空間向量-核心考點講與練和答案解析

空間向量(核心考點講與練)

I聚焦考點

1、空間向量的概念與運算

(1)空間向量的定義和相關(guān)概念(模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、負向量

等)與平面向量情形相同.

(2)對只與一組共面向量相關(guān)的問題，有關(guān)平面向量的定義與結(jié)論均適用.特別地，平面

向量運算(加法、減法、與實數(shù)的乘法、數(shù)量積)的定義與性質(zhì)直接適用于空間向量.

2.問量共血的充要條件與空間向量基本定理

(1)向后共而的充要條件:如果「與二是兩個不平行的向后，那么空間中的向就a與

7"共面的充要條件是:存在唯一的一對實數(shù)X與〃，使得a=A

(2)空間向量基本定理:如果7號能是不共面的向過,那么對F空間中任一向量；，

存在唯一組實數(shù)4平與v,使得￡="M+v也就是說,空間任意三個不共向的向

量都組成空間向量的一個基.

3.空間向量的坐標(biāo)表示

(1)空間向后的坐標(biāo)表示:建上空間有角坐標(biāo)系,把向后a的起點放住坐標(biāo)原點,該向

量就直接用它的終點坐標(biāo)(x4,z)表示為a=(x,y,z)，這個表示的意義是:a是坐標(biāo)軸lE

方向上的單位向量i.j與E的線性組合a=xi+yj+5.

(2)給定空間的點A(xi,月，zi)與B(X2,j2,z2),WlJ.AB=(x2—X,，力一力Zi).

4.坐標(biāo)表示下的空間向址運熨

設(shè)向量I=(Xi,>i,X|),&=(x2,y2,z2),JlM

(1)a|=s/xi+ji4-zf.

(2)a±fe=(xl±x2,yi±j2,Z|±tI).

(3)Afl=(Ax),Azj),ACR.

(4)a-b=X|X2+yIy24-ZiZ2.

5.空間向試的夾角、平彳:與乖!*[

設(shè)向量1=(X1,yt,ZI),辦=(*2,九/2)均為非零向量，則

—?—?

...廣a,bxjz+yiyz+ziZz

(1)cos{a,b)=~,————?

\ab

(2)a//b<^>a=^b,AGR<=^X)=XX2,=AJ2,zt=^z2,2GR.

(3)aj_h<=>?,6=0X|X2+yiy24-ZiZ2=0.

師點睛

考點一：空間向量的概念與運算

一、填空題

1.（2019?上海市延安中學(xué)高二期中）給出以下結(jié)論：

①空間任意兩個共起點的向量是共面的；

②兩個相等向量就是相等長度的兩條有向線段表示的向量；

③空間向量的加法滿足結(jié)合律：伍+很）+E+4；

④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量.

請將正確的說法題號填在橫線上：.

2.（2021?上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）若￡、%、）是空間中的三個向量，同=1,問=2,

|c|=3,且R-4R-@=o,貝中的最小值為一.

3.（2022?上海金山?高二期末）在空間直角坐標(biāo)系。-呼z中，已知向量^=（1,0,3）,則G

在x軸上的投影向量為.

4.（2021?上海?位育中學(xué)高二階段練習(xí)）空間四邊形/8CD中，反月4粉別是"、BC、CD

、D4邊的中點，如果NC=2,BD=4,則￡G2+F//2=.

5.（2022?上海金山?高二期末）如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，初是一

條側(cè)棱，月［=1,2,…,8）是上底面上其余的八個點，則集合｛師=旃而/=1,2,3,…,8｝中的元

素個數(shù)為.

6.（2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知線段4解平面白內(nèi)，線段

ACLa,線段劭，仍線段。ZDBD'^00,如果4作a,AOBD=b,則C、"間的距離

為;

7.（2021?上海中學(xué)高二期中）己知親,最是空間單位向量，錄?瑟=g，若空間向量石滿足

=2,岳e?=5且對任忌x、yeR,屹-（%+、）閆6-（與烏+3^）1=1（%,%eR）,則

%+%+問=

二、解答題

8.（2019?上海?復(fù)旦附中高二期中）如圖，在四棱錐中尸-/8C。中，PZ_L底面”CD,

ADVDC,AB//DC,4D=DC=4P=2,48=1,點E為棱尸C的中點.

（1）證明：BE1PD；

（2）若尸為棱PC上一點，滿足2F1/C,求線段尸尸的長.

9.（2021?上海市松江二中高二期中）如圖，三棱柱/跖4瓦4中，肌八分別是4氏瓦G上的

點，且8酢=241M,C,\=2tBjN,設(shè)45=a,AC-b,44]=c.

