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文檔簡介
4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中外歷史上的方程求解在人類用智慧架設(shè)的無數(shù)座從未知通向已知的金橋中,方程的求解是其中璀璨的一座。雖然今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法,但這一切卻經(jīng)歷了相當(dāng)漫長的歲月.約公元50~100年編成的《九章算術(shù)》給出了一次方程、二次方程和正系數(shù)三次方程的求解方法.情境引入中外歷史上的方程求解13世紀(jì),南宋數(shù)學(xué)家秦九韶給出了求任意次代數(shù)方程的正根的解法。
11世紀(jì),北宋數(shù)學(xué)家賈憲給出了三次及三次以上的方程的解法.
情境引入中外歷史上的方程求解
國外數(shù)學(xué)家對方程求解亦有很多研究。9世紀(jì)以后,先后發(fā)現(xiàn)了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。由于實(shí)際問題的需要,我們經(jīng)常需要尋求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。情境引入2023/7/4我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識一元二次方程,知道一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn).例如,方程x2-5x+6=0的根為x1=2,x2=3,則二次函數(shù)f(x)=x2-5x+6的零點(diǎn)就是2和3.y63x02在圖像上顯示為情境引入4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件畫出下列函數(shù)的圖象(1)f(x)=x-1f(x)=x2-2x+1(2)f(x)=
f(x)=(3)f(x)=2x-1
f(x)=log2x思考:當(dāng)函數(shù)和x軸有交點(diǎn)時(shí),其交點(diǎn)橫坐標(biāo)與方程f(x)=0的解有什么關(guān)系?再任意畫幾個(gè)函數(shù)的圖象,觀察其圖象,看看其交點(diǎn)橫坐標(biāo)與
f(x)=0的解有什么關(guān)系?情境引入4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件2023/7/4函數(shù)的零點(diǎn)定義:函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)等價(jià)關(guān)系
對于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎?
答:不是。函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。零點(diǎn)的求法代數(shù)法圖象法探索新知4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件2023/7/4?問題1像lnx+2x-6=0這樣不能用公式求解的方程,是否也能采用類似的方法,用相應(yīng)的函數(shù)研究它的解的情況呢?由剛才的等價(jià)關(guān)系我們知道,求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解,就是確定函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),一般地,對于不能用公式求解的方程f(x)=0,我們可以把它與相應(yīng)的函數(shù)y=f(x)聯(lián)系起來,利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點(diǎn),從而得到方程的解。探索新知4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件
對于二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3,觀察它的圖象(圖4.5-1),發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2,4]上有零點(diǎn)。這時(shí),函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系?在區(qū)間[-2,0]上是否也有這種關(guān)系?你認(rèn)為應(yīng)如何利用函數(shù)f(x)的取值規(guī)律來刻畫這種關(guān)系?再任意畫幾個(gè)函數(shù)的圖象,觀察函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間,以及這一區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象與x軸的關(guān)系,并探究用f(x)的取值刻畫這種關(guān)系的方法.圖4.5-1211-22-134-1-2-3-40yx探索新知4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件可以發(fā)現(xiàn),在零點(diǎn)附近,函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的,并且“穿過”x軸。函數(shù)在端點(diǎn)x=2和x=4的取值異號,即f(2)f(4)<0,函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間(2,4)內(nèi)有零點(diǎn)x=3,它是方程x2-2x-3=0的一個(gè)根。同樣地,f(-2)f(0)<0,函數(shù)f(x)=x2-2x-3在(-2,0)內(nèi)有零點(diǎn)x=-1,它是方程x2-2x-3=0的另一個(gè)根。211-22-134-1-2-3-40yx探索新知4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件2023/7/4觀察函數(shù)的圖象①在區(qū)間(a,b)上____(有/無)零點(diǎn);f(a)f(b)_____0(<或>).②在區(qū)間(b,c)上______(有/無)零點(diǎn);f(b)f(c)_____
0(<或>).③在區(qū)間(c,d)上______(有/無)零點(diǎn);f(c)f(d)_____
0(<或>).bac0yxd有<有<有<探索新知4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在
c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解。函數(shù)零點(diǎn)存在定理探索新知4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件思考1:如果函數(shù)
y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是否一定有零點(diǎn)?0yx思考2:如果函數(shù)
y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的一條曲線,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是否一定有零點(diǎn)?0yx這說明什么?“在給定區(qū)間[a,b]上連續(xù)”和“f(a)f(b)<0”這兩個(gè)條件缺一不可探索新知4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件思考3:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是一條連續(xù)不斷的曲線,且在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),是否一定有f(a)f(b)<0?xy0這說明什么?“在給定區(qū)間[a,b]上連續(xù)”和“f(a)f(b)<0”這兩個(gè)條件是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件。
探索新知4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件問題4如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),但是否只有一個(gè)零點(diǎn)呢?0yx這又說明什么?函數(shù)零點(diǎn)存在定理可以證明函數(shù)有零點(diǎn),但不能判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。探索新知4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件2023/7/4例1:求函數(shù)f(x)=lg(x-1)的零點(diǎn)求函數(shù)零點(diǎn)的步驟:
(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0;
(3)寫出零點(diǎn)
例題講解2023/7/4由表4.5-1和圖4.5-2可知f(2)<0,f(3)>0,即f(2)f(3)<0,由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知,這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。解:用計(jì)算工具作出x、f(x)的對應(yīng)值表(表4.5-1)和圖象(圖4.5-2)例2已知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6,能判斷出函數(shù)零點(diǎn)大致在那個(gè)區(qū)間上嗎?.........x0-2-4-6105y241086121487643219例題講解
∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函數(shù),∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函數(shù),又∵f(2)=ln2+2×2-6<0f(3)=ln3+2×3-6>0
∴函數(shù)在定義域(0,+∞)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。
例題講解請同學(xué)們練習(xí)課本P1441題思考:如何判斷函數(shù)在某一特定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)?
如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上,圖象是連續(xù)的,并且在閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值互異,即f(a)f(b)﹤0,且是單調(diào)函數(shù),那么,這個(gè)函數(shù)在(a,b)內(nèi)必有惟一的一個(gè)零點(diǎn)。函數(shù)零點(diǎn)存在定理的推論:鞏固練習(xí)2023/7/4練習(xí):(B)
A鞏固練習(xí)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解2、判斷在某個(gè)區(qū)間是否存在零點(diǎn)的方法如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在
c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解。函數(shù)零點(diǎn)存在定理本節(jié)課同學(xué)們有什么收獲和體會?課堂小結(jié)課后作業(yè)作業(yè)本A1、
課本P155第2,3題2、金版P100-P1011.歷史上無數(shù)英雄隨著時(shí)光流逝而一去不返,可是他們卻給后人留下了耐人尋味的故事,讓后人代代咀嚼和品味,一個(gè)個(gè)故事凝成了厚重雋永的華夏文化,哺育著后人。2.項(xiàng)羽不屑小計(jì)謀是真誠的,他夢想用他所崇尚的武力去解決一切問題,最終,項(xiàng)羽用性格的筆為世人書寫下了只屬于他的人生篇章,算是一種對自己的薄奠。3.愛心公益提高自己的道德品位。一個(gè)人是否受人擁戴,不在于地位的高低,金錢的多寡,而在于是否有一顆仁愛之心。4.互聯(lián)網(wǎng)可以讓全世界同處一個(gè)地球村,拉近
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