近三年新高考T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

睬老廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)東北育才中學(xué)石家莊二中華中師大一附中八樓

I，聯(lián)與西南大學(xué)附中南京師大附中湖南師大附中福州一中,'僅

2021屆高三第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

命題學(xué)校：華中師大一附中命題人：田甜審題人：王雪冰吳巨龍

考試時(shí)間：2020年12月30日上午8:00—10:00試卷滿(mǎn)分150分考試用時(shí)120分鐘

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.若z=-^-?『，則Z的虛部為

1-2/

A.—B.—iC.—D.—/

5555

2.已知集合4={》|》2—4x+3<0},B-{x\x>m],若8={x|x>l}，則

A.m>lB.1<m<3C.l<m<3D.1<w<3

3.斐波那契螺旋線(xiàn)被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫(huà)法是：以斐波那契數(shù)：1,1,2,

3,5,…為邊的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫(huà)一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧

所連起來(lái)的弧線(xiàn)就是斐波那契螺旋線(xiàn).自然界存在很多斐波拉契螺旋線(xiàn)的圖案，例如向日葵、鸚

鵡螺等.下圖為該螺旋線(xiàn)的前一部分，如果用接下來(lái)的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，則

該圓錐的底面半徑為

A.叵

2

13

C.—

4

x2-(a2-5Q+4)X+3Q,(X<1)

4.設(shè)/(x)=2，若/(x)的最小值為/(0)，則。的值為

2x4-----+3,(x>1)

、X-1

A.0B.1或4C.1D.4

5.已知AABC中，A8=l,AC=3,cosA=—，點(diǎn)E在直線(xiàn)BC上，且滿(mǎn)足：

4

BE^2AB+AAC(A&R),則|AE|=

A.V34B.3屈C.3D.6

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)共6頁(yè)

6.設(shè)雙曲線(xiàn)/—々=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過(guò)耳的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支交于點(diǎn)A,

與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)8,若BE工8居,則A486的周長(zhǎng)為

A.4肉2B.4y/3-2C.4+2&D.4-26

JT

7.已知A4BC中，角A,B滿(mǎn)足sinA—cosB+A+B<—,則下列結(jié)論一定正確的是

2

A.sinA<cosCB.sinA>cosB

C.sinB<cosAD.sinC<sinB

8.將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定，在重力的作用下它所呈現(xiàn)的形狀叫懸鏈線(xiàn)，例如懸索橋等.

建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，可以寫(xiě)出懸鏈線(xiàn)的函數(shù)解析式為/(X)=QCOSh士，其中。為懸鏈線(xiàn)系

a

X.—X

數(shù)，coshx稱(chēng)為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshx=———,相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)

2

X_-X

表達(dá)式為sinhx=；.若直線(xiàn)x=加與雙曲余弦函數(shù)G和雙曲正弦函數(shù)G分別相交于點(diǎn)

A,8,曲線(xiàn)G在點(diǎn)A處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)。2在點(diǎn)5處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P，則

A.y=sinhxcoshx是偶函數(shù)B.cosh(x+y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

C.IBP|隨〃?的增大而減小D.的面積隨〃z的增大而減小

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.已知圓V+y2—2x—6y+a=0上至多有一點(diǎn)到直線(xiàn)3x+4y+5=0的距離為2,則實(shí)數(shù)?？?/p>

能的取值為

A.5B.6C.7D.10

10.下列命題中正確的是

A.3xe(0,+oo),(1)x>(

B.Vxe(0,1),log1x>log!x

23

111D.3xe(0,1),(g)*〉log]X

C.VxG(0.一)，(一)'>x2

11.已知等比數(shù)列｛4｝首項(xiàng)q>1,公比為q,前〃項(xiàng)和為S“，前〃項(xiàng)積為(，函數(shù)

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)共6頁(yè)

/（X）=%（%+4）（工+。2）…（x+%），若/'（。）=1，則

A.{1g%』為單調(diào)遞增的等差數(shù)列B.0<q<l

C.{3—&}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列D.使得7；>1成立的〃的最大值為6

i-q

12.在直三棱柱ABC-A4G中，ZABC=90°,AB=BC=2,A4,=2,W是BC的中點(diǎn),

2

N是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段4N上，點(diǎn)。在線(xiàn)段AM上，且AQ=§AW,S是A0與A。

的交點(diǎn)，若PS〃面耳AM,則

A.PS//B.Q

B.P為百N的中點(diǎn)

C.AC±PS

D.三棱錐P—4AM的體積為|

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)隨機(jī)變量X~B（〃,3，y=2X+l,若E（y）=4,則〃=.

