高中物理解題方法11之6：導數法（原卷版）

高中物理解題方法之6：導數法（原卷版）江蘇省特級教師戴儒京在物理解題中用導數法，首先要把物理問題化歸為數學問題。在分析物理狀態(tài)和物理過程的基礎上，找到合適的物理規(guī)律，即函數，再求函數的導數，從而求解極值問題或其他問題，然后再把數學問題回歸到物理問題，明確其物理意義。例1、兩等量同種電荷在兩點電荷連線的中垂線上電場的分布圖1.兩等量正點電荷的電場強度在y坐標軸上的點的合成以兩點電荷的連線的中點為原點，以兩點電荷的連線的中垂線為y軸，則各點的電場強度可表示為：=因為原點的電場強度，往上或往下的無窮遠處的電場強度也為0，所以，從O點向上或向下都是先增大后減小，這是定性的分析。那么，在哪兒達到最大呢，需要定量的計算。例2、電源輸出功率最大問題的研究例題．如圖所示，R為電阻箱，eq\o\ac(○,V)為理想電壓表．當電阻箱讀數為R1=2Ω時，電壓表讀數為U1=4V；當電阻箱讀數為R2=5Ω時，電壓表讀數為U2=5V．求：(1)電源的電動勢E和內阻r。(2)當電阻箱R讀數為多少時，電源的輸出功率最大?最大值Pm為多少?圖3電路圖例3.證明：在碰撞中，完全非彈性碰撞動能損失最大大家知道，碰撞分彈性碰撞和非彈性碰撞兩類。彈性碰撞，動能和動量都守恒，非彈性碰撞，動能不守恒了,但動量還是守恒的。在非彈性碰撞中，有一種叫完全非彈性碰撞，兩個物體相碰后不分開，連在一起了，動能損失最大，動能不守恒,但動量還是都守恒的。為什么在完全非彈性碰撞中，動能損失最大呢？很多同學知其然不知其所以然，本文解決知其所以然的問題。彈性形變是指撤去外力后能夠恢復原狀的形變，能夠發(fā)生彈性形變的物體我們說它具有彈性。碰撞是在極短的時間內發(fā)生的，滿足相互作用的內力大于大于外力的條件，因此不管系統(tǒng)是否受到外力，一般都滿足動量守恒。因此彈性碰撞是同時滿足動量守恒和動能守恒的碰撞。一般意義上的碰撞，僅滿足動量守恒，碰撞過程中物體往往會發(fā)生形變，還會發(fā)熱、發(fā)聲，系統(tǒng)有動能損失，由于一般只研究碰撞發(fā)生在同一水平直線上的情況，系統(tǒng)在碰撞前后的重力勢能不變，因此動能損失也對應著機械能的損失，通常情況下是機械能轉化為內能。非彈性碰撞即物體發(fā)生碰撞后不反彈，區(qū)別于大多數的彈性碰撞，碰撞過程中會有動能損失。如圖1所示，設質量為m1的小球，速度為v1，與質量為m2的小球，速度為v2，發(fā)生碰撞，圖5碰撞碰撞后兩球的速度分別為v1’、v2’，取向右為矢量的正方向。例題.某同學利用如圖6所示的裝置研究碰撞問題。圖中兩擺擺長相同，懸掛于同一高度，、兩擺球均很小，質量相等皆為m。當兩擺均處于自由靜止狀態(tài)時，其側面剛好接觸。向右上方拉動球使其擺線伸直并與豎直方向成450角，然后將其由靜止釋放。求A球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上擺的最大角度的最大值和最小各值各是多少？例4.電磁感應問題如圖，質量為M的足夠長金屬導軌abcd放在光滑的絕緣水平面上。一電阻不計，質量為m的導體棒PQ放置在導軌上，始終與導軌接觸良好，PQbc構成矩形。棒與導軌間動摩擦因數為μ，棒左側有兩個固定于水平面的立柱。導軌bc段長為L，開始時PQ左側導軌的總電阻為R，右側導軌單位長度的電阻為R0。以ef為界，其左側勻強磁場方向豎直向上，右側勻強磁場水平向左，磁感應強度大小均為B。在t=0時，一水平向左的拉力F垂直作用在導軌的bc邊上，使導軌由靜止開始做勻加速直線運動，加速度為a。（1）求回路中感應電動勢及感應電流隨時間變化的表達式；（2）經過多長時間拉力F達到最大值，拉力F的最大值為多少？（3）某過程中回路產生的焦耳熱為Q，導軌克服摩擦力做功為W，求導軌動能的增加量。例5.交流電如圖（a），在同一平面內固定有一長直導線PQ和一導線框R，R在PQ的右側。導線PQ中通有正弦交流電流i，i的變化如圖（b）所示，規(guī)定從Q到P為電流的正方向。導線框R中的感應電動勢A．在時為零B．在時改變方向C．在時最大，且沿順時針方向D．在時最大，且沿順時針方向例6.帶電粒子在磁場中的運動粒子速度選擇器的原理圖如圖所示，兩水平長金屬板間有沿水平方向、磁感應強度為的勻強磁場和方向豎直向下、電場強度為的勻強電場。一束質量為m、電荷量為q的帶電粒子，以不同的速度從小孔0處沿中軸線射入此區(qū)域。研究人員發(fā)現有些粒子能沿中軸線運動并從擋板上小孔P射出此區(qū)域，其他還有些帶電粒子也能從小孔P射出，射出時的速度與預期選擇的速度的最大偏差量為,通過理論分析知道，這些帶電粒子的運動可以看作沿中軸線方向以速度為的勻速直線運動和以速率在兩板間的勻強磁場中做勻速圓周運動的合運動，、；均為未知量，不計帶電粒子重力及粒子間相互作用。(1)若帶電粒子能沿中軸線運動，求其從小孔O射入時的速度；(2)增加磁感應強度后，使帶電粒子以（1)中速度射入，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，兩板間距d應滿足什么條件？(3)磁感應強度為時，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量，從而提高速度選擇器的速度分辨本領，水平金屬板的長度L應滿足什么條件？例1題圖例7.振動和波問題圖甲為一列簡諧橫波在t=0．10s時的波形圖，P是平衡位置為x=1m處的質點，Q是平衡位置為x=4m處的質點，圖