理論力學(xué)-第3章09

范欽珊著第3章靜力學(xué)平衡問(wèn)題

理論力學(xué)1基于平衡概念，應(yīng)用力系等效與力系簡(jiǎn)化理論，本章將討論力系平衡的充分與必要條件，在此根底上導(dǎo)出一般情形下力系的平衡方程。剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題是所有機(jī)械和結(jié)構(gòu)靜力學(xué)設(shè)計(jì)的根底。分析和解決剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，必須綜合應(yīng)用第1、2章中的根本概念、原理與根本方法，包括：約束、等效、簡(jiǎn)化、平衡以及受力分析等等。本章的重點(diǎn)是平面力系平衡方程及其在剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用。本章還將對(duì)桁架桿件的受力分析以及考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題作簡(jiǎn)單介紹。第3章靜力學(xué)平衡問(wèn)題

2第3章靜力學(xué)平衡問(wèn)題

3.1平衡與平衡條件3.2任意力系的平衡方程3.3平面力系的平衡方程

3.4平衡方程的應(yīng)用3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

3.6平面靜定桁架的靜力分析3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題3.8結(jié)論與討論33.1平衡與平衡條件

(1)3.1.1平衡的概念物體相對(duì)慣性參考系靜止或作等速直線運(yùn)動(dòng)，這種狀態(tài)稱為平衡。平衡是運(yùn)動(dòng)的一種特殊情形。平衡是相對(duì)于確定的參考系而言的。例如，地球上平衡的物體是相對(duì)于地球上固定參考系的，相對(duì)于太陽(yáng)系的參考系那么是不平衡的。本章所討論的平衡問(wèn)題是以地球(將固聯(lián)其上的參考系視為慣性參考系)作為參考系的。工程靜力學(xué)所討論的平衡問(wèn)題，可以是單個(gè)剛體，也可能是由假設(shè)干個(gè)剛體組成的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱為剛體系統(tǒng)。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決于作用在其上的力系。43.1平衡與平衡條件

(2)3.1.2平衡的充要條件力系的平衡是剛體和剛體系統(tǒng)平衡的充要條件。力系平衡的條件是，力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。因此，如果剛體或剛體系統(tǒng)保持平衡，那么作用在剛體或剛體系統(tǒng)的力系主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。53.2任意力系的平衡方程

(1)3.2.1平衡方程的一般形式對(duì)于作用在剛體或剛體系統(tǒng)上的任意力系，平衡條件的投影形式為yzxOF1FnF2M2M1Mn63.2任意力系的平衡方程

(2)3.2.1平衡方程的一般形式略去所有表達(dá)式中的下標(biāo)i，空間任意力系平衡方程可以簡(jiǎn)寫為

yzxOF1FnF2M2M1Mn73.2任意力系的平衡方程

(3)3.2.1平衡方程的一般形式

上述6個(gè)平衡方程都是互相獨(dú)立的。這些平衡方程適用于任意力系。只是對(duì)于不同的特殊情形，例如平面力系、力偶系以及其他特殊力系，其中某些平衡方程是自然滿足的，因此，獨(dú)立的平衡方程數(shù)目會(huì)有所不同。83.2任意力系的平衡方程

(4)3.2.2空間力系的特殊情形

對(duì)于力系中所有力的作用線都相交于一點(diǎn)的空間匯交力系，上述平衡方程中三個(gè)力矩方程自然滿足，因此，平衡方程為：

93.2任意力系的平衡方程

(5)3.2.2空間力系的特殊情形

對(duì)于力偶作用面位于不同平面的空間力偶系，平衡方程中三個(gè)力的投影式自然滿足，其平衡方程為：103.2任意力系的平衡方程

(6)3.2.2空間力系的特殊情形對(duì)于力系中所有力的作用線相互平行的空間平行力系，假設(shè)坐標(biāo)系的軸與各力平行，那么上述6個(gè)平衡方程中自然滿足。于是，平衡方程為：113.3平面力系的平衡方程

(1)3.3.1平面力系平衡方程的一般形式所有力的作用線都位于同一平面的力系稱為平面任意力系(arbitraryforcesysteminaplane)。這時(shí)，假設(shè)Oxy坐標(biāo)平面與力系的作用面相一致，那么任意力系的6個(gè)平衡方程中自然滿足，且于是，平面力系平衡方程的一般形式為：其中矩心O為力系作用面內(nèi)的任意點(diǎn)。123.3平面力系的平衡方程

(2)3.3.2平面力系平衡方程的其他形式

上述平面力系的3個(gè)平衡方程中的Fx=0和Fy=0可以一個(gè)或兩個(gè)都用力矩式平衡方程代替，但所選的投影軸與取矩點(diǎn)之間應(yīng)滿足一定的條件。在以下三個(gè)方程中A、B兩點(diǎn)的連線不能與x軸垂直。在以下三個(gè)方程中A、B、C三點(diǎn)不能共線。133.4平衡方程的應(yīng)用