B

(1)試用a,h,c表示向量MN;

(2)若/物￡90°,/掰4=/。4=60°,AB=AC=AA,=1,求助怕勺長.

10.（2019?上海?同濟大學(xué)第一附屬中學(xué)高二期末）在平面四邊形中，E、尸分刀、

友所成的比為，即普嘿乜則有:麗=占祝白麗

（1）拓展到空間，寫出空間四邊形類似的命題，并加以證明；

（2）在長方體ZBCZ）-44CQ中，AB=a,BC=b,AAt=c,E、F分別為力3、4。的中點,

利用上述（1）的結(jié)論求線段EF的長度；

（3）在所有棱長均為。平行六面體中，^A[AB=AA,AD=ZDAB=O（。為銳角

定值），E、尸分而、束所成的比為/I,求E尸的長度.（用“，2,。表示）

11.(2018?上海交大附中高二期末)設(shè)全體空間向量組成的集合為，，a=(%,%，%)為〉中

的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函

數(shù)”/(x):/(x)=-x+2(1-3)5(xeK).

(1)設(shè)示=(1,0,0),v=(0,0,1),若/伍)=A，求向量￡；

(2)對于/中的任意兩個向量Ry,證明：/(x)-f(y)=x-y；

(3)對于產(chǎn)中的任意單位向量求|/(元)-司的最大值.

考點二：空間向量基本定理

一、單選題

1.(2021?上海市松江二中高二期中)已知向量｛￡[,?是空間的一組基底，則下列可以構(gòu)成

基底的一組向量是()

A.Q+B,afa-bB.a+b,b,a-b

C.Q+5,C，a-bD.a+b2a—b>a-b

2.(2018?上海市張堰中學(xué)高二階段練習(xí))設(shè)O-Z3C是正三棱錐，。是“3。的重心，G是

上的一點，且OG=3GG，若詼=x^+y礪+z反，貝U(x,y,z)為()

二、填空題

3.（2021?上海市七寶中學(xué)高二期中）已知是空間三個不共面的向量，下列各組向量

中不共面的是

（X）la,mb,nc（lmn^0）；@a+2b,2b+3c,-9c+3a；@a+2b,b+2c,c+2a.

4.（2021?上海市行知中學(xué)高二期中）如圖，在平行六面體中，

|而卜|囹=1,卜4]=&,ZBAA=^DAA=^5°,ABAD=60°,則—.

5.（2019?上海市七寶中學(xué)高二期中）已知直三棱柱48（7-48￡中，乙18c=120。，

AB=2,BC=CC}=\,則異面直線/片與8a所成角的余弦值為.

6.（2021?上海市進才中學(xué)高二期中）已知空間四邊形。/8C,點KA分別為04BC的中點,

E.OA=a,OB=b,OC=c，用萬、5、5表示麗，貝1」麗=.

7.（2021?上海?位育中學(xué)高二期中）在平行六面體48C0-45CQ中，設(shè)赤=N,AD=b,

AA,=c,用萬、彼、，作為基底向量表示用=.

8.（2019?上海市七寶中學(xué)高二期末）已知平行六面體48C￡）-4'8'CD'中，X8=4,AD=3,

AA'=5,ABAD=90",ABAA'=ADAA=60',則/C'的長為

9.（2019?上海交大附中高二期中）已知4民C,P為半徑為R的球面上的四點，其中/8,/C,8c

間的球面距離分別為工火，,若岳=xS^+y而+z雙，其中。為球心，則x+y+z

322

的最大值是.

三、解答題

10.（2021?上海?華東師范大學(xué)松江實驗高級中學(xué)高二階段練習(xí)）正四面體是由四個全等

正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等.它有4個面，6條棱，4個頂點.正四面體力閱9

中，E,所別是棱4A比中點.求：

（1）4F與殿所成角的余弦值；

（2）以與底面8（力所成角的正弦值.

考點三：空間向量的坐標(biāo)表示

一、單選題?

1.（2019?上海?復(fù)旦附中高二期中）已知向量；=（1,1,0）,6=（-1,0,-2）,S.ka+b^2a-b

互相垂直，貝次的值是（）.

137

A.1B.-C.-D.—

555

2.（2022?上海?曹楊二中高二期末）已知點”（1,7,2）在平面。上，其法向量萬=（2,-1,2）,

則下列點不在平面。上的是（）

A.(2,3,3)B.(3,7,4)C.(_L_7,1)D.(—2,0,1)

3.（2021?上海市建平中學(xué)高二期末）空間有四點4B、C、D,其中荏=（2成磯2）,CD=

+且荏+而=（5,果-3）,則直線仍與G9（）

A.平行B.重合C.必定相交D.必定垂直

二、填空題

4.（2021?上海市行知中學(xué)高二期中）已知空間向量2=（-3,2,5）,B=1）,且￡與否垂

直，則x等于—.

