激光原理課程設(shè)計

激光原理課程設(shè)計基于Matlab激光諧振腔模式模擬作者：光電0905唐世豪一、原理分析基本原理在分析激光器工作原理的過程中，諧振腔中的模式分布占據(jù)著重要的意義。經(jīng)典的研究激光諧振腔內(nèi)激光模式分布及傳播規(guī)律的方法是，運用菲涅耳一基爾霍夫衍射積分公式。其關(guān)系式如式（1）：??????=????4??????????=????4????????????????,??F1+?????????式中，P為（x''與（x,y）連線的長度，0為S面上點（x''處的法線和上述連線之間的夾角，ds'為S面上的面積元，k為波矢的模。一般而言，腔長比鏡面的線度大很多， （1+cos0）/p近似取為2/L。同時，假定腔面的線度a遠(yuǎn)大于波長，被積函數(shù)中的 能簡單的近似，我們只能根據(jù)不同幾何形狀的腔型來進(jìn)行合理近似。于是，將公式（ 1）作用于開腔的兩個鏡面上的場分布，可以鏡面 S1?3+1??????=云？??上場？？（？?,？?）與鏡面S2上場？？（？？？?聯(lián)系起來，經(jīng)過q?3+1??????=云？????（????）????????????■對于對稱開腔，當(dāng)光波在腔內(nèi)傳播足夠多次后（即在穩(wěn)定情況下），鏡面 S1上光場傳播到S2,出了表示振幅衰減和相位移動常數(shù)因子 丫外，Uq+1可以再現(xiàn)Uq，形成這樣一種穩(wěn)態(tài)場：分布不再受衍射的影響，在腔內(nèi)往返一次后能夠“再現(xiàn)”出發(fā)時的場分布，即實現(xiàn)了模的“自再現(xiàn)”。簡化后有公式（3）和（4）:Umnx,y=//YmnS1KX,y,x,yumn（X,y）????（3）??????????■■ ■r■j■■,：：, ????川？？？？?？?？?？？？）'=2???????n-?????????????'_ ■■■v■r■r■■;■■/=?????⑷Fox-Li數(shù)值迭代法積分方程（3）和（4）的解通過數(shù)學(xué)證明是存在的，但是實際求解是很困難的，所以在大多數(shù)情況下只能使用近似方法求數(shù)值解。 Fox-Li數(shù)值迭代法就是運用標(biāo)量近似來分析模場特性。其運用的就是迭代的思想，其迭代公式為式（ 3）。此方法的基本物理解釋是將初始場分布視為由無數(shù)多個本征函數(shù)以一定比例疊加的結(jié)果，不同的本征函數(shù)對應(yīng)不同的模式， 在腔內(nèi)往返渡越過程中， 不同模的衍射損耗不同， 經(jīng)過足夠多次往返渡越后， 衍射損耗大的模受到的衰減程度比衍射損耗小的模大得多， 當(dāng)損耗大的模的貢獻(xiàn)與損耗小的模的貢獻(xiàn)相比可以忽略時，剩下的便是小損耗模的穩(wěn)定場分布。實現(xiàn)方案實現(xiàn)方案計算流程跟據(jù)原理進(jìn)行迭代計算的設(shè)計，流程圖如圖（ 1）所示。運用Matlab設(shè)計實現(xiàn)Fox-Li數(shù)值迭代法程序的編寫。

2.矩形腔以矩形腔為例，說明Fox-Li數(shù)值迭代法計算時的具體形式。設(shè)矩形平面腔邊長為2a*2b，腔長為L,它們之間滿足L?a,b?h在上述條件下，有如式(5)的近似：????????,????1+'2.矩形腔以矩形腔為例，說明Fox-Li數(shù)值迭代法計算時的具體形式。設(shè)矩形平面腔邊長為2a*2b，腔長為L,它們之間滿足L?a,b?h在上述條件下，有如式(5)的近似：????????,????1+'2????2+??'2??-??2

??，21 ??-??1+-2??2，2??-????于是在菲涅耳一基爾霍夫衍射積分公式中的 ？?????可以近似寫作:-??????+???????=?? ??-????????