(1)例題3-1圖示曲柄連桿活塞機(jī)構(gòu)，曲柄長(zhǎng)r，連桿AB長(zhǎng)為l，活塞受力F=400N，AOB=。不計(jì)所有構(gòu)件的自重，試問(wèn)在曲柄上應(yīng)施加多大的力偶矩M才能使機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。A100B200100FOrlM解：1)選取連桿為研究對(duì)象，連桿AB是二力桿，設(shè)AB受壓：ABFABFBA143.4平衡方程的應(yīng)用

(2)A100B200100FOrlM2)再取活塞為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖：BFFNF'BA例題3-1(續(xù)1)

153.4平衡方程的應(yīng)用

(3)A100B200100FOrlM3)再取曲柄為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖：F'ABMABOFOC

=45

OC=OAsin(+)=rsin(+)

例題3-1(續(xù)2)

16例題3-2圖示結(jié)構(gòu)中，C處為鉸鏈連接，各構(gòu)件的自重略去不計(jì)，在直角桿BEC上作用有矩為M的力偶，尺寸如下圖。試求支座A的約束反力。解：1)受力分析，選擇研究對(duì)象假設(shè)以整體為研究對(duì)象，因A、B、D三處共有四個(gè)未知反力，而平面一般力系只能列出三個(gè)平衡方程，故必須首先從中間鉸C處分開(kāi)。lABEMlllCDlEBMCFCFBllAFDDCFAxFAyF'C3.4平衡方程的應(yīng)用

(4)172)以BEC直角桿為研究對(duì)象

因力偶必須由力偶來(lái)平衡，故FC與FB等值、反向，組成一反力偶。因此，有l(wèi)EBMCFCFBFAxFAyllAFDDCF'C3)再以ADC丁字桿為研究對(duì)象由平衡方程Fx=0和Fy=0，可得FAx=F'C=FC=M/l，F(xiàn)Ay=FD()。FA453.4平衡方程的應(yīng)用

(5)例題3-2(續(xù))

18例題3-3圖示結(jié)構(gòu)中，A、C、D三處均為鉸鏈約束，橫桿AB在B處承受集中載荷FP。結(jié)構(gòu)各局部尺寸如下圖。FP和l。試求撐桿CD的受力以及A處的約束反力。解：1)受力分析，選擇研究對(duì)象A、D兩處為鉸鏈約束，共有四個(gè)未知反力。但CD桿為二力桿，D支座反力方向，故可取整體為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖。Bl/2ACDl/2FPl/2FAxFAyFD453.4平衡方程的應(yīng)用

(6)192)建立平衡方程，求解未知約束反力因此撐桿CD受力：Bl/2ACDl/2FPl/2FAxFAyFD453.4平衡方程的應(yīng)用

(7)例題3-3(續(xù))

20例題3-4平面剛架的所有外力的作用線都位于剛架平面內(nèi)。A處為固定端約束。假設(shè)圖中q、FP、M、l等均為，試求:A處的約束力。解：1)選擇平衡對(duì)象

本例中只有折桿ABCD一個(gè)剛體，因而是惟一的平衡對(duì)象。2)受力分析剛架A處為固定端約束，又因?yàn)槭瞧矫媸芰Γ视?個(gè)同處于剛架平面內(nèi)的約束力FAx、FAy和MA。繪出剛架的隔離體受力圖如圖示。3.4平衡方程的應(yīng)用

(8)FAxFAyMA213)建立平衡方程求解未知力應(yīng)用平衡方程

Fx=0,

MA=0

Fy=0,由此解得3.4平衡方程的應(yīng)用(9)例題3-4(續(xù)1)

FAxFAyMA224)驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性為了驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性，可以將作用在平衡對(duì)象上的所有力(包括已經(jīng)求得的約束力)，對(duì)任意點(diǎn)(包括剛架上的點(diǎn)和剛架外的點(diǎn))取矩。假設(shè)這些力矩的代數(shù)和為零，那么表示所得結(jié)果是正確的，否那么就是不正確的。3.4平衡方程的應(yīng)用

(10)例題3-4(續(xù)2)

FAxFAyMA23例題3-5

塔式起重機(jī)的機(jī)身總重力的大小P1=220kN，作用線過(guò)塔架的中心，最大起重力的大小P2=50kN，平衡塊重力的大小P3=30kN，試求滿載和空載時(shí)軌道A、B的約束力，并問(wèn)此起重機(jī)在使用過(guò)程中有無(wú)翻倒的危險(xiǎn)？BA2mP22m6m12mP1FAFBP33.4平衡方程的應(yīng)用

(11)解：1)受力分析，選擇研究對(duì)象以起重機(jī)整體為研究對(duì)象畫(huà)出受力圖，所有主動(dòng)力和約束反力組成一平面平行力系。242)