5.（2022?上海市復(fù)興高級中學(xué)高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，己知/（T2-3）,8（2,-4,6）,

若就=2CB＞則。點坐標(biāo)為.

6.（2021?上海市松江二中高二期中）設(shè)x,yeR,向量￡=（x,l/），各"=（2,-4,2）,

且"_L"，bHc，則x+N的值為.

7.（2021?上海市行知中學(xué)高二期中）正方體4%力-月￡&2的棱長為1,點，然線段C&的中點,

點班平面上，且力尸，平面物姒，則線段4陰］長為—.

8.（2021?上海交大附中高二期中）已知空間向量￡=（2,3,4）,6=（1,0,-1）,那么￡在」上的

投影向量為.

9.（2021?上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）已知向量方=（1,6,3）,則向量。的單位向量的坐

標(biāo)為.

三、解答題

10.（2021?上海市洋涇中學(xué)高二期中）如圖，已知/8CQ-48GA是底面邊長為1的正四棱

柱，。|為4cl與的交點.

（1）設(shè)”與與底面48cA所成角的大小為a,異面直線工。與4G所成角的大小為求證:

tan2p=2tan2a+1；

⑵若點倒平面48a的距離為:，求正四棱柱/88-48CQ的高；

（3）在（2）的條件下，若平面88CC內(nèi)存在點片商足母I」線段比的距離與到線段C2的距離相

等，求的的最小值.

11.（2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二階段練習(xí)）長方體中,

AB=BC=a,BB'=b,E,尸分別為棱上的動點，且/E="=x(OWxWa),

第⑴詞圉帚(2)問圉

(1)當(dāng)a=6時，求證：直線0'8_L平面B〃C；

(2)當(dāng)a=b=2,且ABEF的面積取得是大值時，求點鹿I」平面*E尸的距離;

(3)當(dāng)a=2,6=1時，求從E點經(jīng)此長方體表面到達0'點最短距離.

12.（2021?上海?格致中學(xué)高二期中）如圖，力閱9與/陽是兩個邊長為1的正方形，它們所

在的平面互相垂直.

（1）求異面直線46與切所成角的大?。?/p>

（2）在線段劭上取點也在線段4吐取點兒且器=》，*y,試用x,冰表示線段MN的長

BDEA

度；

⑶在（2）的條件下，求助悵度的最小值，并判斷當(dāng)腑最短時，加是否是異面直線4?與切的

公垂線段？

能力提升

一、單選題

1.（2021?上海?華師大二附中高二期中）設(shè)4，4,…，4必是空間中給定的2021個不同

的點，則使麗+直+…+祝篇;=6成立的點〃的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2020D.2021

2.（2020?上海?高二課時練習(xí)）已知向量21,月.而=Z+24瑟=-5）+6及麗=72-九,

則一定共線的三點是（)

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

3.（2021?上海?曹楊二中高二階段練習(xí)）已知非零向量1=（X1,%,ZJ,B=（X2，%,Z2）,則

“五=工=五”是“

allbn的<)

xz

zy22

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.非必要非充分條件

4.（2021?上海?高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體48cA-45CQ中，，媯4G與8a的

交點，若在=&,AD=b,AA.=c,則下列向量中與兩相等的向量是（).

A.—ciH-btcB.-a+-b+c

2222

c1-17-

C.——a——b+cD.—a——b-^c

2222

二、填空題

5.（2021?上海市進才中學(xué)高二期中）已知而而=（3,0,2）,萬=（x,0,4）,若所〃萬，則

6.（2021?上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué)高二階段練習(xí)）在三棱柱/8C-48G中，,福8片中

點，若麗=/iB+〃口+。西，貝1]2+〃+。=.

7.（2020?上海市七寶中學(xué)高二期末）在正方體中，給出下面四個命題：

/________\2_____uuu______

①（4/+4。+44）=3（力/）2；②/。與48夾角為120。；（3）A,C-C,￡）=0；④正方體的體積

是I荏?就?云;|,則正確的命題是

8.（2021?上海?復(fù)旦附中高二期中）若方=（1,2,2）,就=（0,1,0）,則平行四邊形/頗的面

積為.

9.（2021?上海?曹楊二中高二期末）設(shè)空間向量3=（-1,2,加），5=（2,凡-4），若族，則口-閘=

10.（2022?上海金山?高二期末）已知向量。=（2,1,3）,向量g=（4,/n,6）,若,//很，則實

數(shù)〃?的值為.

11.（2021?上海?高二專題練習(xí)）設(shè)向量力=（a,6,0）,D=（c/,1）.其中.2+62=02+/=i.

則力與方夾角的最大值為________.

