高中數(shù)學(xué)選修2-1模塊復(fù)習(xí)題資料

./模塊復(fù)習(xí)提升課一常用邏輯用語,[學(xué)生用書P76]>1．四種命題及其關(guān)系<1>四種命題命題表述形式原命題若p,則q逆命題若q,則p否命題若?p,則?q逆否命題若?q,則?p<2>四種命題間的逆否關(guān)系<3>四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系．2．充分條件與必要條件<1>如果p?q,那么稱p是q的充分條件,q是p的必要條件．<2>分類①充要條件：p?q且q?p,記作p?q；②充分不必要條件：p?q,qeq\o<?,\s\up0</>>p；③必要不充分條件：q?p,peq\o<?,\s\up0</>>q,④既不充分也不必要條件：peq\o<?,\s\up0</>>q,且qeq\o<?,\s\up0</>>p.3．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞<1>用聯(lián)結(jié)詞"且""或""非"聯(lián)結(jié)命題p和命題q,可得p∧q,p∨q,?p.<2>命題p∧q,p∨q,?p的真假判斷．p∧q中p、q有一假為假,p∨q有一真為真,p與?p必定是一真一假．4．全稱量詞與存在量詞<1>全稱量詞與全稱命題．全稱量詞用符號"?"表示．全稱命題用符號簡記為?x∈M,p<x>．<2>存在量詞與特稱命題．存在量詞用符號"?"表示．特稱命題用符號簡記為?x0∈M,p<x0>．5．含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M,p<x>?x0∈M,?p<x0>?x0∈M,p<x0>?x∈M,?p<x>1．否命題和命題的否定是兩個不同的概念<1>否命題是將原命題的條件否定作為條件,將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造一個新的命題；<2>命題的否定只是否定命題的結(jié)論,常用于反證法．若命題為："若p,則q",則該命題的否命題是"若?p,則?q"；命題的否定為"若p,則?q"．2．判斷p與q之間的關(guān)系時,要注意p與q之間關(guān)系的方向性,充分條件與必要條件方向正好相反,不要混淆．如"a＝0"是"a·b＝0"的充分不必要條件,"a·b＝0"是"a＝0"的必要不充分條件．3．注意常見邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定一些常見邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定要記住,如："都是"的否定"不都是","全是"的否定"不全是","至少有一個"的否定"一個也沒有","至多有一個"的否定"至少有兩個"．四種命題及其關(guān)系[學(xué)生用書P76]設(shè)命題為"若k＞0,則關(guān)于x的方程x2－x－k＝0有實(shí)數(shù)根",該命題的否定、逆命題、否命題和逆否命題中假命題的個數(shù)為________．[解析]命題的否定：若k＞0,則關(guān)于x的方程x2－x－k＝0沒有實(shí)數(shù)根．假命題；逆命題：若關(guān)于x的方程x2－x－k＝0有實(shí)數(shù)根,則k＞0.假命題；否命題：若k≤0,則關(guān)于x的方程x2－x－k＝0沒有實(shí)數(shù)根．假命題；逆否命題：若關(guān)于x的方程x2－x－k＝0沒有實(shí)數(shù)根,則k≤0.真命題．[答案]3eq\a\vs4\al<>四種命題的寫法及其真假的判斷方法<1>四種命題的寫法①明確條件和結(jié)論：認(rèn)清命題的條件p和結(jié)論q,然后按定義寫出命題的逆命題、否命題、逆否命題；②應(yīng)注意：原命題中的前提不能作為命題的條件．<2>簡單命題真假的判斷方法①直接法：判斷簡單命題的真假,通常用直接法判斷．用直接法判斷時,應(yīng)先分清條件和結(jié)論,運(yùn)用命題所涉及的知識進(jìn)行推理論證；②間接法：當(dāng)命題的真假不易判斷時,還可以用間接法,轉(zhuǎn)化為等價命題或舉反例．用轉(zhuǎn)化法判斷時,需要準(zhǔn)確地寫出所給命題的等價命題．寫出命題"若eq\r<x－2>＋<y＋1>2＝0,則x＝2且y＝－1"的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假．解：逆命題：若x＝2且y＝－1,則eq\r<x－2>＋<y＋1>2＝0,真命題．否命題：若eq\r<x－2>＋<y＋1>2≠0,則x≠2或y≠－1,真命題．逆否命題：若x≠2或y≠－1,則eq\r<x－2>＋<y＋1>2≠0,真命題．充分、必要條件的判斷及應(yīng)用[學(xué)生用書P77]<1>在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,則"a≤b"是"sinA≤sinB"的<>A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件<2>已知集合A＝{x||x|≤4,x∈R},B＝{x|x＜a},則"a＞5"是"A?B"的<>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]<1>由正弦定理,知a≤b?2RsinA≤2RsinB<R為△ABC外接圓的半徑>?sinA≤sin B．故選A.<2>A＝{x||x|≤4,x∈R}?A＝{x|－4≤x≤4},所以A?B?a＞4,而a＞5?a＞4,且a＞4eq\o<?,\s\up0</>>a＞5,所以"a＞5"是"A?B"的充分不必要條件．[答案]<1>A<2>Aeq\a\vs4\al<>判斷充分、必要條件的方法集合法：即看集合A和B的包含關(guān)系．①若A?B,則A是B的充分條件,B是A的必要條件．②若AB,則A是B的充分不必要條件；③若AB,則A是B的必要不充分條件；④若A＝B,則A,B互為充要條件；⑤若Aeq\o<?,\s\up0</>>B,且Aeq\o<?,\s\up0</>>B,則A是B的既不充分也不必要條件．已知p：x2－8x－20>0,q：x2－2x＋1－a2>0,若p是q的充分而不必要條件,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)A＝{x|x2－8x－20>0}＝{x|x<－2或x>10},B＝{x|x2－2x＋1－a2>0}＝{x|x<1－a或x>1＋a},由于p是q的充分而不必要條件,可知AB.從而eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a>0,,1－a≥－2,,1＋a<10>>或eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a>0,,1－a>－2,,1＋a≤10,>>解得0<a≤3.故所求正實(shí)數(shù)a的取值范圍為<0,3]．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題[學(xué)生用書P77]<1>命題p：正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)；命題q：若函數(shù)f<x>在<－∞,0]及<0,＋∞>上都是減函數(shù),則f<x>在<－∞,＋∞>上是減函數(shù)．下列說法中正確的是<>A．"p或q"是真命題B．"p或q"是假命題C．?p為假命題 D．?q為假命題<2>設(shè)集合A＝{x|－2－a＜x＜a,a＞0},命題p：1∈A,命題q：2∈A.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,則a的取值范圍是________．[解析]<1>例如?x0>1,logax0＞0<a>1>,所以命題p是假命題；命題q是假命題,例如f<x>＝eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<－x＋1,x≤0,,－x＋2,x>0.>>綜上可知,"p或q"是假命題,故選B.<2>若p為真命題,則－2－a＜1＜a,解得a＞1.若q為真命題,則－2－a＜2＜a,解得a＞2.依題意得p與q一真一假,若p真q假,則eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a＞1,,a≤2,>>即1＜a≤2.若p假q真,則eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a≤1,,a＞2,>>a不存在．綜上1＜a≤2.[答案]<1>B<2><1,2]eq\a\vs4\al<>判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的方法<1>先確定簡單命題p,q.<2>分別確定簡單命題p,q的真假．<3>利用真值表判斷所給命題的真假．1.已知命題p：若a>1,則ax>logax恒成立；命題q：在等差數(shù)列{an}中<其中公差d≠0>,"m＋n＝p＋q"是"am＋an＝ap＋aq"的充分不必要條件<m,n,p,q∈N*>,則下面選項中真命題是<>A．?p∧?q B．?p∨?qC．?p∨q D．p∧q解析：選B.對于命題p,如圖所示作出函數(shù)y＝ax<a>1>與y＝logax<a>1>在<0,＋∞>上的圖象,顯然當(dāng)a>1時,函數(shù)y＝ax的圖象在函數(shù)y＝logax圖象的上方,即a>1時,ax>logax恒成立,故命題p為真命題．對于命題q,由等差數(shù)列的性質(zhì),可知當(dāng)公差不為0時,"m＋n＝p＋q"是"am＋an＝ap＋aq"的充要條件,故命題q為假命題．所以?p為假,?q為真,所以p∧q為假,?p∨q為假,?p∧?q為假,?p∨?q為真．2．設(shè)命題p：c2＜c和命題q：?x∈R,x2＋4cx＋1＞0,且p∨q為真,p∧q為假,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________．