建立平衡方程mA(F)=0

FB4+P34P214P12=0

FB=3.5P2+0.5P1

P3mB(F)=0

P38+P12P210FA4=0

FA=2P3+0.5P12.5P2滿載時(shí)，P2=50kN，得

FA=230+0.52202.550=45kNFB=3.550+0.522030=255kN此時(shí)，因FA0，故起重機(jī)不會(huì)繞B點(diǎn)翻倒?？蛰d時(shí)，P2=0，得

FA=230+0.5220=170kNFB=0.522030=80kN此時(shí)，因FB0，故起重機(jī)不會(huì)繞A點(diǎn)翻倒。BA2mP22m6m12mP1FAFBP33.4平衡方程的應(yīng)用

(12)例題3-5(續(xù))

25例題3-6一邊長(zhǎng)為1m的正方體上作用有M1、M2兩個(gè)力偶，如下圖，假設(shè)M1=M2=M，試求平衡時(shí)，1、2兩桿所受的力。FAFCCAM1BDx1FEGyz2OM2解：應(yīng)用力偶平衡的概念，正方體上作用的是空間力偶系，因此1、2兩桿受力FA和FC也必定構(gòu)成一力偶MAC，且與M1、M2構(gòu)成一平衡的空間力偶系。3.4平衡方程的應(yīng)用

(13)26

M1、M2的力偶作用面在xoy平面，因此力偶MAC也必定在此平面，由力偶系的平衡條件可得：45M1xyzOM2MAC

由于正方體邊長(zhǎng)為1m，故力偶MAC的力偶臂為。

故1、2兩桿所受的力大小為M。3.4平衡方程的應(yīng)用

(14)例題3-6(續(xù))

例題3-7(略)

27作業(yè)3-53-13(題中q=20kN/m)283.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(1)3.5.1靜定和超靜定的概念前面所討論的平衡問(wèn)題中，未知力的個(gè)數(shù)正好等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，由平衡方程可以解出全部未知數(shù)。這類問(wèn)題，稱為靜定問(wèn)題(staticallydeterminateproblems)，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)(staticallydeterminatestructures)。工程上，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，或者為了滿足其他工程要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)上再附加一個(gè)或幾個(gè)約束，從而使未知約束力的個(gè)數(shù)大于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。這時(shí)，僅僅由靜力學(xué)平衡方程無(wú)法求得全部未知約束力。這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題(staticallyindeterminateproblems)，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)或超靜定結(jié)構(gòu)(staticallyindeterminatestructures)。293.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(2)3.5.1靜定和超靜定的概念

靜不定問(wèn)題中，未知量的個(gè)數(shù)Nr與獨(dú)立的平衡方程數(shù)目Ne之差，稱為靜不定次數(shù)(degreeofstaticallyindeterminateproblem)。與靜不定次數(shù)對(duì)應(yīng)的約束對(duì)于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，因而稱為多余約束。靜不定次數(shù)或多余約束個(gè)數(shù)用i表示，由下式確定：i=NrNe

303.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(3)3.5.2剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的解法由兩個(gè)或兩個(gè)以上的剛體所組成的系統(tǒng)，稱為剛體系統(tǒng)(rigidmultibodysystem)。工程中的各類機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)，當(dāng)研究其運(yùn)動(dòng)效應(yīng)時(shí)，其中的各個(gè)構(gòu)件或部件均被視為剛體，這時(shí)的結(jié)構(gòu)或機(jī)構(gòu)即屬于剛體系統(tǒng)。剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的特點(diǎn)是：僅僅考察系統(tǒng)的整體或某個(gè)局部(單個(gè)剛體或局部剛體系統(tǒng))，不能確定全部未知力。為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，需將平衡的概念加以擴(kuò)展，即：系統(tǒng)假設(shè)整體是平衡的，那么組成系統(tǒng)的每一個(gè)局部以及每一個(gè)剛體也必然是平衡的。31例題3-8結(jié)構(gòu)由桿AB與BC在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處為固定端，C處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為M。假設(shè)q、l、M等均為，試求A、C二處的約束力。3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(4)32解：1.受力分析，選擇平衡對(duì)象考察結(jié)構(gòu)整體，在固定端處有3個(gè)約束力，設(shè)為FAx、FAy和MA；在輥軸支座處有1個(gè)豎直方向的約束力FRC

。這些約束力稱為系統(tǒng)的外約束力(externalconstraintforce)。僅僅根據(jù)整體的3個(gè)平衡方程，無(wú)法確定所要求的4個(gè)未知力。因而，除了整體外，還需要其他的平衡對(duì)象。為此，必須將系統(tǒng)拆開(kāi)。FAxFAyMAFRC3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(5)例題3-8(續(xù)1)

