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2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.已知是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時,,那么()A. B. C. D.2.已知變量與正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù),,則由該觀測的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A. B.C. D.3.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為A. B.C. D.4.如圖為A、B兩名運(yùn)動員五次比賽成績的莖葉圖,則他們的平均成績和方差的關(guān)系是()A., B.,C., D.,5.若實數(shù)滿足不等式組,則的最小值是()A. B.0 C.1 D.26.已知角的終邊經(jīng)過點,則()A. B. C.-2 D.7.若關(guān)于x,y的方程組無解,則()A. B. C.2 D.8.已知數(shù)列的通項公式,前n項和為,若,則的最大值是()A.5 B.10 C.15 D.209.設(shè),,則的值可表示為()A. B. C. D.10.某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值是()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”其大意為:“有一個人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后達(dá)到目的地.”則該人最后一天走的路程為__________里.12.計算:__________.13.已知銳角的外接圓的半徑為1,,則的面積的取值范圍為_____.14.設(shè)α為第二象限角,若sinα=3515.我國高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計,在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.16.在等比數(shù)列中,,公比,若,則的值為.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知數(shù)列{bn}的前n項和,n∈N*.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)記,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;(3)在(2)的條件下,記,若對任意正整數(shù)n,不等式恒成立,求整數(shù)m的最大值.18.某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球,從中隨機(jī)抽樣133個進(jìn)行檢查,測得每個球的直徑(單位:mm),將數(shù)據(jù)分組如下:分組
頻數(shù)
頻率
[1.95,1.97)
13
[1.97,1.99)
23
[1.99,2.31)
53
[2.31,2.33]
23
合計
133
(Ⅰ)請在上表中補(bǔ)充完成頻率分布表(結(jié)果保留兩位小數(shù)),并在圖中畫出頻率分布直方圖;(Ⅱ)若以上述頻率作為概率,已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為2.33mm,試求這批球的直徑誤差不超過3.33mm的概率;(Ⅲ)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)經(jīng)常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間[1.99,2.31)的中點值是2.33作為代表.據(jù)此估計這批乒乓球直徑的平均值(結(jié)果保留兩位小數(shù)).19.已知數(shù)列滿足:,,.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;(2)記(),用數(shù)學(xué)歸納法證明:,20.如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點為棱的中點.(1)證明:;(2)求三棱錐的體積.21.已知是一個公差大于的等差數(shù)列,且滿足,數(shù)列滿足等式:(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】試題分析:由題意得,,故,故選C.考點:分段函數(shù)的應(yīng)用.2、A【解析】試題分析:因為與正相關(guān),排除選項C、D,又因為線性回歸方程恒過樣本點的中心,故排除選項B;故選A.考點:線性回歸直線.3、D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因為每一個單音與前一個單音頻率比為,所以,又,則故選D.點睛:此題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.4、D【解析】
根據(jù)題中數(shù)據(jù),直接計算出平均值與方差,即可得出結(jié)果.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得,,,所以;又,,所以.故選D【點睛】本題主要考查平均數(shù)與方差的比較,熟記公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解析】
畫出不等式組的可行域,再根據(jù)線性規(guī)劃的方法,結(jié)合的圖像與的關(guān)系判定最小值即可.【詳解】畫出可行域,又求最小值時,故的圖形與可行域有交點,且往上方平移到最高點處.易得此時在處取得最值.故選:A【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃與絕對值函數(shù)的綜合運(yùn)用,需要根據(jù)題意畫圖,根據(jù)函數(shù)的圖形性質(zhì)分析.屬于中檔題.6、B【解析】按三角函數(shù)的定義,有.7、A【解析】
由題可知直線與平行,再根據(jù)平行公式求解即可.【詳解】由題,直線與平行,故.故選:A【點睛】本題主要考查了二元一次方程組與直線間的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
將的通項公式分解因式,判斷正負(fù)分界處,進(jìn)而推斷的最大最小值得到答案.【詳解】數(shù)列的通項公式當(dāng)時,當(dāng)或是最大值為或最小值為或的最大值為故答案為B【點睛】本題考查了前n項和為的最值問題,將其轉(zhuǎn)化為通項公式的正負(fù)問題是解題的關(guān)鍵.9、A【解析】
由,可得到,然后根據(jù)反余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到答案.【詳解】因為,所以,則.故選:A【點睛】本題主要考查反余弦函數(shù)的運(yùn)用,熟練掌握反余弦函數(shù)的概念及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.10、D【解析】