三、解答題

12.（2016?上海市七寶中學(xué)高二期末）已知平行六面體AD^AAX=AB=\,

N4/B=ND4B=ND4A=60。,而=3南，D^B=4MB,設(shè)而=d,AD=b,麴=5；

（1）試用萬、B、^表示麗；

（2）求MN的長度；

13.（2016?上海市青浦高級中學(xué)高二期中）e?e2是兩個不共線的向量，若

AB=^+k^,CB=7}+3^,CD=2^-^,若4B,。三點共線，求力的值.

14.（2021?上海?高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱43C-43c中，AB=2,44=3,

為側(cè)棱CG上一點.

（1）求證：側(cè)棱CG上不存在點P使與尸1平面4844；

（2）CC；上是否存在點尸使得5/，48?若存在，確定PC的長；若不存在，說明理由.

15.（2020?上海?復(fù)旦附中高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系XOY中，已知點

A(2,0),5(10,0),C(ll,3),D(10,6)

(1)證明：存在點P使得P4=PB=PC=PD,并求尸的坐標(biāo)；

(2)過點C的直線/將四邊形/BCD分成周長相等的兩部分，求該直線/的方程.

16.(2021?上海市進才中學(xué)高二期中)如圖所示，球儂球心雁空間直角坐標(biāo)系。-邙的

原點，半徑為1,且球。亍別與x、y、z軸的正半軸交于力、反。三點，已知球面上一點。

(1)求證：CDA.OA；

(2)求〃、。兩點在球。上的球面距離.

17.(2018?上海青浦?高二期末)已知四邊形X8CD是矩形，平面

PA=AB=1,AD=C，鹵、M、N在線段PB、OC上(不為端點)，且滿足麗=2而，麗=2覺，

其中%>0.

（1）若4=1,求直線腦V與平面N88所成的角的大小；

（2）是否存在2,使MN是PB,OC的公垂線，即MN同時垂直P8,DC?說明理由.

空間向量(核心考點講與練)

L聚焦考點

1、空間向量的概念與運算

(1)空間向量的定義和相關(guān)概念(模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、負向量

等)與平面向量情形相同.

(2)對只與一組共面向量相關(guān)的問題，有關(guān)平面向量的定義與結(jié)論均適用.特別地，平面

向量運算(加法、減法、與實數(shù)的乘法、數(shù)量積)的定義與性質(zhì)直接適用于空間向量.

2.向量共血的充要條件與空間向量基本定理

(1)向俄共面的充要條件:如果「與二是兩個不平行的向狀，那么空間中的向后a與

「芝共面的充要條件是:存在唯一的一對實數(shù)入與〃，使得￡=43+

(2)空間向迨基本定理:如果。；、二與3是不共面的向過,那么對F空間中任?向試鼠

存在唯一組實數(shù)"〃與八使得￡=4e；+v3；.也就是說，空間任意三個不共面的向

址都組成空間向過的一個基.

3.空間向黃的坐標(biāo)表示

(1)空間向量的坐標(biāo)表示:建立空間I1角坐標(biāo)系,把向量a的起點放在坐標(biāo)原點，該向

憂就直接用它的終點坐標(biāo)(x4,z)表示為：=(*.y,z),這個表示的意義是:總是坐標(biāo)軸正

方向I:的堆例句后；J與定的線性組合￡=±+yj+M.

(2)給定空間兩點A(xi，W，Zi)與/J(x2,j2,z2),!llljAB=(x2—Xi,y2—yi,z2—h).

4.坐標(biāo)表示卜的空間向城運算

設(shè)向量a=(X|,yi,Zi)工=(*2,力/2),則

(1)aI=，x；+yi+W.

(2)a±/>=(X|±x2,yi±j2.Zi±Zi).

(3)Aj=(Axi,AZ(),AGR.

(4)a?fe=xix24-yij24-ziz2.

5.空間向試的夾角、平彳:與乖!*[

設(shè)向量1=(X1辦=(*2,力,")均為非零向量，則

—?—?

...廣a,bxjz+yiyz+ziZz

(1)cos{a,b)=~,————?

\ab

(2)a//b<^>a=^b,AGR<=^X)=XX2,=AJ2,zt=^z2,2GR.

(3)aj_h<=>?,6=0X|X2+yiy24-ZiZ2=0.

名師點晴

考點一：空間向量的概念與運算

一、填空題

1.（2019?上海市延安中學(xué)高二期中）給出以下結(jié)論：

①空間任意兩個共起點的向量是共面的；

②兩個相等向量就是相等長度的兩條有向線段表示的向量；

③空間向量的加法滿足結(jié)合律：伍+很）+E+4；

④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量.

請將正確的說法題號填在橫線上：.

