兩條直線的位置關(guān)系知識點及題型歸納

兩條直線的位置關(guān)系知識點及題型歸納知識點精講一.兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表9」所示.兩直線方程平行垂直:=0/2:A2x+B2y+C2=0A毘一A*=o且B￡l豐0A^A2+色艮=0「i："b（斜率存在）12:y=k2x+b2k、=k2.bib2或k^k2=一1或?與&中有一L:x=x.1 h（斜率不存在）I2:x=x2x=x^x=x2,x｛工x2個為0,另一個不存在.二.三種距離1.兩點間的距離平面上兩點人（兀,兒）,￡也,兒）的距離公式為出￡I=j3—xj+（x—兒）'.特別地，原點。（0,.0）與任一點P（?）的距離IOP|=yjx2+y2.點到直線的距離點坨（兀,兒）到直線/:Ax+By+C=0的距離d=IA.+6。+CI特別地，若直線為l:x=m,則點4（兀,兒）到/的距離d=|m-x0|;若直線為l-.y=n,則點恥”兒）到/的距離d=|n-y0\兩條平行線間的距離已知人,人是兩條平行線，求A，人間距離的方法：（1） 轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離.（2） 設(shè)厶:Av+By+G=0J,:Av+By+C,=0,則人與/,之間的距離d=j■ ■ ■ yjA2+B2注:兩平行直線方程中,yy前面對應(yīng)系數(shù)要相等.題型歸納及思路提示題型1兩直線位置關(guān)系的判定思路提示判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)/］：Ax+B』+q=O（&,坊不全為0）,l2:A2x+B2y+C2=0（人，企不全為0）,則：當(dāng)A厶一Ad工0時,直線厶丿2相交;當(dāng)人伙=兒$時，厶仏直線平行或重合，代回檢驗;當(dāng)-BtB2=0時，/J?直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶.例9.10“°二2”是“直線a^2y=0平行于直線xt尸1”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析 由a=2得直線方程2對2尸0,即直線小=0與護(hù)尸1平行，反之，由直線ax+2）u予行于直線x+y=l,得-2.故“°二2”是“直線2対2嚴(yán)0平行于直線護(hù)尸1”的充分必要條件，故選C.變式1 （2012浙江理3）設(shè)awR,貝,iJ“E”是“直線厶:ax+2y-l=0與直線仁：x+（d+l）y+4=0平行”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件變式2 '‘〃?=丄”是“直線（加+2）x+3my+1=0與直線（加一2）x+（加+2）y—3=0相互垂直”的（）2A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件例9.11已知直線厶：Q+2y+6=0和直線厶:x+（a-l）y+a2-1=0（1） 當(dāng)IJH2時，求a的值；（2） 當(dāng)人丄厶時，求°的值.解析（1） =°?。（。一1）一1x2=0得，解得1或2.當(dāng)a二一1時，厶:x-2y-6=0j2:x-2y=0jJ/l2當(dāng)a二2時，:x+y+3=0j2:x+y+3=0jl與人重合，故舍去.故當(dāng)IJH.時，°的值為T.2（2）由厶丄人，得A4+d伙=0,即°+2@—1）=0,得a=-變式1若直線x~2y+5二0與直線2x+niy~6=Q互相垂直，則實數(shù)m- .變式2已知直線1{:（in+3）x+4y=5—3mJ2:2x+（in+5）y=8,問m為何值時：（1） lj/l“（2）A與厶重合;（3）A與厶相交;（4）人與人垂直.題型2有關(guān)距離的計算思路提示兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結(jié)構(gòu).例9.12（1）已知點P（4,l）,則點P到直線i:x-2y+3=0的距離為 ;（2） 已知點5,2）到直線l:x-y+3=0的距離為，貝山二 ；過點A(4,?)