第5章-大數(shù)定律與中心極限定理答案

PAGEPAGE1第5章-大數(shù)定律與中心極限定理答案第一篇：第5章-大數(shù)定律與中心極限定理答案nnnXXniii1A)limPxx;B)limPxx;nn21nnXXniii1i1C)limPxx;D)limPxx;nnn2其中x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).解由李雅普諾夫中心極限定理:E(Xi),D(Xi)2i1,2,,n,111Sn222nn11XinXiXini1i1N(0,1)Snn故選(B)4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5,則根據(jù)切貝謝夫不等式估計(jì)PXY6（）.A)1111B)C)D)461216解|EXY220(Y,)XYDXYDXDY2covX,Y,covX1420.5123.由切貝謝夫不等式得PXYEXY6故選(C)5.若隨機(jī)變量XB1000,0.01,則P4X16（）.A)0.925B)0.825C)0.9D)0.725解|因?yàn)镋X10000.0110,DXnpq100.999.9DXY31.623612由切貝謝夫不等式得P4X16PX1061PX1061故選(D)DX9.9110.2750.725.3662二、填空題（每空2分，共10分）1.已知離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的泊松分布，則利用切貝謝夫不等式估計(jì)概率PX35解因?yàn)閄Pm所以EXDX3由切貝謝夫不等式PXEX5DX3.52252.已知隨機(jī)變量X存在數(shù)學(xué)期望EX和方差DX，且數(shù)學(xué)期望EX10，EX109，利用切貝謝夫不等式估計(jì)概率PX106解因?yàn)镋X10,DXEXEX1091009由切貝謝夫不等式PX106DX91.263643.已知隨機(jī)變量X的方差為4，則由切貝謝夫不等式估計(jì)概率PXEX3解由切貝謝夫不等式PXEX34.94.若隨機(jī)變量XBn,p,則當(dāng)n充分大時(shí),X近似服從正態(tài)分布N解因?yàn)镋Xnp,DXnp1p.三、計(jì)算或證明題題（每題10分，共80分）1.如果隨機(jī)變量X存在數(shù)學(xué)期望EX和方差DX，則對于任意常數(shù)0，都有切貝謝夫不等式：PXEXDX2（證明當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)的情況）證明設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為x,則PXEXXEXxdxXEXXEX2xdxDX2XEXxdx2.2.投擲一枚均勻硬幣1000次，試?yán)们胸愔x夫不等式估計(jì)出現(xiàn)正面次數(shù)在450次~550次之間的概率.解設(shè)隨機(jī)變量X表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù),由于XB1000,0.5,所以EX500,DX250;由切貝謝夫不等式P450X550PX500501DX25010.9.22500503.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X服從區(qū)間1,3的均勻分布，試?yán)们胸愔x夫不等式估計(jì)事件X4發(fā)生的概率.133(1)4;1,DX解由于XU1,3,所以EX2123由切貝謝夫不等式D(X)11PX141210.9167.412164.對敵人的防御工事進(jìn)行80次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)炸彈數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為2，方差為0.8，且各次轟炸相互獨(dú)立，求在80次轟炸中有150顆~170顆炸彈命中目標(biāo)的概率.解設(shè)隨機(jī)變量X表示80次轟炸中炸彈命中目標(biāo)的次數(shù),Xi表示第i次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù),則EXi2，DXi0.8;由于XXi1i所以EX160，DX800.864;由中心極限定理得P150X170170160150160881.251.2521.25120.894410.7888.5.袋裝食糖用機(jī)器裝袋，每袋食糖凈重的數(shù)學(xué)期望為100克，方差為4克，一盒內(nèi)裝100袋，求一盒食糖凈重大于10,060克的概率.解設(shè)每袋食糖的凈重為Xii1,2,,100,則Xii1,2,,100服從獨(dú)立同分布,且E(Xi)100,D(Xi)4;設(shè)一盒食糖為X,則XXi,E(X)10000,D(X)400,i1100由中心極限定理得PX100601PX1006011310.998650.00135.6.某人壽保險(xiǎn)公司為某地區(qū)100,000人保險(xiǎn)，規(guī)定投保人在年初向人壽保險(xiǎn)公司交納保險(xiǎn)金30元，若投保人死亡，則人壽保險(xiǎn)公司向家屬一次性賠償6,000元，由歷史資料估計(jì)該地區(qū)投保人死亡率為0.0037，求人壽保險(xiǎn)公司一年從投保人得到凈收入不少于600,000元的概率.