2021 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科新課標(biāo)Ⅱ202307050748015908403

2．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕集合A={〔x，y〕|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z〕，那么A中元素的個(gè)數(shù)為〔〕A．9B．8C．5D．4的圖象大致為〔〕=1〔a＞0，b＞0〕的離心率為，那么其漸近線方程為〔〕6．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，那么AB=〔〕A．4B．C．D．27．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕為計(jì)算S=1﹣+﹣+…+﹣填入〔〕，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，那么在空白框中應(yīng)

8．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜測(cè)的研究中獲得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜測(cè)是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和〞，如30=7+23．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是〔〕9．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，那么異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為〔〕10．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕假設(shè)f〔x〕=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是減函數(shù)，那么a的最大值是〔〕A．B．C．D．π11．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕f〔x〕是定義域?yàn)椤博仭蓿?∞〕的奇函數(shù)，滿足f〔1﹣x〕=f〔1+x〕，假設(shè)f〔1〕=2，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔50〕=〔〕=1〔a＞b＞0〕的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P13．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕曲線y=2ln〔x+1〕在點(diǎn)〔0，0〕處的線切方程為．14．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕假設(shè)x，y滿足約束條件，那么z=x+y的最大值為．

15．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，那么sin〔α+β〕=．16．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，假設(shè)△SAB的面積為5，那么該圓錐的側(cè)面積為．三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答?！惨?必考題：共60分。17．〔12分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=﹣7，S3=﹣15．〔1〕求{an}的通項(xiàng)公式；18．〔12分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕如圖是某地區(qū)2000年至2021年環(huán)境根底設(shè)施投資額y〔單位：億元〕的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2021年的數(shù)據(jù)〔時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17〕建立模型①：+13.5t；根據(jù)2021年至2021年的數(shù)據(jù)〔時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，7〕建立模型②：=99+17.5t．〔1〕分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；〔2〕你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由．19．〔12分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k〔k＞0〕的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．〔1〕求l的方程；〔2〕求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．20．〔12分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．〔1〕證明：PO⊥平面ABC；〔2〕假設(shè)點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．

〔二〕選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，那么按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．〔10分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為參數(shù)方程為，〔t為參數(shù)〕．〔1〕求C和l的直角坐標(biāo)方程；〔2〕假設(shè)曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，2〕，求l的斜率．[選修4-5：不等式選講]23．〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．〔1〕當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f〔x〕≥0的解集；〔2〕假設(shè)f〔x〕≤1，求a的取值范圍．

2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕〔新課標(biāo)Ⅱ〕一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1．D；2．A；3．B；4．B；5．A；6．A；7．B；8．C；9．C；10．A；11．C；12．D；一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。=+．2．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕集合A={〔x，y〕|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z〕，那么A中元素的個(gè)數(shù)為〔〕A．9B．8C．5D．4即集合A中元素有9個(gè)，應(yīng)選：A．3．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕函數(shù)f〔x〕=的圖象大致為〔〕A．B．C．D．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點(diǎn)的符號(hào)的特點(diǎn)分別進(jìn)展判斷即可．

=﹣f〔x〕，那么函數(shù)f〔x〕為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A，當(dāng)x=1時(shí)，f〔1〕=e﹣＞0，排除D．當(dāng)x→+∞時(shí)，f〔x〕→+∞，排除C，應(yīng)選：B．5．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕雙曲線=1〔a＞0，b＞0〕的離心率為，那么其漸近線方程為〔〕===，6．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，那么AB=〔〕BC=1，AC=5，那么AB=應(yīng)選：A．===4．7．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕為計(jì)算S=1﹣+﹣+…+﹣，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，那么在空白框中應(yīng)填入〔〕

8．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜測(cè)的研究中獲得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜測(cè)是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和〞，如30=7+23．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是〔〕D．和等于30的有〔7，23〕，〔11，19〕，〔13，17〕，共3種，那么對(duì)應(yīng)的概率P==，9．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，那么異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為〔〕【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線

AD1與DB1所成角的余弦值．∴A〔1，0，0〕，D1〔0，0，〕，D〔0，0，0〕，B1〔1，1，〕，==，10．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕假設(shè)f〔x〕=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是減函數(shù)，那么a的最大值是〔〕A．B．C．D．π【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)f〔x〕，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f〔x〕的一個(gè)減區(qū)間為[，]，結(jié)合條件即可求出a，k∈Z，取k=0，得f〔x〕的一個(gè)減區(qū)間為[，]，由f〔x〕在[﹣a，a]是減函數(shù)，

得那么a的最大值是．應(yīng)選：A．11．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕f〔x〕是定義域?yàn)椤博仭蓿?∞〕的奇函數(shù)，滿足f〔1﹣x〕=f〔1+x〕，假設(shè)f〔1〕=2，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔50〕=〔〕【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)展轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵f〔x〕是奇函數(shù)，且f〔1﹣x〕=f〔1+x〕，∴f〔1﹣x〕=f〔1+x〕=﹣f〔x﹣1〕，f〔0〕=0，那么f〔x+2〕=﹣f〔x〕，那么f〔x+4〕=﹣f〔x+2〕=f〔x〕，即函數(shù)f〔x〕是周期為4的周期函數(shù)，∵f〔1〕=2，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+f〔4〕=2+0﹣2+0=0，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔50〕=12[f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+f〔4〕]+f〔49〕+f〔50〕=f〔1〕+f〔2〕=2+0=2，=1〔a＞b＞0〕的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，那么P〔2c，c〕，代入直線AP：c=〔2c+a〕，整理得：a=4c，∴題意的離心率e==．應(yīng)選：D．

