高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法

解排列組合的幾種基本方法2015年12月23日高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個”元素，然后再進行整體排列.1.捆綁法例16人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不的排法？♀♀♀

♀♀

♀解：（1）分兩步進行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆綁)：第二步，甲乙兩個人的梱看作一個元素與其它的排隊：♀♀幾個元素必須相鄰時，先捆綁成一個元素，再與其它的進行排列.特殊元素優(yōu)先考慮高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法例27人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？♀♀♀

♀♀解：分兩步進行：♀♀幾個元素不能相鄰時,先排一般元素，再讓特殊元素插空.第1步，把除甲乙外的人排列：第2步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插空)：↑

↑

↑

↑

↑↑解決一些不相鄰問題時，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使問題得以解決.2.插空法：高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法例35個人站成一排，甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法？幾個元素順序一定的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個元素的順序或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了.3.消序法/倍縮法(留空法/空位法)解法1：將5個人依次站成一排，有解法2：先讓甲乙之外的三人從5個位置選出3個站好，有種站法，然后再消去甲乙之間的順序數(shù)∴甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為種站法，留下的兩個位置自然給甲乙有1種站法∴甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法變式：如下圖所示,有5橫8豎構(gòu)成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線?解:

如圖所示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7將一條路經(jīng)抽象為如下的一個排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四個↑和七個→組成!所以,四個↑和七個→一個排序就對應(yīng)一條路經(jīng),所以從A到B共有條不同的路徑.3.消序法(留空法)也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④順序一定的排列，有種排法.高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法④要明確堆的順序（分配）時，必須先分堆后再把堆數(shù)當(dāng)作元素個數(shù)作全排列.③若干個不同的元素局部“等分”有ｍ個均等堆，要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m!①若干個不同的元素“等分”為n個堆，要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以n!②非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積.分組（堆）分配問題的六個模型：不分配：①無序不等分；②無序等分；③無序局部等分；

(分配：④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)處理問題的原則：4.分組（堆）分配問題高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法

例4有四項不同的工程，要承包給三個工程隊，要求每個工程隊至少要得到一項工程.共有多少種不同的發(fā)包方式？

解法1：要完成承包這件事，可以分為兩個步驟：⑴先將四項工程分為三“堆”，有種分法；⑵再將分好的三“堆”依次給三個工程隊，有3!＝6種給法.∴共有6×6＝36種不同的發(fā)包方式.4.分組（堆）分配問題解法2：高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法n個相同小球放入m(m≤n)個盒子里，要求每個盒子里至少有一個小球的放法（等價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結(jié)點剪截成m段.）例5某校準備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學(xué)班，每班至少一個名額，則不同的分配方案共有___種.5.隔板法（剪截法）：解：問題等價于把16個相同小球放入4個盒子里，每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.將16個小球串成一串，截為4段有種截斷法，對應(yīng)放到4個盒子里.因此，不同的分配方案共有455種.高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法變式1：

某校準備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學(xué)班，每班的名額不少于該班的序號數(shù)，則不同的分配方案共有___種.解：問題等價于先給2班1個，3班2個，4班3個，再把余下的10個相同小球放入4個盒子里，每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.將10個小球串成一串，截為4段有種截斷法，對應(yīng)放到4個盒子里.因此，不同的分配方案共有84種.5.隔板法（剪截法）：高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法變式2：（1）求這個方程組的正整數(shù)解的組數(shù)？（2）求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)？高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法6.剔除法（間接法）

從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.（對立事件）例6從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標原點的直線有_________條.解：所有這樣的直線共有條，其中不過原點的直線有條，∴所得的經(jīng)過坐標原點的直線有210-180＝30條.

排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時，要注意使用相關(guān)知識對答案進行取舍.高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里，每個盒子放一個小球.要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列.7.錯位法：特別當(dāng)n=2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.（列舉）例7編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里，每個盒子放一個小球，其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有___種.解：選取編號相同的兩組球和盒子的方法有種，其余4組球與盒子需錯位排列有9種放法.故所求方法有15×9＝135種.高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法B鞏固練習(xí)2.5個人排成一排，其中甲、乙不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.6

B.12