解設(shè)隨機(jī)變量X表示一年內(nèi)投保人中死亡人數(shù),則XBn,p,其中n100000,p0.0037;EXnp370,DXnpq3700.9963368.31;由100000306000X600,000,得X400由拉普拉斯中心極限定理,所求概率為PX400P301.560.9406.19.19407.某車間有同型號機(jī)床20XX，每部開動的概率為0.7，假定各機(jī)床開與關(guān)是獨(dú)立的，開動時(shí)每部機(jī)床要消耗電能15個(gè)單位.問電廠最少要供應(yīng)這個(gè)車間多少電能，才能以95%的概率，保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)？解設(shè)隨機(jī)變量X表示20XX機(jī)床中同時(shí)開動機(jī)床臺數(shù),則XB20XX0.7,EXnp140,DX426.482用K表示最少開動的機(jī)床臺數(shù),則PXKPXKK1400.956.5查表1.650.95,故K1401.656.5由此得K151這說明,這個(gè)車間同時(shí)開動的機(jī)床數(shù)不大于151部的概率為0.95.所以電廠最少要供應(yīng)這個(gè)車間151152265個(gè)單位電能,才能以95%的概率,保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).8.設(shè)某婦產(chǎn)醫(yī)院生男嬰的概率為0.515,求新生的10000個(gè)嬰兒中,女嬰不少于男嬰的概率?解設(shè)X表示10000個(gè)嬰兒中男嬰的個(gè)數(shù),則XBn,p其中n10000,p0.515.由拉普拉斯中心極限定理,所求概率為PX5000P31310.998650.00135.附表：00.50.6913;010.8413;01.250.8944;2.50.99379001.50.9938;01.560.9406;01.650.95;030.99865.第二篇：ch5大數(shù)定律和中心極限定理答案一、選擇題0,事件A不發(fā)生1.設(shè)Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互獨(dú)立,令1,事件A發(fā)生10000Y=X,則由中心極限定理知Y近似服從的分布是（D）ii1A.N(0,1)C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)2．設(shè)X1，X2，……，Xn是來自總體N（μ,σ2）的樣本，對任意的ε>0，樣本均值X所滿足的切比雪夫不等式為（B）Xn≥nC．PX≤1-A．P2nX≥1-nnD．PXn≤B．P23.設(shè)隨機(jī)變量X的E（X）=,D(X)=2，用切比雪夫不等式估計(jì)P(|XE(X)|3)（C）A.C.198919121B.3D.14．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布，用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3D.1二、填空題1．將一枚均勻硬幣連擲100次，則利用中心極限定理可知，正面出現(xiàn)的次數(shù)大于60的概率近似為___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）2．設(shè)隨機(jī)變量序列X1，X2，…，Xn，…獨(dú)立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…,則nXnii1x_對任意實(shí)數(shù)x，limPnn___________.3.設(shè)隨機(jī)變量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估計(jì)P(|XE(X)|32)___8/9________。4．設(shè)隨機(jī)變量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估計(jì)P（|X－_____1/4___________．5．設(shè)隨機(jī)變量X~B(100,0.8)，由中心極限定量可知，11|≥）≤2P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)0,6.設(shè)Xi=1,事件A不發(fā)生事件A發(fā)生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8,X1，X2，…，X100相互獨(dú)立，令Y=Xi1100i，則由中心極限定理知Y近似服從于正態(tài)分布，其方差為___16________。7．設(shè)隨機(jī)變量X~B（100，0.2），應(yīng)用中心極限定理計(jì)算P{16X24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）8.設(shè)n為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n9．設(shè)隨機(jī)變量X～B(100，0.5)，應(yīng)用中心極限定理可算得P{4010.設(shè)X1,X2,,Xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，則當(dāng)n充分大的時(shí)候，隨機(jī)變量Zn_N(0,1)_______(標(biāo)明參數(shù)).1Xi1ni的概率分布近似服從第三篇：第四章大數(shù)定律與中心極限定理第四教學(xué)目的：大數(shù)定律與中心極限定理1．