解析：解不等式c2＜c,得0＜c＜1,即命題p：0＜c＜1,所以命題?p：c≤0或c≥1.又由<4c>2－4＜0,得－eq\f<1,2>＜c＜eq\f<1,2>,即命題q：－eq\f<1,2>＜c＜eq\f<1,2>,所以命題?q：c≤－eq\f<1,2>或c≥eq\f<1,2>,由p∨q為真,知p與q中至少有一個為真,由p∧q為假,知p與q中至少有一個為假,所以p與q中一個為真命題,一個為假命題．當(dāng)p真q假時,實(shí)數(shù)c的取值范圍是eq\f<1,2>≤c＜1.當(dāng)p假q真時,實(shí)數(shù)c的取值范圍是－eq\f<1,2>＜c≤0.綜上所述,實(shí)數(shù)c的取值范圍是－eq\f<1,2>＜c≤0或eq\f<1,2>≤c＜1.答案：eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>,0>>∪eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,1>>全稱命題與特稱命題[學(xué)生用書P78]<1>命題"?x0∈<0,＋∞>,lnx0＝x0－1"的否定是<>A．?x∈<0,＋∞>,lnx≠x－1B．?x?<0,＋∞>,lnx＝x－1C．?x0∈<0,＋∞>,lnx0≠x0－1D．?x0?<0,＋∞>,lnx0＝x0－1<2>若命題"?x0∈R,使得xeq\o\al<2,0>＋<a－1>x0＋1＜0"是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]<1>改變原命題中的三個地方即可得其否定,?改為?,x0改為x,否定結(jié)論,即lnx≠x－1,故選A.<2>因?yàn)?x0∈R,使得xeq\o\al<2,0>＋<a－1>x0＋1＜0是真命題,所以方程xeq\o\al<2,0>＋<a－1>x0＋1＝0有兩個不等實(shí)根,所以Δ＝<a－1>2－4＞0,解得a＞3或a＜－1.[答案]<1>A<2><－∞,－1>∪<3,＋∞>eq\a\vs4\al<>全稱命題、特稱命題真假判斷<1>全稱命題的真假判定：要判定一個全稱命題為真,必須對限定集合M中每一個x驗(yàn)證p<x>成立,一般用代數(shù)推理的方法加以證明；要判定一個全稱命題為假,只需舉出一個反例即可．<2>特稱命題的真假判定：要判定一個特稱命題為真,只要在限定集合M中,能找到一個x0,使p<x0>成立即可；否則,這一特稱命題為假．1.已知命題p：?x>0,總有<x＋1>ex>1,則?p為<>A．?x0≤0,使得<x0＋1>ex0≤1B．?x0>0,使得<x0＋1>ex0≤1C．?x>0,總有<x＋1>ex≤1D．?x≤0,總有<x＋1>ex≤1解析：選B.全稱命題的否定是特稱命題,所以命題p：?x>0,總有<x＋1>ex>1的否定是?p：?x0>0,使得<x0＋1>ex0≤1.2．已知函數(shù)f<x>＝x2－2x,g<x>＝ax＋2<a>0>,若?x1∈[－1,2],?x2∈[－1,2],使得f<x1>＝g<x2>,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是<>A．eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>B．eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,3>>C．<0,3]D．[3,＋∞>解析：選D.由函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f<x>＝x2－2x的值域?yàn)閇－1,3],g<x>＝ax＋2的值域是[2－a,2＋2a]．因?yàn)?x1∈[－1,2],?x2∈[－1,2],使得f<x1>＝g<x2>,所以[－1,3]?[2－a,2＋2a],所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<2－a≤－1,,2＋2a≥3,>>解得a≥3.,[學(xué)生用書P147<單獨(dú)成冊>]>[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．命題"若a>0,則a2>0"的逆命題是<>A．若a>0,則a2≤0B．若a2>0,則a>0C．若a≤0,則a2>0 D．若a≤0,則a2≤0解析：選B.交換原命題的條件和結(jié)論即可得其逆命題．2．若命題p：x＝2且y＝3,則?p為<>A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3解析：選A.由于"且"的否定為"或",所以?p：x≠2或y≠3.故選A.3．下列表述錯誤的是<>A．存在α,β∈R,使tan<α＋β>＝tanα＋tanβB．命題"若a∈M,則b?M"的等價命題是"若b∈M,則a?M"C．"x>2"是"x2>4"的充分不必要條件D．對任意的φ∈R,函數(shù)y＝sin<2x＋φ>都不是偶函數(shù)解析：選D.當(dāng)α＝0,β＝eq\f<π,3>時,taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0＋\f<π,3>>>＝tan0＋taneq\f<π,3>成立,故選項A正確．對于選項B、C,顯然正確．在D中,存在φ＝kπ＋eq\f<π,2><k∈Z>時,函數(shù)y＝sin<2x＋φ>是偶函數(shù),D錯誤．4．設(shè)p：log2x<0,q：eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>eq\s\up12<x－1>>1,則p是q的<>A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.p：log2x<0?0<x<1；q：eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>eq\s\up12<x－1>>1?x<1,所以p?q但qeq\o<?,\s\up0</>>p,所以p是q的充分不必要條件,故選B.5．已知命題p：?x0∈R,x0－2>lgx0,命題q：?x∈R,x2>0,則<>A．命題p∨q是假命題B．命題p∧q是真命題C．命題p∧<?q>是真命題D．命題p∨<?q>是假命題解析：選C.當(dāng)x＝10時,x－2＝8,lgx＝lg10＝1,故命題p為真命題,令x＝0,則x2＝0,故命題q為假命題,依據(jù)復(fù)合命題真假性的判斷法則,可知命題p∨q是真命題,命題p∧q是假命題,?q是真命題,進(jìn)而得到命題p∧<?q>是真命題,命題p∨<?q>是真命題．故選C.6．寫出命題"若方程ax2－bx＋c＝0的兩根均大于0,則ac＞0"的一個等價命題：________________．解析：一個命題與其逆否命題是等價命題．答案：若ac≤0,則方程ax2－bx＋c＝0的兩根不均大于07．給出下列三個命題：①當(dāng)m＝0時,函數(shù)f<x>＝mx2＋2x是奇函數(shù)；②若b2＝ac,則a,b,c成等比數(shù)列；③已知x,y是實(shí)數(shù),若x＋y≠2,則x≠1或y≠1.其中為真命題的是________<填序號>．解析：①中,當(dāng)m＝0時,f<x>＝mx2＋2x＝2x是奇函數(shù),故①是真命題；②中,取a＝b＝0,c＝1,滿足b2＝ac,但a,b,c不成等比數(shù)列,故②不是真命題；③的逆否命題為"已知x,y是實(shí)數(shù),若x＝1且y＝1,則x＋y＝2"是真命題,所以原命題也是真命題,即③是真命題．答案：①③8．已知p：－4＜x－a＜4,q：<x－2><3－x>＞0.若?p是?q的充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：p：－4＜x－a＜4,即a－4＜x＜a＋4；q：<x－2><3－x>＞0,即2＜x＜3,所以?p：x≤a－4或x≥a＋4,?q：x≤2或x≥3；而?p是?q的充分條件,所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a－4≤2,,a＋4≥3.>>解得－1≤a≤6.答案：[－1,6]9．指出下列命題中,p是q的什么條件：<1>p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；<2>p：a與b都是奇數(shù)；q：a＋b是偶數(shù)；<3>p：0<m<eq\f<1,3>；q：方程mx2－2x＋3＝0有兩個同號且不相等的實(shí)根．解：<1>因?yàn)閧x|x>－2或x<3}＝R,{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3},所以{x|x>－2或x<3}?{x|－2<x<3},而{x|－2<x<3}{x|x>－2或x<3}．所以p是q的必要不充分條件．<2>因?yàn)閍、b都是奇數(shù)?a＋b為偶數(shù),而a＋b為偶數(shù)eq\o<?,\s\up0</>>a、b都是奇數(shù),所以p是q的充分不必要條件．<3>mx2－2x＋3＝0有兩個同號不等實(shí)根?eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<Δ>0,,\f<3,m>>0>>?eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<4－12m>0,,m>0>>?eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<m<\f<1,3>,,m>0>>?0<m<eq\f<1,3>.所以p是q的充要條件．10．設(shè)有兩個命題：p：關(guān)于x的不等式sinxcosx>m2＋eq\f<m,2>－1的解集是R；q：冪函數(shù)f<x>＝x7－3m在<0,＋∞>上是減函數(shù)．若"p且q"是假命題,"p或q"是真命題,求m的取值范圍．