數(shù)學(xué)高一-江蘇省南京市師范大學(xué)附屬中學(xué)秦淮科技高中2022-2023學(xué)年高一下五月月考數(shù)學(xué)答案

2022-2023學(xué)年南京師范大學(xué)附屬中學(xué)秦淮科技高中高一下五月月考試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，則的虛部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【解答】解：z＝＝＝i，故＝﹣i，其的虛部是﹣1，故選：D．2．在△ABC中，內(nèi)角A、B滿足sin2A＝sin2B，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解答】解：法1：∵sin2A＝sin2B，∴sin2A﹣sin2B＝cos（A+B）sin（A﹣B）＝0，∴cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0，∴A+B＝90°或A＝B，則△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A＝sin2B，且A和B為三角形的內(nèi)角，∴2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，則△ABC一定是等腰或直角三角形．故選：D．3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若c＝4，a＝4，A＝45°，則sinC等于（）A． B． C． D．【解答】解：∵c＝4，a＝4，A＝45°，∴由正弦定理，可得：sinC＝＝＝．故選：A．4．已知向量，且，則tan（π+α）＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴3cosα﹣4sinα＝0，可得tanα＝，則tan（π+α）＝tanα＝，故選：D．5．下列說法正確的是（）A．若與共線，則＝或者＝﹣ B．若?＝?，則＝ C．若△ABC中，點(diǎn)P滿足2＝+，則點(diǎn)P為BC中點(diǎn) D．若，為單位向量，則＝【解答】解：對(duì)于A，根據(jù)共線向量的定義顯然不成立，對(duì)于B，令＝，顯然不成立，對(duì)于C，根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)，成立，對(duì)于D，根據(jù)單位向量的定義，顯然不成立，故選：C．6．已知直線a、b是兩條不重合的直線，α、β是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）A．若a⊥α，a⊥β，則α∥β B．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b C．若a⊥b，b⊥α，a∥β，則α∥β D．若α∥β，a與α所成角和b與β所成角相等，則a∥b【解答】解：若a⊥α，a⊥β，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得α∥β，故A正確；若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b或a與b相交或a與b異面，故B錯(cuò)誤；若a⊥b，b⊥α，則a∥α或a?α，又a∥β，則α∥β或α與β相交，故C錯(cuò)誤；若α∥β，a與α所成的角和b與β所成的角相等，可得a與α所成的角和b與α所成的角相等，則a與b的位置關(guān)系可能平行、可能相交、也可能異面，故D錯(cuò)誤．故選：A．7．設(shè)a＝sin250°，b＝﹣cos50°，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b【解答】解：對(duì)于＝，所以b﹣a＝＝，故：b＞a，由于，a﹣c＝sin50°（sin50°﹣cos50°）＞0，故a＞c，故：b＞a＞c．故選：B．8．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面AA1B1B（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)．要使AB1⊥平面C1DF，則線段C1F的長(zhǎng)的最大值為（）A． B． C． D．【解答】解：取BB1上靠近B1的四等分點(diǎn)為E，連接DE，當(dāng)點(diǎn)F在DE上時(shí)，AB1⊥平面C1DF．證明如下：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，∴C1D⊥平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1，以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∴A（1，0，2），B1（0，1，0），D（，0），E（0，1，），∴＝（﹣1，1，﹣2），＝（﹣），此時(shí)?＝0，∴AB1⊥DE，∴AB1⊥平面C1DF，由題意得當(dāng)E，F(xiàn)為重合時(shí)，線段C1F最大，此時(shí)C1F＝．故選：A．二．多選題（共4小題）9．設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，z1≠0，下列命題正確的是（）A．若，則z1＝z2 B．|z1z2|＝|z1||z2| C．若，則|z1z2|＝|z1z3| D．【解答】解：對(duì)于A：?z1＝|z1|2，知z1z2＝?z1，∴z1（z2﹣）＝0，又z1≠0，∴z2＝，故A不正確；對(duì)于B：由復(fù)數(shù)模的定義可知|z1z2|＝|z1||z2|，故B正確；對(duì)于C：∵，z1≠0，∴z1??z1，∴|z1|＝|z1z3|，∵|z1|＝||z1|||＝|z1|z2|＝|z1z2|，∴|z1z2|＝|z1z3|，故C正確；對(duì)于D：設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，∴z1z2＝ac﹣bd+（ad+cb）i，∴＝ac﹣bd﹣（ad+cb）i，＝a﹣bi，＝c﹣di，＝（a﹣bi）（c﹣di）＝ac﹣bd﹣（ad+bc）i，故＝．