橢圓運(yùn)動(dòng)與統(tǒng)一萬有引力是基于理想化條件下圓建立這就決定

(中國(guó)水利水電第 遼 丹 【摘要】在經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出了橢圓軌道運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的關(guān)系式，解決了在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)對(duì)橢圓運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的求值，擺脫了長(zhǎng)期以來對(duì)瞬時(shí)速度求值依賴微積分的算法，并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出了一系列滿足角動(dòng)量守恒的物理關(guān)系式。建立了橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模式。確定了橢圓軌道運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)之間的物理關(guān)系及變換方法，從根本上把橢圓運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一起來。糾正了長(zhǎng)期以來橢圓運(yùn)動(dòng)與圓運(yùn)動(dòng)，不分彼此共用萬有引力“以圓代橢”不清的現(xiàn)象。從而規(guī)范了不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的天體運(yùn)動(dòng)理論。【】瞬時(shí)速度；橢圓軌道；萬有引力；；加速度；角動(dòng)0引言的萬有引力是基于理想化條件下的圓運(yùn)動(dòng)建立的，了 的萬有引力只適用于圓周運(yùn)動(dòng)而不適用于橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。 因此，以 萬有引力來處理行星的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，總是難免出現(xiàn)一定程度的偏差，特別是當(dāng)軌道偏心率很大時(shí)產(chǎn)生的偏差更是令人無法接受。而這種偏差完全是由于“以圓代橢”的理論缺陷導(dǎo)致的。這些偏差主要表現(xiàn)為，速度的偏差、角動(dòng)量的偏差、引力的偏差及向心加速度的偏差等等。橢圓軌道運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)有著非常顯著的區(qū)別，首先是速度的性質(zhì)不同，圓周運(yùn)動(dòng)速度是勻速度；而橢圓運(yùn)動(dòng)的速度是變速度。其次，圓周半徑是不變的；而橢圓軌道沒有一個(gè)固定不變的軌道矢徑。這也就決定了兩者的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的不同。因此在天體力學(xué)的理論與實(shí)踐中是不能相互替代的，否則在客觀實(shí)踐中將是再所難免。鑒于力學(xué)體系在天體物理應(yīng)用中實(shí)際存在的，有必要

根據(jù)面積速度面積速度mu1r2w1 令：h為2倍的面積速度，h2mu （1根 勒第二定律，行星在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積是常數(shù) 2但在周期T內(nèi)，行星掃過的面積等于橢圓面積abπ，1hT2因而Th即T2由解析幾何可知b2ad，（d是橢圓的半焦弦），圓運(yùn)動(dòng)理論力學(xué)的基礎(chǔ)上補(bǔ)充橢圓運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)部分，以完善經(jīng)典力學(xué)體系。

4π2a3 因?yàn)橛惺剑?2）hru，代入（13）

（1橢圓軌道運(yùn)動(dòng)速度與圓周運(yùn)動(dòng)速

d行星在環(huán)繞橢圓軌道的運(yùn)動(dòng)中，其速度每時(shí)每刻都處在變化中對(duì)行星某時(shí)處于某位置上的速度求值，一直以來所采用的方法，無不是通過微積分的算法來得到。這種方法雖無不可，但一是計(jì)算過程復(fù)雜，二是微積分的方法理論上只是無窮近客觀值，在物理上只有近

根據(jù)力學(xué)導(dǎo)出式（詳見《理論物理概論》58頁(yè)，高等教育社1991版）似意義。三是微積分的算法只是純數(shù)學(xué)方法而非物理法，因?yàn)槿狈ξ锢黻P(guān)聯(lián)，例如它與質(zhì)量、引力、角動(dòng)量無關(guān)，更無法從經(jīng)典力學(xué)理論中導(dǎo)出，因此缺乏物理根據(jù)沒有物理意義。也許當(dāng)年曾試圖在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)對(duì)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度求值，但因沒有結(jié)果從而才轉(zhuǎn)向?qū)ξ⒎e分的研究，最終無奈之下才利用微積分的方法對(duì)瞬時(shí)速度求值。然而事實(shí)上在經(jīng)典力學(xué)理論框

所以又有GMd整理后，即姨 姨

(1架內(nèi)，通過理論推導(dǎo)是能夠得到瞬時(shí)速度的，對(duì)瞬時(shí)速度的求值是可以在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)的。因此無須微積分的方法也可以得到行星橢圓軌道任意位置上的瞬時(shí)速度。瞬時(shí)速度與以往的經(jīng)驗(yàn)公式及微積分算法的不同則在于，通過理論推導(dǎo)建立的瞬時(shí)速度關(guān)系式更具有物理意義。因此，更簡(jiǎn)單、更準(zhǔn)確、更客觀。橢圓軌道運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式行星在橢圓軌道的瞬時(shí)速度的平方 等于引力常數(shù)與中心天（為了簡(jiǎn)便本文以下均稱為主星）質(zhì)量及半焦弦的積，除以主星中心與行星中心連線距離的平方（即：橢圓軌道即時(shí)矢徑的平方）。數(shù)學(xué)表達(dá)式為u2 （1

