專題03三角形與圓（四大題型）

專題03三角形與圓【題型歸納目錄】題型一：三角形的“四心”題型二：幾種特殊的三角形題型三：直線與圓的位置關(guān)系題型四：點(diǎn)的軌跡【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.如圖3.2-1，在三角形中，有三條邊，三個角，三個頂點(diǎn)，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn).三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等.三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.過不共線的三點(diǎn)A、B、C有且只有一個圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).知識點(diǎn)2：幾種特殊的三角形ABC中，三角形的內(nèi)心I、重心G、垂心H必然在一條直線上.結(jié)論二：正三角形三條邊長相等，三個角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點(diǎn)稱為正三角形的中心.知識點(diǎn)3：直線與圓的位置關(guān)系設(shè)有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？圖1觀察圖1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離時，直線和圓相離，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時，直線和圓相切，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時，直線和圓相交，如圓與直線.圖2在直線與圓相交時，設(shè)兩個交點(diǎn)分別為A、B.若直線經(jīng)過圓心，則AB為直徑；若直線不經(jīng)過圓心，如圖2，連結(jié)圓心和弦的中點(diǎn)的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長的一半，根據(jù)勾股定理，有.圖3當(dāng)直線與圓相切時，如圖3，為圓的切線，可得，，且在中，.圖4如圖4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而.知識點(diǎn)4：點(diǎn)的軌跡在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個條件運(yùn)動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點(diǎn)組成的.例如，把長度為的線段的一個端點(diǎn)固定，另一個端點(diǎn)繞這個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于；同時，到定點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：（1）圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.下面，我們討論一些常見的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.從上面對圓的討論，可以得出：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓.我們學(xué)過，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個端點(diǎn)的距離相等；反過來，和線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：和已知線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個角的平分線.【題型歸納目錄】題型一：三角形的“四心”題型二：幾種特殊的三角形題型三：直線與圓的位置關(guān)系題型四：點(diǎn)的軌跡【典例例題】題型一：三角形的“四心”例1．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，已知，M為邊上一動點(diǎn)，，D為邊上一動點(diǎn)，，交于點(diǎn)N．(1)【問題提出】三角形的三條中線會相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性質(zhì)，請大家探究以下問題若，則______（直接寫出結(jié)果）(2)【問題探究】若，猜想與n存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論(3)【問題拓展】若，，則______（直接寫出結(jié)果）【解析】（1）如圖，連接，，，，，，∴點(diǎn)D、M分別是、的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，故答案為：2．（2）過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)E，，，，，，，，又，，，又，，，．（3）過點(diǎn)A作，，，，，，是的中線，，設(shè)，，，由（2）可知，，，，，，又因為，，，．例2．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，，連接，將繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為，旋轉(zhuǎn)角為且.(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)落在線段上時，求的長；(2)連接、，當(dāng)時，求；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若的重心為G，則的最小值=________.【解析】（1）如圖1，∵四邊形矩形，，，∴，，，當(dāng)落在線段上時，由旋轉(zhuǎn)得，∴；（2）如圖2，點(diǎn)與點(diǎn)C在直線的同側(cè)，作于點(diǎn)E，則，由旋轉(zhuǎn)得，，∵，∴，∴點(diǎn)B、、D在同一條直線上，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴；如圖3，點(diǎn)B′與點(diǎn)C在直線的異側(cè)，作交的延長線于點(diǎn)E，則，由旋轉(zhuǎn)得，，∵，∴，∴與重合，∴點(diǎn)B、、D在同一條直線上，∵，∴，，∴，，∴，∴，綜上所述，值為3或．（3）（3）如圖4，在上截取，則，作于點(diǎn)H，在上截取，連接FG、，則，∵，∴H為的中點(diǎn)，∴為的中線，∴點(diǎn)G為的重心，∵，，∴，∴，取的中點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)P，連接，則，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心、半徑為的圓上運(yùn)動，∵，即，∴，∴，∴當(dāng)時，的長最小，∵OC，∴，∴的最小值是，故答案為：．例3．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，已知中，點(diǎn)D、E分別在邊和上，，且DE經(jīng)過的重心G．(1)設(shè)，___________（用向量表示）(2)如果，，求邊的長．【解析】（1）連接并延長交于點(diǎn)F．∵，∴，，∴，，∴．∵G是的重心，∴，∴，∵，．故答案為：．（2）∵，，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．例4．（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動，過點(diǎn)作交邊或邊于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，且，以、為鄰邊作矩形．設(shè)矩形與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動時間為（秒）．(1)用含的代數(shù)式表示線段的長．(2)當(dāng)點(diǎn)落在上時，求的值．(3)當(dāng)矩形與重疊部分圖形為四邊形時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．(4)若重心為，矩形中心為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)到直線距離相同時，請直接寫出的值．【解析】（1）∵，，，∴根據(jù)勾股定理：，如圖2，當(dāng)與重合時，，，即，∴，，即，∴，∵，∴當(dāng)時，如圖1，；如圖3，，∴，，即，∴，當(dāng)時，如圖3，；綜上，當(dāng)時，，當(dāng)時，．（2）當(dāng)點(diǎn)落在上時，如圖4，，，∵，即，∴，∴（秒）；（3）由（2）知當(dāng)（秒）時，落在上，∴當(dāng)時，如圖1，矩形在內(nèi)，與重疊部分圖形是矩形，∴；如圖5，當(dāng)與重合時，，則，解得，當(dāng)時，如圖6，，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴；綜上，與之間的函數(shù)關(guān)系式是：．（4）如圖7，取的中點(diǎn)，連接，在上，是的重心，分別過點(diǎn)、作的垂線，垂足分別為、，∵，是的重心，∴，，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)到直線距離相同時，當(dāng)時，在上，，解得：，，符合題意；當(dāng)時，在上，，解得：，符合題意；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)到直線距離相同時，的值為或．例5．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）問題提出

