遼寧省遼東區(qū)域教育科研共同體2022-2023學(xué)年高二年級下冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

遼東區(qū)域教育科研共同體高二數(shù)學(xué)學(xué)科調(diào)研試卷考試時間：120分鐘，滿分：150分第Ⅰ卷（60分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合題意）1.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系即可求解.【詳解】由可得，所以，，故選：A2.從1、2、3、4、5、6中任取兩個數(shù)，事件：取到兩數(shù)之和為偶數(shù)，事件：取到兩數(shù)均為偶數(shù)，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式可得解.【詳解】事件分為兩種情況：兩個均為奇數(shù)和兩個數(shù)均為偶數(shù)，所以，，由條件概率可得：，故選D.【點睛】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題.3.在2022北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達(dá)給了全世界，我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同，即太陽照射物體影子的長度增長或減少的量相同，周而復(fù)始，已知二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，若冬至、立春、春分晷長之和為三丈一尺五寸，雨水的晷長為九尺五寸，則小暑晷長為（一丈=十尺=一百寸）（）A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸【答案】B【解析】【分析】設(shè)冬至晷長為尺，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為，依題意表示各節(jié)氣的晷長，即可得到方程組，解得、，從而代入計算可得.【詳解】設(shè)冬至晷長為尺，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為，則立春晷長為尺，春分晷長為尺，雨水晷長為尺，小暑晷長為尺，依題意可得，解得，所以小暑晷長為（尺），即小暑晷長為二尺五寸．故選：B．4.為調(diào)查某企業(yè)環(huán)境污染整治情況，得到了7組成對數(shù)據(jù)如下表所示：第x年1234567污染指數(shù)Y6.15.24.54.73.83.43.1由上表中數(shù)據(jù)求得Y關(guān)于x的回歸直線方程為，據(jù)此計算樣本點處的殘差（殘差=實際值-預(yù)測值）為（）A.-0.25 B.0.25 C.0.15 D.-0.15【答案】D【解析】【分析】利用樣本中心求解，即可求解時的預(yù)測值，由殘差定義即可求解.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，故將樣本中心代入得，故，因此當(dāng)時，,所以樣本點處的殘差為，故選：D5.設(shè)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為（）A.32 B.16 C.128 D.64【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件，求出的通項公式，然后求解當(dāng)時的范圍，進(jìn)而可得到答案.【詳解】因為等比數(shù)列滿足，，所以，從而，故，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時，，故.故選：D.6.某市醫(yī)療保險實行定點醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理”的原則，參加保險人員可自主選擇四家醫(yī)療保險定點醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu)，若甲、乙兩名參加保險人員所在的地區(qū)附近有A，B，C三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們對社區(qū)醫(yī)院的選擇是相互獨立的，則甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合對立事件概率求法運(yùn)算求解.【詳解】甲、乙均有3家社區(qū)醫(yī)院可以選擇，故共有個基本事件，記“甲、乙兩人選擇同一家社區(qū)醫(yī)院”為事件A，共有3個基本事件，其概率，所以甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率.故選：D.7.已知的展開式中的系數(shù)為22，則展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為（）A.64 B.32 C.16 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的特征可得，進(jìn)而利用賦值法即可求解.【詳解】,故展開式中的系數(shù)為，令，則令，令得，兩式子相減可得，故選：B8.若數(shù)列滿足，則稱此數(shù)列為“次等比數(shù)列”.現(xiàn)從1，2，4，8，16，32這6個數(shù)中隨機(jī)選取4個不同的數(shù)，則這4個數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)呐帕泻罂梢詷?gòu)成“次等比數(shù)列”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由列舉法結(jié)合組合數(shù)公式以及古典概型概率公式得出這個數(shù)具有“次等比數(shù)列”性質(zhì)的概率.【詳解】從個數(shù)中隨機(jī)選取個不同的數(shù)共有種不同的選法，因為，所以具有“次等比數(shù)列”性質(zhì)的個數(shù)有：，，，，，，共種，所以這個數(shù)具有“次等比數(shù)列”性質(zhì)的概率為.故選：D二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知隨機(jī)變量X的分布如下，則（）X01Pa2aA. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式求解.【詳解】由分布列可知：，由數(shù)學(xué)期望定義可知：，A正確；由可知：，B錯誤；由方差的定義可知：，C正確；，D錯誤；故選：AC.10.如果數(shù)列為遞增數(shù)列，則的通項公式可以為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)作差法即可判斷BCD，舉反例即可判斷A.【詳解】對于A，當(dāng)，故不是遞增數(shù)列，故A不符合，對于B，，故是遞增數(shù)列，故B符合，對于C,，故為遞增數(shù)列，,C符合，對于D,，故為遞增數(shù)列，D符合,故選：BCD11.某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件A：該家庭中既有男孩又有女孩，事件B：該家庭中至多有一個男孩，則下列結(jié)論正確的是（）A.若該家庭中有兩個小孩，則B.若該家庭中有三個小孩，則C.若該家庭中有兩個小孩，則A與B相互獨立D.若該家庭中有三個小孩，則A與B相互獨立【答案】ABD【解析】【分析】若該家庭中有兩個小孩，寫出對應(yīng)的樣本空間即可判斷A和C，若該家庭中有三個小孩，寫出對應(yīng)的樣本空間，即可判斷B和D.【詳解】若該家庭中有兩個小孩，樣本空間為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4種情況，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，(女，女)(男，女)，(女，男)，則A與B不互斥，，，，于是，所以A與B不相互獨立，則A正確、C錯誤；若該家庭中有三個小孩，樣本空間為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，共8種情況，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，則A與B不互斥，，，，于是，所以A與B相互獨立，則C和D均正確.故選：ABD12.馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程.該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.的數(shù)學(xué)期望【答案】ACD【解析】【分析】利用已知條件求出，，即可判斷A，B；利用推出，可判斷C；利用可判斷D.【詳解】由題意，，故A正確；，，故B錯誤；當(dāng)時，整理得，，故可知是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故C正確；，，，因，所以，，故D正確，故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中橫線上）13.一批產(chǎn)品一等品率為，從這批產(chǎn)品中每次抽取一件，有放回地抽取n次，用X表示抽到的一等品的件數(shù)，若，，則滿足條件的n的一個取值為_________.【答案】9（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)二項分布公式計算.【詳解】顯然，，又，是9的倍數(shù)；故答案：9.14.中國救援隊在國際救援中多次創(chuàng)造生命救援奇跡，為祖國贏得了榮譽(yù)，很好地展示了國家形象，增進(jìn)了國際友誼.現(xiàn)有5支救援隊前往3個不同受災(zāi)地區(qū)進(jìn)行救援任務(wù)，若每支救援隊只能去其中的1個受災(zāi)地區(qū)，且每個受災(zāi)地區(qū)至少安排1支救援隊，其中甲、乙兩個救援隊只能去同一個受災(zāi)地區(qū)，則不同的安排方式共有_________種.【答案】36【解析】【分析】分類討論是否有其他救援隊與甲、乙兩個救援隊一起，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】若只有甲、乙救援隊同去一個受災(zāi)地區(qū)，則不同的安排方式共有種；若還有一支救援隊與甲、乙救援隊同去一個受災(zāi)地區(qū)，則不同的安排方式共有種；所以不同的安排方式共有種.故答案為：36.15.某企業(yè)未引入新技術(shù)前，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差，其中為單件產(chǎn)品的成本（單位：元），且；引入新技術(shù)后，單件產(chǎn)品的成本不變，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差.若引入新技術(shù)后，則實數(shù)_________.（附：若，則，，.）【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出的值，即可得解.【詳解】因為且，所以，解得，所以引入新技術(shù)后，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差，又，所以.故答案為：16.將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則使得成立的n的最小值為_________.【答案】19【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項形式，再分析不等式成立的最少項數(shù)作答.【詳解】令數(shù)列的第項與數(shù)列的第項為公共項，即，，于是，則或，，即有或，，因此或，，從而數(shù)列是數(shù)列和的項從小到大排列得到的，顯然數(shù)列都是遞增的，而當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，顯然，即數(shù)列前18項均小于2023，第19項為2116，是第一個大于2023的項，所以使得成立的n的最小值為19.故答案為：19四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.數(shù)列滿足，當(dāng)時，_________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）選擇條件見解析，（2）【解析】【分析】（1）若選①利用累加法計算可得，若選②，可得，再利用累乘法計算可得；（2）由（1）知，利用裂項相消法計算可得.