【答案】①③④

【分析】

根據(jù)起點和終點3點共面，可知①正確；由相等向量定義可知②錯誤；根據(jù)向量加法運算律和

線性運算法則可知③④正確.

【詳解】

①中，兩個向量共起點，與兩向量終點共有3個點，則3點共面，可知兩向量共面，①正確；

②中，兩個相等向量需大小相等，方向相同，②錯誤；

③中，空間向量加法滿足結(jié)合律，③正確；

④中，由向量加法的三角形法則可知④正確.

故答案為：①③④

【點睛】

本題考查向量部分相關(guān)命題的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的運算律和二角形法

則的運用等知識，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2021?上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）若￡、%、）是空間中的三個向量，同=1,忖=2,

=3,且（2-4（12）=0,則%-4的最小值為.

【答案】2百-1

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得。點的軌跡，結(jié)合圓的知識求得8c的最小值.

【詳解】

設(shè)"=5，h=OB，c=OC>：,AB1AC,求3C的最值，。、A、3、C在同一平面時，BC

有最值，

如圖建系，不妨設(shè)“Q,0）,8（，”,〃），C（p,q）,8c中點。（x,y）,

12

可知源+”2=4,p+q=9,x=O.5（m+p）,y=O.5（n+q）

，由4B_L4C可知（加-1）5—1）+”=0,

消參可得f+y2—x=2.75,即。點軌跡為一+/一%=2.75,

。點的軌跡是(；,0)為圓心，半徑為6的圓.

所以MoL=6-；，即忸CL=2萬-1?

故答案為：2道-1

3.(2022?上海金山?高二期末)在空間直角坐標(biāo)系。-工嚴中，已知向量2=(1,0,3),則不

在x軸上的投影向量為.

【答案】0,0,0)

【分析】

根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.

【詳解】

因為向量征=(1,0,3),所以3在x軸上的投影向量為(1,0,0).

故答案為：(1,0,0)

4.(2021?上海?位育中學(xué)高二階段練習(xí))空間四邊形/8C。中，及尺G、粉別是、BC、CD

、D4邊的中點，如果4c=2,80=4,則EG2+F//2=.

【答案】10

【分析】

首先構(gòu)造平行四邊形，然后利用向量法計算出EG?+"2.

【詳解】

畫出圖象如下圖所示，EH//BD//FG,EH=FG=3BD=2,

EFUAC//GH,EF=GH=-AC=\,

2

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

EG=EF+EH-FH=FE+FG>

22

EG=(EF+EH^,FH=(FE+FG^,

的2=1+4+2麗?麗，麗?=1+4+2而尻，

兩式相加得就?+而°=10+2萬?麗+2匠?濟，

EG2+FH2=10+2EF-EH-2EFFG=10-

所以EG2+F//2=10.

故答案為：10

5.（2022?上海金山?高二期末）如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，4?是一

條側(cè)棱，耳［=1,2,…,8）是上底面上其余的八個點，則集合卜卜=方.羽,，=1,2,3,…,8｝中的元

素個數(shù)為.

【答案】1

【分析】

根據(jù)空間平面向量的運算性質(zhì)，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行

求解即可.

【詳解】

由圖像可知,APt=AB+BP,,

貝Ij）夙麗=刀.（15+而）=1于+而.瓦

因為棱長為1,四”地，所以荏.函=0,

所以方?麗=萬+萬?麗=1+0=1,

故集合｛乂了=而?通,，=1，2,3,…,8｝中的元素個數(shù)為1.

故答案為：1

6.(2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二階段練習(xí))如圖，已知線段4解平面a內(nèi)，線段

ACla,線段協(xié)，四，線段。ZTJ_a,/。8)=30°,如果4?=a,A(=BD=b,則G加0的距離

為;

［答案］yja2+h2

【分析】

根據(jù)圖像將而用而，刀,而表示出來，然后求模即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：線段43在平面a內(nèi)，線段ZC_La,線段8。J.48,線段DO_La,ZDBD'=30°,如果48=a,

AC=BD=b,

由題意可知：W=CA+AB+BD^

因為力CJ_a,DD'±a,運算/C/力。，

又NDBD'=30°,所以異面直線ZC,8。所成的角為60。，

CD=(CA+7B+而了=CA+HC+~BD+ICA^AB+2CA^BD+2而.而

=b2+a2+b2+?b2cosl2(F

=a2+b2.

所以C、。間的距離為：g7兩.