使學(xué)員理解隨機(jī)變量序列依概率收斂、按分布收斂的含義，知道兩種收斂的關(guān)系，理解連續(xù)性定理的意義。2．使學(xué)員牢固掌握馬爾科夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律及其證明、理解契貝曉夫、貝努力里大數(shù)定律的意義。3．使學(xué)員能熟練應(yīng)用DeMoivre-Laplace中心極限定理作近似計(jì)算及解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題。4．使學(xué)員掌握、獨(dú)立同分布場合下的Lindeberg-Leve中心極限定理的證明及應(yīng)用，知道德莫佛—拉斯定理是其特例。本課程一開始引入事件與概率的概念時(shí)，我們就知道就一次試驗(yàn)而言，一個(gè)隨機(jī)事件可以出現(xiàn)也可不出現(xiàn)，但作大量的重復(fù)試驗(yàn)則呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性——統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。即，任一事件出現(xiàn)的頻率是穩(wěn)定于某一固定數(shù)的，這固定數(shù)就是該事件在一次試驗(yàn)下發(fā)生的概率，這里說的“頻率穩(wěn)定于概率”實(shí)質(zhì)上是頻率依某種收斂意義趨于概率，“大數(shù)定律”就是解釋這一問題的。另外在前一章介紹正態(tài)分布時(shí)，我們一再強(qiáng)調(diào)正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)中的重要地位和作用，為什么實(shí)際上有許多隨機(jī)現(xiàn)象會遵循正態(tài)分布？這僅僅是一些人的經(jīng)驗(yàn)猜測還是確有理論依據(jù)，“中心極限定理”正是討論這一問題的?！?.2*隨機(jī)變量序列的兩種收斂性假設(shè)1(),2(),,n(),是定義在同一概率空間（，F(xiàn),P）上的一列隨機(jī)變量，顯然，其中每個(gè)r.v，k()可以看成是定義在概率空間上的一個(gè)有限可測函數(shù)，因此，我們*§4.2使用的是原教材的編號，是方便學(xué)員看書復(fù)習(xí)?？梢韵笤趯?shí)變函數(shù)論中對可測函數(shù)列定義收斂性一樣，給出隨機(jī)變量列{k()}的收斂性概念。以下我們討論時(shí)，總假定r.v列{n}和r.v.都是定義在同一概率空間（，F(xiàn),P）上的，對于某樣本點(diǎn)0，顯然{n(0)}可視為一普通實(shí)數(shù)列，(0)則可看作一實(shí)數(shù)，此時(shí)若有l(wèi)imn(0)(0)，則稱隨機(jī)變量列{n}在點(diǎn)0收斂到。若對任意，均有nlimn()()，則稱{n}在上點(diǎn)點(diǎn)收斂到。但在本章的討論中，我們沒有必n要對{n}要求這么高，一般是考慮下面給出的收斂形式。定義4.2設(shè)有一列隨機(jī)變量,1,2,，如對任意的＞0，有l(wèi)imP{:n()()}0（4.6）n則稱{n}依概率收斂到，并記作4.6limnPnP,4.6或n（4.6）式也等價(jià)于limP{n}}0n從定義可見，依概率收斂就是實(shí)函中的依測度收斂。時(shí)，其相我們知道，隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律由它的分布函數(shù)完全刻劃，當(dāng)n應(yīng)的分布函數(shù)Fn(x)與F(x)之間的關(guān)系怎樣呢？例4．2設(shè)n(n1)及都服從退化分布：P1P{n}1,n1,2,nP{0}1對任給＞0，當(dāng)n＞1時(shí)，有P{n}P{n}02,(n)所以nP10n而n的d.f為Fn(x)1x1nx的d.f為F(x)01x0x0易驗(yàn)證當(dāng)x0時(shí)，有Fn(x)→F(x)（n→）但x0時(shí)，F(xiàn)n(0)1不趨于F(0)0上例表明，一個(gè)隨機(jī)變量依概論收斂到某隨機(jī)變量，相應(yīng)的分布函數(shù)不是在每一點(diǎn)都收斂，但如果仔細(xì)觀察這個(gè)例，發(fā)現(xiàn)不收斂的點(diǎn)正是F(x)的不連續(xù)點(diǎn)，類似的例子可以舉出很多，使人想到要求Fn(x)在每一點(diǎn)都收斂到F(x)是太苛刻了，可以去掉F(x)的不連續(xù)點(diǎn)來考慮。定義4.3設(shè){Fn(x)}為一分布函數(shù)序列，如存在一個(gè)函數(shù)F(x)，使在F(x)的每一連續(xù)點(diǎn)x，都有l(wèi)imFn(x)F(x)n則稱分布函數(shù)列{Fn(x)}弱收斂于F(x)，并F(x)n（4.7）記作Fn(x)定義4.3設(shè)r.v.n(n1)和的分布函數(shù)分別為Fn(x)，F(xiàn)(x)，若WLFn(x)F(x)n，則稱n按分布收斂于，并記作n（n）W，則n定理4.4若n證對于xR,任取xx，因有PL(x)(nx,x)(nx,x)(nx)(nx,x)故P(x)P(nx)P(nx,x)即F(x)Fn(x)P(nxx)，故P(nxx)0因n所以有F(x)limFn(x)nP同理可證，對xx有F(x)limFn(x)n于是對任意xxx有F(x)limFn(x)limFnF(x)nn令xx,xx，有F(x0)limFn(x)limFnF(x0)nn若x是F(x)的連續(xù)點(diǎn)，就有l(wèi)imFn(x)F(x)。