解：因?yàn)?p且q"是假命題,所以p,q中至少有一個是假命題．因?yàn)?p或q"是真命題,所以p,q中至少有一個是真命題．故p和q兩個命題一真一假．若p真,則2m2＋m－2<－1,即2m2＋m－1<0,所以－1<m<eq\f<1,2>.若q真,則7－3m<0,所以m>eq\f<7,3>.p真q假時,－1<m<eq\f<1,2>；p假q真時,m>eq\f<7,3>.所以m的取值范圍是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－1,\f<1,2>>>∪eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<7,3>,＋∞>>.[B能力提升]11．設(shè)f<x>＝x2－4x<x∈R>,則f<x>＞0的一個必要不充分條件是<>A．x＜0 B．x＜0或x＞4C．|x－1|＞1 D．|x－2|＞3解析：選C.由x2－4x＞0有x＞4或x＜0,故f<x>＞0的必要不充分條件中x的取值范圍應(yīng)包含集合{x|x＞4或x＜0},驗(yàn)證可知,只有C選項符合．12．下列選項中敘述錯誤的是<>A．命題"若x2－3x＋2＝0,則x＝1"的逆否命題為假命題B．"x＞2"是"x2－3x＋2＞0"的充分不必要條件C．若"p∨q"為假命題,則"<?p>∧<?q>"也為假命題D．若命題p：?x∈R,x2＋x＋1≠0,則?p：?x0∈R,xeq\o\al<2,0>＋x0＋1＝0解析：選C.對于A,命題"若x2－3x＋2＝0,則x＝1"是假命題,因此該命題的逆否命題也是假命題；對于B,由x＞2可得x2－3x＋2＝<x－1>·<x－2>＞0,反過來,由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2,因此"x＞2"是"x2－3x＋2＞0"的充分不必要條件；對于C,若"p∨q"為假命題,則p,q均為假命題,所以"<?p>∧<?q>"是真命題；對于D,命題p：?x∈R,x2＋x＋1≠0,則?p：?x0∈R,xeq\o\al<2,0>＋x0＋1＝0,綜上所述,選C.13．已知a＞0,函數(shù)f<x>＝ax－bx2.<1>當(dāng)b＞0時,若對任意x∈R,都有f<x>≤1,證明：a≤2eq\r<b>；<2>當(dāng)b＞1時,證明：對任意x∈[0,1],|f<x>|≤1的充要條件是b－1≤a≤2eq\r<b>.證明：<1>此題等價于對所有x∈R有ax－bx2≤1,即bx2－ax＋1≥0,因?yàn)閎＞0,所以Δ＝a2－4b≤0.又因?yàn)閍＞0,所以a≤2eq\r<b>.<2>①必要性：設(shè)對所有x∈[0,1],有|f<x>|≤1,即－1≤ax－bx2≤1.令x＝1∈[0,1],則有－1≤a－b≤1,即b－1≤a≤b＋1.因?yàn)閎＞1,所以eq\f<1,2>－eq\f<1,2b>≤eq\f<a,2b>≤eq\f<1,2>＋eq\f<1,2b>.這說明eq\f<a,2b>∈[0,1]．所以feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<a,2b>>>≤1,即eq\f<a2,2b>－b·eq\f<a2,4b2>≤1.所以a2≤4b,a≤2eq\r<b>.綜上所述,有b－1≤a≤2eq\r<b>.②充分性：設(shè)b－1≤a≤2eq\r<b>.因?yàn)閎＞1,所以eq\f<a,2b>＝eq\f<a,2\r<b>>·eq\f<1,\r<b>>＜1.所以當(dāng)x∈[0,1]時f<x>的最大值為f<x>max＝feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<a,2b>>>＝a·eq\f<a,2b>－b·eq\f<a2,4b2>＝eq\f<a2,4b>＜1.又因?yàn)閒<x>的圖像是開口向下的拋物線,所以當(dāng)x∈[0,1]時,f<x>的最小值f<x>min＝min{f<0>,f<1>}＝min{0,a－b}≥－1.所以當(dāng)x∈[0,1]時,|f<x>|≤1.綜合①②可知,當(dāng)b＞1時,對任意x∈[0,1]有|f<x>|≤1的充要條件是b－1≤a≤2eq\r<b>.14．<選做題>已知f<x>＝m<x－2m><x＋m＋3>,g<x>＝2x－2,若同時滿足條件：①對任意x∈R,f<x><0或g<x><0；②存在x∈<－∞,－4>,f<x>g<x><0,求m的取值范圍．解：將①轉(zhuǎn)化為g<x><0的解集的補(bǔ)集是f<x><0解集的子集求解；②轉(zhuǎn)化為f<x>>0的解集與<－∞,－4>的交集非空．若g<x>＝2x－2<0,則x<1.又因?yàn)閷θ我鈞∈R,g<x><0或f<x><0,所以[1,＋∞>是f<x><0的解集的子集．又由f<x>＝m<x－2m><x＋m＋3><0知,m不可能大于或等于0,因此m<0.當(dāng)m<0時,f<x><0,即<x－2m><x＋m＋3>>0.當(dāng)2m＝－m－3,即m＝－1時,f<x><0的解集為{x|x≠－1},滿足條件．當(dāng)2m>－m－3,即－1<m<0時,f<x><0的解集為{x|x>2m或x<－m－3}．依題意2m<1,即m<eq\f<1,2>,所以－1<m<0.當(dāng)2m<－m－3,即m<－1時,f<x><0的解集為{x|x<2m或x>－m－3}．依題意－m－3<1,即m>－4,所以－4<m<－1.因此滿足①的m的取值范圍是－4<m<0.②中,因?yàn)楫?dāng)x∈<－∞,－4>時,g<x>＝2x－2<0,所以問題轉(zhuǎn)化為存在x∈<－∞,－4>,f<x>>0,即f<x>>0的解集與<－∞,－4>的交集非空．又m<0,則<x－2m><x＋m＋3><0.由①的解法知,當(dāng)－1<m<0時,2m>－m－3,即－m－3<－4,所以m>1,此時無解．當(dāng)m＝－1時,f<x>＝－<x＋2>2恒小于或等于0,此時無解．當(dāng)m<－1時,2m<－m－3,即2m<－4,所以m<－2.綜合①②可知滿足條件的m的取值范圍是－4<m<－2.二圓錐曲線與方程,1．橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)<大于|F1F2|>的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)<小于|F1F2|且大于零>的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l<l不經(jīng)過點(diǎn)F>距離相等的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1或eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a>b>0>eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1或eq\f<y2,a2>－eq\f<x2,b2>＝1<a>0,b>0>y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py<p>0>關(guān)系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2圖形封閉圖形無限延展,但有漸近線y＝±eq\f<b,a>x或y＝±eq\f<a,b>x無限延展,沒有漸近線,有準(zhǔn)線變量范圍|x|≤a,|y|≤b或|y|≤a,|x|≤b|x|≥a或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0對稱性對稱中心為原點(diǎn)無對稱中心兩條對稱軸一條對稱軸頂點(diǎn)四個兩個一個離心率e＝eq\f<c,a>,且0<e<1e＝eq\f<c,a>,且e>1e＝1決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開口大小2p決定開口大小2．橢圓的焦點(diǎn)三角形設(shè)P為橢圓eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>上任意一點(diǎn)<不在x軸上>,F1,F2為焦點(diǎn)且∠F1PF2＝α,則△PF1F2為焦點(diǎn)三角形<如圖>．<1>焦點(diǎn)三角形的面積S＝b2taneq\f<α,2>.<2>焦點(diǎn)三角形的周長L＝2a＋2c.3．雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧<1>由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求其漸近線方程時,最簡單實(shí)用的辦法是：把標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0,即可得到兩條漸近線的方程．如雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的漸近線方程為eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝0<a>0,b>0>,即y＝±eq\f<b,a>x；雙曲線eq\f<y2,a2>－eq\f<x2,b2>＝1<a>0,b>0>的漸近線方程為eq\f<y2,a2>－eq\f<x2,b2>＝0<a>0,b>0>,即y＝±eq\f<a,b>x.<2>如果雙曲線的漸近線為eq\f<x,a>±eq\f<y,b>＝0時,它的雙曲線方程可設(shè)為eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝λ<λ≠0>．4．特殊的兩個雙曲線<1>雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的漸近線．與eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1具有相同漸近線的雙曲線系方程為eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝k<k≠0>．