故答案為：

7.(2021?上海中學(xué)高二期中)已知短晟是空間單位向量，「?瑟=；,若空間向量否滿足

b-ex=2,b-e2=|且對任意x、yeR,\h-｛xex+ye^^b+y0e2)\=l(x0,y0eR),則

%+為+忖=

【答案】3+272##272+3

【分析】

根據(jù)最值的定義，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】

由15-（xq+j"）以8-（X。q+%e?）|=1（X。,%wR）可知：

當(dāng)x=x（）,y=%時，|彼-（溫+y［）|有最小值1,

—*產(chǎn)—z—一——)—z2——z——

+y=b-2xb-Cj-2yb?+x4-ye2+2xy^-e.

因為［g是空間單位向量，空間向量［滿足西=2,B.1g,

222十:(y-2)~-7+[2,

所以B+(xe[+ye2)|=l)-4x-5y+x+y+xy=

顯然當(dāng)J2~時，歸+函+調(diào)/有最小值，最小值為1,所以1=-7+戶,

y-2=0

解得；\y=2,即當(dāng)必=2時成立，因此與+為+W=3+2后，

b2=8忖=2應(yīng)

故答案為：3+2近

【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)最值的定義利用配方法是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

8.（2019?上海?復(fù)旦附中高二期中）如圖，在四棱錐中尸中，PAABCD,

AD1DC,AB||DC,AD=DC=AP=2,/3=1,點E為棱PC的中點.

（1）證明：BELPD-,

（2）若尸為棱PC上一點，滿足8/14C,求線段P尸的長.

【答案】（1）略；（2）正

【分析】

（1）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出南和坊的坐標(biāo)，數(shù)量積為0即可證明兩向

量垂直；

（2）設(shè)F點的坐標(biāo)，由M_L4C計算出F點的位置，再根據(jù)向量計算出方的長。

【詳解】

（1）???4J"底面ABCD,AD1AB,

...以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意8(1,0,0),P(0,0⑵,C(2,2,0),￡(1,1,1),0(0,2,0),

礪=(0,1,1),而=(0,2,—2)，

:.BEPD=0,

BEYPD.

(2)SC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),

AC=(2,2,0)，

由點F在棱PC上，設(shè)方=2方=(-24,-22,2/1),0W2這1,

:.~BF=BC+CF=(1-22,2-22,22),

BF1AC,.?.而?瑟=2(1-2⑷+2(2-22)=0,解得2=^,

???網(wǎng)=（T困十立足等

即線段尸尸的長為且。

2

【點睛】

本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，向量垂直的性質(zhì)和模長公式是解題的關(guān)鍵，注意

計算的準(zhǔn)確，屬于中等題。

9.（2021?上海市松江二中高二期中）如圖，三棱柱4跖48。中，MA分別是48,2&上的

點，且笈/C/A*,=2〃/A1.設(shè)AB=ci,AC-b=c.

4

B

(1)試用〃，b,c表不向量MN;

(2)若N為C=90°,N為4=/。力尸60°,AB=AC=AA1=\,求拗的長.

【答案】(1)麗=；￡+；5+；陽(2)冬

【分析】

(1)利用空間向量的線性運算即可求解.

(2)根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.

【詳解】

解：⑴而=麗+而+甲

1—,一,2—

=-BA.+AC+-CB

I1____2

——~+AC+-(AB~AC)

_1--?1~7~7?]—?

=]48+§例+§IC,

又AB=a，AC~b?44=c,：?MN=ga+gA+；c-

(2)AB=AC=AAJ=\.＞，I￡I=b=l"l=l.

VZBAC=90°,???7B=0.?：N8M=NG4A尸60°,

?'?a?c=B?c=；，

/.MN=1Ca+b+c)2

=g(7+K+7+2°.5+2a.e+2"c)=[，

??.MN=g

3

10.(2019?上海?同濟大學(xué)第一附屬中學(xué)高二期末)在平面四邊形N8CZ)中，E、尸分在、

反所成的比為2,即喘=柒=無，則有：EF=-^-Ab+^-BC.

EBFC1+A1+X-

B

（1）拓展到空間，寫出空間四邊形類似的命題，并加以證明；

（2）在長方體/8CO-44GA中，AB=a,BC=b,AAt=c,E、尸分別為IB、4c的中點,

利用上述（1）的結(jié)論求線段E尸的長度；

（3）在所有棱長均為。平行六面體Z8CD-44aA中，NAAB=NA4D=NDAB=9（。為銳角

定值），E、F分印、束所成的比為2,求EF的長度.（用a,2,8表示）

【答案】（1）命題同題干，證明見解析：（2）W+'；（3）2+萬+24c°sZ

21+2

【分析】

（1）由條件可得E尸=丁\4。+二8。，利用向量的線性運算證明即可；

（2）由（1）的結(jié)論可得而=；無+《春，兩邊同時平方計算可得結(jié)果；

（3）由（1）的結(jié)論可得而前+工前，兩邊同時平方計算可得結(jié)果.