（1）如圖1，已知點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，分別過點(diǎn)作，，連接.若，，，則的最小值為；問題解決（2）如圖2，某公園規(guī)劃修建一塊形如四邊形的牡丹園，其中，，，，，的內(nèi)心處修建一個圓形噴水池，公園的入口是的中點(diǎn)，是一條觀賞小道，其余部分種植牡丹，現(xiàn)需要在邊上取點(diǎn)，上找點(diǎn)，修建道路為了節(jié)省成本，需要使修建的道路最短，即的值最小，是否存在這樣的點(diǎn)，使得的值最小？若存在，請求出其最小值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）過作交的延長線于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，∴，，∴當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：的最小值為的長度，∴在中，，∴，∴的最小值為，故答案為；

（2）如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，，∴，∵在中，，，∴是等邊三角形，延長交于點(diǎn)，∵為為內(nèi)心，∴為的高，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴（），∵為的內(nèi)心，∴為的重心，外心，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時，有最小值，∴有最小值，∴，∵，∴，∴，∴有最小值為；

例6．（2023·安徽六安·?？寄M預(yù)測）我們知道，三角形三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，已知點(diǎn)I為的內(nèi)心．

(1)如圖1，連接并延長交于點(diǎn)D，若，求的長；(2)如圖2，過點(diǎn)I作直線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．①若，求證：；②如圖3，交于點(diǎn)D，若，，求的值．【解析】（1）如圖1，

∵點(diǎn)I為的內(nèi)心，，∴是等邊三角形，∴，，∴，在中，，∴．（2）①∵，點(diǎn)I為的內(nèi)心，∴，

∵，∴，∴，∵點(diǎn)I為的內(nèi)心，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．②如圖，過點(diǎn)N作交的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作于H，∵點(diǎn)I為的內(nèi)心，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．

∴，∴，∴，∴．例7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)I是的內(nèi)心．

(1)求作過點(diǎn)I且平行于的直線，與分別相交于點(diǎn)D，E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若，，，求的長．【解析】（1）如圖，直線即為所作；