由此推導(dǎo)出橢圓軌道運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，式（14）即橢圓軌道瞬時(shí)速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式。u即橢圓軌道的瞬時(shí)速度。推導(dǎo)完畢以上對(duì)橢圓軌道瞬時(shí)速度數(shù)學(xué)表達(dá)式的推導(dǎo)充分地證明，對(duì)于行星橢圓運(yùn)動(dòng)中的瞬時(shí)速度，完全可以在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)進(jìn)行處理，從而可以擺脫對(duì)橢圓運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度求值的微積分算法。而且更簡(jiǎn)單，更精確，更自然。1.3萬有引力中的速度與橢圓運(yùn)動(dòng)中瞬時(shí)速度的關(guān)系1.3.1萬有引力中速度的數(shù)學(xué)表達(dá)設(shè)向心加速度為a，F(xiàn)為萬有引力，M為主星質(zhì)量，m為行星質(zhì)量，r為軌道半徑（即主星中心與行星中心連線的距離）。根據(jù)向心加速度的式中u為橢圓軌道的瞬時(shí)速度，G為引力常數(shù)，M為主星天體質(zhì)量，d為橢圓的半焦弦，r為主星中心與行星中心連線的距離即軌道半徑（以下為了習(xí)慣及方便起見，本文中將橢圓軌道的即時(shí)矢徑均稱為橢圓軌道半徑，以對(duì)應(yīng)圓軌道半徑）。對(duì)瞬時(shí)速度數(shù)學(xué)表達(dá)式的理論推導(dǎo)設(shè)：行星的質(zhì)量為m，行星橢圓軌道周期為T，軌道半長(zhǎng)軸為a，軌道半短軸為b，面積速度為mu，角速度為w，r為軌道半徑。u為軌道速

au2及第二定F 將（15）Fr根據(jù)萬有引

（1度 FG理論推導(dǎo)如下 所以科技信 ○科教前沿 SCIENCE&TECHNOLOGY 2010年第1

G ut

整理后，即 GM （1

得瞬時(shí)速度ut實(shí)際瞬時(shí)速度為ut姨 實(shí)際的速度不是精確值，可見計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值兩者是完全吻式（16）即是萬有引力中速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式.2萬有引力中的速度與橢圓運(yùn)動(dòng)中瞬時(shí)速度的關(guān)系為了區(qū)別橢圓軌道瞬時(shí)速度與圓運(yùn)動(dòng)的速度，

的（2）根據(jù)萬有引力中的速度 GM為 姨根據(jù)：（1）橢圓運(yùn)動(dòng)中瞬時(shí)速度的表達(dá) 應(yīng)用萬有引力中的速度及已知條件，代入各相應(yīng)值ut

(1 GM

得u比較實(shí)際值可見兩者差距仍然是很大姨 由此可見，應(yīng)用瞬時(shí)速度關(guān)系式得出的計(jì)算結(jié)果完全吻合實(shí)際將式（17）u2GMdGM 因?yàn)槿f有引力中的速度u2GM/r姨utud姨

（1

瞬時(shí)速度值，而以萬有引力推導(dǎo)出的速度得到的速度值，與實(shí)際值差距較大兩者相去甚遠(yuǎn)。因此，萬有引力只對(duì)應(yīng)于圓運(yùn)動(dòng)的速度，并不對(duì)應(yīng)橢圓運(yùn)動(dòng)的速度。關(guān)于驗(yàn)證中的各物理參數(shù)：由于長(zhǎng)期以來關(guān)于行星的各物理參數(shù)并沒有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)精確值，各種版本的參數(shù)互不一致，為此本人采用了維客網(wǎng)上的資料個(gè)人認(rèn)為比較精確。式（18）即萬有引力中的速度u，與橢圓軌道運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度ut變換關(guān)系式事實(shí)上萬有引力中的速度就是圓周運(yùn)動(dòng)中的速度，這是的，因此，萬有引力中的速度與橢圓運(yùn)動(dòng)中瞬時(shí)速度的變換關(guān)系，也就是圓周運(yùn)動(dòng)中的速度與橢圓運(yùn)動(dòng)中的瞬時(shí)速度的變換關(guān)系。對(duì)橢圓運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度表達(dá)式的客觀驗(yàn)證下面將具體的運(yùn)用瞬時(shí)速度關(guān)系式，僅對(duì)地球的近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)位置上的瞬時(shí)速度進(jìn)行客觀驗(yàn)證，同時(shí)給出萬有引力中速度的計(jì)算結(jié)果并加以對(duì)比。由此可證明，瞬時(shí)速度的關(guān)系式完全符合橢圓運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)：M為的質(zhì)量，G為引力常數(shù)，d為橢圓的半焦弦。已知：M1.9891×1030kg

