剛體的角動量

設(shè)剛體繞z軸作定軸轉(zhuǎn)動，體元mi對軸的角動量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整個剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量

Lz等于轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。

一、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量(Angularmomentum)riviOiz·mi§5-3定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律1.注意：2.在剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量的表達式中，所涉及的三個物理量都是相對于轉(zhuǎn)軸的，所以不用寫成矢量式。3.對于密度均勻、形狀對稱、且繞幾何對稱軸旋轉(zhuǎn)的剛體。整個剛體對轉(zhuǎn)軸上任意一點的角動量L必定沿轉(zhuǎn)軸并與角速度的方向相同，故可寫成矢量式1.與質(zhì)點動量表達式對比2.二、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理將轉(zhuǎn)動定理Mz=Ja

寫成下面的形式:實驗表明,此式更具普遍性。由上式得到

剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理作定軸轉(zhuǎn)動的剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量的時間變化率，等于剛體相對于同一轉(zhuǎn)軸所受外力的合力矩。3.角動量定理也可以寫為

Mz

dt稱為沖量矩,等于力矩與力矩作用于剛體的時間的乘積。對上式積分得到角動量定理的積分形式

該式表示：動量的增量等于力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體的時間累積效應(yīng)4.

剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受外力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零時,剛體對同一轉(zhuǎn)軸的角動量不隨時間變化。

剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動時,系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動慣量改,角速度的大小也同時改變但兩者的乘積保持不變。恒量如果Mz=0,則三、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律5.注意：1.該定律的應(yīng)用條件，是剛體或剛體組必須滿足所受外力的合力矩為零；2.角動量、轉(zhuǎn)動慣量和角速度必須相對同一軸；3.若將該定律應(yīng)用于剛體組，剛體組中各個剛體之間可以發(fā)生相對運動，但是它們必須是相對于同一轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動.6.1.轉(zhuǎn)動定理2.力矩作的功3.動能定理

小結(jié)

在定軸轉(zhuǎn)動中,剛體相對于某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積,等于作用于剛體的外力相對同一轉(zhuǎn)軸的合力矩

7.

設(shè)剛體繞z軸作定軸轉(zhuǎn)動，體元mi對軸的角動量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整個剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量

Lz等于轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。

一、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量(Angularmomentum)riviOiz·mi§5-3定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律8.二、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理將轉(zhuǎn)動定理Mz=Ja

寫成下面的形式:實驗表明,此式更具普遍性。由上式得到

剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理作定軸轉(zhuǎn)動的剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量的時間變化率，等于剛體相對于同一轉(zhuǎn)軸所受外力的合力矩。9.角動量定理也可以寫為

Mz

dt稱為沖量矩,等于力矩與力矩作用于剛體的時間的乘積。對上式積分得到角動量定理的積分形式

該式表示：動量的增量等于力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體的時間累積效應(yīng)10.

剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受外力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零時,剛體對同一轉(zhuǎn)軸的角動量不隨時間變化。

剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動時,系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動慣量改,角速度的大小也同時改變但兩者的乘積保持不變。恒量如果Mz=0,則三、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律11.

剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒是經(jīng)?？梢砸姷降?，如人手持啞鈴的轉(zhuǎn)動,芭蕾舞演員和花樣滑冰運動員作各種快速旋轉(zhuǎn)動作,都利用了對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律。12.花樣滑冰中常見的例子花樣滑冰收臂大小Iw張臂Jw大小先使自己轉(zhuǎn)動起來收臂大小Jw13.LwJ萬向支架受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動量守恒LwJ恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理wJ其中轉(zhuǎn)動慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以角速度高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會受基座改向的影響基座回轉(zhuǎn)體（轉(zhuǎn)動慣量）Jw14.

例1:一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細直棒，一端有一固定的光滑水平軸，可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求由此下擺角時的角加速度和角速度。

解:棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。重力作用在棒的重心,當(dāng)棒處在下擺角時，重力矩為：l/2xO）P15.棒處于θ角時的角加速度為：由角加速度的定義

重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。因為棒繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量為：l/2xO）P16.作如下變換將上式兩邊積分角速度為17.例題2

一個質(zhì)量為100kg的圓盤狀平臺，以1.05rads-1的角速度繞通過中心的豎直軸自由旋轉(zhuǎn)，在平臺的邊緣站著一個質(zhì)量為60kg的人。問當(dāng)人從平臺邊緣走到盤的中心時，平臺的轉(zhuǎn)速時多少？解：因為帶人的平臺是自由轉(zhuǎn)動的，即不受外力矩的作用。若把人和平臺看成一個系統(tǒng)，應(yīng)滿足角動量守恒定律，則當(dāng)人站在平臺的邊緣時，剛體組的轉(zhuǎn)動慣量為：18.