（2）如圖，過點(diǎn)I作于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，于點(diǎn)M，于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，連接．

∵，∴，∴,∴．∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，∴．∵，，∴．∵，即，∴，．由所作輔助線可知四邊形為矩形，∴，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴，解得：．例8．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，分別按要求畫出圖形（僅用無刻度直尺，并保留畫圖痕跡）．(1)在圖1中，已知線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，畫出一個以為腰的等腰，且C在格點(diǎn)上．(2)在圖2中，已知為格點(diǎn)三角形，作出的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ．【解析】（1）如圖所示，即為所求；∵，∴是以為腰的等腰三角形；（2）在上取格點(diǎn)，使，連接，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，的交點(diǎn)即為的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ，如圖所示：∵，是的中點(diǎn)，∴是的角平分線，同理可得：是的角平行線，∴的交點(diǎn)即為的內(nèi)心點(diǎn)Ⅰ．例9．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考二模）【問題背景】（1）如圖1，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，，求證：；【問題探究】（2）在（1）條件下，若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，求證：；【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，在中，，點(diǎn)O是的內(nèi)心，若，，則的長為______．【解析】（1）證明：∵，又∵，∴，又∵，∴．（2）證明：∵，∴，又∵C為的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，∴，即．（3）如圖，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，∵點(diǎn)O是的內(nèi)心，，，，、、是等腰直角三角形，，，，∵點(diǎn)O是的內(nèi)心，、分別平分、，，，又，，，，，，，，，，，故答案為：10．例10．（2021·山西呂梁·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：我們知道三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．由于三角形的三條高（或高所在的直線）相交于一點(diǎn)，因此我們把三角形三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心．下面我們以銳角三角形為例，證明三角形的三條高相交于一點(diǎn)．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的高，且AD與BE相交于點(diǎn)P．連接CP并延長，交AB于點(diǎn)F．求證：CF⊥AB．證明：分別過點(diǎn)A，B，C作它們所對邊的平行線，三條平行線兩兩相交于點(diǎn)M，N，Q．分別連接PM，PN，PQ．∵M(jìn)NBC，MQAB，NQAC，∴四邊形MABC，四邊形ANBC，四邊形ABQC都是平行四邊形．∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．∵AD⊥BC，∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．∴PM=PN．…學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）請將上面剩余的證明過程補(bǔ)充完整；（2）點(diǎn)P是△MNQ的．（填出字母代號即可）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心（3）若∠CAB=40°，則∠MPN=°．【解析】（1）∵BE⊥AC，∴∠EBQ=∠BEA=90°，即EB⊥NQ．∴PN=PQ．∴PM=PQ．∴PC⊥MQ，∴∠CFB=∠FCM=90°．∴CF⊥AB．（2）∵PM=PQ=PN，∴點(diǎn)P是△MNQ的外心，故選B．（3）∵四邊形ABQC都是平行四邊形，∴∠BQC=∠CAB=40°，∵點(diǎn)P是△MNQ的外心，∴∠MPN=2∠BQC=2×40°=80°，故答案是：80°．例11．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)三角形高線時，發(fā)現(xiàn)三角形三條高線交于一點(diǎn)，我們把這個交點(diǎn)叫做三角形的垂心．課后小明同學(xué)繼續(xù)探究，上網(wǎng)搜索得到了三角形重心的一條性質(zhì)，制作了如下表格進(jìn)行探究．三角形關(guān)型直角三角形銳角三角形鈍角三角形垂心的位置直角頂點(diǎn)①在三角形外部垂心的性質(zhì)三角形任意頂點(diǎn)到垂心的距離等于外心到對邊的距離的兩倍．圖形圖1圖2(1)表格中①處應(yīng)填：．(2)小明先選擇了直角三角形來探究重心的性質(zhì)，寫出了已知求證，請完成證明．已知：如圖1，⊙O是的外接圓，，H是的垂心，，垂足為E．求證：．