2022-2023學(xué)年廣東省廣州市高三三模試卷 數(shù)學(xué)【含答案】

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四3.已知向量，，且，則（）A.3 B.4 C.5 D.64.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染1個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染這種疾病的人數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).當(dāng)基本傳染數(shù)持續(xù)低于1時(shí)，疫情才可能逐漸消散.接種疫苗是預(yù)防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本傳染數(shù)，若1個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過疫苗（稱為接種率），那么1個(gè)感染者新的傳染人數(shù)為，為了有效控制病毒傳染（使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1），我國(guó)疫苗的接種率至少為（）A.75% B.80% C.85% D.90%5.設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則的最小值為（）A. B.5 C.9 D.6.已知，，，則（）A. B. C. D.7.已知克列爾公式：對(duì)任意四面體，其體積和外接球半徑滿足，其中，，，，，，分別為四面體的三組對(duì)棱的長(zhǎng).在四面體中，若，，則該四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線：的準(zhǔn)線與圓：相切于點(diǎn)，直線與拋物線切于點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).為了建立茶水溫度隨時(shí)間變化的回歸模型，小明每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度，得到若干組數(shù)據(jù)，，…，（其中，），繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.小明選擇了如下2個(gè)回歸模型來(lái)擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況，回歸模型一：；回歸模型二：，下列說(shuō)法正確的是（）A.茶水溫度與時(shí)間這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)B.由于水溫開始降得快，后面降得慢，最后趨于平緩，因此模型二能更好的擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況C.若選擇回歸模型二，利用最小二乘法求得到的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，通過回歸模型二計(jì)算得，用溫度計(jì)測(cè)得實(shí)際茶水溫度為65.2，則殘差為10.下列命題正確的是（）A.如果一條直線上兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等，那么這個(gè)直線與這個(gè)平面平行B.兩條平行直線被兩個(gè)平行平面所截的線段長(zhǎng)度相等C.如果一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)銳角的兩邊，分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行D.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直11.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：的下、上焦點(diǎn)分別是，，漸近線方程為，為雙曲線上任意一點(diǎn)，平分，且，，則（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的方程為C.若直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，則D.點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為12.已知有三個(gè)不相等的零點(diǎn)，，，且，則下列命題正確的是（）A.存在實(shí)數(shù)，使得B.C.D.為定值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________.14.甲、乙、丙3所學(xué)校每所學(xué)校各派出兩名同學(xué)，現(xiàn)從這六名同學(xué)中任取兩名，安排到甲、乙、丙3所學(xué)校交流。每所學(xué)校至多安排一名同學(xué)，每名同學(xué)只能去一所學(xué)校且不能去自己原先的學(xué)校，則不同的安排方法有________種.15.在中，已知，，，，邊上兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值為________.16.我們稱元有序?qū)崝?shù)組為維向量，為該向量的范數(shù).已知維向量，其中，，記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則________.（用含的式子表示，）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值.18.（12分）已知整數(shù)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列滿足.數(shù)列，前項(xiàng)和分別為，，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.19.（12分）某地的水果店老板記錄了過去50天某類水果的日需求量（單位：箱），整理得到數(shù)據(jù)如下表所示，已知每箱某類水果的進(jìn)貨價(jià)為50元，售價(jià)為100元，如果當(dāng)天賣不完，剩下的水果第二天將在售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折進(jìn)行特價(jià)銷售，但特價(jià)銷售需要運(yùn)營(yíng)成本每箱30元.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)第二天特價(jià)水果都能售馨，并且不影響正價(jià)水果的銷售.2223242526頻數(shù)10101596（1）一次進(jìn)貨太多，水果會(huì)變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求店長(zhǎng)希望每天的某類水果盡量新鮮，又能70%地滿足顧客的需求（在100天中，大約有70天可以滿足顧客的需求）.請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布表，估計(jì)每天某類水果的進(jìn)貨量箱.（結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率，設(shè)（1）中所求的值，如果店老板計(jì)劃每天購(gòu)進(jìn)箱或箱的某類水果，請(qǐng)以利潤(rùn)的期望作為決策依據(jù)，判斷店老板應(yīng)當(dāng)購(gòu)進(jìn)的箱數(shù).20.（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.21.（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，為橢圓上的一點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，的角平分線所在的直線與直線交于點(diǎn)，記直線的斜率為，試問是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.（12分）已知函數(shù)，.（1）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得，求證：.