33將結(jié)構(gòu)從B處拆開(kāi)，分別畫(huà)出AB段和BC段的受力圖。鉸鏈B處的約束力可以用相互垂直的兩個(gè)分量表示，但作用在兩個(gè)剛體AB和BC上同一處B的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱為系統(tǒng)的內(nèi)約束力(internalconstraintforce)。內(nèi)約束力在考察結(jié)構(gòu)整體平衡時(shí)并不出現(xiàn)。3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(6)FAxFAyMAFRCAFAxFAyllFBxFByqDBMAECBF’BxF’ByllFRCqM例題3-8(續(xù)2)

342.整體平衡根據(jù)整體結(jié)構(gòu)的受力圖，由平衡方程3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(7)例題3-8(續(xù)3)

FAxFAyMAFRC得到：353.局部平衡桿AB的A、B二處作用有5個(gè)約束力，其中已求得FAx=0，尚有4個(gè)未知，故桿AB不宜最先選作平衡對(duì)象。桿BC的B、C二處共有3個(gè)未知約束力，可由3個(gè)獨(dú)立平衡方程確定。因此，先以桿BC為平衡對(duì)象。3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(8)例題3-8(續(xù)4)

AFAxFAyllFBxFByqDBMAECBF’BxF’ByllFRCqM36先考察BC桿的平衡，由求得BC上的約束力后，再應(yīng)用B處兩局部約束力互為作用與反作用關(guān)系，考察桿AB的平衡，即可求得A處的約束力。也可以在確定了C處的約束力之后再考察整體平衡也可以求得A處的約束力。3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(9)例題3-8(續(xù)5)

ECBF’BxF’ByllFRCqM37再考察整體平衡，由平衡方程3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(10)例題3-8(續(xù)6)

FAxFAyMAFRC384.討論上述分析過(guò)程說(shuō)明，考察剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，局部平衡對(duì)象的選擇并不是惟一的。正確選擇平衡對(duì)象，取決于正確的受力分析與正確地比較獨(dú)立的平衡方程數(shù)Ne和未知量數(shù)Nr。應(yīng)特別注意對(duì)均布載荷q的處理。考察整體平衡時(shí)，q簡(jiǎn)化為一集中力2ql作用于B處；考察BC段平衡時(shí)，q簡(jiǎn)化為一集中力ql作用于BE中點(diǎn)處；考察AB段平衡時(shí)，q簡(jiǎn)化為一集中力ql作用于DB中點(diǎn)處。3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(11)例題3-8(續(xù)7)

FAxFAyMAFRC39例題3-9平面構(gòu)架如下圖。物塊重力W，DC=CE=AC=CB=2l，R=2r=l。試求支座A、E處的約束力及BD桿所受力。解：1)考察整體平衡

FAADR45WCErKBFExFEy3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(12)402)考察局部平衡

取DCE桿為研究對(duì)象，并注意到BD桿為二力桿，建立平衡方程：45FCyCEFCxFDBTKDKFEyFEx3.5剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

(13)41作業(yè)3-28423.6平面靜定桁架的靜力分析

(1)3.6.1工程結(jié)構(gòu)中的桁架桁架的定義工程中由桿件通過(guò)焊接、鉚接或螺栓連接而成的結(jié)構(gòu)，稱為“桁架〞。43桁架的定義3.6平面靜定桁架的靜力分析

(2)443.6平面靜定桁架的靜力分析

(3)桁架中的鉸接接頭453.6平面靜定桁架的靜力分析

(4)桁架中的焊接接頭46工程中的桁架結(jié)構(gòu)3.6平面靜定桁架的靜力分析

(5)47工程中的桁架結(jié)構(gòu)3.6平面靜定桁架的靜力分析

(6)48工程中的桁架結(jié)構(gòu)3.6平面靜定桁架的靜力分析

(7)49工程中的桁架結(jié)構(gòu)3.6平面靜定桁架的靜力分析

(8)503.6平面靜定桁架的靜力分析

(9)工程中的桁架結(jié)構(gòu)513.6平面靜定桁架的靜力分析

(10)工程中的桁架結(jié)構(gòu)523.6平面靜定桁架的靜力分析

(11)工程中的桁架結(jié)構(gòu)533.6平面靜定桁架的靜力分析

(12)工程中的桁架結(jié)構(gòu)543.6平面靜定桁架的靜力分析

(13)工程中的桁架結(jié)構(gòu)553.6平面靜定桁架的靜力分析

(14)工程中的桁架結(jié)構(gòu)563.6平面靜定桁架的靜力分析

(15)工程中的桁架結(jié)構(gòu)573.6平面靜定桁架的靜力分析

(16)人體中的桁架結(jié)構(gòu)58工程要求足夠的強(qiáng)度—不發(fā)生斷裂或塑性變形；

足夠的剛度—不發(fā)生過(guò)大的彈性變形；

足夠的穩(wěn)定性—不發(fā)生因平衡形式的突然轉(zhuǎn)變而導(dǎo)致的坍塌；

良好的動(dòng)力學(xué)特性—抗震性。設(shè)計(jì)要求符合要求的桿件；

良好的連接件。涉及類型、尺寸和材料，但首先是靜力學(xué)分析。3.6平面靜定桁架的靜力分析

(17)3.6.1工程結(jié)構(gòu)中的桁架59構(gòu)建桁架的根本原那么：組成桁架的桿件只承受拉力或壓力，不承受彎曲。二力桿—組成桁架的根本構(gòu)件。力學(xué)中的桁架模型3.6平面靜定桁架的靜力分析