(3)如圖2，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，高線AF與高線CG交于點(diǎn)H，于點(diǎn)E，為了證明．小明想把銳角三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，為此他過點(diǎn)B作了⊙O的直徑BD，請繼續(xù)小明的思路證明．【解析】（1）∵銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，∴銳角三角形三條高的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部在三角形內(nèi)部，∴銳角三角形的垂心在三角形的內(nèi)部；（2）如圖1，⊙O是的外接圓，，∴點(diǎn)O為AC中點(diǎn)．∵，∴E為BC中點(diǎn)．∴OE為的中位線，∴即；（3）證明：如圖2，連結(jié)AD、CD，∵BD是⊙O的直徑，∴，由（2）可知，又∵，∴．同理．∴四邊形ADCH是平行四邊形，∴．∴．例12．（2017秋·湖北武漢·九年級階段練習(xí)）如圖①，小聰在學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，則∠BAD=∠OAC．(1)請你幫小聰證明這個結(jié)論；(2)運(yùn)用以上結(jié)論解決問題：如圖②，H為△ABC的垂心，若∠ABC的平分線BE⊥HO，⊙O的半徑為10，求弦AC的長．【解析】（1）證明：作直徑AE，連結(jié)CE，如圖①，∵AE為直徑，∵AD⊥BC，∵∠AEC=∠ABD，∴∠BAD=∠EAC，即∠BAD=∠OAC；（2）作直徑CF，延長AH交BC于D，連結(jié)AF、BF、BH、OB，如圖②，∵CF為直徑，∵為的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC，∴四邊形AHBF為平行四邊形，∴AF=BH，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，由(1)的結(jié)論得∠ABH=∠CBO，∴∠HBE=∠OBE，∵OH⊥BE，∴△BOH為等腰三角形，∴BH=OB=10，∴AF=BH=10，在中，∵CF=20，AF=10，例13．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一三四中學(xué)?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)N坐標(biāo)為，，一個高為3的等邊，邊在x軸上，將此三角形沿著x軸平移，在平移過程中，得到．(1)求直線l的表達(dá)式；(2)當(dāng)?shù)耐庑腜恰好落在直線l上時；求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)在第一象限時，若為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，在中，，，，由勾股定理得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將，代入，得：，解得：，直線的表達(dá)式為：．（2）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，、交于，為等邊三角形，點(diǎn)為的外心，由等邊三角形的性質(zhì)得：，在中，，即：，，在中，，即：，，當(dāng)沿軸平移時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為1，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線上時，則有：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3），當(dāng)沿軸平移時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為3，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為3，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在第一象限，，又點(diǎn)，點(diǎn)，，，，當(dāng)為等腰三角形時，有以下三種情況：①當(dāng)時，則，即：，解得：，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，則，即：，解得：，，不合題意，舍去，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；③當(dāng)時，則，即：，解得：，，不合題意，舍去，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．例14．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知菱形的邊長為4．，等邊兩邊分別交邊于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)．求證：菱形對角線的交點(diǎn)O即為等邊的外心；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)始終分別在邊上移動，等邊的外心為點(diǎn)P．①猜想驗證：如圖2．猜想的外心P落在哪條直線上，并加以證明；②學(xué)以致用：如圖3，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，過點(diǎn)P任作一直線分別交邊于點(diǎn)M，交邊的延長線于點(diǎn)N，求的值．【解析】（1）證明：如圖1，連接，∵四邊形是菱形，∴平分．∴，．又∵E、F分別為中點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)O為的外心．