在經(jīng)典力學(xué)中，對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)萬有引力在實(shí)際應(yīng)用中是不分橢圓運(yùn)動(dòng)與圓運(yùn)動(dòng)而共用的。但是，由于橢圓運(yùn)動(dòng)與圓運(yùn)動(dòng)有著本質(zhì)的不同，所以不能“以圓代橢”不清。否則難免在具體應(yīng)用中帶來錯(cuò)誤的結(jié)果。因此十分有必要在理論上加以糾正。橢圓軌道運(yùn)動(dòng)引力方程的推導(dǎo)根據(jù)第二運(yùn)動(dòng)定律F (2式中F為萬有引力，m為行星的質(zhì)量，a為向心加速度根據(jù)向心加速度：G

2 a 代入(21)10N·m 驗(yàn)證一地球軌道近日點(diǎn)位置上的瞬時(shí)速度設(shè)：地球近日距為r已知：r d 求：地球軌道近日點(diǎn)位置上的瞬時(shí)速度ut姨解：（1）根據(jù)瞬時(shí)速度關(guān)系式ut ，及已知條件，代入各相應(yīng)值后：姨

F （2r式（22）中的速度u是軌道運(yùn)動(dòng)的實(shí)際速度，那么橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的實(shí)際速度是瞬時(shí)速度，所以，根據(jù)橢圓軌道中的瞬時(shí)速度，即： u2GMd （2 將式（23）代入式（22）FmGMd/r2姨 姨

得瞬時(shí)速度ut FG （2實(shí)際瞬時(shí)速度為ut實(shí)際的速度不是精確值，的（2）根據(jù)萬有引力中的速度 GM姨

所以橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的引力方程，即式（24）推導(dǎo)完畢圓運(yùn)動(dòng)的引力方程 萬有引力方 FG橢圓運(yùn)動(dòng)引力方程與圓運(yùn)動(dòng)引力r2方程的變換

（2姨應(yīng)用萬有引力中的速度及已知條件，代入各相應(yīng)值姨

為了區(qū)別橢圓運(yùn)動(dòng)引力F，與圓運(yùn)動(dòng)引力F，現(xiàn)將橢圓運(yùn)動(dòng)引力設(shè)為Ft。根據(jù)：（1）得u比較實(shí)際值可見兩者差距很大相去甚遠(yuǎn)驗(yàn)證二地球軌道遠(yuǎn)日點(diǎn)位置上的瞬時(shí)速度設(shè)：地球遠(yuǎn)日距為r。已知r d

FtG（2）FG因?yàn)闄E圓運(yùn)動(dòng)引力方程又可表示為

（2（2求：地球軌道遠(yuǎn)日點(diǎn)位置上的瞬時(shí)速度u FtGMm 根據(jù)式（2GMd 姨解：（1）根據(jù)瞬時(shí)速度關(guān)系式姨

，及已知條件，

所以有 FtFd

（2應(yīng)值 式（26）即橢圓運(yùn)動(dòng)引力Ft與圓運(yùn)動(dòng)引力F的轉(zhuǎn)換關(guān)系式橢圓運(yùn)動(dòng)與圓運(yùn)動(dòng)有著本質(zhì)的不同，因此，橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量與圓運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量性質(zhì)不同。角動(dòng)量的本質(zhì)是由軌道運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定的，其是運(yùn)動(dòng)速度的性質(zhì)。所以不能糊里糊涂、不清，否則就會(huì)造成理論上的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，抹殺科學(xué)的真理性。事實(shí)上以萬有引力推導(dǎo)出來的角動(dòng)量只是圓運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量，對(duì)于橢圓運(yùn)動(dòng)這與客觀事實(shí)不符。因此有必要建立橢圓軌道動(dòng)力學(xué)的角動(dòng)量關(guān)系式，以糾正運(yùn)動(dòng)理論中的現(xiàn)象。橢圓軌道角動(dòng)量動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式的推導(dǎo)設(shè)：角動(dòng)量為L(zhǎng)，行星質(zhì)量為m，軌道矢徑為r，軌道實(shí)際速度為u，根據(jù)角動(dòng)量的：L （3因?yàn)槭菣E圓軌道運(yùn)動(dòng)，

