橢圓運動與統(tǒng)一萬有引力是基于理想化條件下圓建立這就決定

(中國水利水電第 遼 丹 【摘要】在經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出了橢圓軌道運動瞬時速度的關(guān)系式，解決了在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)對橢圓運動瞬時速度的求值，擺脫了長期以來對瞬時速度求值依賴微積分的算法，并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出了一系列滿足角動量守恒的物理關(guān)系式。建立了橢圓軌道運動的運動學(xué)、動力學(xué)模式。確定了橢圓軌道運動與圓周運動之間的物理關(guān)系及變換方法，從根本上把橢圓運動與圓周運動統(tǒng)一起來。糾正了長期以來橢圓運動與圓運動，不分彼此共用萬有引力“以圓代橢”不清的現(xiàn)象。從而規(guī)范了不同運動狀態(tài)的天體運動理論。【】瞬時速度；橢圓軌道；萬有引力；；加速度；角動0引言的萬有引力是基于理想化條件下的圓運動建立的，了 的萬有引力只適用于圓周運動而不適用于橢圓軌道運動。 因此，以 萬有引力來處理行星的橢圓軌道運動，總是難免出現(xiàn)一定程度的偏差，特別是當(dāng)軌道偏心率很大時產(chǎn)生的偏差更是令人無法接受。而這種偏差完全是由于“以圓代橢”的理論缺陷導(dǎo)致的。這些偏差主要表現(xiàn)為，速度的偏差、角動量的偏差、引力的偏差及向心加速度的偏差等等。橢圓軌道運動與圓周運動有著非常顯著的區(qū)別，首先是速度的性質(zhì)不同，圓周運動速度是勻速度；而橢圓運動的速度是變速度。其次，圓周半徑是不變的；而橢圓軌道沒有一個固定不變的軌道矢徑。這也就決定了兩者的運動性質(zhì)的不同。因此在天體力學(xué)的理論與實踐中是不能相互替代的，否則在客觀實踐中將是再所難免。鑒于力學(xué)體系在天體物理應(yīng)用中實際存在的，有必要

根據(jù)面積速度面積速度mu1r2w1 令：h為2倍的面積速度，h2mu （1根 勒第二定律，行星在單位時間內(nèi)掃過的面積是常數(shù) 2但在周期T內(nèi)，行星掃過的面積等于橢圓面積abπ，1hT2因而Th即T2由解析幾何可知b2ad，（d是橢圓的半焦弦），圓運動理論力學(xué)的基礎(chǔ)上補充橢圓運動的運動學(xué)、動力學(xué)部分，以完善經(jīng)典力學(xué)體系。

4π2a3 因為有式（12）hru，代入（13）

（1橢圓軌道運動速度與圓周運動速

d行星在環(huán)繞橢圓軌道的運動中，其速度每時每刻都處在變化中對行星某時處于某位置上的速度求值，一直以來所采用的方法，無不是通過微積分的算法來得到。這種方法雖無不可，但一是計算過程復(fù)雜，二是微積分的方法理論上只是無窮近客觀值，在物理上只有近

根據(jù)力學(xué)導(dǎo)出式（詳見《理論物理概論》58頁，高等教育社1991版）似意義。三是微積分的算法只是純數(shù)學(xué)方法而非物理法，因為缺乏物理關(guān)聯(lián)，例如它與質(zhì)量、引力、角動量無關(guān)，更無法從經(jīng)典力學(xué)理論中導(dǎo)出，因此缺乏物理根據(jù)沒有物理意義。也許當(dāng)年曾試圖在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)對橢圓軌道運動的瞬時速度求值，但因沒有結(jié)果從而才轉(zhuǎn)向?qū)ξ⒎e分的研究，最終無奈之下才利用微積分的方法對瞬時速度求值。然而事實上在經(jīng)典力學(xué)理論框