當(dāng)人站在平臺中心時，剛體組的轉(zhuǎn)動慣量等于平臺本身的轉(zhuǎn)動慣量，即將J1和J2代入角動量守恒定律19.質(zhì)點直線運動或剛體平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度位移角位移vrr1t2r()tr()r1t2()t()qqqwddtwddtqaaddtvddt勻速直線運動srvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動qwt勻變速直線運動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動s021+vt2atqw0+t21a2t2vv022asw2w022aqvv0+atww0+at20.剛體的平動剛體的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動動能動能牛頓定律功力矩的功動能定理轉(zhuǎn)動動能定理21.剛體的平動剛體的轉(zhuǎn)動沖量沖量矩Mz

dt動量定理角動量定理動量守恒定理角動量守恒定律恒量機械能守恒定律機械能守恒定律22.

一、固體在外力作用下的一般情形

形變固體受外力作用所發(fā)生的形狀變化，分為彈性形變和塑性形變。

應(yīng)力固體橫截面單位面積上內(nèi)力的改變量。應(yīng)力是固體在單位橫截面上產(chǎn)生的彈性力。

應(yīng)變固體在外力作用下所發(fā)生的相對形變量。

固體受力作用而被拉伸的整個過程如圖所示。BCEPσPσEσBoo′σε§5-4固體的形變和彈性23.

曲線OP為直線，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，點P的應(yīng)力是滿足比例關(guān)系的最大應(yīng)力，稱比例極限（

P）。點E的應(yīng)力E是發(fā)生彈性形變的最大應(yīng)力，稱彈性極限。當(dāng)應(yīng)力

>E時，發(fā)生塑性形變。

點C對應(yīng)的應(yīng)力為C，若把外力撤除，固體的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系沿OC變化，留下一定的剩余形變OO。

當(dāng)應(yīng)力達到點B對應(yīng)的應(yīng)力

B時，固體就斷裂，

B稱強度極限。BCEPσPσEσBoo′σε24.

有些固體的彈性極限與強度極限十分接近，因而塑性形變很小，稱為脆體；有些固體的彈性極限與強度極限相距較遠，可以產(chǎn)生很大的塑性形變，稱為可塑體。

實驗發(fā)現(xiàn)，固體發(fā)生塑性形變后的硬度增大了，若再要使它發(fā)生塑性形變，需要的外力比先前要大。稱為加工硬化。二、固體的彈性形變(Elasticdeformation)彈性形變有多種，最簡單的是長變和剪切。長變固體在外力作用下沿縱向拉伸或壓縮。

25.設(shè)有一均勻棒，如圖所示。

拉力規(guī)定為正力，形變L也是正的，固體被拉伸，如圖(a)。

壓力規(guī)定為負力，形變L也是負的，固體被壓縮，如圖(b)。

在長變的情況下，固體的拉伸應(yīng)變n為

固體受到力Fn發(fā)生長變，在任一橫截面上出現(xiàn)的應(yīng)力

n為LL+LFnFn(a)L+LFnFn(b)26.

根據(jù)胡克定律，在比例極限內(nèi)，

n與

n間存在線性關(guān)系

n

=Y

n

比例系數(shù)Y稱為材料的長變彈性模量，或楊氏模量，它決定于固體材料自身的性質(zhì)。

剪切當(dāng)固體受到大小相等、方向相反、相距很近的兩個平行力作用時，在兩力間的固體各橫截面將沿外力方向發(fā)生相對錯動。物體錯動的角度稱為剪切角

，如圖所示。FtFt）A′B′SψABCD27.固體的剪應(yīng)變

t為當(dāng)很小時，近似有

t=

根據(jù)胡克定律，應(yīng)有

t=G

t

比例系數(shù)G稱為固體材料的剪切模量，簡稱剪模量。若橫截面的面積為S，則剪應(yīng)力

由于外力

與作用面是平行的，故固體橫截面上產(chǎn)生的應(yīng)力都與該截面相切，因而稱為剪應(yīng)力，如圖所示。ψψ））σtσtFtFtSFtFt）A′B′SψABCD28.思考題：外力、內(nèi)力和應(yīng)力，這三個力的區(qū)別與聯(lián)系。