證畢。此定理的逆不真。n例4.3拋擲一枚均勻硬幣，記1=“出現(xiàn)正面”，2=“出現(xiàn)反面”則P(1)P(2)1211令n()n=1，2，??02()10211因Fn(x)與F(x)完全相同，顯然有Fn(x)→F(x)對xR成立。但P{n12}P(n0,1)P(n1,1)=P11111。對n1成立22222不成立?！鄋一般來說，按分布收斂不能推出依概率收斂，但在特殊情況下，卻有下面的結(jié)果。n,定理4.5設(shè)C是一常數(shù)，P(C)1，則n（即n，CnC）PLPL證（）由定理4.1推得（）（不妨就設(shè)C）對任給0，有P{nC}P(nC)P(nC)1Fn(C)Fn(C0)(4.8)因C的分布函數(shù)為0xCWF(x)F(x)只在xc處不連續(xù)，而c處都是連續(xù)的，由Fn(x)1xC在（(4.8）中令n得limP(nc)1100n本章將要向大家介紹的大數(shù)定律實(shí)際上就是隨機(jī)變量列依概率收斂于常數(shù)的問題，由定理4.5知，它可歸結(jié)為相應(yīng)的分布函數(shù)列弱收斂于一退化分布，而中心極限定理就是隨機(jī)變量的分布函數(shù)列弱收斂問題，可見分布函數(shù)列的弱收斂在本章討論中占重要地位。然而，要直接判斷一個(gè)分布函數(shù)列是否弱收斂是很困難的上一章我們就知道，分布函數(shù)與特征函數(shù)一一對應(yīng)，而特征函數(shù)較之分布函數(shù)性質(zhì)優(yōu)良很多，故判斷特征函數(shù)的收斂一般較易，那么是否有WFnxF(x)相應(yīng)的n(t)(t)答案是肯定的。定理4.6分布函數(shù)列{Fn(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(x)的充要條件是相應(yīng)的特征函數(shù)列{n(t)}收斂于F(x)的特征函數(shù)(t)例4.4若～P()證明1limP(x)2xet22dt隨機(jī)變量到依pr收斂具有如下性質(zhì)。a,nb定理4.7（斯魯茨基）若nPP則有（1）nPnab（2）b0時(shí)，nPanbP，f(x)為連續(xù)函數(shù)書P220XX4.8nf()（4.9）則有f(n)P§4.1大數(shù)定律本章一開始我們就指出大數(shù)定律是從討論“頻率穩(wěn)定于概率”這件事引入的，概率的發(fā)展史上，這件事又是從貝努里試驗(yàn)這個(gè)概型入手的。設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P，將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，如果其中事件A發(fā)生的次數(shù)為n，則nn就是這n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率。所謂頻率nn穩(wěn)定到概率P，是指當(dāng)n增大時(shí)，斂。nn依某種收斂意義向P逼近。很容易驗(yàn)證，這里的收斂意義不是普通的收limnnnP（4.1）事實(shí)上，（4.1）意味著，對任給0，能找到N，當(dāng)nN時(shí)，有nnP4.1我們知道，在n重貝努里試驗(yàn)中，不管n多大，{A出現(xiàn)n次}這一結(jié)果都是可能發(fā)生的，當(dāng)這個(gè)結(jié)果發(fā)生時(shí)，nn，即nnP1P，因此，對于01P，不管N取多大，nP不發(fā)生的可n也不能保證nN時(shí)（4.1）′成立。但可以想見，當(dāng)n很大時(shí)，6能性很小了，比如PnP1Pn0(n)。于是猜想可能有nP。這個(gè)猜想nn是正確的，其證明暫放后一步。現(xiàn)不妨先承認(rèn)有事實(shí)nnPP（4.2）若令k1,第k次試驗(yàn)A發(fā)生k1,2,0,第k次試驗(yàn)A不發(fā)生則（4.2）意味著1n1nPkE(k)nk1nk1上式反映出大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有的一種穩(wěn)定性，我們稱之為大數(shù)定律。k為一隨機(jī)變量序列，它們具有有限的數(shù)學(xué)期望Ek,k1,2。定義4.1，設(shè)1nPPEn（或（nEn）k服從大令nk，若n，則稱隨機(jī)序列0）nk1數(shù)定律。下面的定理給出隨機(jī)序列服從大數(shù)律的一個(gè)充分條件。k是一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，其中每一隨定理4.1（契貝曉夫大數(shù)定律）設(shè)機(jī)變量都有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，且方差有公共上界：DkC,(C為常數(shù));K1,2,k服從大數(shù)定律。則證明：只須證，對任給0，均有1n1nP{kEk}0(0)（4.3）nk1nk1由契貝曉夫不等式1n1n0PkEknk1nk1下面我們來證明（4.2）式1nD(k)nk12Cn2(n)0定理4.2（貝努里大數(shù)定律）設(shè)n是n重貝努重試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)都有P(A)P,則nnPP。