(18)3.6.2桁架的力學(xué)模型60根本假定：所有桿件只在端部連接；所有連接處均為光滑鉸鏈；只在連接處加載；桿的重量忽略不計(jì)。力學(xué)中的桁架模型3.6平面靜定桁架的靜力分析

(19)3.6.2桁架的力學(xué)模型61根本三角形力學(xué)中的桁架模型3.6平面靜定桁架的靜力分析

(20)62簡(jiǎn)化計(jì)算模型桿件節(jié)點(diǎn)3.6平面靜定桁架的靜力分析

(21)力學(xué)中的桁架模型63桿件節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)桿件節(jié)點(diǎn)桿件節(jié)點(diǎn)桿件力學(xué)中的桁架模型－簡(jiǎn)化計(jì)算模型3.6平面靜定桁架的靜力分析

(22)643.6平面靜定桁架的靜力分析

(23)力學(xué)中的桁架模型－模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異65平面桁架

對(duì)稱結(jié)構(gòu)，載荷作用在對(duì)稱面內(nèi)；平面結(jié)構(gòu)，載荷作用在結(jié)構(gòu)平面內(nèi)。3.6平面靜定桁架的靜力分析

(24)桁架分類663.6平面靜定桁架的靜力分析

(25)空間桁架結(jié)構(gòu)是平面的，載荷與結(jié)構(gòu)不共面；結(jié)構(gòu)是空間的，載荷是任意的。673.6平面靜定桁架的靜力分析

(26)3.6.3桁架靜力分析的兩種方法ABCFAFFABFAC方法要點(diǎn)－整體平衡與局部平衡683.6平面靜定桁架的靜力分析

(27)3.6.3桁架靜力分析的兩種方法ABCF方法要點(diǎn)－整體平衡與局部平衡BCABACABC693.6平面靜定桁架的靜力分析

(28)3.6.3桁架靜力分析的兩種方法1.節(jié)點(diǎn)法(methodofjoints,orpins)以節(jié)點(diǎn)為平衡對(duì)象；節(jié)點(diǎn)力為平面匯交力系，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程；節(jié)點(diǎn)力的作用線，指向可以假設(shè)(一般假設(shè)為拉力)；不僅可以確定各桿受力，還可以確定連接件的受力。703.6平面靜定桁架的靜力分析

(29)3.6.3桁架靜力分析的兩種方法補(bǔ)充例題1桁架受力如圖示。試求：AB、BC、CD、AD桿的受力。713.6平面靜定桁架的靜力分析

(30)補(bǔ)充例題1(續(xù)1)解：1.

首先確定約束力

MC(F)=0

8006+10003FD3=0FD=2600NFx=0

FCx=0

MB(F)=0

8003+FCy3=0FCy=800NFCyFCxFD723.6平面靜定桁架的靜力分析

(31)補(bǔ)充例題1(續(xù)2)2.畫(huà)出各節(jié)點(diǎn)受力圖，建立平衡方程，求解全部未知力：節(jié)點(diǎn)A：A800N30FADFAB節(jié)點(diǎn)B：B1000N60FBCFBDFBA733.6平面靜定桁架的靜力分析

(32)補(bǔ)充例題1(續(xù)3)節(jié)點(diǎn)D：3.討論：此題假設(shè)不先求出約束力，能否求出各桿受力？DFDB60FDCFDFDA743.6平面靜定桁架的靜力分析

(33)3.6.3桁架靜力分析的兩種方法2.截面法(methodofsections)用假想截面將桁架截開(kāi)；

將桁架中的所有桿件都視為變形體；考察局部桁架的平衡，直接求得桿件的內(nèi)力進(jìn)而求得節(jié)點(diǎn)受力。753.6平面靜定桁架的靜力分析

(34)3.6.3桁架靜力分析的兩種方法補(bǔ)充例題2桁架受力如圖示。各桿長(zhǎng)度相等，試求：AC、BC和BD桿的受力。763.6平面靜定桁架的靜力分析

(35)補(bǔ)充例題2(續(xù)1)AFAxFAyFE解：1.