此必須根據(jù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的特點(diǎn)加以區(qū)別對(duì)待，否則理論上的不清必然造成實(shí)踐中的錯(cuò)誤結(jié)果。事實(shí)上萬有引力中所隱含的角動(dòng)量，正是經(jīng)典的圓運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量。因此對(duì)于橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用萬有引力導(dǎo)出的角動(dòng)量關(guān)系式得到的計(jì)算值不真，不符合客觀值。由此可見，經(jīng)典力學(xué)理論中確實(shí)還存在著對(duì)橢圓運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)不夠，理論與實(shí)踐中存在著“以圓代橢”不清的問題。在推導(dǎo)萬有引力的過程中，一個(gè)主要依據(jù)就是向心加速度，而這個(gè)向心加速度是圓運(yùn)動(dòng)的向心加速度。因此，萬有引力中向心加速度不適用于橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，所以必須建立橢圓運(yùn)動(dòng)的向心加速度以適應(yīng)橢圓運(yùn)動(dòng)規(guī)律。橢圓運(yùn)心加速度的推根據(jù)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度Lm姨

GMd代入（31）姨姨（3

在經(jīng)典力學(xué)中，天體在軌道運(yùn)動(dòng)中的向心加速度是aa （4式（32）就是橢圓軌道運(yùn)動(dòng)中角動(dòng)量動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，推導(dǎo)完畢。為了區(qū)別于圓運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量L，及速度u，這里設(shè)橢圓軌道的角動(dòng)量為L(zhǎng)t，橢圓軌道速度為ut。于是橢圓軌道運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式

式中a表示向心加速度。r是軌道半徑，u為行星實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度。但是，當(dāng)把向心加速度應(yīng)用于橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)樾行菣E圓運(yùn)t動(dòng)在軌運(yùn)動(dòng)的實(shí)際速度是瞬時(shí)速度，所以式中的速度應(yīng)為瞬時(shí)速度。根據(jù)橢圓軌道速度u2GMd/r2即式14），將式（14）代入式（4t又可表示為L(zhǎng)t Ltm姨圓周運(yùn)動(dòng)中角動(dòng)量動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式根據(jù)角動(dòng)量：

(3

1）得ara

兩邊同除以r

（4L （3根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的速度

式（42）即是橢圓軌道向心加速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式

推導(dǎo)完畢姨 代入（3

橢圓運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)心加速度的關(guān)Lm姨式（35）即為圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)表達(dá)式 橢圓軌道中的角動(dòng)量與圓周運(yùn)動(dòng)中角動(dòng)量的轉(zhuǎn)換關(guān)系根據(jù)1圓周運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量

（35） 為了區(qū)別于圓運(yùn)動(dòng)的向心加速度a，設(shè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的向心加速度為at。因?yàn)槭剑?2）atGMr2L2m2r2r（2）L 2m2L r

（3（3

atadr式（43）則是橢圓運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)心加速度的變換式

（4式（37）L2m2r2GM 因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量是L2m2r2rL d

事實(shí)上在經(jīng)典力學(xué)中，向心加速度并不區(qū)分圓運(yùn)動(dòng)與橢圓運(yùn)動(dòng)這是因?yàn)榻?jīng)典力學(xué)是建立在理想化的圓運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上的，由于當(dāng)時(shí)還沒有認(rèn)識(shí)到橢圓運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，于是理論上只能“以圓代橢”糊里糊涂的應(yīng)用。但是向心加速度是由其軌道速度的性質(zhì)決定的，不同性質(zhì)的軌道速度必然要對(duì)應(yīng)相應(yīng)的向心加速度，因此，橢圓軌道的向心加速度只能對(duì)應(yīng)橢圓軌道的瞬時(shí)速度?？啤褡髡吆?jiǎn)介：（1955），男，，遼寧寬甸人，丹東水電六局職工，哈（3t姨

式（38）即是橢圓運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量與圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量的轉(zhuǎn)換關(guān)系式。通過橢圓運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量與圓運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量的變換關(guān)系可知，同一物體在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中的角動(dòng)量雖然保持守恒性質(zhì)但其大小是不等的，

［責(zé)任編輯：湯靜上接第教師用多課件講解時(shí)注意留給學(xué)生思考和作筆記時(shí)間由于多教學(xué)速度通常較快，學(xué)生作筆記的時(shí)間不夠充足。如果教師在教學(xué)中能適當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)節(jié)奏，也許效果會(huì)更好些。而且建議每堂課最好能把剛上過的內(nèi)容，在課堂快結(jié)束時(shí)再翻過一遍。我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)實(shí)踐中