13．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕曲線y=2ln〔x+1〕在點(diǎn)〔0，0〕處的切線方程為y=2x．【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．當(dāng)x=0時(shí)，y′=2，∴曲線y=2ln〔x+1〕在點(diǎn)〔0，0〕處的切線方程為y=2x．故答案為：y=2x．14．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕假設(shè)x，y滿足約束條件，那么z=x+y的最大值為9．【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目的函數(shù)得答案．【解答】解：由x，y滿足約束條件化目的函數(shù)z=x+y為y=﹣x+z，作出可行域如圖，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣x+z過A時(shí)，z獲得最大值，由，解得A〔5，4〕，目的函數(shù)有最大值，為z=9．故答案為：9．

【分析】把等式兩邊平方化簡(jiǎn)可得2+2〔sinαcosβ+cosαsinβ〕=1，再利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)為2sin〔α+β〕【解答】解：sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，兩邊平方可得：cosα+2cosαsinβ+sinβ=0，②，22由①+②得：2+2〔sinαcosβ+cosαsinβ〕=1，即2+2sin〔α+β〕=1，∴2sin〔α+β〕=﹣1．∴sin〔α+β〕=．故答案為：．16．〔5分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，假設(shè)△SAB的面積為5，那么該圓錐的側(cè)面積為40π．【分析】利用條件求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側(cè)面積．【解答】解：圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，可得sin∠AMB=△SAB的面積為5，=．可得sin∠AMB=5，即×=5，即SA=4．SA與圓錐底面所成角為45°，可得圓錐的底面半徑為：=2．那么該圓錐的側(cè)面積：故答案為：40π．π=40π．三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。〔一)必考題：共60分。

17．〔12分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=﹣7，S3=﹣15．〔1〕求{an}的通項(xiàng)公式；【分析】〔1〕根據(jù)a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差數(shù)列{an}的公差，然后求出an即可；=及Sn的最小值．【解答】解：〔1〕∵等差數(shù)列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴an=﹣7+2〔n﹣1〕=2n﹣9；∴Sn===n2﹣8n=〔n﹣4〕2﹣16，18．〔12分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕如圖是某地區(qū)2000年至2021年環(huán)境根底設(shè)施投資額y〔單位：億元〕的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2021年的數(shù)據(jù)〔時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17〕建立模型①：+13.5t；根據(jù)2021年至2021年的數(shù)據(jù)〔時(shí)間計(jì)算t=19時(shí)，+×19=226.1；利用這個(gè)模型，求出該地區(qū)2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值是226.1億元；根據(jù)模型②：=99+17.5t，

利用這個(gè)模型，求該地區(qū)2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值是256.5億元；〔2〕模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠；從2021年到2021年間遞增的幅度較大些，19．〔12分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k〔k＞0〕的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．【分析】〔1〕方法一：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l〔2〕根據(jù)過A，B分別向準(zhǔn)線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得圓心，求得圓的方程．【解答】解：〔1〕方法一：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F〔1，0〕，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，|AB|=4，不滿足；那么∴直線l的方程y=x﹣1；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F〔1，0〕，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由拋物線的弦長(zhǎng)公式=∴直線l的方程y=x﹣1；〔2〕過A，B分別向準(zhǔn)線x=﹣1作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，過D作DD1⊥準(zhǔn)線l，垂足為D，那么|DD1|=〔|AA1|+|BB1|〕由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，那么r=|DD1|=4，以AB為直徑的圓與x=﹣1相切，且該圓的圓心為AB的中點(diǎn)D，由〔1〕可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，那么D〔3，2〕，過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=16．．

20．〔12分〕〔2021?新課標(biāo)Ⅱ〕如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．〔1〕證明：PO⊥平面ABC；【分析】〔1〕利用線面垂直的斷定定理證明PO⊥AC，PO⊥OB即可；〔2〕根據(jù)二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．【解答】解：〔1〕證明：∵AB=BC=2，O是AC的中點(diǎn)，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，設(shè)=λ=〔﹣2λ，2λ，0〕，0＜λ＜1那么=﹣=〔﹣2λ，2λ，0〕﹣〔﹣2，﹣2，0〕=〔2﹣2λ，2λ+2，0〕，那么平面PAC的法向量為=〔1，0，0〕，

那么?=﹣2y﹣2z=0，?=〔2﹣2λ〕x+〔2λ+2〕y=0令z=1，那么y=﹣，x=即=〔，﹣，1〕，=，即=，【分析】〔1〕通過兩次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證明，〔2〕別離參數(shù)可得a=在〔0，+∞〕只有一個(gè)根，即函數(shù)y=a與G〔x〕=的圖象在〔0，+∞〕只有一個(gè)交點(diǎn)．結(jié)合圖象即可求得a．【解答】證明：〔1〕當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f〔x〕=ex﹣x2．那么f′〔x〕=ex﹣2x，令g〔x〕=ex﹣2x，那么g′〔x〕=ex﹣2，令g′〔x〕=0，得x=ln2．當(dāng)∈〔0，ln2〕時(shí)，h′〔