江西省贛州市教育發(fā)展聯(lián)盟2023屆高三上學(xué)期第9次聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)（文）試題（含答案解析）

贛州市教育發(fā)展聯(lián)盟第9次聯(lián)考數(shù)學(xué)文科試卷（寧師中學(xué)、會(huì)昌三中、瑞金二中、瑞金三中、南康三中、興國(guó)中學(xué)）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再結(jié)合集合的交集運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，，，所以故選：B2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分別判斷充分性和必要性即可.【詳解】充分性：若，則成立，故充分性成立；必要性：若，則，不一定為，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，所以，經(jīng)驗(yàn)證，，故.故選：B.4.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的第100項(xiàng)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由題意有，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，可得是以6為周期的周期數(shù)列，然后求解即可．【詳解】由題意有，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則，，，，，，，，，則數(shù)列是以6為周期周期數(shù)列，則，則數(shù)列的第100項(xiàng)為3，故選：．5.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A.8 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)約束條件，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，再作直線：平移求解.【詳解】：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，其中，，.作直線：，平移直線，當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值8，故選：A.6.下圖中小正方形邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某平面多邊形，現(xiàn)將該圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)，則所得幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】旋轉(zhuǎn)后得到一個(gè)圓錐與一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體，求幾何體的體積即可.【詳解】由題意得，旋轉(zhuǎn)后，得到一個(gè)圓錐與一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體，且圓錐的底面半徑與圓臺(tái)的上底面半徑相同，且為4，圓臺(tái)、圓錐的高都為3，故所求幾何體的體積.故選：C.7.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由題知，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，進(jìn)而解不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，解得，所以的取值范圍是，即的最大值為.故選：A8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式的解集等價(jià)于的解集，即可求解．【詳解】對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)奇偶性可得在上單調(diào)遞增，故不等式的解集等價(jià)于的解集，即，故選：．9.已知函數(shù)的圖像在處的切線過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將代入即可求出參數(shù).【詳解】由，，，則函數(shù)在處的切線方程為，將代入切線方程可得.故選：B10.已知三棱錐中，平面平面，且，，若，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用條件，得到平面，從而將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為直三棱柱的外接球，再利用球的截面的性質(zhì)，先求出外接圓的半徑，易得，從而求出外接球的半徑，得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，且，平面平面，面，所以平面，將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，則直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球.設(shè)外接球的球心為，的外心為，則，又由正弦定理，得到，所以外接球的半徑，表面積，故選：C.11.設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.是數(shù)列中的最大值 D.數(shù)列無(wú)最大值【答案】B【解析】【分析】由題分析出，可得出數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，結(jié)合題意分析出正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)都大于，而從第項(xiàng)起都小于，進(jìn)而可判斷出各選項(xiàng)的正誤.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，且有，可得，可得，此時(shí)，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯(cuò)誤；對(duì)任意的，，且有，可得，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯(cuò)誤故選：B.12.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意利用圖象分析可得，令并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)t對(duì)應(yīng)x值的個(gè)數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增.作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，則，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，故，令，即，令，則或，解得或，即或，則或，由圖象可得有個(gè)實(shí)數(shù)根，有個(gè)實(shí)數(shù)根，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，故選：B．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題“，”的否定為_(kāi)_________.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，改量詞否定結(jié)論即可.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為特稱量詞命題，改量詞否定結(jié)論，故“，”的否定為“，”，故答案為：，14.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則__________.【答案】100【解析】【分析】討論，，，時(shí)的值，可得，從而可求的值.【詳解】當(dāng)或，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)，時(shí).∴，∴.故答案為：100.15.六芒星，又稱六角星，它由兩個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成，這兩個(gè)等邊三角形的中心重合，且三邊分別對(duì)應(yīng)平行，如圖，設(shè)，則__________.【答案】-4【解析】【分析】利用向量的線性表示即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，?故答案為：16.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面滿足，且，則截正方體所得的截面周長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】在正方向體中，取的中點(diǎn)，通過(guò)線面垂直，得到，，從而得出截面為梯形，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，由條件易知，，所以，，又，所以，得到，故，又面，面，所以，又，面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，面，面，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又，則，又，平面，故平面，又，所以，所以平面截正方體所得的截面即為梯形.由題意得，，則，，，故截面周長(zhǎng)為.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，并決定近期投放市場(chǎng).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)（單位：元）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表.上市時(shí)間/天2632市場(chǎng)價(jià)/元1486073（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①，②，③中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系（無(wú)需說(shuō)明理由），并求出該函數(shù)的解析式；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及每枚紀(jì)念章的最低市場(chǎng)價(jià).【答案】（1），（2）當(dāng)該紀(jì)念章上市12天時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為每枚48元.【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的關(guān)系可選③來(lái)描述每枚紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系，而根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得關(guān)于參數(shù)的方程組，求出其解后可得函數(shù)解析式.（2）利用基本不等式可求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及每枚紀(jì)念章的最低市場(chǎng)價(jià).【小問(wèn)1詳解】每枚紀(jì)念章的最低市場(chǎng)價(jià)不是關(guān)于上市時(shí)間的單調(diào)函數(shù)，故選.分別把，代入，得解得，，∴，.此時(shí)該函數(shù)的圖象恰經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，且.故當(dāng)該紀(jì)念章上市12天時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為每枚48元.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.【答案】（1）（2），證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)公差為，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求解；（2）由（1）得到，再利用裂項(xiàng)相消法求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)公差為，由題意得解得∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，∴，.∵，∴.19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn).【答案】（1）（2）零點(diǎn)為0與.【解析】【分析】（1）由圖象可得，，即，再代入點(diǎn)即得解；（2）先通過(guò)圖象變換得到，再令可得答案.【小問(wèn)1詳解】由圖象可得，，則，即，∴，由圖象得，即，∴，，則，，又，∴，故；【小問(wèn)2詳解】將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函，∴，令，則或，解得，，或，，又，∴或，即函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)為0與.20.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為,．（1）求值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用余弦定理角化邊即可求解;(2)根據(jù)弦化切將原等式變?yōu)?，角化邊即可得到，再結(jié)合可得，，利用余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?結(jié)合余弦定理，得，即，所以．【小問(wèn)2詳解】由，即，即即，又，所以，，所以.21.如圖，在直棱柱中，底面四邊形為邊長(zhǎng)為的菱形，，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）.【解析】【分析】（1）取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，，證明平面平面，原題即得證；（2）連接BD與AC相交于點(diǎn)O，利用求解.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，.∵為的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，∴，因?yàn)槠矫?平面，所以平面.∵為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴.∵直棱柱，∴，∴，因?yàn)槠矫?平面，所以平面.∵，平面，∴平面平面.又∵平面，∴平面.【小問(wèn)2詳解】解：如圖，連接BD與AC相交于點(diǎn)O，在中，，同理，由菱形可知，，在中，.設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為，由平面，可知點(diǎn)到平面的距離也為，由，可得的面積為，的面積為.有，，由，有，可得，故點(diǎn)到平面的距離為.22.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若是的導(dǎo)函數(shù)，，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，求得和，即可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）由題可得，構(gòu)造函數(shù)求出最值即可