可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型

可轉(zhuǎn)化為線性的多元非線性回歸模型

前面我們討論的經(jīng)濟(jì)問題，都是假定作為因變量的經(jīng)濟(jì)變量與作為解釋變量的經(jīng)濟(jì)變量之間存在著線性關(guān)系。由此建立線性回歸模型進(jìn)行線性回歸分析。這里所說的線性是指：（1）變量的線性，變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以X2或Xβ之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中；（2）參數(shù)的線性，因變量Y是各參數(shù)的線性函數(shù)。但是，在眾多的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，分析經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，根據(jù)某種經(jīng)濟(jì)理論和對實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題的分析，所建立的經(jīng)濟(jì)模型往往不符合上面的線性要求，即模型是非線性的，稱為非線性模型（Non-linearModel）?？赊D(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型說明在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動中，經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。如著名的恩格爾曲線（Englecurves）表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式，類似地還有生產(chǎn)函數(shù)等。但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運(yùn)用線性回歸模型的理論方法。這一部分我們要關(guān)注的是（1）如何將非線性模型轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性模型；（2）轉(zhuǎn)變后，偏回歸系數(shù)的含義?？赊D(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型

1、非線性回歸模型與變量的直接置換法

當(dāng)變量是非線性的，參數(shù)之間是線性時，可以利用變量直接代換的方法將模型線性化。因此，關(guān)于解釋變量的非線性問題都可以通過變量置換變成線性問題。一、模型的類型與變換

對于以下形式的非線性方程，我們可以直接進(jìn)行變量代換轉(zhuǎn)換為線性方程：可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型令令令令令可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型模型特點(diǎn)：隨著X無限增大，項趨于0，Y趨于極限值。分三種類型：1>00<0XY-01>00>0XY01<00>0XY0平均固定成本與產(chǎn)出水平菲利普斯曲線恩格爾曲線倒數(shù)模型的線性化：令，原方程變?yōu)椋篩=0+1Zi+i在以上的這幾類模型形式中：（1）倒數(shù)模型可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型（2）雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型6可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型（2）多項式回歸模型

多項式回歸模型通常用于描述生產(chǎn)成本函數(shù)，其一般形式為：其中，Y表示總成本，X表示產(chǎn)出，P為多項式的階數(shù)，一般不超過四階。多項式回歸模型中，解釋變量X以不同冪次出現(xiàn)在方程的右端。這類模型也僅存在變量非線性，因而很容易線性化，可用OLS法估計模型。可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型（3）半對數(shù)模型

半對數(shù)模型指的是應(yīng)變量和解釋變量中一個為對數(shù)形式而另一個為線性的模型。被解釋變量為對數(shù)形式的稱為對數(shù)-線性模型（log-linmodel）。解釋變量為對數(shù)形式的稱為線性-對數(shù)模型（lin-logmodel）。

可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型我們先介紹對數(shù)-線性模型，其形式如下：對數(shù)-線性模型中，斜率的含義是Y的百分比變動，即解釋變量X變動一個單位引起的應(yīng)變量Y的百分比變動。這是因?yàn)?，利用微分可以得出：可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型

這表明，系數(shù)度量的是解釋變量X的單位變動所引起的應(yīng)變量Y的相對變動。

對數(shù)-線性方程又稱增長模型，通常我們用這類估計許多變量的增長率。如果x取“時間”t，即按時間順序依次取值為1，2，…，T，變量t的系數(shù)1

度量了ln(Y)隨時間向前推進(jìn)產(chǎn)生的變化。如果1為正，則有隨時間向上增長的趨勢；如果1為負(fù)，則有隨時間向下的趨勢，因此t可稱為趨勢變量。

例如，我們可以通過估計下面的半對數(shù)模型

得到一國GDP的年增長率的估計值，這里t為時間趨勢變量?？赊D(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型例：求1956-1970年美國個人可支配收入的增長率。X2:個人可支配收入，X3:時間變量模型：lnX2i=1+2ti+i求解過程結(jié)果：

，說明1956-1970年間，美國個人可支配收入每年增長4.23%。比較線性趨勢模型：X2i=b2+b23ti+ib23=17.13，說明個人可支配收入每年平均增長17個單位?？赊D(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型

另外，線性-對數(shù)模型的形式如下：

與前面類似，我們可用微分得到

因此這表明

上式表明，Y的絕對變動量等于乘以X的相對變動量。因此，線性-對數(shù)模型通常用于研究解釋變量的相對變動引起的因變量的絕對變動量是多少這類問題?？赊D(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型（4）雙對數(shù)模型

