高中數(shù)學(xué)- 兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)過程分六個環(huán)節(jié)。1復(fù)習(xí)回顧，提出問題引入新課[設(shè)計意圖]數(shù)學(xué)源于生活，引導(dǎo)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，體會數(shù)學(xué)就在身邊，同時，數(shù)學(xué)也是服務(wù)于生活與實踐的。它是要解決我們遇到的問題。2．明確任務(wù)，探索歸納⑴對于、、等特殊角的三角函數(shù)值可以直接寫出，利用誘導(dǎo)公式還可以進(jìn)一步求、、等角的三角函數(shù)值，我們希望再引進(jìn)一些公式，能夠求更多的非特殊角的三角函數(shù)值，同時也為三角恒等變換提供理論依據(jù)。⑵若已知、的三角函數(shù)值，那么的值能否確定？它與、的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？這是我們本課時需要探索的問題。[設(shè)計意圖]新知識的產(chǎn)生與形成離不開發(fā)散思維與聯(lián)想，對已學(xué)知識的深入思考一定會引出新的矛盾，這些矛盾是激勵學(xué)生成長的重要因素，也是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的途徑。為了引導(dǎo)好學(xué)生探索歸納，我設(shè)計了8個思考。思考1：設(shè)、為兩個任意角，你能判斷恒成立嗎？思考2：我們設(shè)想的值與、的三角函數(shù)值有一定關(guān)系，觀幾組數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)，你能有什么猜想？①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝________；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝________，思考3：一般地，你能猜想出等于什么嗎？思考4：如圖1，設(shè)、為銳角，且，角的終邊與單位圓的交點為，，那么表示哪條線段長？思考5：如何用線段分別表示和？思考6：，它表示哪條線段長？，它表示哪條線段長？思考7：利用可得什么結(jié)論？思考8：上述推理能說明對任意角、都有成立嗎？[設(shè)計意圖]循序漸進(jìn)，尊重知識的形成規(guī)律，讓學(xué)生感受知識的產(chǎn)生是自然而然的、水到渠成的。3．自主探究，證明公式為了幫助學(xué)生突破難點，我設(shè)計了4個思考。思考1：根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，你能聯(lián)想到一個相關(guān)的計算原理嗎？思考2：如圖2，設(shè)角、的終邊與單位圓的交點分別為、，則、的坐標(biāo)分別是什么？其數(shù)量積是什么呢？思考3：向量的夾角與、有什么關(guān)系？根據(jù)數(shù)量積的定義，等于什么？由此可得什么結(jié)論？思考4：公式稱為兩差角的余弦公式，記作，該公式有什么特點？如何記憶？教師強(qiáng)調(diào)公式中、的任意性。[設(shè)計意圖]由于學(xué)生對向量的工具性作用的體會還很淺，所以既要給學(xué)生思考的空間，又要加強(qiáng)引導(dǎo)；同時既要讓學(xué)生體會向量法證明的簡捷性，又要培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性。教師讓學(xué)生用自已的語言描述公式的特點。4．鞏固新知，理論遷移例1．利用兩角差的余弦公式求的值。接著例1設(shè)計了3個變式訓(xùn)練。變式：利用化簡：⑴；⑵；⑶還有一個思考：你會求嗎？學(xué)生自主完成。[設(shè)計意圖]例1是公式的正向運用，同時讓學(xué)生體會把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的思想；變式屬于公式的逆向運用，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和化歸能力。例2．已知，，，是第三象限角，求的值。[設(shè)計意圖]例2既是對公式的正向運用，同時要為運用公式掃清障礙；再次讓學(xué)生體會由、的任意性賦予公式的強(qiáng)大功能，探索三角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。接著例2設(shè)計了3個練習(xí)：⑴利用可得等于什么？⑵若已知和的三角函數(shù)值，如何求的值？⑶若，，則等于什么？[設(shè)計意圖]本練習(xí)對公式的理解提出了進(jìn)一步的要求，同時遵循了循序漸進(jìn)的教學(xué)原則。5．小結(jié)反思，任務(wù)后延教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下方面進(jìn)行小結(jié)：⑴知識層面用三角函數(shù)探究公式；用向量方法證明公式——感受向量的工具性作用。⑵數(shù)學(xué)思想層面聯(lián)想、類比、換元；特殊與一般；數(shù)形結(jié)合、分類討論。[設(shè)計意圖]讓學(xué)生通過小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過程，加深對公式及其推導(dǎo)過程的理解，領(lǐng)會數(shù)學(xué)研究的有關(guān)基本方法和途徑，學(xué)習(xí)并能應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法解決有關(guān)問題。