<2>雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的焦距．<3>等軸雙曲線方程一般設(shè)為x2－y2＝a2<或y2－x2＝a2>．5．拋物線方程的設(shè)法對頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線方程,一般可設(shè)為y2＝ax<a≠0>或x2＝ay<a≠0>．6．拋物線的焦點(diǎn)弦問題拋物線過焦點(diǎn)F的弦長|AB|的一個重要結(jié)論．<1>y2＝2px<p>0>中,|AB|＝x1＋x2＋p.<2>y2＝－2px<p>0>中,|AB|＝－x1－x2＋p.<3>x2＝2py<p>0>中,|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p<4>x2＝－2py<p>0>中,|AB|＝－y1－y2＋p.1．橢圓的定義|PF1|＋|PF2|＝2a中,應(yīng)有2a>|F1F2|,雙曲線定義||PF1|－|PF2||＝2a中,應(yīng)有2a<|F1F2|,拋物線定義中,定點(diǎn)F不在定直線l上．2．求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時,一定要先區(qū)別焦點(diǎn)在哪個軸上,選取合適的形式．3．由標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)位置時,橢圓看分母的大小,雙曲線看x2,y2系數(shù)的符號．4．直線與雙曲線、直線與拋物線有一個公共點(diǎn)應(yīng)有兩種情況：一是相切；二是直線與雙曲線的漸近線平行、直線與拋物線的對稱軸平行．軌跡問題[學(xué)生用書P79]<1>已知點(diǎn)F<0,1>,直線l：y＝－1,P為平面上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為Q,且eq\o<QP,\s\up6<→>>·eq\o<QF,\s\up6<→>>＝eq\o<FP,\s\up6<→>>·eq\o<FQ,\s\up6<→>>.則動點(diǎn)P的軌跡C的方程為________．<2>如圖所示,橢圓C0：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0,a,b為常數(shù)>,動圓O：x2＋y2＝teq\o\al<2,1>,b<t1<a.點(diǎn)A1、A2分別為C0的左、右頂點(diǎn),圓O與橢圓C0相交于A,B,C,D四點(diǎn),求直線AA1與直線A2B的交點(diǎn)M的軌跡方程．[解]<1>設(shè)P<x,y>,則Q<x,－1>．因?yàn)閑q\o<QP,\s\up6<→>>·eq\o<QF,\s\up6<→>>＝eq\o<FP,\s\up6<→>>·eq\o<FQ,\s\up6<→>>,所以<0,y＋1>·<－x,2>＝<x,y－1>·<x,－2>,即2<y＋1>＝x2－2<y－1>,即x2＝4y,所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝4y.故填x2＝4y.<2>設(shè)A<x1,y1>,則B<x1,－y1>,又知A1<－a,0>,A2<a,0>,則直線AA1的方程為y＝eq\f<y1,x1＋a><x＋a>,①直線A2B的方程為y＝eq\f<－y1,x1－a><x－a>,②由①×②,得y2＝eq\f<－yeq\o\al<2,1>,xeq\o\al<2,1>－a2><x2－a2>,③又點(diǎn)A<x1,y1>在橢圓C0上,故eq\f<xeq\o\al<2,1>,a2>＋eq\f<yeq\o\al<2,1>,b2>＝1,從而yeq\o\al<2,1>＝b2eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1－\f<xeq\o\al<2,1>,a2>>>.④把④代入③,得eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<x<－a,y<0>,即為點(diǎn)M的軌跡方程．eq\a\vs4\al<>求曲線方程的常用方法及特點(diǎn)<1>直接法：動點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系,只需把這種關(guān)系"翻譯"成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程．<2>定義法：動點(diǎn)滿足已知曲線的定義,可先設(shè)定方程,再確定其中的基本量．<3>代入法：動點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出,但動點(diǎn)是隨著另一動點(diǎn)<稱之為相關(guān)點(diǎn)>而運(yùn)動的．如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,這時我們可以用動點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動點(diǎn)的軌跡方程．<4>待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型,可設(shè)出方程形式,再根據(jù)條件確定待定的系數(shù)．已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)A<1,0>與到定直線l：x＝3的距離之和等于4,求動點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線？解：設(shè)M<x,y>是軌跡上的任意一點(diǎn),作MN⊥l于N,由|MA|＋|MN|＝4得eq\r<〔x－12＋y2>＋|x－3|＝4.當(dāng)x≥3時,上式化簡為y2＝－12<x－4>；當(dāng)x<3時,上式化簡為y2＝4x.所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝－12<x－4><x≥3>和y2＝4x<x<3>,其軌跡是兩條拋物線段．圓錐曲線的定義及應(yīng)用[學(xué)生用書P80]<1>設(shè)P是曲線y2＝4x上的一個動點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)A<－1,1>的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________．<2>已知雙曲線eq\f<x2,16>－eq\f<y2,25>＝1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn),且PF與圓x2＋y2＝16相切于點(diǎn)N,M為線段PF的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|MN|－|MO|＝________．[解析]<1>如圖,易知拋物線的焦點(diǎn)為F<1,0>,準(zhǔn)線是x＝－1.由拋物線的定義,知點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離．于是,問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)A<－1,1>的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F<1,0>的距離之和的最小值．顯然,A,P,F三點(diǎn)共線時,所求的距離之和取得最小值,且AF的長為所求的最小值,故最小值為eq\r<22＋12>,即為eq\r<5>.<2>設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn),連接PF′<圖略>．因?yàn)镸,O分別是FP,FF′的中點(diǎn),所以|MO|＝eq\f<1,2>|PF′|,又|FN|＝eq\r<|OF|2－|ON|2>＝5,且由雙曲線的定義知|PF|－|PF′|＝8,故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－eq\f<1,2>|PF′|＝eq\f<1,2><|PF|－|PF′|>－|FN|＝eq\f<1,2>×8－5＝－1.[答案]<1>eq\r<5><2>－1eq\a\vs4\al<>圓錐曲線定義的應(yīng)用技巧<1>在求點(diǎn)的軌跡問題時,若所求軌跡符合圓錐曲線的定義,則根據(jù)定義直接寫出圓錐曲線的軌跡方程．<2>焦點(diǎn)三角形問題,在橢圓和雙曲線中,常涉及曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連接而成的"焦點(diǎn)三角形",處理時常結(jié)合圓錐曲線的定義及解三角形的知識解決．<3>在拋物線中,常利用定義,以達(dá)到"到焦點(diǎn)的距離"和"到準(zhǔn)線的距離"的相互轉(zhuǎn)化．已知動點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程5eq\r<x2＋y2>＝|3x＋4y－12|,則動點(diǎn)M的軌跡是<>A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．以上都不對解析：選C.把軌跡方程5eq\r<x2＋y2>＝|3x＋4y－12|寫成eq\r<x2＋y2>＝eq\f<|3x＋4y－12|,5>.所以動點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離與它到直線3x＋4y－12＝0的距離相等．所以動點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為焦點(diǎn),直線3x＋4y－12＝0為準(zhǔn)線的拋物線．圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)[學(xué)生用書P80]<1>已知橢圓eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的半焦距是c,A,B分別是長軸、短軸的一個端點(diǎn),O為原點(diǎn),若△ABO的面積是eq\r<3>c2,則這一橢圓的離心率是<>A．eq\f<1,2>B．eq\f<\r<3>,2>C．eq\f<\r<2>,2> D．eq\f<\r<3>,3><2>雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的離心率為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq\r<3>,則C的焦距等于<>A．2 B．2eq\r<2>C．4 D．4eq\r<2>[解析]<1>eq\f<1,2>ab＝eq\r<3>c2,即a2<a2－c2>＝12c4,所以<a2＋3c2><a2－4c2>＝0,所以a2＝4c2,a＝2c,故e＝eq\f<c,a>＝eq\f<1,2>.<2>雙曲線的一條漸近線方程為eq\f<x,a>－eq\f<y,b>＝0,即bx－ay＝0,焦點(diǎn)<c,0>到該漸近線的距離為eq\f<bc,\r<a2＋b2>>＝eq\f<bc,c>＝eq\r<3>,故b＝eq\r<3>,結(jié)合eq\f<c,a>＝2,c2＝a2＋b2得c＝2,則雙曲線C的焦距為2c＝4.[答案]<1>A<2>Ceq\a\vs4\al<>求解離心率的方法<1>定義法：由橢圓<雙曲線>的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,不論橢圓<雙曲線>的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2<a2＋b2＝c2>以及e＝eq\f<c,a>,已知其中的任意兩個參數(shù),可以求其他的參數(shù),這是基本且常用的方法．<2>方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式,從而求出其離心率,這是求離心率的十分重要的思路及方法．1.過雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為________．解析：設(shè)直線方程為y＝eq\f<b,a><x－c>,由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<\f<x2,a2>－\f<y2,b2>＝1,,y＝\f<b,a>〔x－c>>得x＝eq\f<a2＋c2,2c>,由eq\f<a2＋c2,2c>＝2a,e＝eq\f<c,a>,解得e＝2＋eq\r<3><e＝2－eq\r<3>舍去>．答案：2＋eq\r<3>2．已知拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)F到雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的漸近線的距離為eq\f<4\r<5>,5>,點(diǎn)P是拋物線x2＝8y上的一動點(diǎn),P到雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的距離與到直線y＝－2的距離之和的最小值為3,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．解析：拋物線焦點(diǎn)為F<0,2>,準(zhǔn)線為y＝－2,雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的一條漸近線方程為y＝eq\f<b,a>x,依題意可得eq\f<|－2a|,\r<a2＋b2>>＝eq\f<4\r<5>,5>,即eq\f<a,c>＝eq\f<2,\r<5>>,又P到雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的距離與到直線y＝－2的距離之和的最小值為3,所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3,在Rt△FOF2中,|OF2|＝eq\r<32－22>＝eq\r<5>,所以c＝eq\r<5>,所以a＝2,b＝1,所以雙曲線方程為eq\f<x2,4>－y2＝1.答案：eq\f<x2,4>－y2＝1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系[學(xué)生用書P81]已知橢圓eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>上的點(diǎn)P到左右兩焦點(diǎn)F1,F2的距離之和為2eq\r<2>,離心率為eq\f<\r<2>,2>.<1>求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；<2>過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若y軸上一點(diǎn)Meq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<\r<3>,7>>>滿足|MA|＝|MB|,求直線l的斜率k的值．[解]<1>|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r<2>,所以a＝eq\r<2>,e＝eq\f<c,a>＝eq\f<\r<2>,2>,所以c＝eq\f<\r<2>,2>×eq\r<2>＝1,所以b2＝a2－c2＝2－1＝1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f<x2,2>＋y2＝1.<2>由第一問知F2<1,0>,直線斜率顯然存在,設(shè)直線的方程為y＝k<x－1>,交點(diǎn)為A<x1,y1>,B<x2,y2>．聯(lián)立直線與橢圓的方程eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝k〔x－1,,\f<x2,2>＋y2＝1,>>化簡得：<1＋2k2>x2－4k2x＋2k2－2＝0,所以x1＋x2＝eq\f<4k2,1＋2k2>,y1＋y2＝k<x1＋x2>－2k＝eq\f<－2k,1＋2k2>,所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<2k2,1＋2k2>,\f<－k,1＋2k2>>>,①當(dāng)k≠0時,AB的中垂線方程為y－eq\f<－k,1＋2k2>＝－eq\f<1,k>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<2k2,1＋2k2>>>,因?yàn)閨MA|＝|MB|,所以點(diǎn)M在AB的中垂線上,將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得：eq\f<\r<3>,7>＋eq\f<k,1＋2k2>＝eq\f<2k,1＋2k2>,即2eq\r<3>k2－7k＋eq\r<3>＝0,解得k＝eq\r<3>或k＝eq\f<\r<3>,6>.②當(dāng)k＝0時,AB的中垂線方程為x＝0,滿足題意．所以斜率k的取值為0,eq\r<3>,eq\f<\r<3>,6>.eq\a\vs4\al<>直線與圓錐曲線關(guān)系問題的求解方法<1>將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,化簡后得到關(guān)于x<或y>的一元二次方程,則直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有如下三種：①相交：Δ>0?直線與橢圓相交；Δ>0?直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有Δ>0,如當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交且只有一個交點(diǎn),故"Δ>0"是"直線與雙曲線相交"的充分不必要條件；Δ>0?直線與拋物線相交,但直線與拋物線相交不一定有Δ>0,當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時,直線與拋物線相交且只有一個交點(diǎn),故Δ>0也僅是直線與拋物線相交的充分條件,而不是必要條件．②相切：Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ＝0?直線與雙曲線相切；Δ＝0?直線與拋物線相切．③相離：Δ<0?直線與橢圓相離；Δ<0?直線與雙曲線相離；Δ<0?直線與拋物線相離．<2>直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等許多方面的知識,形成了求軌跡、最值、對稱、取值范圍、線段的長度等多種問題．解決此類問題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,以形輔數(shù)的方法；還要多結(jié)合圓錐曲線的定義,根與系數(shù)的關(guān)系以及"點(diǎn)差法"等．已知橢圓C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的右焦點(diǎn)為<eq\r<2>,0>,離心率為eq\f<\r<6>,3>.<1>求橢圓C的方程；<2>若直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O,求證：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；<3>在<2>的條件下,求△OAB面積的最大值．