首先確定約束力

Fx=0

FAx=0ME(F)=04003+8001FAy4=0FAy=500NMA(F)=0

400

18003+FE4=0FE=700N773.6平面靜定桁架的靜力分析

(36)補(bǔ)充例題2(續(xù)2)2.用假想截面將桁架截開(kāi)，考察局部桁架的平衡，確定AC、BC和BD桿的受力

MC(F)=0

500

2+4001FBD2sin60=0FBD=346.4N(壓力)MB(F)=0

500

1+FAC2sin60=0FAC=288.7N(拉力)

Fy=0

500FBCsin60400=0FBC=115.5N(拉力)

FACFBCFBDC78作業(yè)3-31(a)793.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(1)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題梯子不滑倒的最大傾角θ803.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(2)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題鋼絲不滑脫的最大直徑813.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(3)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題夾紙器的最小傾角823.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(4)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題夾持器的最小傾角833.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(5)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題磨削工具利用摩擦力843.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(6)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題磨削工具利用摩擦力853.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(7)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題利用摩擦力錨緊泊船863.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(8)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題剎車器利用摩擦力87輪軸承軸承中摩擦力越小越好3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(9)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題88賽車后輪的摩擦力是驅(qū)動(dòng)力3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(10)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題WFNFs89放大后的接觸面3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(11)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題90接觸面的計(jì)算機(jī)模擬3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(12)3.7.1工程中的摩擦問(wèn)題913.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(13)3.7.2滑動(dòng)摩擦力庫(kù)侖定律干摩擦：固體對(duì)固體的摩擦。流體摩擦：流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力。FPWFFN干摩擦?xí)r的摩擦力－庫(kù)侖定律923.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(14)3.7.2滑動(dòng)摩擦力庫(kù)侖定律FPWFFN干摩擦?xí)r的摩擦力－庫(kù)侖定律45°Fd靜止?fàn)顟B(tài)FFPOFmax運(yùn)動(dòng)狀態(tài)臨界狀態(tài)933.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(15)3.7.2滑動(dòng)摩擦力庫(kù)侖定律干摩擦?xí)r的摩擦力－庫(kù)侖定律45°Fd靜止?fàn)顟B(tài)FFPOFmax運(yùn)動(dòng)狀態(tài)臨界狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)F<Fmax運(yùn)動(dòng)狀態(tài)F=Fd臨界狀態(tài)F=Fmax

=

fs

FN943.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(16)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象

總約束力FR與法向約束力FN作用線之間的夾角用

表示。干摩擦?xí)r的摩擦力－摩擦角FRFsFN953.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(17)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象干摩擦?xí)r的摩擦力－摩擦角FNFmaxFRm開(kāi)始運(yùn)動(dòng)前,角隨FP的改變而改變，臨近運(yùn)動(dòng)時(shí)到達(dá)最大值m。0mm摩擦角。963.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(18)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象關(guān)于摩擦角的三點(diǎn)結(jié)論：摩擦角是靜摩擦力取值范圍的幾何表示。三維受力狀態(tài)下，摩擦角變?yōu)槟Σ铃F。

摩擦角的正切等于摩擦系數(shù)，即tgm=Fmax/FN=fs97WyWxFFNW3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(19)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)98WyWxFFN3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(20)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)坡度很小時(shí)，剛性塊不滑動(dòng)993.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(21)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)坡度增加到一定數(shù)值以后，剛性塊滑動(dòng)WyWxFFN1003.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(22)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)坡度增加到一定數(shù)值時(shí)，剛性塊處于臨界狀態(tài)WyWxFFN101不僅斜面與物塊系統(tǒng)具有這種現(xiàn)象，考察平面－物塊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)：FQFQFQFQFQFQFQ3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(23)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：平面－物塊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)1023.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(24)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：

主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍內(nèi)時(shí)，不管主動(dòng)力多大，物體都保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。1033.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(25)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍以外時(shí)，不管主動(dòng)力多小，物體都將發(fā)生運(yùn)動(dòng)。1043.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(26)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：主動(dòng)力作用線與法線之間的夾角等于摩擦角時(shí),物體處于臨界狀態(tài)。105自鎖運(yùn)動(dòng)臨界狀態(tài)3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(27)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：1063.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(28)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：螺旋1073.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(29)3.7.3摩擦角與自鎖現(xiàn)象自鎖及其應(yīng)用：楔塊與尖劈的自鎖條件/2/2FRFNFmmFNFFR2m/2/2FRFNFmmFNFFR

2m/2/2FRFNFmmFNFFR=2m108兩種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)與臨界運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滑動(dòng)(slip)FPWFRFNFmaxFPWFRFNFmaxFPWFRFNFmaxFPWFRFNFmaxFPWFRFNFmax3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(30)3.7.4考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題109翻倒〔tipover)WFPFsFNWFPFsFNWFPFsFNWFPFsFNWFPFsFN兩種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)與臨界運(yùn)動(dòng)狀態(tài)3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(31)3.7.4考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題1103.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(32)3.7.4考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題兩類摩擦平衡問(wèn)題(1)FFmax，物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，主動(dòng)力求約束力，與一般平衡問(wèn)題無(wú)異。(2)平衡問(wèn)題—臨界運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)不平衡問(wèn)題—滑動(dòng)或翻倒F=

Fmax[確定平衡位置確定各主動(dòng)力之間的關(guān)系1113.7.4考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題例題3-12