（2）①猜想：外心P一定落在直線上，證明如下：如圖2，分別連接，過點(diǎn)P分別作于I，于J，∴．∵，∴．∵點(diǎn)P是等邊的外心，∴，∴．∴．∴．∴．∴點(diǎn)P在的平分線上，即點(diǎn)P落在直線上；

②∵是等邊三角形，∴，∴當(dāng)最小時，的面積最小，∴當(dāng)時．面積最小，連接，∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴點(diǎn)E為的中點(diǎn)，同理點(diǎn)F為的中點(diǎn)．連接交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為的外心．

如圖3．設(shè)交于點(diǎn)G，設(shè)，則，∵，∴，又∵∴．∴．∴．∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，即．題型二：幾種特殊的三角形例15．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，直線與反比例函數(shù)在第一條限內(nèi)交于，兩點(diǎn)，軸上的點(diǎn)滿足．

(1)若點(diǎn)坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若的面積為，求實數(shù)的值；(3)設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，求的值．【解析】（1）∵點(diǎn)在直線與反比例函數(shù)圖像上，∴，，∴，，∴直線的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為，聯(lián)立，得：，解得：，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，，∴，∵，∴，∴，∵的面積為，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴實數(shù)的值為．（3）∵直線與反比例函數(shù)在第一條限內(nèi)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，∴，∴，∴，∵，∴，∴的值為．例16．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，為正方形的邊上一點(diǎn)，為等腰直角三角形，其中．

(1)如圖1，連接，求的大小；(2)設(shè)交對角線于點(diǎn)，斜邊交對角線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．①如圖2，若，求的長；②如圖3，若為中點(diǎn)，求的值．【解析】（1）如圖所示，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，

∵為等腰直角三角形，∴，∴，，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）①依題意，，又，∴，∴，而，∴，∴；②連接，∵，且∴，∴，又為的中點(diǎn)，∴，∴．

例17．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在上處，若，求的值；

（2）如圖②，在矩形的邊上取一點(diǎn)，將四邊形沿翻折，使點(diǎn)落在的延長線上處，若，求的值；（3）如圖③，在中，，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，且滿足，直接寫出的值．【解析】（1）如圖①，∵四邊形是矩形，∴，，，由翻折性質(zhì)得，，在中，，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，，∴；（2）如圖②，∵四邊形是矩形，∴，，，由翻折性質(zhì)得，，，，∴∴，∴，∴，即，又，∴，∴，在中，，∴，則，∴；（3）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，則；設(shè)，，過點(diǎn)D作于H，如圖③，則，∴；

∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，，在中，，在圖③中，過B作于G，則，∴，∴，∴，，∵，，∴，則，在中，，，∵，∴，則，∴．

例18．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，和相交于點(diǎn)，，．點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)當(dāng)時，求證：四邊形是矩形．【解析】（1）證明：在與中，∴，∴又∵、分別是、的中點(diǎn)．∴；（2）∵∴，∴四邊形是平行四邊形，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴∴是等邊三角形，∴∴∴四邊形是矩形．例19．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是邊長為的等邊三角形，是上一動點(diǎn)，連接，以為邊向的右側(cè)作等邊，連接.

(1)【嘗試初探】如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，與相交于點(diǎn)，在運(yùn)動過程中發(fā)現(xiàn)有兩個三角形始終保持全等，請你找出這對全等三角形，并說明理由.(2)【深入探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，延長ED，交CB的延長線于點(diǎn)H，隨著D點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)時，求的值.(3)【拓展延伸】如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上運(yùn)動時，、相交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時，求的長.【解析】（1）如圖1，，理由如下：∵與都是等邊三角形，∴，∴，即，∴；（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是邊長為3的等邊三角形，，∴，∵，∴，，由（1）得，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，

∴，∴；（3）如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵與都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，

又∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵是邊長為3的等邊三角形，∴，，∴，

∵，∴，即，解得，∵點(diǎn)在的延長線上，∴，∴，∴，即∵，∴．例20．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，D為等邊三角形的邊延長線上一點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，連接交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，且，求的長．【解析】（1）證明：都是等邊三角形，，，即，，；（2）是等邊三角形，，垂直平分，，，是的中位線，，．題型三：直線與圓的位置關(guān)系例21．（2023·浙江溫州·溫州市第二十三中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知等腰，．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向運(yùn)動，到B點(diǎn)結(jié)束．點(diǎn)E為上的一個固定點(diǎn)，過B，P，E三點(diǎn)的交線段于點(diǎn)F，連結(jié)．記，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到時，此時．