解：<1>因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為<eq\r<2>,0>,離心率為eq\f<\r<6>,3>,所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<c＝\r<2>,,e＝\f<c,a>＝\f<\r<6>,3>,>>所以a＝eq\r<3>,b＝1.所以橢圓C的方程為eq\f<x2,3>＋y2＝1.<2>證明：設(shè)A<x1,y1>,B<x2,y2>,直線AB斜率存在時,直線AB的方程為y＝kx＋m,代入橢圓方程,消元可得<1＋3k2>x2＋6kmx＋3m2－3＝0,所以x1＋x2＝－eq\f<6km,1＋3k2>,x1x2＝eq\f<3m2－3,1＋3k2>,因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),所以eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝0.所以x1x2＋y1y2＝0,所以<1＋k2>eq\f<3m2－3,1＋3k2>－km×eq\f<6km,1＋3k2>＋m2＝0,所以4m2＝3<k2＋1>．所以原點(diǎn)O到直線的距離為d＝eq\f<|m|,\r<k2＋1>>＝eq\f<\r<3>,2>,當(dāng)直線AB斜率不存在時,由橢圓的對稱性可知x1＝x2,y1＝－y2,因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),所以eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝0,所以x1x2＋y1y2＝0,所以xeq\o\al<2,1>－yeq\o\al<2,1>＝0,因?yàn)閤eq\o\al<2,1>＋3yeq\o\al<2,1>＝3,所以|x1|＝|y1|＝eq\f<\r<3>,2>,所以原點(diǎn)O到直線的距離為d＝|x1|＝eq\f<\r<3>,2>,綜上,點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．<3>當(dāng)直線AB斜率存在時,由弦長公式可得|AB|＝eq\r<1＋k2>|x1－x2|＝eq\r<\f<〔1＋k2〔36k2－12m2＋12,〔1＋3k22>>＝eq\r<3＋\f<12,9k2＋\f<1,k2>＋6>>≤eq\r<3＋\f<12,6＋2\r<9k2·\f<1,k2>>>>＝2,當(dāng)且僅當(dāng)k＝±eq\f<\r<3>,3>時,等號成立,所以|AB|≤2,當(dāng)直線AB斜率不存在時,|AB|＝|y1－y2|＝eq\r<3><2,所以△OAB面積＝eq\f<1,2>|AB|d≤eq\f<1,2>×2×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<\r<3>,2>,所以△OAB面積的最大值為eq\f<\r<3>,2>.,[學(xué)生用書P149<單獨(dú)成冊>]>[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知拋物線的方程為y＝2ax2,且過點(diǎn)<1,4>,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為<>A．<1,0> B．eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,16>,0>>C．eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,16>>> D．<0,1>解析：選C.因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)<1,4>,所以4＝2a,所以a＝2,所以拋物線方程為x2＝eq\f<1,4>y,焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,16>>>.故選C.2．設(shè)k<3,k≠0,則下列關(guān)于二次曲線eq\f<x2,3－k>－eq\f<y2,k>＝1與eq\f<x2,5>＋eq\f<y2,2>＝1的說法正確的是<>A．它們表示的曲線一條為雙曲線,另一條為橢圓B．有相同的頂點(diǎn)C．有相同的焦點(diǎn)D．有相同的離心率解析：選C.當(dāng)0<k<3時,則0<3－k<3,所以eq\f<x2,3－k>－eq\f<y2,k>＝1表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線,a2＋b2＝3＝c2.所以兩曲線有相同焦點(diǎn)；當(dāng)k<0時,－k>0且3－k>－k,所以eq\f<x2,3－k>＋eq\f<y2,－k>＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．a(chǎn)2＝3－k,b2＝－k.所以a2－b2＝3＝c2,與已知橢圓有相同焦點(diǎn)．3．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>與圓x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交點(diǎn),F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),且|PF1|＝eq\r<3>|PF2|,則此雙曲線的離心率為<>A．eq\r<5> B．eq\f<\r<10>,2>C．eq\r<3>＋1 D．3解析：選C.由題知PF1⊥PF2,則eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<|PF1|－|PF2|＝2a,,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2,,|PF1|＝\r<3>|PF2|,>>得eq\f<c,a>＝eq\r<3>＋1.故選C.4．已知點(diǎn)P是橢圓16x2＋25y2＝400上一點(diǎn),且在x軸上方,F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線PF2的斜率為－4eq\r<3>,則△PF1F2的面積是<>A．24eq\r<3> B．12eq\r<3>C．6eq\r<3> D．3eq\r<3>解析：選C.橢圓16x2＋25y2＝400的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f<x2,52>＋eq\f<y2,42>＝1,F1<－3,0>、F2<3,0>．直線PF2的方程為y＝－4eq\r<3><x－3>．由點(diǎn)P在x軸上方和方程組eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<16x2＋25y2＝400,,y＝－4\r<3>〔x－3>>可得P點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,2>,2\r<3>>>.所以S△PF1F2＝eq\f<1,2>×6×2eq\r<3>＝6eq\r<3>.5．設(shè)雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的右焦點(diǎn)是F,左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C,則該雙曲線的漸近線的斜率為<>A．±eq\f<1,2> B．±eq\f<\r<2>,2>C．±1 D．±eq\r<2>解析：選C.由題設(shè),得A1<－a,0>,A2<a,0>,F<c,0>．將x＝c代入雙曲線方程,解得y＝±eq\f<b2,a>.不妨設(shè)B<c,eq\f<b2,a>>,C<c,－eq\f<b2,a>>,則kA1B＝eq\f<\f<b2,a>,c＋a>,kA2C＝eq\f<－\f<b2,a>,c－a>,根據(jù)題意,有eq\f<\f<b2,a>,c＋a>·eq\f<－\f<b2,a>,c－a>＝－1,整理得eq\f<b,a>＝1,所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1.故選C.6．已知直線l：x＝my＋1<m≠0>恒過橢圓C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),橢圓C的上頂點(diǎn)為拋物線x2＝4eq\r<3>y的焦點(diǎn),則橢圓C的方程為________．解析：根據(jù)題意,直線l：x＝my＋1<m≠0>恒過橢圓C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的右焦點(diǎn)F,所以F<1,0>,所以c＝1.又因?yàn)闄E圓C的上頂點(diǎn)為拋物線x2＝4eq\r<3>y的焦點(diǎn),所以b＝eq\r<3>,b2＝3,所以a2＝b2＋c2＝4,所以橢圓C的方程為eq\f<x2,4>＋eq\f<y2,3>＝1.答案：eq\f<x2,4>＋eq\f<y2,3>＝17．已知點(diǎn)A<4,0>,M是拋物線y2＝6x上的動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M到A距離最小時,M點(diǎn)坐標(biāo)為________．解析：設(shè)M<eq\f<yeq\o\al<2,1>,6>,y1>,則|MA|2＝<eq\f<yeq\o\al<2,1>,6>－4>2＋yeq\o\al<2,1>＝eq\f<1,36>yeq\o\al<4,1>－eq\f<1,3>yeq\o\al<2,1>＋16＝eq\f<1,36><yeq\o\al<2,1>－6>2＋15≥15,當(dāng)且僅當(dāng)yeq\o\al<2,1>＝6,即y1＝±eq\r<6>,x1＝eq\f<yeq\o\al<2,1>,6>＝1時,|MA|取最小值eq\r<15>,此時M<1,±eq\r<6>>．