~??(6)所以式(3)可以作為:??????=????????+??+??z.-'?%??????????-??????,??)'????.??2評??-2??+2??」？？？？??.??2■■■■]對于上式(7)進(jìn)行變量分離，設(shè)u(x,y)=u(x)u(y),有:+??///????=??? ???????????????■??+??????=?? ???????????)????'-??” -?? (??-??)2?7?????= _????????????2?? (8)圖1計算流程圖(????')2???????=23?-?????????????????=根據(jù)上述的公式在初始場分布設(shè)定的情況下就可以應(yīng)用迭代的方法計算出分布情況。條形腔條形腔是一種理想的模型，即一個方向有限長，而另一個方向上無限延伸的腔形，與矩形腔類似。由于只在長度有限的那個方向上發(fā)生衍射現(xiàn)象，迭代公式( 5)為一維的菲涅耳一基爾霍夫衍射積分：(??-??)2????=??+??―?(??-??)2????=??+??―??-????????■■??■■■■2?????3????'(9)將條形腔的左鏡面S1上沿著(-a,a)之間劃分N-1等分，則有N個點，每個區(qū)間為2a/(N-1)。右邊鏡面S2上每一點的求解都需將左邊鏡面上的點進(jìn)行逐點相加，如此循環(huán)迭代下去，最終會達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布。圓形腔圓形腔的迭代思想與矩形腔相同， 只是劃分與矩形腔不同。 圓形腔是按照徑向和角向劃分，在極坐標(biāo)(r,0)下完成數(shù)值迭代，但在最后顯示的時候， 需要將極坐標(biāo)還原成笛卡爾坐標(biāo)系。5.傾斜腔嚴(yán)格的平行平面腔只是一種理想情況，實際情況下出現(xiàn)一定的不平行性是不可避免的,這里主要考察傾斜條形腔對自再現(xiàn)模的影響，如圖 2所示：圖25.傾斜腔嚴(yán)格的平行平面腔只是一種理想情況，實際情況下出現(xiàn)一定的不平行性是不可避免的,這里主要考察傾斜條形腔對自再現(xiàn)模的影響，如圖 2所示：圖2傾斜平行平面腔的示意圖兩個鏡面相對其理想位置（即兩鏡面與其公共軸線嚴(yán)格垂直的位置 ）沿相反方向偏離同樣大小的微小角度3,在鏡的邊緣處與理想位置的偏離線度 3。在3甚小的情況下，且只考慮腔的旁軸光線，鏡面上兩點的距離M1M2'與理想情況下相應(yīng)兩點的距離 M1M2之差為：??=??1??2-/??n=????+??=-(??+??I2 ??(10)??/于是有p=????■??+???0，于是衍射積分方程變?yōu)???-??2??'????=?? +??_999? ■????9S+99 / /????=(11)?? —??????2??(11)■■????--??■-… 類似于條形腔，可以計算出傾斜條形腔的自再現(xiàn)模。三、結(jié)果分析1.矩形腔模式分布在對于模式分布的分析中菲涅耳數(shù)占據(jù)著重要地位。其定義為 Fres=a^2/L/入。菲涅耳數(shù)是表征了衍射損耗的大小的量，菲涅爾數(shù)越大，衍射損耗越小。當(dāng)諧振腔的菲涅爾數(shù)較大時，低階模式和高階模式的衍射損耗非常接近， 高階模在有限的迭代次數(shù)下不能有效地消除；而諧振腔的菲涅耳數(shù)比較小時，高階模具有更咼的顏色損耗，從而更能夠有效地抑制咼階模振蕩。圖3是fres為6.45（a分別是1mmb是0.5mmL是100mm入是1550nn）時的模式穩(wěn)態(tài)分布。振幅分布達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)，呈現(xiàn)出近似高斯分布；而穩(wěn)定后的相位分布，曲線上的起伏較小，中間區(qū)域接近平面波分布。將具有這種特征的橫模稱為腔的最低階對稱?；蚧＃叫午R腔和圓形鏡腔的基模通常以符號TEM00表示。圖3、4、5是矩形腔分別是fres為6.45、2.98、0.155（a分別是1mm0.68mm0.15mmb是0.5mmL是100mm入是1550nn）時的模式穩(wěn)態(tài)分布。對比這幾幅圖，可以看出鏡面中心的振幅在菲涅耳數(shù)較大時可能不是最大的； 較小時，中心振幅最大。并且振幅從中心向外是振蕩下降的，菲涅耳數(shù)越大振動的越厲害；菲涅耳