【小問1詳解】若選①，當(dāng)時，由，得，顯然對于上式也成立，所以的通項公式；若選②，當(dāng)時，由，得，所以，顯然對于上式也成立，所以的通項公式；【小問2詳解】由（1）知，所以數(shù)列的前項和.18.為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對100名患者中的一部分患者采用了A療法，另一部分患者采用了B療法，并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形圖，如下：根據(jù)圖表，得到以下關(guān)于治療方法和治愈情況的2×2列聯(lián)表：未治愈治愈A療法xyB療法z18（1）求2×2列聯(lián)表中的x，y，z的值，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為此種疾病是否治愈與治療方法有關(guān)；（2）現(xiàn)從采用A療法的患者中任取2名，設(shè)治愈的患者數(shù)為，求的分布列與期望.附：，.0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），，；有（2）分布列見解析，1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，完善列聯(lián)表，根據(jù)公式求，并與臨界值對比分析；（2）根據(jù)題意結(jié)合超幾何分別求分布列和期望.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以列聯(lián)表為未治愈治愈總計A療法202040B療法421860總計6238100則，因為，所以有95%的把握認(rèn)為此種疾病是否治愈與治療方法有關(guān).【小問2詳解】由題意可知：的取值為0、1、2，則，故的分布列為012P所以.19.農(nóng)民脫貧致富，已經(jīng)成為當(dāng)下中國社會的大政方針，近年來全面建成小康社會取得偉大歷史成就，脫貧攻堅戰(zhàn)取得決定性勝利，為實現(xiàn)脫貧目標(biāo)，某縣積極探索區(qū)域特色經(jīng)濟(jì)，對本地特產(chǎn)進(jìn)行廣告宣傳，取得了社會效益和經(jīng)濟(jì)效益的雙豐收.（1）該縣統(tǒng)計了2022年6~12月這7個月的月廣告投入x（單位：萬元）和月銷量y（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如表所示：月廣告投入x/萬元1234567月銷量y/萬件28323545495260根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該縣這7個月的月廣告投入x和月銷量y的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并用相關(guān)系數(shù)說明是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；（2）該縣為精準(zhǔn)了解本地特產(chǎn)廣告宣傳的導(dǎo)向作用，在購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取300人進(jìn)行調(diào)研，對因廣告宣傳導(dǎo)向而購買特產(chǎn)客戶的年齡段和性別統(tǒng)計結(jié)果是：客戶群體中青年人約占15%，其中男性為20%；中年人約占50%，其中男性為35%；老年人約占35%，其中男性為55%，以樣本估計總體，視頻率為概率，在所有購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取一名客戶.（?。┣蟪槿〉目蛻羰悄行缘母怕?；（ⅱ）若抽取的客戶是男客戶，則他是哪個年齡段的可能性最大.（請直接寫出答案）參考數(shù)據(jù)：，，；參考公式：相關(guān)系數(shù).【答案】（1）0.99，可以（2）（ⅰ）；（ⅱ）老年人【解析】【分析】（1）由相關(guān)系數(shù)的計算公式即可代入求值，（2）根據(jù)全概率計算公式可求解抽到男性的概率，由貝葉斯公式即可求解老年人的可能性最大.【小問1詳解】由已知可得，，，，所以，.因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)程度較高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.【小問2詳解】（?。┓謩e設(shè)抽取的客戶為青年人、中年人、老年人為事件、、，抽到男性為事件.由已知可得，，，，，，，故抽取的客戶是男性的概率為.（ⅱ）老年人.理由如下:由于抽取客戶是男客戶，則他是中青年年齡段的可能性為，是中老年年齡段的人的可能性為，是老年人年齡段的人的可能性為，所以老年人年齡段的可能性最大.20.已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可求證，（2）由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】變形得：，又，故，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.從而，即.【小問2詳解】由（1）知，故數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以9為首項，9為公比的等比數(shù)列，所以.21.2023年是我國全面貫徹黨的二十大精神的開局之年，3月初我們迎來了十四屆全國人大一次會議和全國政協(xié)十四屆一次會議的勝利召開.2023年全國兩會順利結(jié)束以后，為調(diào)查學(xué)生對兩會相關(guān)知識的了解情況，某市對全市高中生開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)從全市參與該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生，得到了他們兩會知識問答得分的頻率分布直方圖如下，由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市高中生兩會知識問答得分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，并已求得和.（1）若該市恰有3萬名高中生，試估計這些高中生中兩會知識