4

14.武漢某學(xué)校的四名黨員教師積極參加黨員干部下沉社區(qū)的活動(dòng)，在活動(dòng)中他們會(huì)被隨機(jī)分配

到A、8、C三個(gè)社區(qū).若每個(gè)社區(qū)至少分配一名黨員教師，且教師甲必須分配到A社區(qū)，共有

種不同的分配方案.

15.我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜暴，并

大斜嘉，減中斜幕，余半之，自乘于上：以小斜塞乘大斜累，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅,

開(kāi)平方得積.把以上文字寫(xiě)成公式，即5=上［02/_（。+4了］（其中s為三角形的面積,

V42

a,b,c為三角形的三邊）.在非直角A48c中，a,b,c為內(nèi)角ARC所對(duì)應(yīng)的三邊，若a=3,

S.a=c（cosB+V3COSC）,則A48C的面積最大時(shí)，c=.

16.已知函數(shù)/（x）=a/+ln，一一2（。>0）,若/（幻>0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

x+2

為.

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)共6頁(yè)

四、解答題：本題共6小題，共7()分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知｛4｝為等差數(shù)列，｛〃,｝為等比數(shù)列，｛2｝的前〃項(xiàng)和為S,,且4=々=1,

?2=a3-by,a3=S3+b2.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%="也川，7；為數(shù)列｛qj的前〃項(xiàng)和，求數(shù)列｛」一｝的前〃項(xiàng)和S；.

%+~“+25(+2

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=Asin(<yx+0)(A>O,0>O)的圖像是由y=0sin((yx+?)的圖

像向右平移上TT個(gè)單位得到的.

3

(1)若/(x)的最小正周期為萬(wàn)，求/(幻的與y軸距離最近的對(duì)稱(chēng)軸方程；

(2)若/(x)在［17T~,萬(wàn)］上僅有一個(gè)零點(diǎn)，求力的取值范圍.

19.(12分)如圖所示為一個(gè)半圓柱，E為半圓弧CO上一點(diǎn)，CD=6

(1)若AO=26，求四棱錐E—ABCO的體積的最大值；

2

(2)有三個(gè)條件：①4DE?DC=EC?DC；②直線(xiàn)AO與3E所成角的正弦值為一；

3

請(qǐng)你從中選擇兩個(gè)作為條件，求直線(xiàn)與平面E48所成角的余弦值.E

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)共6頁(yè)

20.（12分）國(guó)家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類(lèi)制度實(shí)施方案》,

規(guī)定46個(gè)城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類(lèi)，垃圾回收、利用率要達(dá)35%以上.截至2019

年底，這46個(gè)重點(diǎn)城市生活垃圾分類(lèi)的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%.武漢市在實(shí)施垃圾分類(lèi)

之前，從本市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的320個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)，對(duì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)

生的垃圾量（單位：噸）進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的社區(qū)

垃圾數(shù)量超過(guò)28噸/天的確定為“超標(biāo)”社區(qū)：

垃圾量

[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5]

X

頻數(shù)56912864

（1）通過(guò)頻數(shù)分布表估算出這50個(gè)社區(qū)這一天垃圾量的平均值7（精確到0.1）：

（2）若該市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N（〃,CT2）,其中

〃近似為（1）中的樣本平均值b?近似為樣本方差一,經(jīng)計(jì)算得s=5.2.請(qǐng)利用正態(tài)分布

知識(shí)估計(jì)這320個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù).

（3）通過(guò)研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個(gè)社區(qū)中這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，市政府

決定對(duì)這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來(lái)源進(jìn)行跟蹤調(diào)查.現(xiàn)計(jì)劃在這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中任取5個(gè)

先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)丫為抽到的這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)，求V的分布列與數(shù)

學(xué)期望.