【詳解】

J/70/7

（1）在空間四邊形/8CQ中，E、尸分方、沅所成的比為4,即強===3則有：

EBFC

—1—/?―?

EF=——AD+——BC.

1+?11+4

證明：EF=EB+BF=+BC+CF=—（^D+DB>SC+-^-€D

（2）由（1）的結(jié)論可得而=」一瓦+」一舉=1在+工基,

1+11+122

+2CB-4A+4AB+(?),

■■\EF\=

(3)如圖:

?：D.CJIAB,BCI!AD

.?.方心與灰所成的角為。,

l+24cos0+儲

(1+獷’

r|_aJl+把+22cos。

【點睛】

本題考查空間向量的線性運算，數(shù)量積的運算及模的運算，考查學(xué)生計算能力，是中檔題.

11.(2018?上海交大附中高二期末)設(shè)全體空間向量組成的集合為0=(%,%,%)為V中

的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函

數(shù)”/(x):/(x)=-x+2(x.a)a(xGK).

(1)設(shè)”(1,0,0),v=(0,0,1),若/㈤=巧,求向量￡；

(2)對于/中的任意兩個向量4y,證明:/(即?/??)=中的

(3)對于憶中的任意單位向量3求|/(5)-目的最大值.

【答案】(1)萬=(￥，°，￥)或&=(2)見解析；⑶最大值為2.

【詳解】

2X2-1=0

分析：(1)/(w)=-M+2(u-a)a=v,設(shè)。=(x,y,z),代入運算得：，2xy=0,從而可得結(jié)

2xz=1

果；(2)設(shè)元=(a,8c),y=(〃?,〃/),]=(《,%,生),則利用“向量函數(shù)”的解析式化簡

/(X)?/(5>),從而可得結(jié)果;(3)設(shè)1與二的夾角為a,則兄3=|卦|司cosa=cosa,則

|/(x)-x|=|2x-2(x-a)a|=^(2^-2€08??)"=，4-4cos%42,即最大值為2.

詳解：(1)依題意得：/值)=-1+2值費”=9，設(shè)2=(x,y,z),代入運算得：

2；一[°=一應(yīng)]L

<2xy=0=>?=~或々=——,0,一~—:

2xz=1'J，J

(2)設(shè)其=(a,6,c),y=(m,n,t),a=(at,a2,a3),貝lj

f⑴?/(》)=[-天+2(無⑺4[-3+2(歹.萬間

=x-y-4(j>.a)(x-o)+4(ya)(x-5)(a)2=xy-4(j-a)(x-a)+4(y-a)(jv-a)=x-J5

從而得證；

(3)設(shè)元與a的夾角為a,則=|卦同cosa=cosa,

則|/⑴—1=國_2(區(qū).口詞=J(25-2cosal)=〃-4cos2a42,故最大值為2.

點睛：新定義問題一般先考察對定義的理解，這時只需一一驗證定義中各個條件即可.二是考

查滿足新定義的函數(shù)的簡單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，這

也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時需結(jié)合新函數(shù)的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).三是考查綜

合分析能力，主要將新性質(zhì)有機應(yīng)用在“舊”性質(zhì)，創(chuàng)造性證明更新的性質(zhì).

考點二：空間向量基本定理

一、單選題

1.(2021?上海市松江二中高二期中)已知向量舊石,4是空間的一組基底，則下列可以構(gòu)成

基底的一組向量是()

A.a+bfa，a-bB.a+b，b，a-b

C.a+b，c?a-bD.a+b，2a-bfa-b

【答案】C

【解析】

空間的一組基底，必須是不共面的三個向量，利用向量共面的充要條件可證明A、B、。二

個選項中的向量均為共面向量，利用反證法可證明C中的向量不共面

【詳解】

解：,.,(a+B)+(a-?=2a,，°,a+h?Z-5共面，不能構(gòu)成基底，排除A；

5，a+b>a-5共面,不能構(gòu)成基底,排除B：

;2a-5=1'(a-5)+g(a+5),°+石，a-b,2a-5共面,不能構(gòu)成基底，『:除O;

若工、a+b>￡-5共面,則"=4(,+。)+碓-1=(：+而+(”的及則￡、b'"為共面向量,

此與舊區(qū)訂為空間的一組基底矛盾，故>a+b，￡5可構(gòu)成空間向量的一組基底.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了空間向量基本定理，向量共面的充要條件等基礎(chǔ)知識，判斷向量是否共面是

解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

2.(2018?上海市張堰中學(xué)高二階段練習(xí))設(shè)。-Z8C是正三棱錐，回是A/3C的重心，G是

?；厣系囊稽c，且。G=3GG-若礪=xE+j，分+z1，則(x,y,z)為()

【分析】

如圖所示,連接4G,交優(yōu)于點機則就為6c中點,利用空間向量的運算法則求得

OG=、OG1=-OA+-OB+-OC,即得(x,y,z).