答案：<1,±eq\r<6>>8．橢圓eq\f<x2,25>＋eq\f<y2,16>＝1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F的距離為6,若點(diǎn)M滿足eq\o<OM,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><eq\o<OP,\s\up6<→>>＋eq\o<OF,\s\up6<→>>><O為坐標(biāo)原點(diǎn)>,則|eq\o<OM,\s\up6<→>>|＝________．解析：設(shè)F1為右焦點(diǎn),因?yàn)閨eq\o<PF,\s\up6<→>>|＝6,所以|eq\o<PF1,\s\up6<→>>|＝10－6＝4,又eq\o<OM,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><eq\o<OP,\s\up6<→>>＋eq\o<OF,\s\up6<→>>>,所以M為PF的中點(diǎn),所以O(shè)M為△FPF1的中位線,所以|eq\o<OM,\s\up6<→>>|＝eq\f<1,2>|eq\o<PF1,\s\up6<→>>|＝2.答案：29．已知拋物線y2＝2px<p>0>有一內(nèi)接△OAB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝0,直線OA的方程為y＝2x,且|AB|＝4eq\r<13>,求拋物線方程．解：由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝2x,,y2＝2px,>>解得Aeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<p,2>,p>>,又eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝0,所以O(shè)A⊥OB,故直線OB的方程為y＝－eq\f<1,2>x.由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝－\f<1,2>x,,y2＝2px,>>聯(lián)立得B<8p,－4p>．因?yàn)閨AB|＝4eq\r<13>,所以eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<p,2>－8p>>eq\s\up12<2>＋<p＋4p>2＝16×13,所以p＝eq\f<8,5>,所以拋物線方程為y2＝eq\f<16,5>x.10．設(shè)橢圓的方程為eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>,離心率為eq\f<\r<2>,2>,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),|AB|＝2.<1>求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；<2>設(shè)動點(diǎn)P<x0,y0>滿足eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<OM,\s\up6<→>>＋2eq\o<ON,\s\up6<→>>,其中M,N是橢圓上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為－eq\f<1,2>,求證：xeq\o\al<2,0>＋2yeq\o\al<2,0>為定值．解：<1>由e2＝eq\f<a2－b2,a2>＝eq\f<1,2>,得a2＝2b2,因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),且|AB|＝2,所以由橢圓的對稱性,知該直線過點(diǎn)<c,1>或<－c,1>,且點(diǎn)<±c,1>在橢圓上,即eq\f<c2,a2>＋eq\f<1,b2>＝1,即eq\f<a2－b2,a2>＋eq\f<1,b2>＝1,解得a2＝4,b2＝2,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f<x2,4>＋eq\f<y2,2>＝1.<2>證明：設(shè)M<x1,y1>,N<x2,y2>,則kOM·kON＝eq\f<y1,x1>·eq\f<y2,x2>＝－eq\f<1,2>,化簡得x1x2＋2y1y2＝0.因?yàn)镸,N是橢圓上的點(diǎn),所以eq\f<xeq\o\al<2,1>,4>＋eq\f<yeq\o\al<2,1>,2>＝1,eq\f<xeq\o\al<2,2>,4>＋eq\f<yeq\o\al<2,2>,2>＝1,即有xeq\o\al<2,1>＋2yeq\o\al<2,1>＝4,xeq\o\al<2,2>＋2yeq\o\al<2,2>＝4,由eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<OM,\s\up6<→>>＋2eq\o<ON,\s\up6<→>>,得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x0＝x1＋2x2,y0＝y(tǒng)1＋2y2>>,所以xeq\o\al<2,0>＋2yeq\o\al<2,0>＝<x1＋2x2>2＋2<y1＋2y2>2＝<xeq\o\al<2,1>＋2yeq\o\al<2,1>>＋4<xeq\o\al<2,2>＋2yeq\o\al<2,2>>＋4<x1x2＋2y1y2>＝4＋4×4＋0＝20.即xeq\o\al<2,0>＋2yeq\o\al<2,0>為定值．[B能力提升]11．邊長為1的等邊三角形AOB,O為原點(diǎn),AB⊥x軸,以O(shè)為頂點(diǎn)且過A,B的拋物線方程是<>A．y2＝eq\f<\r<3>,6>x B．y2＝－eq\f<\r<3>,6>xC．y2＝±eq\f<\r<3>,6>x D．y2＝±eq\f<\r<3>,3>x解析：選C.因?yàn)椤鰽OB為邊長等于1的正三角形,所以O(shè)到AB的距離為eq\f<\r<3>,2>,A或B到x軸的距離為eq\f<1,2>.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上時,設(shè)拋物線的方程為y2＝2px<p>0>．因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,所以eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>eq\s\up12<2>＝2p·eq\f<\r<3>,2>,所以2p＝eq\f<\r<3>,6>.所以拋物線的方程為y2＝eq\f<\r<3>,6>x.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時,設(shè)拋物線的方程為y2＝－2px<p>0>．因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,所以eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>eq\s\up12<2>＝－2p·eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<3>,2>>>,所以2p＝eq\f<\r<3>,6>.所以拋物線的方程為y2＝－eq\f<\r<3>,6>x.12．點(diǎn)F是雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a＞0,b＞0>的右焦點(diǎn),過點(diǎn)F向C的一條漸近線作垂線,垂足為A,交另一條漸近線于點(diǎn)B.若2eq\o<AF,\s\up6<→>>＝eq\o<FB,\s\up6<→>>,則雙曲線C的離心率是________．解析：由題意得雙曲線C的右焦點(diǎn)為F<c,0>,記一條漸近線OA的方程為y＝eq\f<b,a>x,則另一條漸近線OB的方程為y＝－eq\f<b,a>x,設(shè)A<m,eq\f<bm,a>>,B<n,－eq\f<bn,a>>,因?yàn)?eq\o<AF,\s\up6<→>>＝eq\o<FB,\s\up6<→>>,所以2<c－m,－eq\f<bm,a>>＝<n－c,－eq\f<bn,a>>,所以2<c－m>＝n－c,－eq\f<2bm,a>＝－eq\f<bn,a>,解得m＝eq\f<3c,4>,n＝eq\f<3c,2>,所以A<eq\f<3c,4>,eq\f<3bc,4a>>．由FA⊥OA可得eq\f<\f<3bc,4a>－0,\f<3c,4>－c>·eq\f<b,a>＝－1.所以a2＝3b2,所以e＝eq\f<c,a>＝eq\f<\r<a2＋b2>,a>＝eq\f<2\r<3>,3>.答案：eq\f<2\r<3>,3>13．設(shè)橢圓E：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,1－a2>＝1的焦點(diǎn)在x軸上．<1>若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程；<2>設(shè)F1,F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn),P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線F2P交y軸于點(diǎn)Q,并且F1P⊥F1Q,證明：當(dāng)a變化時,點(diǎn)P在某定直線上．解：<1>因?yàn)閍2>1－a2,2c＝1,a2＝1－a2＋c2,則a2＝eq\f<5,8>,1－a2＝eq\f<3,8>,所以橢圓E的方程為eq\f<8x2,5>＋eq\f<8y2,3>＝1.<2>證明：設(shè)F1<－c,0>,F2<c,0>,P<x,y>,Q<0,m>,則eq\o<F2P,\s\up6<→>>＝<x－c,y>,eq\o<QF2,\s\up6<→>>＝<c,－m>,eq\o<F1P,\s\up6<→>>＝<x＋c,y>,eq\o<F1Q,\s\up6<→>>＝<c,m>．