k，則EkP,DkP(1P)[證明]照（4.2）定義隨機(jī)序列1,k1,2,4k服從大數(shù)律，因此由定理4.1知，k1nkPEkk1nnn,這就是nnPP，k服從大上面所述的兩個(gè)大數(shù)定律，后一個(gè)是前一個(gè)的特款，從定理4.1的證明看出，數(shù)律的一個(gè)充分條件是D(k)k12nn0(n)(4.4)(4.4)所示的條件常稱為馬爾可夫條件，由此得如下的馬爾可夫大數(shù)定律（書P222習(xí)題4.23）k滿足（4.4）所示的馬爾可夫條件，則它服從大數(shù)定律。若隨機(jī)變量序列證：對任給0，由契貝曉夫不等式，有1n1n0PkEknk1nk1D(k)nk122n再由(4.4)立得結(jié)論。k相互獨(dú)立的條件。另方面，顯然定理4.1我們注意到，馬爾可夫大數(shù)律并沒有附加又是它的特款。因此，上面所述的三個(gè)大數(shù)定律，馬爾可夫大數(shù)律才是最基本的，當(dāng)然，它的條件也是充分而非必要的。我們還注意到上面的三個(gè)大數(shù)定律，其證明都要依靠契貝曉夫不等式，所以要求隨機(jī)變量的方差存在。但進(jìn)一步的研究表明，方差存在這個(gè)條件并不一定必要。比如在獨(dú)立同分布的場合，就可去掉這個(gè)條件。著名的俄國數(shù)學(xué)家XИНЧИН證明了這點(diǎn)。定理4.3（辛欽大數(shù)定律）設(shè)k為相互獨(dú)立，同分布的隨機(jī)序列，具有有限的數(shù)學(xué)期望Eka(a為常數(shù))，則k服從大數(shù)定律。證：因1,2,同分布，故有相同的特征函數(shù)(t),又Eka在t=0處展開，有(0)i，將（t）(t)(0)(0)t0(t)1iat0(t)1n由1,2,相互獨(dú)立，得nk的特征函數(shù)為nk1tttgn(t)[()]n[1ia0()]nnnnttnL1iata，再由定對于任意tR,limgn(t)lim[1ia0()]e，由定理4.6知nnnnna，即k服從大數(shù)定理。理4.5得nP貝努里大數(shù)定律顯然是辛欽大數(shù)定律的特款。k為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，存在Ena,Dn，令例4.1設(shè)21n1n2nk,Sn(kn)2nk1nk1證明Sn2P2ki·證：i·d則{n}亦i·i·d21n2Pa，k(2a2)由辛欽大數(shù)律nnk1Pa由（4.9），(n)2P21n2P2由斯魯茨基定理Sk(n)2（4.5）nk12n§4.3中心極限定理大數(shù)定律僅僅從定性的角度解決了頻率nn穩(wěn)定于概率p，即nnPp，為了定量地估計(jì)用頻率nn估計(jì)概率P(A)(記為p)的誤差，歷史上DeMoivre、Laplace等數(shù)學(xué)家經(jīng)過許多努力，證明了n的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量漸近于N（0，1）分布：定理4.8（德莫佛—拉普拉斯）在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0p1)，n為n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，則對任意xR,一致地有，1limP{nnnpnpqx}12xet22dt（4.10）本定理的原始證明較復(fù)雜，但它是下面要證明的定理4.9的特例，現(xiàn)在來看定理4.8的重要意義。定理4.8在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中有重要作用主要表現(xiàn)在（1）較為精確地估計(jì)出用頻率估計(jì)概率的誤差。當(dāng)n充分大時(shí)P{nnP}P{npnnpqnpqn}pq2(n)4.10pq由上式，.,n中已知其二，可求另一（2）較好地解決了二項(xiàng)分布的近似近計(jì)算。當(dāng)~B(n,p)而n較大時(shí)，無論p是否接近0或1，均由（4.10）得P{x1x2}P{x1npnpqnpnpqx2npnpq}(x2npnpq)(x1npnpq)（4.10）″另方面，定理4.8在理論研究上也有很大價(jià)值，這里僅指出這樣一個(gè)事實(shí)nnpnnp依分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量（這時(shí)稱漸近于正態(tài)分布npqnpqN（0，1）若令k第k試驗(yàn)A出現(xiàn),1,k1,20,第k次試驗(yàn)A不出現(xiàn)則上面的事實(shí)等價(jià)于k1nk有漸近正態(tài)分布，這一重要發(fā)現(xiàn)具有普遍意義。前面我們介紹正態(tài)分布時(shí)曾說過，已發(fā)現(xiàn)許多隨機(jī)現(xiàn)象，比如測量誤差，射擊偏差等都可用正態(tài)分布來描述。經(jīng)過長期觀察、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)那些服從正態(tài)分布的隨機(jī)現(xiàn)象往往是由許多彼此無關(guān)，誰也不起突出作用，只均勻地起微小作用的隨機(jī)因素共同作用而產(chǎn)生。換句話說，這類隨機(jī)現(xiàn)象往往可視為獨(dú)立（或弱相依）隨機(jī)變量之和k1nk，在什么條件下有漸近正態(tài)分布的問題，在長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)間內(nèi)成為概率論討論的中心課題，為使問題規(guī)范化，數(shù)學(xué)家們將問題歸結(jié)為討論規(guī)范和。.k1nkE(k)k1nn有漸近分布N（0，1）的條件。