所以又有GMd整理后，即姨 姨

(1架內(nèi)，通過理論推導(dǎo)是能夠得到瞬時速度的，對瞬時速度的求值是可以在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)實現(xiàn)的。因此無須微積分的方法也可以得到行星橢圓軌道任意位置上的瞬時速度。瞬時速度與以往的經(jīng)驗公式及微積分算法的不同則在于，通過理論推導(dǎo)建立的瞬時速度關(guān)系式更具有物理意義。因此，更簡單、更準(zhǔn)確、更客觀。橢圓軌道運動瞬時速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式行星在橢圓軌道的瞬時速度的平方 等于引力常數(shù)與中心天（為了簡便本文以下均稱為主星）質(zhì)量及半焦弦的積，除以主星中心與行星中心連線距離的平方（即：橢圓軌道即時矢徑的平方）。數(shù)學(xué)表達(dá)式為u2 （1

由此推導(dǎo)出橢圓軌道運動瞬時速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，式（14）即橢圓軌道瞬時速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式。u即橢圓軌道的瞬時速度。推導(dǎo)完畢以上對橢圓軌道瞬時速度數(shù)學(xué)表達(dá)式的推導(dǎo)充分地證明，對于行星橢圓運動中的瞬時速度，完全可以在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)進(jìn)行處理，從而可以擺脫對橢圓運動瞬時速度求值的微積分算法。而且更簡單，更精確，更自然。1.3萬有引力中的速度與橢圓運動中瞬時速度的關(guān)系1.3.1萬有引力中速度的數(shù)學(xué)表達(dá)設(shè)向心加速度為a，F(xiàn)為萬有引力，M為主星質(zhì)量，m為行星質(zhì)量，r為軌道半徑（即主星中心與行星中心連線的距離）。根據(jù)向心加速度的式中u為橢圓軌道的瞬時速度，G為引力常數(shù)，M為主星天體質(zhì)量，d為橢圓的半焦弦，r為主星中心與行星中心連線的距離即軌道半徑（以下為了習(xí)慣及方便起見，本文中將橢圓軌道的即時矢徑均稱為橢圓軌道半徑，以對應(yīng)圓軌道半徑）。對瞬時速度數(shù)學(xué)表達(dá)式的理論推導(dǎo)設(shè)：行星的質(zhì)量為m，行星橢圓軌道周期為T，軌道半長軸為a，軌道半短軸為b，面積速度為mu，角速度為w，r為軌道半徑。u為軌道速

au2及第二定F 將（15）Fr根據(jù)萬有引

（1度 FG理論推導(dǎo)如下 所以科技信 ○科教前沿 SCIENCE&TECHNOLOGY 2010年第1

G ut

整理后，即 GM （1

得瞬時速度ut實際瞬時速度為ut姨 實際的速度不是精確值，可見計算結(jié)果與實際值兩者是完全吻式（16）即是萬有引力中速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式.2萬有引力中的速度與橢圓運動中瞬時速度的關(guān)系為了區(qū)別橢圓軌道瞬時速度與圓運動的速度，

的（2）根據(jù)萬有引力中的速度 GM為 姨根據(jù)：（1）橢圓運動中瞬時速度的表達(dá) 應(yīng)用萬有引力中的速度及已知條件，代入各相應(yīng)值ut

(1 GM

得u比較實際值可見兩者差距仍然是很大姨 由此可見，應(yīng)用瞬時速度關(guān)系式得出的計算結(jié)果完全吻合實際將式（17）u2GMdGM 因為萬有引力中的速度u2GM/r姨utud姨

（1

瞬時速度值，而以萬有引力推導(dǎo)出的速度得到的速度值，與實際值差距較大兩者相去甚遠(yuǎn)。因此，萬有引力只對應(yīng)于圓運動的速度，并不對應(yīng)橢圓運動的速度。關(guān)于驗證中的各物理參數(shù)：由于長期以來關(guān)于行星的各物理參數(shù)并沒有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)精確值，各種版本的參數(shù)互不一致，為此本人采用了維客網(wǎng)上的資料個人認(rèn)為比較精確。式（18）即萬有引力中的速度u，與橢圓軌道運動瞬時速度ut變換關(guān)系式事實上萬有引力中的速度就是圓周運動中的速度，這是的，因此，萬有引力中的速度與橢圓運動中瞬時速度的變換關(guān)系，也就是圓周運動中的速度與橢圓運動中的瞬時速度的變換關(guān)系。對橢圓運動瞬時速度表達(dá)式的客觀驗證下面將具體的運用瞬時速度關(guān)系式，僅對地球的近日點、遠(yuǎn)日點位置上的瞬時速度進(jìn)行客觀驗證，同時給出萬有引力中速度的計算結(jié)果并加以對比。由此可證明，瞬時速度的關(guān)系式完全符合橢圓運動規(guī)律。設(shè)：M為的質(zhì)量，G為引力常數(shù)，d為橢圓的半焦弦。已知：M1.9891×1030kg