（參考數(shù)據(jù)：尸（〃一bvX<〃+b）a0.6827；P（〃-2b<X<〃+2b）*0.9545；

3bvX<〃+3b)*0.9974)

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第5頁(yè)共6頁(yè)

22

21.（12分）已知橢圓（？：*■+2r=1（。>6>0）與拋物線(xiàn)M:y2=4x有公共的焦點(diǎn)，且拋物線(xiàn)

的準(zhǔn)線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作一條斜率為k（k豐0）的直線(xiàn)交橢圓于4,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E,P為

弦的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)OP的垂線(xiàn)交OP于點(diǎn)。，問(wèn)是否存在一定點(diǎn)使得QH的長(zhǎng)

度為定值？若存在，則求出點(diǎn)〃，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（12分）已知函數(shù)/（x）=

（1）當(dāng)/篦=1時(shí)，求/（X）的最大值；

（2）討論關(guān)于尢的方程/（x）=m—In九的實(shí)根的個(gè)數(shù).

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第6頁(yè)共6頁(yè)

2021屆T8第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題:

題號(hào)123456789101112

答案ABCCDCCDBCABCBCDACD

二、填空題:

13.614.1215.316.(e,+8)

部分選填題解答：

2x_-2JV

8.解：對(duì)于選項(xiàng)A：y=sinhxcoshx=--------是奇函數(shù)，所以A錯(cuò)誤;

4

對(duì)于選項(xiàng)B：coshxcoshsinhxsinhy

ex+y++—一4+y

=-------------------------------------------=---------=cosh(x-y),

442

所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C、D：設(shè)A(m,

m.m—m

則曲線(xiàn)￡在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為：y—-~(x—m),

曲線(xiàn)。2在點(diǎn)B處的切線(xiàn)方程為：y-2=；,

m_-m

聯(lián)立求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m+1,d"),貝11BP『=1+(em-)2=1+

2

S”相=；|A8|=；eT"，所以IBP|隨機(jī)的增大而先減小后增大，APA8的面積隨機(jī)的

增大而減小，所以C錯(cuò)誤，D正確.

11.解：令g(x)=(x+4)(x+4)…(x+%)，則/(x)=xg(x)，

?■?/'(x)=g(x)+xg'(x),，r(0)=g(0)=4?2…。7=1，因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以

4。,…/=。/=1，即04=1=643，*.*>1,r.0<q<l,B正確；

：1g%=lg401=1g4+(〃-1)1g4,二｛1gq｝是公差為lgq的遞減等差數(shù)列，A錯(cuò)誤;

?.?5,-3=4(1一4"-1)=巴01，，｛5.一片｝是首項(xiàng)為筆<0，公比為。

1-<7\—qq—\\—qq-\

的遞增等比數(shù)列，C正確；

?/a,>1,0<<7<1,%=1，?'.〃43時(shí)，a”>1,時(shí)，0<。”<1,”44時(shí)，Z,>1,

T

?.?(=4a2…a7=a/=l，時(shí)，4二十4%…4<1=1，又4="-^->1，

a6a7

4=4>1,所以使得4>1成立的"的最大值為6,D正確.

%

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案第1頁(yè)共8頁(yè)

12.解：對(duì)于選項(xiàng)A：連接交NS交AC于G點(diǎn)，連接6G,

22

則由A8=BC,=,可得6G必過(guò)點(diǎn)。，且BQ=]BG,因?yàn)镻Su面BB|NG,

PS〃面AM與，^AMBX^BB}NG^B,Q,所以PS〃旦Q,A正確；

對(duì)于-選項(xiàng)B：?;PS〃BQ,：.NNPS=NNBQ=NB]QB,：.RtAPNS~RtAQBB],

PN_NS_1即PN=LBQ=L-23G=，81N,

--

BgBF2,2233

.?.P為靠近N的三等分點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：「AC，NG,AC1BG,

.?.4。，面84川6,.?.4。_1。5,C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：?.?臺(tái)/〃^。，且4P=BQ,二38/。是矩形,

112

?Wp-AMM=2^2^^=~39D正確.