D(k)k1k服從中心極限定理。并稱有此結(jié)論的隨機(jī)序列下面是勒維（Levy）和林德貝爾格（Lindeberg）的成果Dk（20）定理4.9若1,2,是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且Eka，11則有l(wèi)imP{k1nnknax}(x)（4.11）n對一切實(shí)數(shù)x成立證：??在定理4.8中，由于n可看作獨(dú)立同貝努里分布的一列隨機(jī)變量的部分和，因此定理4.8是定理4.9的特例。在處理近似計(jì)算時(shí)，定理4.9較之定理4.8有更廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用中，只要n較大，便可把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似當(dāng)作正態(tài)變量。這種處理方法對于解決大子樣問題非常方便。常用的近似計(jì)算式為：P{x1kx2}P{k1nx1nan(k1nka)x2nann}(x2nan)(x1nan)（4.12）例4.5某單位有260架電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有4%的時(shí)間要用外線通話，可以認(rèn)為各個(gè)電話分機(jī)用不用外線是相互獨(dú)立的，問總機(jī)要備多少條外線才能以95%的把握保證各個(gè)分機(jī)在需用外線時(shí)不必等候。例4.6（近似數(shù)定點(diǎn)運(yùn)算的誤差分析）數(shù)值計(jì)算時(shí)，任何數(shù)x都只能用一定數(shù)位的有限小數(shù)y來近似，這就產(chǎn)生了一個(gè)誤差xy，在下面討論中，我們假定參加運(yùn)算的數(shù)都用十進(jìn)制定點(diǎn)表示，每個(gè)數(shù)都用四舍五入的方法取到小數(shù)點(diǎn)后五位，這時(shí)相應(yīng)的四舍五入誤差可以看作是[0.510,0.51055]上的均勻分布。如果要求n個(gè)數(shù)xi(i1,2,,n)的和S，在數(shù)值計(jì)算中就只能求出相應(yīng)的有限位小數(shù)，y2(i1,2,,n)的和T,并用T作S的近似值，現(xiàn)在問，這樣做造成的誤差ST是多少？因?yàn)镾x(yii1i1nnii)yiii1i1nn12故i1ni.5傳統(tǒng)的估計(jì)方法是，根據(jù)i0.510得i1nin0.5105以n10000為例，所得誤差估計(jì)為0.05今用（4.12）估計(jì)。如果假定舍入誤差i是相互獨(dú)立的，這里。aEi0,Di有0.51053P{iKn}(k)(k)i1n若取k3，則上面的概率約為0.997，即能以99.7%的概率斷言31000.510530.866105這只及傳統(tǒng)估計(jì)上限的60分之一。第四篇：第五章大數(shù)定律與中心極限定理第五章大數(shù)定律與中心極限定理教學(xué)目的與要求1.了解大數(shù)定律的思想方法，大數(shù)定律概念的本質(zhì)內(nèi)涵，熟悉幾個(gè)大數(shù)定律的條件，分清其異同之處.2.了解隨機(jī)變量序列的兩種收斂的概念及其之間的關(guān)系.3.熟悉中心極限定理并會應(yīng)用中心極限定理解決一些實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)中心極限定理教學(xué)難點(diǎn)大數(shù)定律教學(xué)方法講解法教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)切比雪夫不等式定理5.1（切比雪夫不等式）對任意的隨機(jī)變量，若D存在，則對任意的正常數(shù)，有P(a)D2證明設(shè)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(x)，則P(a)21D2(xa)2p(x)dx2xaxap(x)dx(xa)2p(x)dx注：在上述的證明中，如果把密度函數(shù)換成分布列，把積分號換成求和號，即得到離散型情形的證明.在切比雪夫不等式給出的估計(jì)中，只需要知道方差D及數(shù)學(xué)期望E兩個(gè)數(shù)字特征就夠了，因而使用起來比較方便.但因?yàn)闆]有完整用到隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律—分布函數(shù)或密度函數(shù)，所以一般來說，它給出的估計(jì)是比較粗糙的.利用切比雪夫不等式可證明下列事實(shí)：隨機(jī)變量的方差D0的充要條件是取某個(gè)常數(shù)值的概率為1，即P(a)1例1.第二節(jié)大數(shù)定律定義5.1設(shè)有一列隨機(jī)變量,1,2,L,，如果對任意的0，有l(wèi)imPn1n則稱隨機(jī)變量序列{n}依概率收斂于，并記作limnnp或np(n)定義5.1若1,2,,n,是隨機(jī)變量序列，如果存在常數(shù)列a1,a2,,an,，使對任意的0,有l(wèi)impnii1an1nn成立，則稱隨機(jī)變量序列{n}服從大數(shù)定理.