由eq\o<F2P,\s\up6<→>>∥eq\o<QF2,\s\up6<→>>,eq\o<F1P,\s\up6<→>>⊥eq\o<F1Q,\s\up6<→>>,得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<m〔c－x＝y(tǒng)c,,c〔x＋c＋my＝0,>>所以<x－c><x＋c>＝y(tǒng)2,即x2－y2＝c2.由橢圓E的方程可知,c2＝a2－<1－a2>＝2a2－1,所以x2－y2＝2a2－1,即y2＝x2－2a2＋1.將上式代入橢圓E的方程,得eq\f<x2,a2>＋eq\f<x2－2a2＋1,1－a2>＝1,解得x2＝a4.因?yàn)辄c(diǎn)P是第一象限內(nèi)的點(diǎn),所以x＝a2,y＝1－a2.故點(diǎn)P在定直線x＋y＝1上．14．<選做題>已知圓M：<x＋eq\r<5>>2＋y2＝36,定點(diǎn)N<eq\r<5>,0>,點(diǎn)P為圓M上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在NP上,點(diǎn)G在MP上,且滿足eq\o<NP,\s\up6<→>>＝2eq\o<NQ,\s\up6<→>>,eq\o<GQ,\s\up6<→>>·eq\o<NP,\s\up6<→>>＝0.<1>求點(diǎn)G的軌跡C的方程；<2>過點(diǎn)<2,0>作斜率為k的直線l,與曲線C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在這樣的直線l,使得eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>≤－1？若存在,求出直線l的斜率k的取值范圍；若不存在,請說明理由．解：<1>由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<\o<NP,\s\up6<→>>＝2\o<NQ,\s\up6<→>>,,\o<GQ,\s\up6<→>>·\o<NP,\s\up6<→>>＝0,>>知Q為線段PN的中點(diǎn),且GQ⊥PN,則GQ為線段PN的中垂線,故|eq\o<PG,\s\up6<→>>|＝|eq\o<GN,\s\up6<→>>|,所以|eq\o<GN,\s\up6<→>>|＋|eq\o<GM,\s\up6<→>>|＝|eq\o<PM,\s\up6<→>>|＝6.故點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,且其長半軸長a＝3,半焦距c＝eq\r<5>,所以短半軸長b＝2.所以點(diǎn)G的軌跡C的方程是eq\f<x2,9>＋eq\f<y2,4>＝1.<2>設(shè)l的方程為y＝k<x－2>,A<x1,y1>,B<x2,y2>,則eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝x1x2＋y1y2.由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝k〔x－2,,\f<x2,9>＋\f<y2,4>＝1>>?<9k2＋4>x2－36k2x＋36<k2－1>＝0,所以x1＋x2＝eq\f<36k2,9k2＋4>,x1x2＝eq\f<36〔k2－1,9k2＋4>,y1y2＝[k<x1－2>][k<x2－2>]＝k2[x1x2－2<x1＋x2>＋4]＝－eq\f<20k2,9k2＋4>,則x1x2＋y1y2＝eq\f<36〔k2－1,9k2＋4>－eq\f<20k2,9k2＋4>＝eq\f<16k2－36,9k2＋4>.由eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝x1x2＋y1y2≤－1,得eq\f<16k2－36,9k2＋4>≤－1,解得k2≤eq\f<32,25>,故－eq\f<4\r<2>,5>≤k≤eq\f<4\r<2>,5>.故存在這樣的直線l,使得eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>≤－1,且直線l的斜率k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<4\r<2>,5>,\f<4\r<2>,5>>>.三空間向量與立體幾何,1．空間向量的有關(guān)定理和推論<1>共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b<b≠0>,a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使得a＝λb.<2>共線向量定理的推論：若eq\o<OA,\s\up6<→>>,eq\o<OB,\s\up6<→>>不共線,則P,A,B三點(diǎn)共線的充要條件是eq\o<OP,\s\up6<→>>＝λeq\o<OA,\s\up6<→>>＋μeq\o<OB,\s\up6<→>>,且λ＋μ＝1.<3>共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對<x,y>,使得p＝xa＋yb.<4>共面向量定理的推論：已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,則P,A,B,C四點(diǎn)共面的充要條件是eq\o<OP,\s\up6<→>>＝xeq\o<OA,\s\up6<→>>＋yeq\o<OB,\s\up6<→>>＋zeq\o<OC,\s\up6<→>><其中x＋y＋z＝1>．<5>空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p＝xa＋yb＋zc,其中{a,b,c}叫做空間的一個基底．2．空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝<a1,a2,a3>,b＝<b1,b2,b3>．<1>a＋b＝<a1＋b1,a2＋b2,a3＋b3>,a－b＝<a1－b1,a2－b2,a3－b3>,λa＝<λa1,λa2,λa3>,a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.<2>重要結(jié)論a∥b?a＝λb?a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3<λ∈R>；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.3．模、夾角和距離公式<1>設(shè)a＝<a1,a2,a3>,b＝<b1,b2,b3>,則①|(zhì)a|＝eq\r<a·a>＝eq\r<aeq\o\al<2,1>＋aeq\o\al<2,2>＋aeq\o\al<2,3>>；②cos〈a,b〉＝eq\f<a·b,|a||b|>＝eq\f<a1b1＋a2b2＋a3b3,\r<aeq\o\al<2,1>＋aeq\o\al<2,2>＋aeq\o\al<2,3>>·\r<beq\o\al<2,1>＋beq\o\al<2,2>＋beq\o\al<2,3>>>.<2>設(shè)A<a1,b1,c1>,B<a2,b2,c2>,則dAB＝|eq\o<AB,\s\up6<→>>|＝eq\r<〔a2－a12＋〔b2－b12＋〔c2－c12>.4．空間向量的運(yùn)算與線面位置關(guān)系的判定<1>設(shè)直線l的方向向量是u＝<a1,b1,c1>,平面α的法向量v＝<a2,b2,c2>,則l∥α?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0,l⊥α?u∥v?u＝kv?<a1,b1,c1>＝k<a2,b2,c2>?a1＝ka2,b1＝kb2,c1＝kc2<k∈R>．<2>設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為u,v,則l∥m?a∥b?a＝kb,k∈R；l⊥m?a⊥b?a·b＝0；l∥α?a⊥u?a·u＝0；l⊥α?a∥u?a＝ku,k∈R；α∥β?u∥v?u＝kv,k∈R；α⊥β?u⊥v?u·v＝0.5．空間向量與空間角的關(guān)系<1>設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m1,m2〉|.<2>設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m,n,則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈m,n〉|.<3>求二面角的大小．<ⅰ>如圖①,AB,CD是二面角α-l-β的兩個半平面α,β內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ＝〈eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<CD,\s\up6<→>>〉．<ⅱ>如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足cosθ＝cos〈n1,n2〉或－cos〈n1,n2〉．1．關(guān)注零向量<1>由于零向量與任意向量平行,所以由a∥b,b∥c無法推出a∥c.<2>0a＝0,而0·a＝0.2．正確理解數(shù)量積的概念和運(yùn)算性質(zhì)<1>a·b＝a·c<a≠0>的本質(zhì)是向量b,c在向量a方向上的投影相等,b與c不一定相等．<2>求兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵,也是易錯點(diǎn),如等邊三角形ABC中,eq\o<AB,\s\up6<→>>與eq\o<BC,\s\up6<→>>的夾角為120°而不是60°.<3>兩個非零向量a和b的夾角θ是銳角<或鈍角>的充要條件是a·b>0<或<0>且a與b不同向<或反向>．3．弄清