和3(5")的直線與直線嚴(yán)對加平行，則兩點間的距離|AB|為 ⑵由題意得孑=廿⑵由題意得孑=廿解法一:由題意可知UkAB= =b—a=1故|4B|=J(5-4)，—(b—a)~=V25—4解法二：如圖9-4所示，過點3作x軸的垂線與過點A作)，軸垂線的反向延長線相交于點C,則由題意知ZBAC=45°,且AC=1,則AB=^2圖9J變式1點P在直線3x+y-5二0上，且點P到直線A-ri=O的距離為，則點P的坐標(biāo)為()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(T,2)變式2若直線/過點P(l,2)且與點人(-1,2),3(3,0)兩點距離相等，則直線/的方程為 變式3若點P(x,y)在直線/:x+2y-3=0上運動，則%2+y2的最小值為 例9.13已知直線4:x+y+l=0j2:x+y-l=0,則厶與人之間的距離為()A.1B.V2C.y/3D.2故選B.變式1直線l.'.x+y-l=0與直線/2:2x+2y-3=0的距離是().A.2^2B.V2 C.—D.—2 4變式2到直線/:2x+y+l=0的距離為f的點的軌跡方程是()A.直線2人+廠2二0B.直線2a+v=0C.直線2x^y=Q或直線2人+廠2二0 D.直線2x+)=0或直線2%+)計2二0變式3己知三直線ll:2x-y+a=0(a>0)J2:-4x+2y+l=0和/「x+y—1=0,且與人的距離是7V510

求d的值：能否找到一點P,使P同時滿足卞列三個條件：①P是第一彖限的點；②點P到厶的距離是點P到厶的距離的扌；③點P到A的距離與點P到人的距離之比是V2：V5.若能，求點P坐標(biāo)；若不能，請說明理由.例9.14過點P(1,2)且與原點0距離最人的直線方程是()A.x+2y-5=0 B.廠2尸2二0C.只+3廠7二0 D.3x+y-5=0解析解法一：如圖9-5所示，設(shè)點Pel,且線段OP與直線/的夾角為彳1則距離d=|OPIsine<|OP卜的，當(dāng)且僅當(dāng)6=g時取等號.此時/丄OP,所以直線/:y-2=--(x-l),即/:x+2)'-5=0故選A.解法二：設(shè)所求直線方程l:A(x-l)+ -2)=0,屮+礦工o,即/:A.v+By-A-2B=0.則原點到直線/的距離d=|4+23|=|(1,2)?(4,B)|<Jl，+2,xjAhB2=荷\Ia2+b~-Ja2+b2JA'+B‘當(dāng)且僅當(dāng)向量(1,2)//(A,B),即3=2力(AhO)時取等號.此時r.Ax+2Ay-5A=0,即/:x+2y-5=0評注：本題解法一充分運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.解法二中運用了柯西(Cauchy)不等式：\ci-b\<\a\\b\,其坐標(biāo)形式為:(xLx2+yLy2)2<(x;4- +yj),當(dāng)且僅當(dāng)a//b,即xYy2=x2yt時取等號.變式1已知兩條互相平行的動直線厶仏分別過4(-1-2)”(2,2),則人仏之間的距離最人值為 當(dāng)lj2之間的距離最大時，直線A仏的方程分別為 題型3對稱問題思路提示（1） 中心對稱問題轉(zhuǎn)化為中點問題.求點P（兀，yJ關(guān)于點M（兀,兒）中心對稱的點F（心，兒）?不=2xft-%.由中點坐標(biāo)公式得彳- ° 1卜2=2兒一兒求直線I關(guān)于點Muo,yo）中心對稱的直線/'求解方法是:在已知直線/上取一點P（?！籎關(guān)于點中心對稱得7（心，兒），再利用///『，由點斜式方程求得直線r的方程（或者由////‘，且點”（兀，兒）到直線/及r的距離相等來求解）.（2） 軸對稱問題轉(zhuǎn)化為對稱點連線被對稱軸垂直平分.①求點Pg,y\）關(guān)于直線/。對稱的點P\X2，兒）方法一：（一中一垂），即線段PP的中點M在對稱軸/。上，若直線PP的斜率存在，則直線PP的斜率與對稱軸/。的斜率之積為一1,兩個條件建立方程組解得點p\x2,y2）方法二：先求經(jīng)過點Pg,兒）且垂直于對稱軸/0的直線（法線）I。,然后由/0A/0=M得線段PF的中點M（x°,y。）,從而得［X2=Xq~XiI兒=2兒-兒②求直線I關(guān)于直線/。對稱的直線r若直線////。，貝ij////*,且對稱軸/。與直線/及r之間的距離相等.此時lJQ.r分別為Ax+By+C=O,Ax+By+CQ=0,Av+By+C=0(A2+B2^0),由K-c0|Jf+B'IC-CI- ,求得c,從而得ry/A2+B2若直線/與/。不平行，則/n/0=2-在直線/上取異于0的一點p（“,）\）,先由（2）①中的方法求得pgj）關(guān)于直線對稱的點7（忑，為），再由兩點確定直線r（其中/n/°n/'=Q）?例9.15（1）點A（1,2）關(guān)于點M⑶4）對稱的點的坐標(biāo)為 （2） 直線/:2x+y-3=0關(guān)于點M（l,2）對稱的直線方程為 （3） 點A（1,2）關(guān)于直線/O:2x+y-3=0對稱的點的坐標(biāo)為 （4） 直線/:2x+y-3=0關(guān)于直線/o:x-y+l=0對稱的直線方程為