定理5.2（契貝曉夫大數(shù)定律）設(shè)1,2,是一列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，又設(shè)它們的期望,方差存在,且方差有界，即存在常數(shù)C0，使有DiC,則對任意的0，有i1,2,1n1nlimPiEi1nni1ni1證明仍利用契貝曉夫不等式，有P1nnDiDinn11ni1i1Einini12n22i1因?yàn)閧i}兩兩不相關(guān)，且由它們的方差有界即可得到nnDiDinCi1i1從而有1nC1n0,nPiEi2nnni1i1從而得證.定理5.3（貝努里定理）設(shè)n是n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0p1)，則對任意的0，有l(wèi)imPnnp1n證明令1,在第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)1ini0,在第i次試驗(yàn)中A不出現(xiàn)則1,2,,n是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Eip,Dip(1p)pq而n于是(i1,,n)i1niniEinpi1i1npnnnn由契貝曉夫不等式有nnDinni1PnpPiEi22i1ni1n從而有Pnnpq1pqp220,n2nnn這就得證.貝努里定理說明了大數(shù)次重復(fù)試驗(yàn)下所呈現(xiàn)的客觀規(guī)律，所以也稱為貝努里大數(shù)定律.注：貝努里大數(shù)定律實(shí)質(zhì)上討論了形如Einnii1i1n的隨機(jī)變量，當(dāng)n時(shí)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，其中的{i}是獨(dú)立的服從同一個(gè)0—1分布的隨機(jī)變量.定理5.4（辛欽大數(shù)定律）設(shè)1,2,是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且數(shù)學(xué)期望存在：Eia,則對任意的0,有i1,2,1nlimPia1nni1成立.定理的證明將在下一節(jié)中給出.1n辛欽大數(shù)定律表明.當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量在n次觀察中的算術(shù)平均值i會“靠近”ni1它的期望，為尋求隨機(jī)變量的期望提供了一條實(shí)際可行的途徑.借用數(shù)學(xué)分析中的“收斂”、“極限”這些術(shù)語，把上式所表示的關(guān)系式記成p1nlimianni1或1npaini1(n)1n并且稱i依概率收斂于a，按這一記號和說法，貝努里大數(shù)定律表明了頻率n/n依ni1概率收斂于概率p，即nnpp(n)小結(jié)：大數(shù)定律是個(gè)比較抽象的概念，它是對隨機(jī)變量序列而言，當(dāng)這個(gè)序列獨(dú)立，且它的前n項(xiàng)和與其數(shù)學(xué)期望差的絕對值小于正數(shù)的概率在n趨于無窮大時(shí)極限等于1這一現(xiàn)象定義的.若某一隨機(jī)變量序列在一定的條件下滿足這一結(jié)果，就稱該序列服從大數(shù)定律.作業(yè)第三節(jié)中心極限定理定理5..5若1,2,是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且Eka,Dk(0),k1,2,則有22nakxlimPnxet22dt定理5.6（德莫佛—拉普拉斯（DeMoivre_laplace）極限定理）在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0p1),n為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則xlimPn例1,2,3小結(jié)中心極限定理是本章的核心內(nèi)容.也可以說，它是前兩節(jié)理論的結(jié)晶.它表明當(dāng)分布序列滿足一定的條件時(shí)，序列就弱收斂于N(0,1)分布，而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布又有表可查.這樣，在隨機(jī)變量序列的n很大時(shí)，相關(guān)的概率問題就可以得到近似解決.作業(yè)xet22dt第五篇：第五章+大數(shù)定律與中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案—運(yùn)懷立習(xí)題五一、填空題1．設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì)P{XEX2}．解由題設(shè)，已知DX2，直接應(yīng)用切比雪夫不等式，即P{XEX2}DX2242．設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)字期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5,則根據(jù)切比雪夫不等式P{XY6}．解由題設(shè)，已知EX2,EY2,DX1,DY4,XY0.5，則E(XY)EXEY0D(XY)DXDY2COV(X,Y)DXDY2XY142(0.5)43DXDY故由切比雪夫不等式，得P{XY6}1123．設(shè)n表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則P{anb}．解由題設(shè)知n~B(n,p)，則依中心極限定理得P(anb)P（anpnp(1p)bnpnnpnp(1p)bnpnp(1p))np(1p)np(1p)anp4．