(1)求的值；(2)點(diǎn)P運(yùn)動到中點(diǎn)時，求的面積和的半徑．(3)在整個運(yùn)動過程中，①當(dāng)四邊形中有兩條邊相等時，求x的值；②連結(jié)，當(dāng)時，則與的比是______．（直接寫出答案）【解析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系如圖1，

由題意知，，，，∴是的直徑，是等腰直角三角形，∴，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，又∵，∴是等腰三角形，∴，∴，∵，∴，∴，則，∴，∴；（2）由（1）可知，建立平面直角坐標(biāo)系如圖2，

∵P為中點(diǎn)，∴，∴，∴，由在的垂直平分線上，設(shè)，∵，即，解得，，（舍去），∴的面積為，的半徑為；（3）①由題意知，分情況求[1]當(dāng)時，建立平面直角坐標(biāo)系如圖3，連接交于，過作于，

由垂徑定理得，∴，∴，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴當(dāng)或時，；[2]當(dāng)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖4，

由在，的垂直平分線上設(shè)，由，即，解得，∴，∴，∴；[3]當(dāng)或時，如圖1，∴，∴；綜上所述，或或；②建立平面直角坐標(biāo)系如圖5，于，

由垂徑定理得，∴，由在的垂直平分線上，且，設(shè)，由，即，解得，，（舍去），∴，，∴；∴當(dāng)時，則與的比是，故答案為：．例22．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)：我們知道，圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，那么過對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)能作一個圓嗎？學(xué)習(xí)小組經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：過對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)能作一個圓．下面是學(xué)習(xí)小組的證明過程：已知：在四邊形中，求證：過點(diǎn)、、、可作一個圓．證明：假設(shè)過點(diǎn)、、、四點(diǎn)不能作一個圓，設(shè)過點(diǎn)、、三點(diǎn)作出的圓為．分兩種情況討論．①如圖（），若點(diǎn)在內(nèi)．延長交于點(diǎn)，連接．是的外角，．，，，與矛盾，②如圖（），若點(diǎn)在外．設(shè)交于點(diǎn)，連接．是的外角，．，，，與矛盾．綜上可知，假設(shè)不成立，故過點(diǎn)、、、可作一個圓．學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)在以上應(yīng)用反證法的證明過程中主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______．(2)應(yīng)用上述結(jié)論，解決以下問題：如圖（3），在四邊形中，，對角線，交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)；②若，，求的長．【解析】（1）根據(jù)題意，分點(diǎn)在圓內(nèi)與圓外兩種情況討論∴應(yīng)用反證法的證明過程中主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想；故答案為：分類討論思想．（2）①∵；∴過點(diǎn)A，B，C，D可作一個圓，如圖所示．②，．，，又，，，．設(shè)，則，，解得，（不合題意，舍去），．例23．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知，是半徑為1的的弦，的另一條弦滿足，且于點(diǎn)H（其中點(diǎn)H在圓內(nèi)，且）．

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦與點(diǎn)H（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)連結(jié)，猜想，當(dāng)弦的長度發(fā)生變化時，線段的長度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由：若不變，求出的長度；(3)如圖2，延長至點(diǎn)F，使得，連結(jié)，的平分線交的延長線于點(diǎn)P，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連結(jié)，若．求證：．【解析】（1）如圖1，、點(diǎn)即為所求；

（2）當(dāng)弦的長度發(fā)生變化時，線段的長度不變；如圖2，連結(jié)，連接并延長交于，連結(jié)，，過作于，于，則四邊形是矩形，

∵，，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴線段是定長，長度不發(fā)生變化，值為；（3）證明：如圖3，延長、，交點(diǎn)為，

∵，∴點(diǎn)H為的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，又∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，如圖3，作的外接圓，延長交外接圓于點(diǎn)，連結(jié)、，∵是的平分線，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴．例24．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于是延長線上的一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【解析】（1）如圖，連接，

∵，∴，∴，∴，由等邊對等角可得，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，又∵是半徑，∴是的切線；（2）如圖2，記與交點(diǎn)為，連接，過作于，

∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，設(shè)半徑為，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，又∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，∴的長為6．例25．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）如圖，已知，在中，，以為直徑作，交邊的中點(diǎn)．于點(diǎn)，連結(jié)．

(1)求證：是的切線．(2)請你給添加一個條件，并求弧的長．【解析】（1）如圖所示，連接，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，點(diǎn)在上，∴是的切線．（2）添加條件為：（添加條件不唯一），∴，且，∴的半徑，∴弧的長為，∴弧的長為．例26．（2023·福建福州·校考三模）如圖，已知的半徑為2，是的直徑，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)．以為邊作，使得，，與的交點(diǎn)為，連接，．

(1)判斷直線和位置關(guān)系；(2)若的長為，，延長交于點(diǎn)，求證：．【解析】（1）直線與相切，理由如下，

∵的半徑為2，是的直徑，，∴，又∵，，∴，∴，則，∵為與的交點(diǎn)，即點(diǎn)在上，∴，∴直線與相切；（2）∵的長為，即：，∴，∵，∴，∵，

∴，即，∵，∴，∴，∴，∴．和，且于點(diǎn)，鐘面由若干個形如菱形的可活動木條組成，指針繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動，菱形的頂點(diǎn)與點(diǎn)用連桿連接.將其抽象為圖，為點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，與交于點(diǎn)，連接，與相切，且點(diǎn)，，恰好在同一條直線上.請根據(jù)圖解答下列問題：

(1)求證：；(2)若，，求的長.【解析】（1）證明：∵與相切，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）在直角三角形中，∵，∴，連接交于點(diǎn)F，如圖，∵四邊形是菱形，∴，∵點(diǎn)，，恰好在同一條直線上，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∴.題型四：點(diǎn)的軌跡例28．（2023·河南鄭州·河南省實驗中學(xué)校考三模）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

(1)操作判斷如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中與的數(shù)量關(guān)系：______．(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，請求出的值，并說明理由；(3)拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片的邊長為，動點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動，動點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動，動點(diǎn)、同時開始運(yùn)動，且速度相同，連接、，交于點(diǎn)，連接，則線段長度的最小值為______，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）【解析】（1）∵四邊形是正方形，∴，，又，∴∴∴，在和中，∵，，∴，∴；故答案為：；（2），理由如下：∵四邊形是矩形，∴，，又，∴∴∴，∴∴∵∴（3）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，

由題意知，，，∴，∴∴∵是的中點(diǎn)，，∴，在中，；在中，∵，∴的最小值是，∵，∴、、三點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，在以半徑為1的圓上運(yùn)動，∴點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的長為：，故答案為：；．例29．（2023·河南·河南省實驗中學(xué)?？既＃┚C合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中與的數(shù)量關(guān)系：______．

（2）遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，請求出的值，并說明理由．

（3）拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片的邊長為2，動點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動，動點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動，動點(diǎn)、同時開始運(yùn)動，且速度相同，連接、，交于點(diǎn)，連接，則線段長度的最小值為______，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）

【解析】（1）∵四邊形是正方形，∴，，又，∴∴∴，在和中，∵，，∴，∴；故答案為：（2）∵四邊形是矩形，∴，，又，∴∴∴，∴∴∵∴（3）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，

由題意知，，由（1）可得，同理可得：，∵是的中點(diǎn)，，∴，在中，；在中，∵，∴的最小值是，∵，∴、、三點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，在以半徑為1的圓上運(yùn)動，∴點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的長為：，故答案為：；．例30．（2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)、與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．以為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點(diǎn)E，圓心為I，P是半圓上一動點(diǎn)，連接，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)．(1)試用含a的代數(shù)式表示c；(2)若恒成立，求出此時該拋物線解析式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)Р沿半圓從點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)A時，點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡是什么，試求出它的路徑長．【解析】（1）∵拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)、，∴該函數(shù)的解析式為，∴．（2）連接，∵P是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，且，∴點(diǎn)D在上，∴，∵該拋物線的對稱軸為直線，∴，把代入得：，解得：，∴該拋物線解析式為：；（3）∵，∴，∴點(diǎn)Q在以為直徑的圓上運(yùn)動，∵、，，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，，即，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，，即，∴軸，，∴點(diǎn)Q在以中點(diǎn)為圓心的半圓上運(yùn)動，點(diǎn)Q的路徑長為：．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┤鐖D中，平分，則的面積為（）