3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(33)圖示梯子AB一端靠在鉛垂的墻壁上，另一端擱置在水平地面上。假設(shè)梯子與墻壁間為光滑約束，而梯子與地面之間存在摩擦。：摩擦因數(shù)為fs，梯子長(zhǎng)度AB=l，梯子重力為W。1)假設(shè)梯子在傾角1的位置保持平衡，求梯子與地面之間的摩擦力FA和其余約束力；2)為使梯子不致滑倒，求傾角的取值范圍。BCAW1121FNBFAFNA解：1)求傾角為1時(shí)梯子與地面之間的摩擦力FA和其余約束力先畫(huà)出梯子的受力圖如左所示:梯子所受的力有梯子重力W，A、B兩處的法向約束力FNA、FNB和梯子與地面之間的摩擦力FA

。建立平衡方程：3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(34)例題3-12(續(xù)1)

BCAW1132)求梯子不滑倒，傾角的取值范圍根據(jù)庫(kù)侖定律：Fmax=fsFN在臨界狀態(tài)：FA=fsFNA在1)中已求出：3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(35)例題3-12(續(xù)2)

用代替1并將FA=

fsFNA代入上式：

越大(不大于90)，梯子越容易保持平衡，故

的取值范圍：

ctg-1(2fs)1FNBFAFNABCAW114圖示結(jié)構(gòu)中，：B處光滑，桿AC與墻壁間的靜摩擦因數(shù)為fs=1，=60，BC=2AB，桿重不計(jì)。試問(wèn)在垂直于桿AC的力F作用下，桿能否平衡？為什么？ABCOF例題3-133.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(36)115解：1)解析法先畫(huà)出桿AC的受力圖如左所示:

建立平衡方程：OBCFAFAFNAFNBx根據(jù)A處摩擦力的物理?xiàng)l件：上式說(shuō)明摩擦力FA未到達(dá)最大值，因此系統(tǒng)保持平衡。3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(37)例題3-13(續(xù)1)

116FAFNA2)幾何法由于C、B兩處的約束力均垂直于桿AC，故A處的全反力FRA必與桿AC垂直。因?yàn)槿戳RA與FNA的夾角=30，而A處的摩擦角為:BCFAFNB因此：

m滿足自鎖條件，故系統(tǒng)保持平衡。FRA3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(38)例題3-13(續(xù)2)

117一棱柱體重力的大小W=480N，置于水平面上，接觸面間的摩擦因數(shù)為f=1/3，棱柱體上作用有力FP如下圖。假設(shè)FP逐漸增加，問(wèn)棱柱體是先滑動(dòng)還是先翻倒？并求出使其運(yùn)動(dòng)的最小值FPmin。FP1m2m34W3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(39)例題3-14118解：先假定處于翻倒的臨界狀態(tài)，取棱柱體為研究對(duì)象，受力圖如左所示：列出平衡方程：FP1m2mWAFAFNA而：Fmax=FNAf=390/3=130N因FAFmax，故棱柱體不會(huì)滑動(dòng)，而是先翻倒，且FPmin=150N。3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(40)例題3-14(續(xù))

119不平衡力系FTFPFFN3.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(41)3.7.5滾動(dòng)阻礙剛性約束模型的局限性：根據(jù)剛性約束模型，得到不平衡力系，即不管力FT

多么小，都會(huì)發(fā)生滾動(dòng)，這顯然是不正確的。1203.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(42)3.7.5滾動(dòng)阻礙柔性約束模型與滾動(dòng)阻礙分析變形，未滾動(dòng)滾動(dòng)，分布力系1213.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(43)3.7.5滾動(dòng)阻礙柔性約束模型與滾動(dòng)阻礙分析滾動(dòng)，分布力系分布力系合成向A點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果，滾動(dòng)阻力偶M

f

。1223.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(44)3.7.5滾動(dòng)阻礙滾動(dòng)阻力偶矩的取值范圍0

MfMfmax其中Mfmax=FN稱為滾動(dòng)阻礙定律。稱為滾動(dòng)阻礙系數(shù)，單位一般用mm。使輪子不滾動(dòng)的條件是：FTFN/r使輪子不滑動(dòng)的條件是：FT

fFN

通常/rf，因此滾動(dòng)比滑動(dòng)省力得多。1233.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(45)例題3-15總重力為FQ的拖車，沿傾斜角為的斜坡上行。車輪半徑為r，輪胎與路面的滾動(dòng)阻礙系數(shù)以及FQ、等均為，其它尺寸如下圖。試求拖車等速上行時(shí)所需的牽引力。abFQAFTHBhxyOFN2F2M2FN1F1M1解：1)以拖車整體為研究對(duì)象受力圖如左所示。建立平衡方程如下：以上三個(gè)方程共有7個(gè)未知力，必須再補(bǔ)充4個(gè)方程。1243.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(46)例題3-15(續(xù)1)

abFQAFTHBhxyOFN2F2M2FN1F1M12)分別以前、后輪為研究對(duì)象對(duì)前后輪輪心取矩，得到：式中，第一項(xiàng)FQsin是用來(lái)克服重力的牽引力，第二項(xiàng)FQcos(/r)是用來(lái)克服滾動(dòng)阻礙的牽引力。3)應(yīng)用滾動(dòng)阻礙定律