數(shù)越小幅度曲線越平滑，更近似高斯分布，相位接近球面波分布。由于平行平面腔的基模振幅分布是高斯分布，相位分布近似于球面波分布。所以可以認(rèn)為，在菲涅爾數(shù)較小的情況下，高階模的損耗遠(yuǎn)大于基模的。圖3fres=6.45的模式穩(wěn)態(tài)分布圖4fres=2.98的模式穩(wěn)態(tài)分布圖3fres=6.45的模式穩(wěn)態(tài)分布圖4fres=2.98的模式穩(wěn)態(tài)分布I I I◎耳 0 0.5圖6微小傾斜的模式分布圖5圖6微小傾斜的模式分布微小傾斜對模式分布的影響實際中的諧振腔很難做到絕對的平行，運用程序模擬傾斜的條形腔如圖 6

所示（偏移的距離b為100入）。在b=100入的情形下，模場分布可以達(dá)到穩(wěn)定，但是可以看出由于微小的偏移，振幅最大值有了偏移，而且已經(jīng)不再對稱。相位的分布也產(chǎn)生了嚴(yán)重的畸變。隨著偏移量b的增大，振幅到達(dá)穩(wěn)定需要的迭代次數(shù)越來越大，以至于最后可能完全無法達(dá)到穩(wěn)定的分布狀態(tài)。所以對于激光器諧振腔而言，這種偏移是十分有害的，應(yīng)當(dāng)避免發(fā)生。菲涅耳數(shù)對圓形腔模式分布的影響菲涅耳數(shù)對于圓形腔的的分析類似于矩形腔。 圖7、8是圓形腔半徑a分別為0.5mm1m時候的模場分布圖。圖中可以看出模場是以圓心為中心的中心對稱。圓心的振幅較大，向外延伸時，振幅下降，菲涅耳數(shù)越小，下降的越平滑。在實驗過程中，發(fā)現(xiàn)菲涅耳數(shù)更小0.5mm勺圓形腔在試驗中更快的達(dá)到穩(wěn)定。同時可以看出在0.5mn是中心場很小，是一個暗斑。而1m的圓形腔中心是一個亮斑?？梢酝ㄟ^改變幾何參數(shù)來改變模場分布，以實現(xiàn)不同模式激光的輸出。圖7a=0.5mm是圓形腔模場分布圖7a=0.5mm是圓形腔模場分布圖8a=1mm是圓形腔模場分布其他參數(shù)的影響在模場分布計算中還有很多因素對最終結(jié)果有較大影響，比如劃分點的個數(shù)、初始場分布等等。對于劃分點數(shù)，雖然是越多越精確，最終誤差積累的越少，但是點數(shù)太多會嚴(yán)重影響運算速度，特別是圓形腔。因此要選取適當(dāng)?shù)狞c數(shù)，兼顧精度與效率。對于初始模場分布而言，對于能夠最終穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)而言，初始的模場分布的不同會使，模場演變的過程不同，也可能加長模場到達(dá)穩(wěn)定的時間，但是不會影響模場最終穩(wěn)定后的分布結(jié)果。四、設(shè)計體會本次課程設(shè)計是對于激光原理的一種考查，同時對于編程方法的考查。具體而言就是對于本次的Matlab的考查。首先是對于激光原理部分諧振腔的原理、計算公式、典型近似都有了更為深刻地認(rèn)識。更好的是，程序生成的圖像對于幾種腔型的模場分布有了更加直觀的認(rèn)識，非常有利于理論與實際結(jié)合起來。其次是對于Matlab軟件有了初次的接觸。第一次使用這個軟件，遇到了很多的問題。但是在整個使用過程中不斷感受到Matlab的強(qiáng)大。在編寫過程中核心算法，也就是菲涅耳-基爾霍夫衍射公式的近似積分方式，可以很快確定下來，而整個GU界面與代碼的聯(lián)合是一個很耗時的過程。但是整個完成后很有成就感。在設(shè)計過程中遇到了很多的問題，更多的是程序編寫上的問題，需要從最開始的語法等來熟悉整個編程軟件。然后在編寫程序時，在最終的結(jié)果圖像的顯示，三維圖像的顯示，積分循環(huán)的實現(xiàn)等問題都拖后了進(jìn)度。 翻閱了一些文獻(xiàn)后，有在同學(xué)幫助下，才得以解決。最后，有個建議。對于這個課程設(shè)計，我覺得老師可以抽一些上機(jī)時間對于Matlab進(jìn)行一些介紹，我想這個讓我們編寫程序時，上手