由題意首先確定流程圖的功能,然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解所要輸出的結(jié)果即開即可.【詳解】根據(jù)程序框圖知,該算法的目標(biāo)是計算和式:.又因為,注意到,故:.故選:D.【點睛】識別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路:(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu).(2)要識別、運(yùn)行程序框圖,理解框圖所解決的實際問題.(3)按照題目的要求完成解答并驗證.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、3【解析】分析:每天走的路形成等比數(shù)列{an},q=,S3=1.利用求和公式即可得出.詳解:每天走的路形成等比數(shù)列{an},q=,S3=1.∴S3=1=,解得a1=2.∴該人最后一天走的路程=a1q5==3.故答案為:3.點睛:本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、0【解析】
直接利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則,分子分母同時除以,然后求解極限可得答案.【詳解】解:,故答案為:0.【點睛】本題主要考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則,屬于基礎(chǔ)知識的考查.13、【解析】
由已知利用正弦定理可以得到b=2sinB,c=2sin(﹣B),利用三角形面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S△ABC═sin(2B﹣)+,由銳角三角形求B的范圍,進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解.【詳解】解:∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1,A=,∴由正弦定理可得:,可得:b=2sinB,c=2sin(﹣B),∴S△ABC=bcsinA=×2sinB×2sin(﹣B)×=sinB(cosB+sinB)=sin(2B﹣)+,∵B,C為銳角,可得:<B<,<2B﹣<,可得:sin(2B﹣)∈(,1],∴S△ABC=sin(2B﹣)+∈(1,].故答案為:(1,].【點睛】本題主要考查了正弦定理,三角形面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.14、-【解析】
先求出cosα,再利用二倍角公式求sin2α【詳解】因為α為第二象限角,若sinα=所以cosα=所以sin2α故答案為-【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,考查二倍角的正弦公式,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.15、1.98.【解析】
本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計,采取估算法,利用概率思想解題.【詳解】由題意得,經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為,其中高鐵個數(shù)為11+21+11=41,所以該站所有高鐵平均正點率約為.【點睛】本題考點為概率統(tǒng)計,滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).側(cè)重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算,難度不大.易忽視概率的估算值不是精確值而失誤,根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù),估算出正點列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值.16、1【解析】
因為,,故答案為1.考點:等比數(shù)列的通項公式.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)bn=3n﹣2,n∈N*.(2);(3)最大值為1.【解析】
(1)利用,求得數(shù)列的通項公式.(2)利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.(3)由(2)求得的表達(dá)式,記不等式左邊為,利用差比較法判斷出的單調(diào)性,進(jìn)而求得的最小值,由此列不等式求得的取值范圍,進(jìn)而求得整數(shù)的最大值.【詳解】(1)∵數(shù)列{bn}的前n項和,n∈N*.∴①當(dāng)n=1時,b1=T1=1;②當(dāng)n≥2時,bn=Tn﹣Tn﹣1=3n﹣2;∴bn=3n﹣2,n∈N*.(2)由(1)可得:;∴Sn=c1+c2+…+cn,,,;(3)由(2)可知:n;∴;設(shè)f(n);則f(n+1)﹣f(n)=()﹣()0;所以f(n+1)>f(n),故f(n)的最小值為f(1);∵對任意正整數(shù)n,不等式恒成立,∴恒成立,即m<12;故整數(shù)m的最大值為1.【點睛】本小題主要考查已知求,考查裂項求和法,考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法,考查不等式恒成立問題的求解,屬于中檔題.18、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)3.9;(Ⅲ)【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)公式:頻率=頻數(shù)÷樣本容量可補(bǔ)充完成頻率分布表,然后作出頻率分布直方圖;(Ⅱ)直徑誤差不超過3.33mm的頻率有3.53,3.53,3.53,所以這批球的直徑誤差不超過3.33mm的概率3.53+3.53+3.53=3.9;(Ⅲ)由平均值公式可求得試題解析:(Ⅰ)分組
頻數(shù)
頻率
[4.95,4.97)
43
3.43
[4.97,4.99)
53
3.53
[4.99,5.34)
53
3.53
[5.34,5.33]
53
3.53
合計
433
4
(Ⅱ)設(shè)誤差不超過3.33的事件為,則.(Ⅲ)考點:4.頻率分布直方圖;5.求數(shù)值的平均值19、(1)證明見解析,;(2)見解析【解析】
(1)定義法證明:;(2)采用數(shù)學(xué)歸納法直接證明(注意步驟).【詳解】由可知:,則有,即,所以為等差數(shù)列,且首相為,公差,所以,故;(2),當(dāng)時,成立;假設(shè)當(dāng)時,不等式成立則:;當(dāng)時,,因為,所以,則,故時不等式成立,綜上可知:.【點睛】數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟:(1)命題成立;(2)假設(shè)命題成立;(3)證明命題成立(一定要借助假設(shè),否則不能稱之為數(shù)學(xué)歸納法).20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)以A為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出BE,DC的方向向量,根據(jù)?=0,可得BE⊥DC;(2)由點為棱的中點,且底面,利用等體積法得.【詳解】(1)∵底面,,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,∵,,點為棱的中點.∴(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,1)∴=(0,1,1),=(2,0,0),∵?=0,可得BE⊥DC;(2)由點為
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