解析(1)設(shè)對稱點的坐標(biāo)為A(a解析(1)設(shè)對稱點的坐標(biāo)為A(a上)，則＜凹=3/ ，得也=42(2)設(shè)直線/關(guān)于點M(l,2)對稱的直線為兒貝ij///r,故設(shè)ll:2x+y+C=0則|2xl+2?3|_|2xl+2+C|解得C=-5或-3(此時"與/重合，舍去).故幾2x+y-5=0設(shè)對稱點的坐標(biāo)為A\a.b),先求經(jīng)過點A(1,2)且垂直于/。的直線/。?即C：x-2y+3=02x+y-3=09}?=5,即線段4A的中點為~2~~52+b9解得1ci=9}?=5,即線段4A的中點為~2~~52+b9解得1ci=—5,故所求對稱點的坐標(biāo)為(4)由22x+y-3=0x-y+l=O解得彳—Xl=-1a-00+6/ 3+b取直線/上一點P、(0,3),下面求片(0,3)關(guān)于直線/0對稱的點P—Xl=-1a-00+6/ 3+ba=2--1；]],即巴(2,1),所以=--——23故得所求對稱直線兒y-1=一*(x-2),即『:x+2y-4=0.評注特殊結(jié)論：已知直線/關(guān)于直線/。對稱的直線是兒若直線/。的斜率&=±1，則乩0=1(其中人Q分別是直線^的斜率)，如本例⑷中所求對稱直線的斜率為冷.

簡證：首先易知：若直線/關(guān)于直線。對稱的直線是軾，則經(jīng)過它們的交點(假定相交)且垂直于/。的直線/。也是/與『的同，故只證心=1的情形.然后把每條直線都平移至過原點0,所得直線分別為人:y=k^y=xj[:y=k；x,且鳥=k^k'=k[不妨在直線人上取異于0的點P(x0,y0),則關(guān)于y=x對稱的點為P*()'0,x0)故=—,k[=—,所以k?0=k]?k；=\,得證.兀兒變式1(1)求點P(4,5)關(guān)于點M(3,-2)對稱的點0的坐標(biāo)；求點P(4,5)關(guān)于直線l.3x-y+3=0對稱的點Q的坐標(biāo)；直線l^.y^-x+b與人：)‘，=丄x+b+8關(guān)于點A(4,6)對稱，求b的值：」22求直線人：3x-y+3=0關(guān)于直線l.x-y+2=0對稱的直線厶方程.例9.16在中，已知頂點4(2,2),ZB的平分線所在直線人的方程為尸0,ZC的平分所在直線厶的方程為x+y-1二°,求邊BC所在直線的方程.分析用待定系數(shù)法直接求解邊BC所在直線的議程難度較人，故考慮角平分線的性質(zhì)，如圖9-6所示，利用角平分線的性質(zhì)(對稱性)可知，點A關(guān)于ZB,ZC的平分線的對稱點均在直線BC上，故可以求兩對稱點所在直線的方程.囹9?6囹9?6解析如圖9-7所示，設(shè)點A關(guān)于直線厶的對稱點為D,則D(2,-2)設(shè)點A關(guān)于直線匚的對稱點為Eg』。)，貝inEg』。)，貝in心=1xo-2兀+2|兒+22*2-1=0=—]解得彳0 ,即￡(-1,-1)bo=-1所以直線DE的斜率為"1=丐，則直線皿的方程為y+一尹+】)’即小y+4“故邊BC所在直線方程為x+3y+4=0變式1如圖9-8所示，己知A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經(jīng)過直線AB反射后再射到OB上,最后經(jīng)直線03反射后又回到點P,則光線所經(jīng)過的路程是()A.2V10B.6C.3 D.2^5u圖9?8變式2在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC,CA反射后又回到點P(如圖9-9所示).若光線0R經(jīng)過AABC的重心，則AP等于()8 4A.2B.1C.— D.—圖9?9有效訓(xùn)練題若直線ov+2)+6二0和直線x+a(a+\)y+(cr-1)=0垂直，則a的值為()A. B.0C. 或0D-32已知兩條直線y^ax-2和3廠(°+2)嚴(yán)1二0互相平行，則爐()A.1或-3 B?T或3 C?1或3D.-1或-33?直線尸3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。，再向右平移1個單位，所得直線()A.y=——x+-B.y=——x+lC.y=3x-3 D.y=-x+13 3 ’ 3設(shè)a,b,c分別是MBC中角A,B,C所對邊的邊長，則直線xsinA+ay+c=0與的加一ysin3+sinC=0位置關(guān)系是（）A.平行B.重合C.垂直 D.相交但不