第五章穩(wěn)定性分析版

第五章代數穩(wěn)定性判據(Routh判據、Hurwitz判據第五章代數穩(wěn)定性判據(Routh判據、Hurwitz判據—25.15.1如果系統(tǒng)受到了擾動偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動取消后，系統(tǒng)又能恢復原來—35.1若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程隨時間的推移，逐漸衰—4X XoG1 G2sHN(s)到Xo(s) bsmbsm1 s N 1GsGsH asnasn1 s n —5n(t為單位脈沖函數，Nsbsmbsm1 sXos asnasn1 s ci d is js22s s22s2 j j j—6 e etsin 12s2jsj j1 s2jjs 12 etsin 12t j —7xtfeit ig sinj1jtjjt jxoti0,jj—8i0,jj ,s0的根:ss s22s s22sj j s22s20的根:s 1j j —9ijj為系統(tǒng)閉環(huán)特征根的實部。閉環(huán)極點全部在[s —10三次方程x3pxq0 x3qp3qp 2 3 2 3 —115.3.1穩(wěn)定性判asnasn1 asa asna1sn1 an1san0 a 0a0ss1ss2 ssns1s2 ,sn—12a1sss a1sss a2ssss s 1 1 n1a3ssssss sss 12 12 n2n1an1nss sss 12 n2n1—135.3.1穩(wěn)定性判特征方程的各項系 ai(i=0，1，2，…，n)ai一般取正值，ai—14 陣列”中 陣列： 1 —155.3.1穩(wěn)定性判 ba1a2a0 cb1a3 ba1a4a0a5 cb1a5 ba1a6a0 cb1a7 dc1b2 1—165.3.15.3.1穩(wěn)定性判特征方程的各項系 ai(i=0，1，2，…，n)“陣列”中第一列所有為正。且，實部為正的特征根數—17例1s48s317s216s5 —18例2s42s33例2s42s33s24s3 —195.3.1穩(wěn)定性判二階系統(tǒng)特征式為as2asa 1 2故二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件a00,a10,a2—205.3.15.3.1穩(wěn)定性判as3as2asa s1a1a2a0 3故三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件a0,a1,a2,a30,a1a2a0—21例3設某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。Xis Xosss1sXos Xi ss1s2—22例例 ss1s2Ks33s22sKK23KK0K—23例 s42s3s22s1 1 0() 2 22—24例 例 s32s2s2 —254385.3.25.3.2穩(wěn)定性判asnasn1 sa a0 n n×n行列式：a1a3 a0a2 a1a3 a0a2 an an2—275.3.2穩(wěn)定性判即：a a3 3 a4 —28例例 設控制系統(tǒng)的特征方程式s48s317s216s58 —29例 18816 1 3 5 8 —30定性———31根據系統(tǒng)開環(huán)Gj)Hj的Nyquist圖 能定量系統(tǒng)的穩(wěn)定儲備，即系統(tǒng)相對穩(wěn)定性定量指標，及進一步提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能的途徑。—325.4.1定5.4.1定n次多項式D(sp個根位于復平面的右半面，有q個根在原點上n–p-q個根位于左半面，則當以sj代入D(s，0連續(xù)增大時，復數Dj)的argss n pq p 2 n2pq2 —33證明：(1)s1為負實根，ss1當sj0argss 2 圖5-4負實根情 —34s2a (a bs3a對于矢量ss2ss3,sj0變化時argssarctan argssarctan argssargss2 2 因此，(n-p-q)(n-p-q)π/2—35 圖5-5—36 (2)設sm為正實根，對 (2)設sm為正實根，對于矢量ssm 當sj:0 變化時argss 圖5-6—37sm1c (c dsm2c對于矢量ssm1ssm2,當sj0變化時，args arctan args arctan args args 2 2 因此，p個右根的總角變化量為p(-π/2) —38dc- 圖5-7具有正實部的共軛復根情 —39 si 2 n2pq2 —40推論：如果推論：如果n次多項式D(s)的所有根都位于復平面的左半面，sj代入D(s)并令0連續(xù)增大時，復數D(s)的 argssin 2—41GHs遞函數分別為Gs1s, HsB2s A2GsHsB1sB2sNK DK—42XoXos B1sA2 Xis1B1sB2 A1sA2sB1sB2 DBA1sA2s1GsHsA1sA2sB1sB2sDBA1sA2 DK同，均為n階?！?3(1)如果系統(tǒng)開環(huán)特征多項式的根均在s左半平 2這時如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即DBs的所有根均在s左半平面，根據定理 2 則—440角變化量為0，系統(tǒng)閉環(huán)后就是穩(wěn)定的 —45(2)如果系統(tǒng)開環(huán)ps右半平面，q(n-p-q)s 2DBs所有根均在s左半平面，根據定理 :0 2 —46nn2pqpq 2 2 :0若開環(huán)GjHj(-1，j0)點的pq2平面的每一個極點使角增量為180°； —47特性的角增量來判斷。