設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX，方差DX，則由切比雪夫不等式，有P{X3}．解由切比雪夫不等式，得P{X3}(3)5．設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1，X2，，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)n時(shí)，YnnXi依概率收斂于．ni1解根據(jù)簡單隨機(jī)樣本的性質(zhì)，X1，X2，，Xn相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，因此X12，X22，，Xn也都相互獨(dú)立且同分布，且它們共同的期望值為E(Xi)D(Xi)(EXi)DX(EX)121()422根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n時(shí)，YnnXi依概率收斂于其期望值ni1二、單項(xiàng)選擇題設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,,Xn相互獨(dú)立，SnX1X2Xn，則根據(jù)列維一林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時(shí)，Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1,X2,,Xn[](A)有相同的數(shù)學(xué)期望(B)有相同的方差(C)服從同一指數(shù)分布(D)服從同一離散型分布解列維一林德伯格(Levy-Lindberg)中心極限定理：當(dāng)X1,X2,,Xn獨(dú)立同分布且E(Xi),D(Xi)(i1,2,,n)時(shí)，X1,X2,,Xn服從中心極限定理．由此知，(A)、(B)中沒有同分布的條件，(D)中無期望、方差存在的條件，只有(C)滿足所有條件，故正確選項(xiàng)為(C)．三、解答題1．一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克．若用最大重量為50噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977．[（2）0.977,其中（x）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)]解設(shè)Xi(i1,2,,n)表示“裝運(yùn)的第i箱的重量”（單位：千克），n是所求箱數(shù)，由已n知條件X1,X2,,Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量．設(shè)n箱的總重量為Tn，則Tni1又Xi．由題設(shè)，E(Xi)50,D(Xi)25,i1,2,,n，從而E(Tn)50n,D(Tn)25n（單位皆為千克）．由中心極限定理，知Tn近似服從參數(shù)為(50n,25n)的正態(tài)分布，即N(50n,25n)．由條件Tn50n5n500050n5nP{Tn5000}P{（100010nn)0.977(2)可得出100010nn2，即n98.0199，所以最多可以裝98箱．2．在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)，在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在450至550次之間的概率．解設(shè)X表示“在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)”，則X~B(1000,0.5)．且EX10000.5500,DX10000.50.5250從而由切比雪夫不等式PXEX501DX500.9即在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在450至550次之間的概率不小于90%．3．隨機(jī)地?cái)S六顆骰子，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)：六顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)總和不小于9點(diǎn)且不超過33點(diǎn)的概率．解設(shè)Xi(i1,2,,6)表示“第i顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù)”，則P(Xik)16,k1,2,,6;i1,2,,6從而E(Xi)12672,E(X)i126222916于是D(Xi)E(Xi)[E(Xi)]9164943512所以有E(Xi)i1i1E(Xi)i166621,D(Xi)i1i1D(Xi)12i1352故由切比雪夫不等式P(9i1635/2Xi33)PXiE(Xi)1210.88212i1i1即六顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)總和不小于9點(diǎn)且不超過33點(diǎn)的概率不小于88%．5．抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則拒絕接受這批產(chǎn)品，設(shè)某批產(chǎn)品次品率為10%，問至少應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該