故D正確．故選：BCD．10．已知向量，，則下列命題正確的是（）A．的最大值為 B．若，則 C．若是與共線的單位向量，則 D．當(dāng)取得最大值時(shí)，【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，||＝|（cosα﹣2，sinα﹣1）|＝＝＝，其中tanβ＝2，α∈R，∴當(dāng)sin（α+β）＝﹣1時(shí)，||取得最大值，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，若，等式兩邊平方整理得，∴2cosα+sinα＝0，∴tanα＝﹣2，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，與共線的單位向量＝±＝＝或，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，∵f（α）＝＝2cosα+sinα＝，其中tanθ＝2，α∈R，∴當(dāng)，（k∈Z）時(shí)，sin（α+θ）＝1，f（α）取得最大值，此時(shí)，k∈Z，其中tanθ＝2，∴tanα＝＝，∴D選項(xiàng)正確．故選：AD．11．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（）A．斜三角形ABC中，tanAtanBtanC＝tanA+tanB+tanC B．若A＝30°，b＝4，a＝3，則△ABC有兩解 C．若acosB﹣bcosA＝c，則△ABC一定為直角三角形 D．若a＝4，b＝5，c＝6，則△ABC外接圓半徑為【解答】解：對(duì)于A，在斜△ABC中，tanA+tanB+tanC＝tanA+tanB﹣tan（A+B）＝＝＝，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由于A為銳角，且，則△ABC有兩解，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由于acosB﹣bcosA＝c，則sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，即sin（A﹣B）＝sin（A+B），∴2cosAsinB＝0，又A，B為△ABC內(nèi)角，則cosA＝0，即，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由余弦定理可得，，在△ABC中，有，∴△ABC外接圓半徑為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，則（）A．直線BD1⊥平面A1C1D B．三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值 C．異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是 D．直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1，如圖，B（1，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），C1（0，1，1），D（0，0，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），A（0，1，1），設(shè)P（x，y，z），設(shè)＝＝（x﹣1，y﹣1，z﹣1）＝λ（﹣1，0，﹣1），λ∈[0，1]，解得，∴P（1﹣λ，1，1﹣λ），對(duì)于A，＝（﹣1，﹣1，1），＝（1，0，1），＝（0，1，1），∵?＝﹣1×1+1×1＝0，＝﹣1×1+1×1＝0，∴，，∴BD1⊥DA1，BD1⊥DC1，∵DA1∩DC1＝D，∴直線BD1⊥平面A1C1D，故A正確；對(duì)于B，側(cè)面BCC1B1的對(duì)角線交于點(diǎn)O，∴CB1⊥OC1，＝，∵A1B1⊥平面BCC1B1，OC1?平面BCC1B1，∴A1B1⊥OC1，∵A1B1∩CB1＝B1，∴OC1⊥平面A1B1CD，＝＝＝為定值，故B正確；對(duì)于C，＝（﹣λ，1，1﹣λ），＝（1，0，1），設(shè)異面直線AP與A1D所成角為θ（），則cosθ＝＝＝，當(dāng)時(shí)，cosθ＝0，解得，當(dāng)時(shí)，cosθ＝＝，∵λ∈[0，）∪（]，∴（2λ﹣1）2∈（0，1]，∴≥1，∴，∴1+≥4，∴≥2，∴0＜，∴0，∴θ∈[），綜上，θ∈[]，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)平面A1C1D的法向量為＝（x0，y0，z0），＝（1﹣λ，0，2﹣λ），∴，∴，解得＝（﹣1，﹣1，1），線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值為：＝＝＝，∵λ∈[0，1]，∴λ＝1時(shí)，有最小值為，∴直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為＝，故D錯(cuò)誤．故選：AB．三．填空題（共4小題）13．已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝2﹣i（i為虛數(shù)單位），則|z+i|＝．【解答】解：由（1+i）z＝2﹣i得，z＝＝＝，故|z+i|＝＝＝，故答案為：．14．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線DB1與平面ABCD所成角的正弦值為．【解答】解：連接BD，則∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥面ABCD，∴∠D1BD是直線DB1與平面ABCD所成角設(shè)棱長(zhǎng)為1，則DB1＝，∴直線DB1與平面ABCD所成角的正弦值為．