，通過三角形全等證明AG=A”是本題的關(guān)鍵.

21.為滿足市場需求，某超市在新年來臨前夕，購進(jìn)一款商品，每盒進(jìn)價(jià)是40元.超市規(guī)

定每盒售價(jià)不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)；當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可

以賣出700盒，如果每盒售價(jià)每提高1元，則每天要少賣出20盒.

（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使每天銷售的利潤為6000元，且讓顧客得到最大的實(shí)惠.售價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？

【分析】（1）根據(jù)“當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可以賣出700盒，每盒售價(jià)每提高1

元，每天要少賣出20盒”即可得出每天的銷售量與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)利潤=1盒商品所獲得的利潤X銷售量列出方程，解方程取較小的值即可；

（3）根據(jù)利潤=1盒商品所獲得的利潤X銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最

值即可.

解：（1）由題意得銷售量>=700-20（%-45）=-20x+1600,

,每天的銷售量y（盒）與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為），=-20x+1600（45Wx

<80）；

（2）由題意得：（x-40）（-20X+1600）=6000,

整理得：%2-120x+3500=0,

解得：%=50,.=70,

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?.?要讓顧客得到最大的實(shí)惠,

/.x=50,

.??售價(jià)應(yīng)定為50元；

(3)(x-40)(-20x4-1600)

=-20x2+2400%-64000

=-20(x-60)2+8000,

'：a=-20<0,45WxV80,

.?.當(dāng)x=60時(shí)，P有最大值，最大值為8000,

,每盒售價(jià)定為60元時(shí)，每天銷售的利潤產(chǎn)