在經(jīng)典力學(xué)中，對于天體運動萬有引力在實際應(yīng)用中是不分橢圓運動與圓運動而共用的。但是，由于橢圓運動與圓運動有著本質(zhì)的不同，所以不能“以圓代橢”不清。否則難免在具體應(yīng)用中帶來錯誤的結(jié)果。因此十分有必要在理論上加以糾正。橢圓軌道運動引力方程的推導(dǎo)根據(jù)第二運動定律F (2式中F為萬有引力，m為行星的質(zhì)量，a為向心加速度根據(jù)向心加速度：G

2 a 代入(21)10N·m 驗證一地球軌道近日點位置上的瞬時速度設(shè)：地球近日距為r已知：r d 求：地球軌道近日點位置上的瞬時速度ut姨解：（1）根據(jù)瞬時速度關(guān)系式ut ，及已知條件，代入各相應(yīng)值后：姨

F （2r式（22）中的速度u是軌道運動的實際速度，那么橢圓軌道運動的實際速度是瞬時速度，所以，根據(jù)橢圓軌道中的瞬時速度，即： u2GMd （2 將式（23）代入式（22）FmGMd/r2姨 姨

得瞬時速度ut FG （2實際瞬時速度為ut實際的速度不是精確值，的（2）根據(jù)萬有引力中的速度 GM姨

所以橢圓軌道運動的引力方程，即式（24）推導(dǎo)完畢圓運動的引力方程 萬有引力方 FG橢圓運動引力方程與圓運動引力r2方程的變換

（2姨應(yīng)用萬有引力中的速度及已知條件，代入各相應(yīng)值姨

為了區(qū)別橢圓運動引力F，與圓運動引力F，現(xiàn)將橢圓運動引力設(shè)為Ft。根據(jù)：（1）得u比較實際值可見兩者差距很大相去甚遠(yuǎn)驗證二地球軌道遠(yuǎn)日點位置上的瞬時速度設(shè)：地球遠(yuǎn)日距為r。已知r d

FtG（2）FG因為橢圓運動引力方程又可表示為

（2（2求：地球軌道遠(yuǎn)日點位置上的瞬時速度u FtGMm 根據(jù)式（2GMd 姨解：（1）根據(jù)瞬時速度關(guān)系式姨

，及已知條件，

所以有 FtFd

（2應(yīng)值 式（26）即橢圓運動引力Ft與圓運動引力F的轉(zhuǎn)換關(guān)系式橢圓運動與圓運動有著本質(zhì)的不同，因此，橢圓軌道運動的角動量與圓運動的角動量性質(zhì)不同。角動量的本質(zhì)是由軌道運動狀態(tài)決定的，其是運動速度的性質(zhì)。所以不能糊里糊涂、不清，否則就會造成理論上的錯誤認(rèn)識，抹殺科學(xué)的真理性。事實上以萬有引力推導(dǎo)出來的角動量只是圓運動的角動量，對于橢圓運動這與客觀事實不符。因此有必要建立橢圓軌道動力學(xué)的角動量關(guān)系式，以糾正運動理論中的現(xiàn)象。橢圓軌道角動量動力學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式的推導(dǎo)設(shè)：角動量為L，行星質(zhì)量為m，軌道矢徑為r，軌道實際速度為u，根據(jù)角動量的：L （3因為是橢圓軌道運動，