雙對數(shù)模型的應(yīng)用非常廣泛，其原因在于，由于回歸線是一條直線（Y和X都是對數(shù)形式），所以它的斜率為一常數(shù)。

由于這個特殊的性質(zhì)，雙對數(shù)模型又稱為不變彈性模型。可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型例：美國咖啡需求：1970-1980美國咖啡消費(fèi)（Y）與平均真實(shí)零售價格（X）數(shù)據(jù)，（X=名義價格/食品與飲料的消費(fèi)者價格指數(shù)，1967年=100），求咖啡消費(fèi)函數(shù)。散點(diǎn)圖：確定函數(shù)形式：Y-X;lnY-lnX建立模型：lnY=+lnX+i參數(shù)估計：可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型咖啡需求的價格彈性為-0.253可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型直接置換法一般步驟1、根據(jù)有關(guān)理論或變量之間的散點(diǎn)圖判斷回歸模型形式。2、根據(jù)模型本身特點(diǎn)對模型或數(shù)據(jù)進(jìn)行變量變換，使變換后的模型或數(shù)據(jù)具有線性回歸模型形式。3、對變換后的線性模型進(jìn)行擬合，并進(jìn)行回歸檢驗(yàn)。4、對檢驗(yàn)符合要求的模型用原變量寫出回歸模型，并用于預(yù)測或控制，對檢驗(yàn)不符合要求的模型重新擬合，直到符合要求為止。可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型

2、非線性回歸模型與變量的間接置換在某些經(jīng)濟(jì)問題中，經(jīng)濟(jì)變量之間的非線性關(guān)系，不能通過直接變量代換轉(zhuǎn)化為線性形式，需要先通過函數(shù)形式的變形后再進(jìn)行變量代換，轉(zhuǎn)化為線性形式，這種置換方法稱為間接置換法。進(jìn)行變量間接代換應(yīng)用最廣泛的模型就是指數(shù)模型與冪函數(shù)模型?？赊D(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型（1）指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型的一般形式為

對上式兩邊取對數(shù)得到令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型；可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型（2）冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型的一般形式為：對上式兩邊取對數(shù)得到：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型：可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型

冪函數(shù)模型常用于人口增長、產(chǎn)值或利潤增長、勞動生產(chǎn)率以及就業(yè)等問題。這類模型的一般形式為：

可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型以柯布—道格拉斯（Cobb—Douglas）生產(chǎn)函數(shù)模型為例

下表列出了1955-1974年間墨西哥的產(chǎn)出Y（用國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP度量，以1960年不變價格計算，單位為百萬比索）、勞動投入X2（用總就業(yè)人數(shù)度量，單位為千人）以及資本投入X3（用固定資本度量，以1960年不變價格計算，單位業(yè)百萬比索）的數(shù)據(jù)，試用回歸分析法解釋在墨西哥國內(nèi)生產(chǎn)總值產(chǎn)出中，各要素的貢獻(xiàn)及其產(chǎn)出特點(diǎn)。例題：可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型表墨西哥的實(shí)際GDP、就業(yè)人數(shù)和實(shí)際固定資本

可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型解：根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，運(yùn)用Eviews4.1回歸,輸出結(jié)果如下：可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型回歸方程為：

t=(-2.73)(1.83)(9.06)p=(0.0144*)(0.085)(0.000**)R2=0.995,F=1719.365

對回歸方程解釋如下：

斜率系數(shù)0.3397表示產(chǎn)出對勞動報酬的彈性，即表明在資本投入保持不變的條件下，勞動投入每增加一個百分點(diǎn)，平均產(chǎn)出將增加0.3397個百分點(diǎn)。同樣地，在勞動投入保持不變的條件下，資本投入每增加一個百分點(diǎn)，產(chǎn)出將平均增加0.8640個百分點(diǎn)。兩個彈性系數(shù)相對為規(guī)模報酬參數(shù)，其數(shù)值等于1.1857，表明墨西哥經(jīng)濟(jì)的特征是規(guī)模報酬遞增的（如果數(shù)值等于1，屬于規(guī)模報酬不變；小于1，則屬于規(guī)模報酬遞減）?？赊D(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型

雖然資本對產(chǎn)出的影響看似大于勞動力對產(chǎn)出的影響，但根據(jù)單邊檢驗(yàn)的結(jié)果，這兩個系數(shù)各自均是統(tǒng)計顯著的（這是用單邊檢驗(yàn)，因?yàn)槲覀冾A(yù)期勞動力和資本對產(chǎn)出影響都是正向的）估計的F值也是高度相關(guān)的（因?yàn)閜值幾乎為零），因此能夠拒絕零假設(shè)：勞動力與資本對產(chǎn)出無影響。

R2值為0.995，表明勞動力和資本（對數(shù)）解釋了大約99.5%的產(chǎn)出（對數(shù)）的變動，說明了模型很好地擬合了樣本數(shù)據(jù)。

可轉(zhuǎn)化為線性的非線性回歸模型

3、復(fù)雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法

例如，著名的CES生產(chǎn)函數(shù)將產(chǎn)出量Q與投入要素（）之