15.解：?.?a=c(cosB+5/3cosC),sinA=sinC(cos5+6cosC)，

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

化簡(jiǎn)得cosCsinB=GsinCcosC，?.?AA3C非直角三角形，「.cosCwO,

sinB=V3sinC?即Z?=V3c，

S二]c2a2一(1+；2m=g-81，當(dāng)且僅當(dāng)/=9，即C=3

時(shí)，S有最大值.

16.解：?.?/(x)=ae*+ln———2>0,則,+/。+1。>m(X+2)+2,

x+2n

兩邊加上x(chóng)得到/+舊+無(wú)+歷a>尤+2+ln(x+2)=e,n(v+2)+ln(x+2),?/y=夕+x單

調(diào)遞增,x+lna>ln(x+2),g|JIn6/>ln(x+2)-x,

i_r_i

令g(x)=ln(x+2)—x,則g(x)=--------1=--------,.”€(-2,-1)時(shí)，g，(x)>0,

x+2x+1

g(x)單調(diào)遞增，xe(-l,+oo),g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

Ina>g(x)111ax=g(-l)=l,:.a>e.

四、解答題:

17.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,?.?4=。3-4，/=S3+4,

d=q2q=2fq=0

gZ+q+qf，解得:成「（舍去）,

d=4-1d=0

,,_|，4分

:.an=4n-3,bn=2.

(2)?.?{&}是等差數(shù)列，所以4+%+2=24+1，又由(1)知：2+2=2々用，

.c_a“b“+i_(2a“+-4+2)d+i”向

an+\an+2an+\an+2%+2%+1%+2?！?1

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案第2頁(yè)共8頁(yè)

Tb,2,,+12.54〃+5

分

?E=。1+。2+…+c“=-----------------------T>?-S7.9-9?+i8

an+2a24〃+5551,+22

貝”二=9(夕+13§)3+…+(4〃+5)(；嚴(yán)①

S；=9(^)3+13(1)4+...+(4?+5)(1)"+2②

由①一②得：

1S；=9(；/+4[(1)3+(1)4+.?-+g嚴(yán)]-(4〃+5)《產(chǎn)

1—[1-(-)"]??11

=5(-)2+4.4__2__(4n+5)(-)fl+2=-+2[l-(-r]-(4?+5)(-),,+

2,12422

1----

2

2

=?_(a+131V).

131

??5；=y-(4n+13)(-r+,...................................10分

2%

18.解：（1）因?yàn)?（幻的最小正周期為乃，——二乃，.??口=2,2分

CD

?.?/（X）的圖像是由y=及sin（Gx+1）的圖像向右平移1個(gè)單位得到,

/W=>/2sin[69（x-y）+y],即/（x）=0sin（2x-。），..........4分

jrjrK7TS77"

令21一々=&"+3/eZ,得/（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為彳=竺+匕，AwZ,…5分

32212

k冗5乃k冗5冗

要使直線(xiàn)》=——+——JeZ）與y軸距離最近，則須|——+二|最小，

212212

7171

：.k=-l,此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸方程為x=—-，即所求對(duì)稱(chēng)軸方程為x=一一.……6分

1212

（2）由已知得：/（x）=0sin[以*一。）+$,

n71

令/（x）=0得：加+工一工3=人乃,ZeZ,即_"+3'"3z,7>......8分

33元=，左wz

（0

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案第3頁(yè)共8頁(yè)

,717t

k兀+—a)---

兀/33/

2co

(k—l)兀①一巴

TT□aj[

在弓㈤上僅有一個(gè)零點(diǎn)，.?.<

???/（X）----------------------<—,kEZf?/ty>0,

CD---2

/71\兀兀

(女+\)7ld----CD-

-----------3-----3士>71

CD

-3-----1<a,)<一6k，-2c6Z—2>0

2

3%一]i

co>6k—8,,/>0,二------<6k-2,解得：一4火<2,

23

3Z+2

co<-------z,o3k+2

26女一8<-------

2

keZ,???左=1,140<一.12分

2

19.解：（1）在平面EOC內(nèi)作EFLCD于點(diǎn)/，因?yàn)槠矫鍭BCDJ?平面E0C,平面

ABCD,平面EDC=DC,所以所，平面ABCD,2分

因?yàn)镋為半圓弧C。上一點(diǎn)，所以CELED,

所以VE-ABCD=§-SABCD.EF=-x\[5x26x——??????4，分

因?yàn)镃E2+ED?=。。2=5,

圖IxCE'E"2655逃

^E-ABCD=---------X—=——

32323

Vio

當(dāng)且僅當(dāng)CE=ED=時(shí)等號(hào)成立,

所以四棱錐E-ABC。的體積的最大值為85.