學(xué)情分析1、學(xué)生在初中接觸過正弦、余弦，第一章對三角函數(shù)也做了相應(yīng)的研究，所以《兩角差的余弦公式》也會好理解。2、學(xué)生有相應(yīng)的基礎(chǔ)知識，證明《兩角差的余弦公式》有兩種方法，學(xué)生可以自己做選擇，選出適當(dāng)?shù)姆椒?，證明本節(jié)的結(jié)論。3、三角函數(shù)主要是一些記憶性的知識，學(xué)生們對于本章的內(nèi)容還是比較喜歡的，學(xué)習(xí)上相應(yīng)的也會更認(rèn)真。效果分析學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，基本掌握了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，能夠自我總結(jié)形成公式探究的一般方法。激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，能夠獨立或合作提出推導(dǎo)其它三角恒等式的方案，加深了對靈活運用公式的理解。學(xué)生在探索過程中學(xué)會將“知識問題化”，大膽、合理地提出猜想，通過證明】完善，最終達(dá)到將“問題知識化”的目的，收到了良好的效果。教材分析1．教材的地位和作用本節(jié)課的內(nèi)容具有承上、啟下和輻射的作用。它是前面所學(xué)的任意角的三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式等知識的延伸，同時又是兩角和余弦、兩角和與差正弦、正切及二倍角公式的基礎(chǔ)。對于三角變換、三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明等問題的解決有重要的支撐作用。2．教學(xué)重點與難點⑴教學(xué)重點：通過探索得到兩角差的余弦公式及其應(yīng)用。⑵教學(xué)難點：兩角差的余弦公式的探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)。這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識是否已經(jīng)具備的問題，運用已學(xué)知識和方法的能力問題等。設(shè)計依據(jù)：由于“兩角差的余弦公式的推導(dǎo)及應(yīng)用”對后幾節(jié)內(nèi)容能否掌握具有決定意義，因此它是本節(jié)課的一個重點。由于“兩角差的余弦公式的推導(dǎo)”需要構(gòu)造單位圓中的三角函數(shù)線和構(gòu)造向量來解決，所以它是本節(jié)課的一個難點。評測練習(xí)1.計算coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π,6)的值是()A.0B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)2.若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，則a·b等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(1,2)3.設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，則eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))等于_______4.已知sinα＋sinβ＝eq\f(3,5)，cosα＋cosβ＝eq\f(4,5)，求cos(α－β)的值.5.已知sinα＝－eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(5,13)，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.課后反思本節(jié)課始終貫徹在教師的有效指導(dǎo)下，學(xué)生主動參與公式的發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用，在活動中體會數(shù)學(xué)思想方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的理念。同時還有幾點思考：⑴用向量方法證明公式有其特有的優(yōu)越性，但是向量方法學(xué)生很難想到，這就需要教師給學(xué)生思維恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，這樣做不是降低學(xué)生的思維層次，反而能夠提高思維的有效性，從而體現(xiàn)教師主導(dǎo)作用和學(xué)生主體作用的和諧統(tǒng)一；⑵教材的引入中，易造成誤會兩向量夾角即為，教學(xué)設(shè)計時一定要把與的關(guān)系澄清；⑶不管先證明哪個公式，用哪種方法證明公式，教師都應(yīng)該從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手，最符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的設(shè)計才是最好的。課標(biāo)分析1.使學(xué)生理解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，并能初步應(yīng)用它們進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值、求角。2經(jīng)歷用三角函數(shù)線和向量的數(shù)量積推導(dǎo)