設開環(huán)特征多項式在s右半平面有p個根，原點處有q個根，其余(n–p–q)個根在s左半平面，則乃 0時，其相對(-1，j0)pq 2 —48例8下圖所示反饋控制系統(tǒng)，KKTs例8下圖所示反饋控制系統(tǒng)，KKTs (1,j0)G(s) Tsp1,q—49K例 (續(xù))G(s)Ts當K>1時，開環(huán)乃氏圖為直徑大于1 當0<K<1時，開環(huán)乃氏圖為直徑小于1 —50例例 某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數K＝10和K＝40時的頻率特性如圖Gs —51例9解：因為p=0,q=1, 02顯然，對于K10的頻率特性，滿足上式， 02—52令00得出的乃氏圖以實軸對稱的—53p封閉的開環(huán)(-1，j0)點封閉的開環(huán)乃氏曲線(-1，j0)點，則系統(tǒng)—54線不封閉。為使其封閉，實用中可將其處理成左根。=0 O O (含有s項) (含有s2+a2(a>0)項)—56例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數：G(s)KTsp例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數：G(s)KTsp逆時針包圍(-1,j0)O當0<K<1時，開環(huán)乃(-1,j0)點，—55例例 Gs 判斷當K10K40 —57例9(續(xù))Gs K令s 0Gej10eGej氏圖不包圍(-1,j0) 系統(tǒng)穩(wěn)定 —58例9例9(續(xù))Gs K令s 0Gej40eGej乃氏圖包圍(-1,j0) 環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 —59其中為非常小的正數。=180 ＝270180 O O (含有s項) (含有s2+a2(a>0)項)—60例9(續(xù))Gs K例9(續(xù))Gs Ksej180Gej10e1圖逆時針包圍(-1,j0)點1圈，閉—61例9(續(xù))Gs KGej40e開環(huán)特征多項式有1氏圖順時針包圍(-1,j0)點1圈，—62例例 GssII2個原點根。sej，0Gej 1e G0—63 Gss1T T 00 00 - - 乃氏圖不包圍(-1,j0)點， 乃氏圖包圍(-1,j0)點， —64—65例13系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數：G(s)K(ss(s開環(huán)乃氏圖 將原點根處理成左根 GejK- 3Kej180ej3Kej(180 G180K1時，乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)1圈，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；0<K<1時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?6例下圖所示反饋控制系統(tǒng)，KK例下圖所示反饋控制系統(tǒng)，KKKG(s)OKTs(T(-1, 點，故只要K>0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 —67例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數：G(sKKT2s22Ts(T0,OK(-1,j0)K0，則閉—68例GsHsKs1s2s 判斷K=20K=200時的穩(wěn)定性。K=20時，O包圍(-1,j0)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定—69K=200時，OO(-1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定—70例GsHs 40.05s s20.3s10.05s20.2sOO2—71sej，0GejHej4ej4e00GH0-—72 ss jjGjejKGK 2 G190arctanG2 G2GK G90arctan 2—73GK 2G190arctanG2G2GK 2G90arctan—74GGK12令12G90arctan arctan11010K131.6K—75如果開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點的圈數等于開環(huán)右極點的個數，開環(huán)在虛軸上有極點 開環(huán)無右極點 —76- —77 —780(—79例圖5-36(a)p=0，即開環(huán)傳遞函數無右極點，L(0范圍內，正負穿越之差為0 —80例例p1L(0的頻率范圍內，半次正穿越 —81例圖5-36(c)p2L(0的范圍內，正負穿越之差為1-2=-1≠2／2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定?！?2例例圖5-36(d)p=2L(0的范圍內，—83設II型系統(tǒng)p個右根，如果在所有L()0相頻特性曲線()()線上正負穿(p+1)/2次，—841.用判據看系統(tǒng)相對穩(wěn)定虛軸左移σ，令zs—851066061實際4個根為-1,2,3,5.75.72.用Nyquist Nyquist(-1,j0) O—87 1 c Gj—88 20lgK20lg 20lgGjgGj—891 Re0° —900K= 0K= K1520lgG(j1)20lg()540 )20lgG(j1)20lgG(jc1c 6dBcG(j)c90arctan() c5—91開環(huán)傳遞函數為Gs 例K= G(j)90arctan(