6分

3

(2)由條件①得：4|DE||DC|cosNCDE=\CE||DC\cosZDCE,即4DE2=CE2,

所以2￡>E=CE,又因?yàn)椤?2+。石2=5,所以。￡=i,CE=2,

由條件②得：因?yàn)锳O〃8C,8。，平面。。￡：,所以NC8E為直線(xiàn)AD與8E所成

2CECE2

角，且sin/G3E=W=匕，匕=tanNCBE=2，

3BEBCV5

sinNEABEBV6X2+CE23

山條件③得:---------=—=—,設(shè)AD=x,則

sinZEBAEA2x2+DE2~2

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案第4頁(yè)共8頁(yè)

CE=2,且笠=tan4CBE=J=,所以AZ)=8C=6，

若選條件①②，則OE=1,

BC亞

2.「「2&

若選條件①③，則。E=l,CE=2,且=-----7=-,所以AD=8C=X=J5,

x2+DE22

22

rp7r-LCF322

若選條件②③，則±士=tanNCBE=4，且大十一巴二，DE+CE^5,

x75x2+DE22

所以4。=8。=%=逐，

即從①②③任選兩個(gè)作為條件，都可以得到AO=8C=6，……9分

下面求AD與平面EAB所成角的正弦值：

方法一：設(shè)點(diǎn)。到平面E48的距離為力，AD與平面E4B所成角為。，則由

VD-EAB=VE_DAB得:h，S^B=EF-SADAB=~j^x、x亞xE,所以/?=不,

作尸G_LAB于點(diǎn)G,連接EG,則由EF_L平面ABC。知FG是EG在平面ABC。內(nèi)

的射影，所以EG_L43,

2222

■.SSEAB=-AB-EG=-V5-y/EF+FG=^V5-J(^)+(V5)=^-,

力"辛,sin^=A2

。V29ADV29

所以AD與平面EAB所成角的余弦值為二一.12分

29

方法二：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(g,0,0),0(0,0,石)，鳳半，平,石)，

.?.荏=(1,乎,石)，AB=(75,0,0),

設(shè)平面EAB的法向量為m=(x,y,z),

,在x+還y+^z=0

則，55-，

V5x=0

令z=1則m=(0,--,1),cos<AD,m>=

2

jr

?/AD與平面EAB所成角=——<AD,m>,

2

所以AD與平面EAB所成角的余弦值為之逝.

29

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案第5頁(yè)共8頁(yè)

20.解：(1)由頻數(shù)分布表得：

_14x5+17x6+20x9+23x12+26x8+29x6+32x4””…

x-----------------------------------------------------------------=22.76?22.8，

50

所以這50個(gè)社區(qū)這一天垃圾量的平均值為22.8噸.……3分

(2)由(1)知〃=22.8,s=5.2,er-s-5.21

.?.P（X>28）=P（X>〃+cr）=_qJ=0.15865,……5分

320x0.15865=50.768?51,

所以這320個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為51.……7分

（3）由頻數(shù)分布表知：8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)有4個(gè),

r'c41C2c33

所以丫的可能取值為1,2,3,4,且P（y=l）=4T=—，p（y=2）=」^=—,

C；14C；7

C3c23C4C'1

p（y=3）=」^=—,P（y=4）==一，……10分

以714

所以丫的分布列為：

Y1234

1331

P

147714

13315

.?.E(y)=lx—+2x-+3x-+4x—==.……12分

1477142

22

21.解：（1）T+/=1與V=4x有相同的焦點(diǎn)，所以〃=1①,

2b2

又?.?拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3,，工=3②，

a

LY2V2

解①②得a=2,b=g，所以曲線(xiàn)C的方程為土+—=1.4分

43

(2)設(shè)直線(xiàn)A8:y=A(x-l),A(X|,y),B(x2,y2),

f?y2T

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程｛1+可=,消去了得：(3+4公?-8左2元+4公-12=0,

y=k(x-l)