答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)12345678答案ADCBDBCC二選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。題號(hào)9101112答案ABBCADBCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.（寫成亦可） 14.4215. 16.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.解：（1），……1分因?yàn)楹瘮?shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，所以，則，所以，解得，所以.………………3分由，，解得，因此的單調(diào)增區(qū)間是，.……5分（2）由，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，，所以，，…………7分由，，則，又函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，…………9分由解得，此時(shí).……10分18.解：（1）當(dāng)時(shí)，.……………………1分又因?yàn)?，所?設(shè)，則.………………2分依題意，，………………3分得恒成立……4分解得，…………5分所以，.……………………6分（2）…………①……②①-②，得……9分即………………10分時(shí)，，；時(shí)，，，所以.…………12分19.解：（1）70%地滿足顧客需求相當(dāng)于估計(jì)某類水果日銷售量的70%分位數(shù).………………1分由表可知，把50個(gè)日需求量的數(shù)據(jù)從小到大排列，由，日需求量在24箱以下的天數(shù)為，可知，可以估計(jì)日需求量的第70%分位數(shù)為，…………3分所以能70%地滿足顧客的需求，估計(jì)每天應(yīng)該進(jìn)貨量為24.5箱.…………4分（2）由（1）知，即設(shè)每天的進(jìn)貨量為24箱的利潤(rùn)為，由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為24箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩余的概率，當(dāng)天賣不完剩余2箱的概率，若當(dāng)天賣完元，若當(dāng)天賣不完剩余1箱元，若當(dāng)天賣不完剩余2箱元，……6分所以元.………………7分設(shè)每天的進(jìn)貨量為25箱的利潤(rùn)為，由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為25箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩余1箱的概率，當(dāng)天賣不完剩余2箱的概率，當(dāng)天賣不完剩余3箱的概率，若當(dāng)天賣完元，當(dāng)天賣不完剩余1箱元，當(dāng)天賣不完剩余2箱元，當(dāng)天賣不完剩余3箱元，……9分所以元，…………10分由于，顯然每天的進(jìn)貨量25箱的期望利潤(rùn)小于每天的進(jìn)貨量為24箱的期望利潤(rùn)，所以店老板應(yīng)當(dāng)購(gòu)進(jìn)24箱.…………12分20.（1）證明：連接，在正方形中，又平面，故而，是平面上的兩條相交直線，所以平面…………2分在中，為中位線，故…………3分所以平面.又平面，所以平面平面……5分（2）以，，所在直線為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，………………7分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，……8分設(shè)，則則，整理得，解得或（舍去），…………10分故，故到平面的距離，故因?yàn)椋杂?，所以，又，所以平面，故到平面的距離為三棱錐體積為.…………12分21.解：（1）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)等于為定值，所以內(nèi)切圓半徑最大時(shí)，即的面積最大，此時(shí)點(diǎn)為橢圓的上（下）頂點(diǎn)………………1分可得；……2分又因?yàn)椋?，解得，，，…?分所以橢圓的方程為；……4分（2）（法一）設(shè)點(diǎn)由條件可知直線的斜率，設(shè)點(diǎn)，，由得：所以，（*）………………5分由（*）可得①…………6分②………………7分③…………8分由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)位于第四象限，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，又在的角平分線所在的直線上，則可得出……9分化簡(jiǎn)得即將①②③式代入上式得：…………10分則，解得，（舍去）……11分故直線方程為，令得點(diǎn)則，故為定值.………………12分【法二】設(shè)線由條件可知直線的斜率，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，直線：，其中由得即整理得…………6分即令，則，其中，為方程的根所以，…………8分由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)位于第四象限，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，又在的角平分線所在的直線上，則由得……9分代入整理得，………………10分則故（舍去）或者……………………11分所以直線的方程為，令得點(diǎn)故