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴的面積，故選：B．

2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，中，，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過作于，若，則長為（

）

A． B． C． D．2【答案】B【解析】∵將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵∴，∵，∴∴，∴，∵，，∴，∴，∴；故選B．3．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，為的直徑，為的切線，連接交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】為的切線，半徑，，，，，，．故選：．4．（2023·吉林長春·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，按下列方式作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)為圓心，大于的長度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；③作射線交于點(diǎn)，若．則的面積為（

）

A．7 B．8 C．14 D．16【答案】A【解析】過點(diǎn)E作于H，如圖，

由題中作圖可知：是的平分線，又∵，∴，∵∴∴故選：A．5．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】證明：四邊形是菱形，在和中，故A、C正確；故B正確；無法確定點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是的中點(diǎn)，無法判斷正確，故D錯誤；故選：D．6．（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考一模）如圖，將四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A，B，C，D，O在小正方形的頂點(diǎn)上，的半徑為1，E是劣弧的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，∵E是劣弧的中點(diǎn)，，∴，∴，∴．故選：C．7．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？既＃┤鐖D，點(diǎn)A、B、C在圓O上，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是的外接圓，，∴，∵，∴，故選：A．8．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？既＃┤鐖D，在半圓中，，將半圓沿弦所在的直線折疊，若弧恰好過圓心，則弧的長是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】過點(diǎn)O作，連接，如圖所示，

∵將半圓沿弦所在的直線折疊，若弧恰好過圓心，∴，∴，∵，∴，∴弧長2弧長，∵，∴，∵，∴故選：C．9．（2023·吉林長春·東北師大附中?？既＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】是等邊三角形，，.四邊形是平行四邊形，，，.，..故選：D.10．（2023·浙江溫州·?？既＃┰趲缀螌W(xué)發(fā)展的歷史長河中，人們發(fā)現(xiàn)了許多經(jīng)久不衰的平面幾何定理，蘇格蘭數(shù)學(xué)家羅伯特·西姆森發(fā)現(xiàn)從三角形外接圓上任意一點(diǎn)向三邊（或其延長線）所作垂線的垂足共線，這三個垂足的連線后來被稱為著名的“西姆森線”．如圖，半徑為4的為的外接圓，過圓心O，那么過圓上一點(diǎn)P作三邊的垂線，垂足E、F、D所在直線即為西姆森線，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，連接，

由題意可得，點(diǎn)E、F、D共線，∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)A，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴．故選：D．二、填空題11．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？既＃┤鐖D，、是的切線，A、為切點(diǎn)，點(diǎn)、在上．若，則的度數(shù)是________．

【答案】/100度【解析】連接，如圖所示：

∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，即，∵、是的切線，A、為切點(diǎn)，∴，∴，∴．故答案為：．12．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連接，若，則的度數(shù)是________．

【答案】/130度【解析】為的直徑四邊形內(nèi)接于故答案為：．13．（2023·安徽安慶·?？既＃┤鐖D，已知，在中，，是優(yōu)弧上一點(diǎn)，、是劣弧上不同的兩點(diǎn)（不與、兩點(diǎn)重合），則的度數(shù)為_____°．

【答案】105【解析】連接，∵在中，，∴，∵，，∴．故答案為：．

14．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在AC邊上，，點(diǎn)為斜邊上一動點(diǎn)，連接PD，PC，則周長的最小值為______．

【答案】/【解析】如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，當(dāng)在線段上時，取得最小值，最小值為的長，∵，，，∴∴,∴是等邊三角形，∵，則，∴中，在中，，，∵周長為，故答案為：．15．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二六中學(xué)校考三模）如圖，和均為等邊