4)聯(lián)立求解方程

1253.7考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

(47)例題3-15(續(xù)2)5)討論1.假設(shè)代入具體數(shù)值，如=2.40mm，r=440mm，=15，那么有即牽引力中第二項(xiàng)所占比例是很小的。2.=0時(shí)，即在水平路面上，那么有即牽引力不到重力的1%。1263.8結(jié)論與討論

(1)3.8.1正確進(jìn)行受力分析的重要性從本章關(guān)于單個(gè)剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的分析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問(wèn)題成敗的重要局部，只有當(dāng)受力分析正確無(wú)誤時(shí)，其后的分析才能取得正確的結(jié)果。初學(xué)者常常不習(xí)慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。錯(cuò)在哪里？1273.8結(jié)論與討論

(2)3.8.1正確進(jìn)行受力分析的重要性錯(cuò)在哪里？1283.8結(jié)論與討論

(3)3.8.2分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題要點(diǎn)根據(jù)剛體系統(tǒng)的特點(diǎn)，分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題時(shí)，注意以下幾方面是很重要的：認(rèn)真理解、掌握并能靈活運(yùn)用“系統(tǒng)整體平衡，組成系統(tǒng)的每個(gè)局部必然平衡〞的重要概念。某些受力分析，從整體上看，可以使整體保持平衡，似乎是正確的。但卻不能保證每一個(gè)局部都是平衡的，因而是不正確的。要靈活選擇研究對(duì)象。所謂研究對(duì)象包括系統(tǒng)整體、單個(gè)剛體以及由兩個(gè)或兩個(gè)以上剛體組成的子系統(tǒng)。靈活選擇其中之一或之二作為研究對(duì)象，一般應(yīng)遵循的原那么是：盡量使一個(gè)平衡方程中只包含一個(gè)未知約束力，不解或少解聯(lián)立方程。1293.8結(jié)論與討論

(4)3.8.2分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題要點(diǎn)注意區(qū)分內(nèi)約束力與外約束力、作用與反作用力。內(nèi)約束力只有在系統(tǒng)拆開(kāi)時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，故在考察整體平衡時(shí)，無(wú)需考慮內(nèi)約束力，也無(wú)需畫(huà)出內(nèi)約束力。當(dāng)同一約束處有兩個(gè)或兩個(gè)以上剛體相互連接時(shí)，為了區(qū)分作用在不同剛體上的約束力是否互為作用與反作用力，必須對(duì)相關(guān)的剛體逐個(gè)分析，分清哪一個(gè)剛體是施力體，哪一個(gè)剛體是受力體。注意對(duì)主動(dòng)分布載荷進(jìn)行等效簡(jiǎn)化

考察局部平衡時(shí)，分布載荷可以在拆開(kāi)之前簡(jiǎn)化，也可以在拆開(kāi)之后簡(jiǎn)化。要注意的是，先簡(jiǎn)化、后拆開(kāi)時(shí)，簡(jiǎn)化后合力加在何處才能滿足力系等效的要求。1303.8結(jié)論與討論

(5)3.8.3正確地運(yùn)用根本概念和根本原理進(jìn)行直觀判斷以提高定性分析能力正確地進(jìn)行直觀判斷，根據(jù)平衡的根本原理，可以不通過(guò)建立平衡方程，而直接確定某些未知力，甚至全部約束力。這在工程中，特別是現(xiàn)場(chǎng)工程分析中，是很重要的。同時(shí)，正確的直觀判斷，有利于保證理論分析與計(jì)算結(jié)果的正確性。正確的直觀判斷，必須以平衡概念為根底，同時(shí)正確應(yīng)用對(duì)稱結(jié)構(gòu)受力的對(duì)稱性和反對(duì)稱性。所謂對(duì)稱結(jié)構(gòu)，是指如果結(jié)構(gòu)存在對(duì)稱軸(平面問(wèn)題)或?qū)ΨQ面(空間問(wèn)題)，結(jié)構(gòu)的幾何形狀、幾何尺寸以及結(jié)構(gòu)的約束，都對(duì)稱于對(duì)稱軸(平面問(wèn)題)或?qū)ΨQ面(空間問(wèn)題)。1313.8結(jié)論與討論

(6)3.8.3正確地運(yùn)用根本概念和根本原理進(jìn)行直觀判斷以提高定性分析能力對(duì)稱結(jié)構(gòu)假設(shè)承受對(duì)稱載荷，那么其約束力必然對(duì)稱于對(duì)稱軸；