直線斜率與直線位置關系

關于直線斜率與直線位置關系第1頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.2.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.第2頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三第3頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三1.直線的傾斜角第4頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三2.直線的斜率第5頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三[思考探究]過兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2時直線的傾斜角和斜率怎樣？提示：當x1＝x2時，直線P1P2與x軸垂直，傾斜角α＝90°，其斜率不存在.第6頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三3.兩條直線平行與垂直的判定若直線l1和l2的斜截式方程為l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則：(1)直線l1∥l2的充要條件是

.(2)直線l1⊥l2的充要條件是

.

若l1和l2都沒有斜率，則l1與l2平行或重合.

若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0，則l1⊥l2.k1＝k2且b1≠b2k1·k2＝－1第7頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三1.過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為 (

)A.1

B.4C.1或3 D.1或4解析：由＝1，得m＝1.答案：A第8頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三2.已知兩條直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則a等于 (

)A.2 B.1C.0 D.－1解析：由題知(a＋2)a＝－1?a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，∴a＝－1.也可以代入檢驗.答案：D第9頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三3.斜率為2的直線的傾斜角α所在的范圍是(

)A.0°<α<45° B.45°<α<90°C.90°<α<135°D.135°<α<180°解析：∵k＝2>1，即tanα>1，∴45°<α<90°，∴傾斜角的范圍是45°<α<90°.答案：B第10頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三答案：－4.直線l1的傾斜角為60°，直線l2⊥l1，則直線l2的斜率k2＝

.解析：由斜率定義，直線l1的斜率k1＝tan60°＝.∵l2⊥l1，∴k1k2＝－1，∴k2＝＝－.第11頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三5.已知直線l1過A(2,3)和B(－2,6)，直線l2過點C(6,6)和D(10,3).則l1與l2的位置關系為

.解析：∵kl1＝＝－，kl2＝＝－，∴k1＝k2，結(jié)合圖知l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.答案：l1∥l2第12頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三第13頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

傾斜角和斜率的關系1.斜率k是一個實數(shù)，每條直線存在惟一的傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為90°的直線無斜率，當傾斜角α≠90°時，k＝tanα.第14頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三2.在分析直線的傾斜角和斜率的關系時，要根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性，當α由0增大到(α≠)時，k由0增大到＋∞；當α由(α≠)增大到π(α≠π)時，k由負無窮大趨近于0.解決此類問題時，也可采用數(shù)形結(jié)合思想，借助圖形直觀作出判斷.第15頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

直線xcosα＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是(

)A.[)∪(]

B.[0，]∪[，π)C.[0，] D.[][思路點撥]第16頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三[課堂筆記]由xcosα＋y＋2＝0得直線斜率k＝－cosα.∵－1≤cosα≤1，∴－≤k≤ .設直線的傾斜角為θ，則－≤tanθ≤.結(jié)合正切函數(shù)在[0，)∪(，π)上的圖象可知，0≤θ≤或≤θ<π.[答案]

B第17頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三1.求斜率的一般方法(1)已知直線上兩點，根據(jù)斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.(2)已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)根據(jù)k＝tanα來求斜率.2.利用斜率證明三點共線的方法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，則有A、B、C三點共線.第18頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三[特別警示]斜率變化分兩段，90°是分界線，遇到斜率問題要謹記，存在與否要討論.

第19頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

設a，b，c是互不相等的三個實數(shù)，如果A(a，a3)、B(b，b3)、C(c，c3)在同一直線上，求證：a＋b＋c＝0.[思路點撥]第20頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三[課堂筆記]

∵a，b，c互不相等，∴過A、B、C任兩點的直線的斜率均存在.又kAB＝＝a2＋ab＋b2，kAC＝＝a2＋ac＋c2.∵A、B、C三點共線，∴kAB＝kAC，即a2＋ab＋b2＝a2＋ac＋c2，(b－c)(a＋b＋c)＝0.而b≠c，∴a＋b＋c＝0.第21頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三1.兩條直線平行的判定方法(1)若兩條直線斜率都存在時，要使直線平行只需斜率相等，且在y軸上的截距不相等.(2)若兩條直線斜率都不存在，則兩條直線平行或重合.(3)若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不全為0)，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0)，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0).第22頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三2.兩條直線垂直的判定方法(1)若兩條直線的斜率都存在，則它們垂直的條件是斜率之積為－1.(2)若一條直線的斜率為0，另一條直線斜率不存在，則這兩條直線垂直.(3)若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全為0)，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0)，則l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.第23頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三(2009·上海高考)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(

)A.1或3 B.1或5C.3或5 D.1或2[思路點撥]第24頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三[課堂筆記]

k＝3時，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0顯然平行；k＝4時，l1：x＋1＝0，l2：2x－2y＋3＝0，顯然不平行；k≠3，k≠4時，要使l1∥l2，應有?k＝5.綜上所述k＝3或5.[答案]

C第25頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三本例中，若l1⊥l2，則k的值又是什么？解：法一：由例題知，若l1⊥l2，則·(k－3)＝－1，解得k＝.法二：∵l1⊥l2，∴2(k－3)(k－3)－2(4－k)＝0.解得k＝.第26頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

本節(jié)主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目.其中直線的傾斜角和斜率、兩直線的位置關系是高考的熱點.09年高考全國卷Ⅰ將直線的傾斜角和兩直線位置關系相結(jié)合，考查了數(shù)形結(jié)合的思想.第27頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

[考題印證](2009·全國卷Ⅰ)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正確答案的序號是

.(寫出所有正確答案的序號)第28頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三【解析】求得兩平行線間的距離為，則m與兩平行線的夾角都是30°，而兩平行線的傾斜角為45°，則m的傾斜角為75°或15°.【答案】

①⑤第29頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

[自主體驗]

設a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線x·sinA＋ay＋c＝0與bx－y·sinB＋sinC＝0的位置關系是

.解析：∵bsinA－asinB＝2RsinBsinA－2RsinAsinB＝0，∴兩直線垂直.答案：垂直第30頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三第31頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三1.設直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝0，則a、b滿足 (

)

A.a＋b＝1 B.a－b＝1C.a＋b＝0 D.a－b＝0解析：∵sinα＋cosα＝0，α是傾斜角，∴tanα＝－1，∴k＝－＝tanα＝－1，∴a－b＝0.答案：D第32頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三2.已知直線l的傾斜角為α，并且0°≤α<120°，則直線l的斜率k的取值范圍是 (

)A.－＜k≤0 B.k＞－C.k≥0或k＜－ D.k≥0或k＜－解析：當0°≤α＜90°時，k＝tanα≥0.當90°＜α＜120°，結(jié)合正切函數(shù)的圖象知，tanα<－.答案：C第33頁，講稿共37頁，2023年5月2日，