【詳解】

如圖所示,連接延交應(yīng)于點弘則，媯式中點,

=-（AB+~AC）=-（OB-2OA+OC]

因為0G=3GG|

所以萌二3函=3（西-南）,

一3——

OG=：OG-

則而=:西='（方+相）=（阿+；麗一|次+g無卜;方+；麗+；玩，

?_1_1_1

??，，：

x=4iy~~4iz=4,

故選：A.

二、填空題

3.（2021?上海市七寶中學(xué)高二期中）已知是空間三個不共面的向量，下列各組向量

中不共面的是

①片0）；@a+2b,U+3c,-9c+3a；@a+2b,b+2c,c+2a.

【答案】.①③

【分析】利用空間共面向量定理判斷即可

【詳解】解：對于①，因為是空間三個不共面的向量，且加〃#o,所以不刈及應(yīng)不共面,

所以①符合題意；

對于②,因為-9"+3々=3癡+2分-（21+3工）］,所以￡+2乙25+3",-9"+3￡是共面向量，所以②

不符合題意；、

對于③，若a+2B,B+2c,c+2a是共面向量，則存在實數(shù)人〃，使c+2a=4（a+2族）+〃@+2c）,

即（1-2〃）,=（4-2）竊+（22+〃）3,因為是空間三個不共面的向量，所以

1-2必=2-2=24+〃=0,矛盾，所以G+2Z,Z+2"I+2Z不共面，所以③符合題，

故答案為：①③

4.（2021?上海市行知中學(xué)高二期中）如圖，在平行六面體/SCO-/"。'。’中，

|ZB|=|ZD|=1,|Z7|=V2,ZBAA'=^DAA=45°,ZBAD=60°,則|石卜—.

【答案】3

【分析】利用平方的方法求得口萬|.

【詳解】

AC=AB+AD+AA，

石2=（次+7D+砌2

=AB2+AD'+AA2+2（萬/萬+N豆-Z7+而?/）

=l+l+2+2flxlxl+lxV2x—+lxV2x

=9,

22

所以碼=3

故答案為：3

5.（2019?上海市七寶中學(xué)高二期中）已知直三棱柱/8C-44G中，48c=120。，

4B=2,8C=CC]=1,則異面直線44與BG所成角的余弦值為

【答案】亞

5

【分析】

補全圖形，將直三棱柱"BC-4BG補成直四棱柱/18CO-44GA,則根據(jù)直線的平行關(guān)系可

知NB皿為異面直線陰與圖所成的角.在3G4中由余弦定理先求得B。,再在A48Q中應(yīng)

用余弦定理求得cos/8/2即可.

【詳解】

如圖所示，將直三棱柱”c-48G補成直四棱柱"8-4404,

連接叫田人則明||8G,所以/用明或其補角為異面直線典與父所成的角.

因為乙48c=120。"=2,8。=CC[=1,

所以44=右，AD1=g.

在A514G中,41cq=60。,51Gl=i,qq=2

所以BQ=+/)|C,2-2x^0(xDjCjxcos60

=+22-2x1x2xcos600=6

所以cosNB皿=穌應(yīng)必互=**=回

2xAB]XAD[2x>/5xV25

故答案為：叵

5

【點睛】

本題考查了異面直角夾角的求法，將三棱柱補成四棱柱是常用方法，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2021?上海市進才中學(xué)高二期中)己知空間四邊形O/8C,點收粉別為048c的中點,

^.OA=a^OB=b,OC=c，用萬、B、5表示柄，則礪=.

【答案】+d-可

【分析】

根據(jù)幾何圖形，利用向量加，減法的幾何意義表示.

【詳解】

MN=ON-OM=^(OB+OC^-^OA

=1(ft+c-a)

o

故答案為：—（^+c-5）

7.（2021?上海?位育中學(xué)高二期中）在平行六面體/8C。-44cH中，設(shè)而=a,AD=b,

AA1=c,用5、B、5作為基底向量表示取=.

【答案】a-b-c

【分析】

根據(jù)空間圖形，根據(jù)向量加，減法的規(guī)則計算結(jié)果.

【詳解】

有圖形可知印=方-福=在-（而+珂=方-石-福

=a-h-c-

故答案為：a-b-c

8.（2019?上海市七寶中學(xué)高二期末）已知平行六面體中，4B=4,AD=3,

AA'=5,ZBAD=90°,ZBAA'=ZDAA'=60",則4C的長為.

【答案】屈

【分析】

可得而=就+反=而+