第二章　§3　導數(shù)的計算

第二章導數(shù)及其應用§3導數(shù)的計算課后篇鞏固提升必備知識基礎(chǔ)練1.若f'(x0)=-2,則limk→0f(xA.-2 B.-1 C.2 D.1答案D解析根據(jù)導數(shù)定義可知,limk→0f(x0-12k)-f(x2.下列各式中正確的個數(shù)是()①(x7)'=7x6;②(x-1)'=x-2;③1x'=-12x-32;④(5x2)'=25x-35;⑤(cosA.3 B.4 C.5 D.6答案B解析∵②(x-1)'=-x-2,⑥(cos2)'=0,∴②⑥不正確.故選B.3.若函數(shù)f(x)=cosx,則f'π4+fπ4的值為()A.0 B.-1 C.1 D.2答案A解析f'(x)=-sinx,所以f'π4+fπ4=-sinπ4+cosπ4=0.4.已知f(x)=xa,若f'(1)=4,則a的值等于()A.4 B.-4 C.5 D.-5答案A解析∵f'(x)=axa-1,f'(1)=a(1)a-1=4,∴a=4.5.函數(shù)y=f(x)=2x2+4x在x=3處的導數(shù)為.

答案16解析f'(3)=lim=lim=16.6.一做直線運動的物體,其位移s與時間t的關(guān)系是s=3t-t2,則物體的初速度是.

答案3解析v初=s'(0)=limΔt→0s(0+Δ7.已知f(x)=1x,g(x)=mx,且g'(2)=1f'(2),答案-4解析由題得,f'(x)=-1x2,g'(x)∵g'(2)=1f'(2),8.設直線y=12x+b是曲線y1=lnx(x>0)的一條切線,則實數(shù)b的值為.答案ln2-1解析因為y1'=(lnx)'=1x,設切點為(x0,y0由題意,得1x0=12,所以x0=2,y代入直線方程y=12x+b,得b=ln2-19.利用導數(shù)的定義求函數(shù)y=f(x)=x-2x的導數(shù)解由導數(shù)定義,得Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)-2x+Δx-x-2x∴ΔyΔx=1+2x(x+Δx),當Δx趨于0時,10.用求導數(shù)的公式求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=x8;(2)y=4x;(3)y=log3x;(4)y=sinx+π2;(5)y=e2.解(1)y'=(x8)'=8x8-1=8x7.(2)y'=(4x)'=4xln4.(3)y'=(log3x)'=1x(4)y'=sinx+π2'=(cosx)'=-sinx.(5)y'=(e2)'=0.關(guān)鍵能力提升練11.已知函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)為f'(x0),則limΔx→0A.mf'(x0) B.-mf'(x0)C.-1mf'(x0) D.1mf'(x答案A解析根據(jù)題意,lim=mlimΔx→0f(12.已知曲線f(x)=x3在點(2,8)處的切線方程為y=kx+b,則k-b等于()A.4 B.-4 C.28 D.-28答案C解析∵點(2,8)在切線上,∴2k+b=8,①又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.13.設正弦曲線y=sinx上一點P,以點P為切點的切線為直線l,則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A.0,π4∪3π4,π B.[0,π)C.π4,3π4 D.0,π4∪π答案A解析∵(sinx)'=cosx,∴kl=cosx,∴-1≤kl≤1,∴α∈0,π4∪3π4,π.14.(多選題)以下運算正確的是()A.1x'=1x2 B.(cosx)'=-sinC.(2x)'=2xln2 D.(tanx)'=1答案BCD解析1x'=-1x2,所以A不正確;因為(cosx)'=-sinx,故B正確;因為(2x)'=2xln2,所以C正確;因為(tanx)'=1cos2x15.(多選題)已知曲線y=x3在點P處的切線斜率為k,則當k=3時的P點坐標為()A.(-1,1) B.(-1,-1)C.(1,1) D.(1,-1)答案BC解析由題得,y'=3x2,因為k=3,所以3x2=3,所以x=±1,則P點坐標為(-1,-1)或(1,1).16.設函數(shù)f(x)在x=x0處可導,當h趨于0時,對于f(x0+h)-f(x①與x0,h都有關(guān);②僅與x0有關(guān)而與h無關(guān);③僅與h有關(guān)而與x0無關(guān);④與x0,h均無關(guān).答案①17.設f0(x)=sinx,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,則f2020(x)=.

答案sinx解析由已知得,f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,…,依次類推可得,函數(shù)呈周期變化,且周期為4,則f2020(x)=f4(x)=sinx.18.函數(shù)y=x2(x>0)的圖象在點(ak,ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1,其中k∈N+,若a1=16,則a1+a3+a5的值是答案21解析∵y'=2x,∴y=x2(x>0)的圖象在點(ak,ak2)處的切線方程為y-ak2=2ak(x-ak).又該切線與x軸的交點坐標為(ak+1,0),∴ak+1=12ak,即數(shù)列{ak}是首項為a1=16,公比為q=12的等比數(shù)列,∴a3=4,a5=1,∴a1+a19.已知P為曲線y=lnx上的一動點,Q為直線y=x+1上的一動點,則當點P的坐標為時,PQ最小,此時最小值為.

答案(1,0)2解析如圖,當直線l與曲線y=lnx相切且與直線y=x+1平行時,切點到直線y=x+1的距離即為PQ的最小值.易知(lnx)'=1x,令1x=1,得x=1,故此時點P的坐標為(1,0),所以PQ的最小值為20.已知f(x)=x2,g(x)=x3,求適合f'(x0)+2=g'(x0)的x0的值.解f'(x0)=2x0,g'(x0)=3x0因為f'(x0)+2=g'(x0),所以2x0+2=3x02,即3x02-2x0-2=0,解得x0=1-7學科素養(yǎng)創(chuàng)新練21.設曲線y=xn+1(n∈N+)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=lgxn,求a1+a2+…+a解由題得y'=(n+1)xn,故在點(1,1)處的切線斜率k=n+1,所以切