8r4%2-12/

則h1ll％+x,=--------,x,x=---------,......6:

,~3+4女21273+4公

.%+/_4k2.])_3女

"2一3+4/223+4公’

AL2一弘3

.?./＞的坐標(biāo)為(二^,—^^)，直線(xiàn)。尸：y=---%③，7分

3+4公'3+4*-4k

直線(xiàn)AB方程y=&(%-1)中令x=0得y=-左，；.E的坐標(biāo)為(0,-6,

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案第6頁(yè)共8頁(yè)

因?yàn)橹本€(xiàn)EQ，OP,，EQ的直線(xiàn)方程為y=④，……8分

將③④聯(lián)立相乘得至IIy~——x~H—x,即(x—)-+y2=—，

48.64

八33

所以點(diǎn)。的軌跡為以(三,0)為圓心，三為半徑的圓，……10分

88

33

所以存在定點(diǎn)H(-,0),使得Q"的長(zhǎng)為定值了.……12分

88

22.解：(1)當(dāng)〃2=1時(shí)，f(x)=---；—，f(x)=---------——，................1分

xx

令/'(x)=。，得x=e"Ovxve，時(shí)，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增，時(shí),

,f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，1rax=/(/5)=].....................4分

/八、u./>/x[，曰】m(x2-1)_人/、】m(x2-1)

(2)由/(x)=m-lnx得Inx------------=0,令g(x)=lnx-------------,

X-+1x~+1

所以方程/(x)=m-lnx的實(shí)根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)g(x)在(0,+8)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

?.?86=0,.?“=1是函數(shù)8(處的一個(gè)零點(diǎn)，............5分

11皿m(x2-1)

又?；g㈠=ln--------=-lnx+=~gM,.??8(%)在(0,1)[](1,+00)上

XX1x2+1

2+1

X

的零點(diǎn)互為倒數(shù)，下面先研究g(x)在(l,+oo)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù):

4nvc(x2+1)2—4mx2

vg,U)=-(x>1),6分

X(x2+1)2x(x2+1)2

(i)若〃z<0,則%>1時(shí)，^(x)=\nx-^^———>0,??.g(X)在(1,+8)上的沒(méi)有零

x+1

點(diǎn)；7分

(x24-1)2-4nvc2(x2+2y[mx+l)(x2-2\[mx+1)

(ii)若〃2>0,貝ijg'(%)=(x>1),

x(x2+1)2x(x2+1)2

令h(x)=x2-2y[mx+l(x>1)，

①A=4〃2-4K0,即OvmKl時(shí)，h(x)>0,g\x)>0,g(①在(l,+oo)上遞增,

g(x)>g⑴=0,g(x)在>+oo)上的沒(méi)有零點(diǎn);............9分

(2)A=4m-4>0,即加>1時(shí)，〃(九)=0有兩個(gè)不等實(shí)根，且無(wú)]工2=1，

?,?大根％=詬+>1，小根

「.工￡(1,12)時(shí)，〃(x)v。，g'(x)vO,g(x)單調(diào)遞減，無(wú)￡(尤2，+°0)時(shí)，〃(x)>0,

g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，???ga)vg⑴=0,

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案第7頁(yè)共8頁(yè)

m(e2"'-1)2m

又「g(e'")-m->0,g(x)在(1,工2)上恒小于0，在(工2，+°。)上

e2'"+le2m+l

存在唯一/e(巧,e”‘)使得g(%)=0,二g(x)在(l,+oo)上僅有一個(gè)零點(diǎn)X。,11分

因?yàn)間(x)在(0,1)1(1,+0。)上的零點(diǎn)互為倒數(shù)，且g(l)=O,所以aWl時(shí)，g(x)僅有一

個(gè)零點(diǎn)；機(jī)〉1時(shí)，g(x)有三個(gè)零點(diǎn).