此必須根據(jù)運動性質(zhì)的特點加以區(qū)別對待，否則理論上的不清必然造成實踐中的錯誤結(jié)果。事實上萬有引力中所隱含的角動量，正是經(jīng)典的圓運動的角動量。因此對于橢圓軌道運動，應(yīng)用萬有引力導(dǎo)出的角動量關(guān)系式得到的計算值不真，不符合客觀值。由此可見，經(jīng)典力學(xué)理論中確實還存在著對橢圓運動認(rèn)識不夠，理論與實踐中存在著“以圓代橢”不清的問題。在推導(dǎo)萬有引力的過程中，一個主要依據(jù)就是向心加速度，而這個向心加速度是圓運動的向心加速度。因此，萬有引力中向心加速度不適用于橢圓軌道運動，所以必須建立橢圓運動的向心加速度以適應(yīng)橢圓運動規(guī)律。橢圓運心加速度的推根據(jù)橢圓軌道運動的瞬時速度Lm姨

GMd代入（31）姨姨（3

在經(jīng)典力學(xué)中，天體在軌道運動中的向心加速度是aa （4式（32）就是橢圓軌道運動中角動量動力學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，推導(dǎo)完畢。為了區(qū)別于圓運動的角動量L，及速度u，這里設(shè)橢圓軌道的角動量為Lt，橢圓軌道速度為ut。于是橢圓軌道運動角動量的數(shù)學(xué)表達(dá)式

式中a表示向心加速度。r是軌道半徑，u為行星實際運動速度。但是，當(dāng)把向心加速度應(yīng)用于橢圓運動時，因為行星橢圓運t動在軌運動的實際速度是瞬時速度，所以式中的速度應(yīng)為瞬時速度。根據(jù)橢圓軌道速度u2GMd/r2即式14），將式（14）代入式（4t又可表示為Lt Ltm姨圓周運動中角動量動力學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式根據(jù)角動量：

(3

1）得ara

兩邊同除以r

（4L （3根據(jù)圓周運動的速度

式（42）即是橢圓軌道向心加速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式

推導(dǎo)完畢姨 代入（3

橢圓運動與圓周運心加速度的關(guān)Lm姨式（35）即為圓周運動角動量的動力學(xué)數(shù)學(xué)表達(dá)式 橢圓軌道中的角動量與圓周運動中角動量的轉(zhuǎn)換關(guān)系根據(jù)1圓周運動的角動量

（35） 為了區(qū)別于圓運動的向心加速度a，設(shè)橢圓軌道運動的向心加速度為at。因為式（42）atGMr2L2m2r2r（2）L 2m2L r

（3（3

atadr式（43）則是橢圓運動與圓周運心加速度的變換式

（4式（37）L2m2r2GM 因為圓周運動的角動量是L2m2r2rL d

事實上在經(jīng)典力學(xué)中，向心加速度并不區(qū)分圓運動與橢圓運動這是因為經(jīng)典力學(xué)是建立在理想化的圓運動基礎(chǔ)上的，由于當(dāng)時還沒有認(rèn)識到橢圓運動的規(guī)律，于是理論上只能“以圓代橢”糊里糊涂的應(yīng)用。但是向心加速度是由其軌道速度的性質(zhì)決定的，不同性質(zhì)的軌道速度必然要對應(yīng)相應(yīng)的向心加速度，因此，橢圓軌道的向心加速度只能對應(yīng)橢圓軌道的瞬時速度?？啤褡髡吆喗椋海?955），男，，遼寧寬甸人，丹東水電六局職工，哈（3t姨

式（38）即是橢圓運動角動量與圓周運動角動量的轉(zhuǎn)換關(guān)系式。通過橢圓運動角動量與圓運動角動量的變換關(guān)系可知，同一物體在不同運動狀態(tài)中的角動量雖然保持守恒性質(zhì)但其大小是不等的，

［責(zé)任編輯：湯靜上接第教師用多課件講解時注意留給學(xué)生思考和作筆記時間由于多教學(xué)速度通常較快，學(xué)生作筆記的時間不夠充足。如果教師在教學(xué)中能適當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)節(jié)奏，也許效果會更好些。而且建議每堂課最好能把剛上過的內(nèi)容，在課堂快結(jié)束時再翻過一遍。我們在今后的教學(xué)實踐中