故答案為：．15．等邊△ABC中，已知AB＝1，點(diǎn)M在線段BC上，且滿足BM＝2CM，N為線段AB的中點(diǎn)，CN與AM相交于點(diǎn)P，則cos∠MPN＝﹣．【解答】解：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，∵AB＝1，∴B（﹣，0），C（，0），A（0，），∵點(diǎn)M在線段BC上，且滿足BM＝2CM，N為線段AB的中點(diǎn)，∴M（，0），N（﹣，），∴＝（，﹣），＝（﹣，），∴cos∠MPN＝＝＝﹣，故答案為：﹣．16．已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosC＝ccosB，則＝2，的最小值為．【解答】解：因?yàn)?bcosC＝ccosB，所以2sinBcosC＝sinCcosB，即2tanB＝tanC，∴＝2，又因?yàn)锳+B+C＝π，所以tanA＝tan[π﹣（B+C）]＝﹣tan（B+C）＝﹣＝，所以＝++＝+＝＝tanB+≥2＝（當(dāng)且僅當(dāng)tanB＝，即tanB＝，取“＝”）．故答案為：2；．四．解答題（共6小題）17．（1）若復(fù)數(shù)z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)z滿足z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），求復(fù)數(shù)z．【解答】解：（1）∵z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是純虛數(shù)，∴，解得m＝1．（2）設(shè)z＝a+bi，a，b∈R，∵z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），∴a2+b2+2ai＝4+2i，∴，解得a＝1，b＝或a＝1，b＝﹣，故z＝或z＝1﹣．18．如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．（1）求證：MN∥平面PAD．（2）求證：MN⊥CD．【解答】證明：（1）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，EN．∵E，N分別是C，D中點(diǎn)，∴ENCD，又∵CD∥AB，M是AB中點(diǎn)，∴AMCD，∴AMEN，∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE．∵M(jìn)N?平面PAD，AE?平面PAD，∴MN∥平面PAD．…（6分）（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又∵M(jìn)N∥AE，∴CD⊥MN．…（12分）19．在①b+bcosC＝csinB，②S△ABC＝，③（3b﹣a）cosC＝ccosA，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解決問題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足_____．（1）求cosC的值；（2）若點(diǎn)E在AB上，且＝2，CE＝，BC＝3，求sinB．【解答】解：（1）若選①：因?yàn)閎+bcosC＝csinB，由正弦定理可得sinB+sinBcosC＝sinCsinB，因?yàn)閟inB≠0，所以1+cosC＝sinC，聯(lián)立，解得cosC＝，sinC＝，故cosC＝．若選②：因?yàn)镾△ABC＝，所以absinC＝bacosC，即sinC＝2cosC＞0，聯(lián)立sin2C+cos2C＝1，可得cosC＝．若選③：因?yàn)椋?b﹣a）cosC＝ccosA，由正弦定理可得（3sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，所以3sinBcosC＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，因?yàn)閟inB≠0，所以cosC＝．（2）由余弦定理可得cos∠AEC＝＝cos∠BEC＝＝，因?yàn)閏os∠AEC+cos∠BEC＝0，所以+＝0，即2c2+9EC2﹣3b2﹣6a2＝0，則2c2﹣3b2＝6a2﹣9EC2＝6×9﹣9×＝13，①同時(shí)cosC＝＝，即b2﹣c2＝2b﹣9，②聯(lián)立①②可得b2+4b﹣5＝0，解得b＝1，則c＝2，故cosB＝＝，則sinB＝．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)．（1）若PA＝PD，求證：AD⊥平面PQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM＝3MC，求三棱錐P﹣QBM的體積．【解答】證明：（1）∵PA＝PD，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，∴BQ⊥AD，PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PQB解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PQ⊥BC，又BC⊥BQ，QB∩QP＝Q，∴BC⊥平面PQB，又PM＝3MC，∴VP﹣QBM＝VM﹣PQB＝．21．某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角△ABC和以BC為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)P為半圈上一點(diǎn)（異于B，C），點(diǎn)H在線段AB上，且滿足CH⊥AB．已知∠ACB＝90°，AB＝1dm，設(shè)∠ABC＝θ．（1）為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足∠ABC＝∠PCB，且CA+CP達(dá)到