綜上：加<1時(shí)，方程/(x)=m-lnx僅有一個(gè)實(shí)根；

機(jī)>1時(shí)，方程/(x)=m-lnx有三個(gè)實(shí)根...........12分

參考解法二：由/(x)=m一Inx得Ex—趙￡二且=0,x=1顯然是該方程的一個(gè)根;

X+1

............5分

時(shí)，方程等價(jià)于加Dm”,令/x)=LS晏g(x>o,xHi),

X2-1X-1

42

x-l-4xInxX

貝|」/(外(4Inx—x2H――),6分

x(x2-1)2(J一1)2x

令"(x)=41nx—/+二，則千'(幻_2(七1月<0,

XXXX

.?.x>0時(shí)，0(x)單調(diào)遞減，..........7分

:.0<x<l時(shí)，0(x)>Q(l)=O,h'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減，x>l時(shí)，*(x)<°(l)=0,

h'(x)>0,力(x)單調(diào)遞增,8分

由Xf+OO時(shí)，/?(%)—>+00,

X->0時(shí)，

x->l時(shí)，h(x)->1,

可畫(huà)出力(X)的大致圖像如圖所示:

(注：此處用到了高中教材中沒(méi)有涉及到的函數(shù)極限知識(shí)，可酌情扣2—3分)

結(jié)合圖像得：相>1時(shí)，方程〃7=〃(x)有兩個(gè)實(shí)根；根〈1時(shí)，方程加=〃(x)沒(méi)有實(shí)根;

綜合得：mWl時(shí)，方程/(x)=m—lnx僅有一個(gè)實(shí)根；

機(jī)〉1時(shí)，方程/(幻=機(jī)—Inx有三個(gè)實(shí)根...........12分

T8聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案第8頁(yè)共8頁(yè)

廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)東北育才中學(xué)石家莊二中華中師大一附中

西南大學(xué)附中南京師大附中湖南師大附中福州一中

2022屆高三第二次T8聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

命題學(xué)校：華中師大一附中命題人：周龍虎沈宇為審題人：鐘濤胡立松

考試時(shí)間：2022年3月22日上午8：00—10：00試卷滿(mǎn)分150分考試用時(shí)120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)N=i+：,則z=

A.0B.2iC.-2iD.-1+i

2.設(shè)集合A={川1。&(7-1)<2},8={”]<5},則

A.A=BB.B^AC.AUJ3D.Ap|B=0

3.設(shè)S?為等差數(shù)列｛a.）的前〃項(xiàng)和，且滿(mǎn)足?VO,S3=S,.則當(dāng)S?取得最小值時(shí)，”的值為

A.3B.6C.9D.12M

4.如圖，在同一平面內(nèi)沿平行四邊形ABCD兩邊AB,AD向外分別作正方形

0A=7B

ABEF,ADMN，其中AB=2,AD=1,/BAD=4.則充?加=

4

也

A.-272B.2C.0D.-1F-------------

5.若將函數(shù)/3=2sin（2彳一5）的圖象分別向左平移當(dāng)個(gè)單位長(zhǎng)度與向右平移少（?>0）個(gè)單位長(zhǎng)度,

所得的兩個(gè)函數(shù)圖象恰好重合，則中的最小值為

A.B,手C.學(xué)D.7t

6.如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,過(guò)點(diǎn)B作截面a分別交側(cè)棱AC,AD

于E.F兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的《，則EF的最

小值為

AV273

A-TB-T

D叵

I3

7.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)

［。當(dāng)L'P?都是正整數(shù).方是既約真分?jǐn)?shù)）

用.黎曼函數(shù)定義在［0,門(mén)上，其解析式為R（z）=

0,當(dāng)1=0,1或［0,1］上的無(wú)理數(shù).

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)共4頁(yè)

若函數(shù)/（才）是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且對(duì)任意/都有/（2+.下）+/（/）=0,當(dāng)［0,11時(shí),

/（/）=RO），則/（—In2）—/^^^j=

A-1B.45c--fD--f

8.已知橢圓「1+（=1,過(guò)其左焦點(diǎn)F1作直線(xiàn)/交橢圓r于P,A兩點(diǎn)，取P點(diǎn)關(guān)于1軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B.

4o

若G點(diǎn)為△PAB的外心，則雀｝=

A.2B.3C.4