2022年山東省煙臺市牟平縣龍泉鎮(zhèn)職業(yè)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022年山東省煙臺市牟平縣龍泉鎮(zhèn)職業(yè)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)α為第四象限的角，若=，則tanα=（） A．﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣3參考答案：A2.函數(shù)的反函數(shù)是A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B3.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則圖象的解析式是（

）A．

B． C．

D．參考答案：C略4.復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：C試題分析：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，所以位于第三象限。選C考點：復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算5.將函數(shù)的圖像向右平移個單位后所得的圖像的一個對稱軸是

A．B．C．D．參考答案：A6.已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D

因為的最小值為,結(jié)合函數(shù)圖像如圖所示:分析可得.故D正確.考點：1函數(shù)方程,零點;2數(shù)形結(jié)合思想.7.已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（xy）+﹣f（x）﹣f（y）=0，若一族平行線x=xi（i=1，2，…，n）分別與y=f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），且xi，2f（1），xn﹣i+1成等比數(shù)列，其中i=1，2，…，n，則=（）A．2n B．1 C． D．參考答案：C【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】利用xi，2f（1），xn﹣i+1成等比數(shù)列，得xixn﹣i+1=1，f（xi）+f（xn﹣i+1）=f（xixn﹣i+1）+=1，求出2=1+1+…+1=n，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，f（1）=，∵xi，2f（1），xn﹣i+1成等比數(shù)列，∴xixn﹣i+1=1，∴f（xi）+f（xn﹣i+1）=f（xixn﹣i+1）+=1，∴2=1+1+…+1=n，∴=故選：C．8.若、為銳角，滿足，則的最大值為

（

）A．

B．

C．1

D．參考答案：A9.如圖，過拋物線的右焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線于點C，若，且，則p=（

）A.2 B.3C.4 D.6參考答案：C【分析】如圖作輔助線，根據(jù)拋物線的定義可知，，，根據(jù)和，可得和，解出值.【詳解】過點作準(zhǔn)線的垂線交于，過點作準(zhǔn)線的垂線，交于，準(zhǔn)線與軸交于點，根據(jù)拋物線的定義可知，，，，，解得：，①，，②由①②解得：.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義和應(yīng)用，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題型.10.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為（

）A．

B．1

C．

D．－1參考答案：B由題意，，選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前n項和為，則的值為

．參考答案：15

∵，∴，，∴．12.已知a、b均為正數(shù)，且，則當(dāng)a=_____時，代數(shù)式的最小值為________.參考答案：

【分析】根據(jù)，結(jié)合分式運(yùn)算的性質(zhì)，對式子進(jìn)行恒等變形，最后利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】.因為均為正數(shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，因此當(dāng)時，代數(shù)式的最小值為.故答案為：；【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了分式加法的運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13.定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時，f（x）=﹣log2x，則f（﹣）=

；使f（x）＜0的x的取值范圍是

．參考答案：﹣2,（﹣1，0）∪（1，+∞）.考點：其他不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由條件利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得則f（﹣）=﹣f（），計算可得結(jié)果．再根據(jù)f（x）在（﹣∞，0）上也是減函數(shù)，且f（﹣1）=﹣f（1）=0，可得f（x）＜0的x的取值范圍．解答： 解：對于定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時，f（x）=﹣log2x，則f（﹣）=﹣f（）=﹣（﹣log2）=log2=﹣2．由于奇函數(shù)f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是減函數(shù)，故f（x）在（﹣∞，0）上也是減函數(shù)．再由f（﹣1）=﹣f（1）=0，可得f（x）＜0的x的取值范圍是（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案為：﹣2；（﹣1，0）∪（1，+∞）．點評：本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.在大小相同的4個小球中，2個是紅球，2個是白球，若從中隨機(jī)抽取2個球，則所抽取的球中至少有一個紅球的概率是___________.參考答案：略15.在二項式的展開式中，常數(shù)項的值是，則=

.參考答案：略16.函數(shù)f(x)=的定義域為______________.參考答案：略17.在等比數(shù)列中,若,則的值為_________.參考答案：160三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}滿足a1=9，其前n項和為Sn，對n∈N*，n≥2，都有Sn=3（Sn﹣1+3）（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅱ）求證：數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列．參考答案：【考點】等比關(guān)系的確定；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）由已知得an+1=3an．從而{an}是公比為3，首項為9的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的通項公式．（Ⅱ）求出Sn=﹣+﹣3n，從而=?3n=，由此能證明數(shù)列{}是以為首項，公比為3的等比數(shù)列．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=3（Sn﹣1+3），∴Sn+1=3（Sn+3），∴an+1=3an．故{an}是公比為3，首項為9的等比數(shù)列，∴an=3n+1．﹣﹣﹣證明：（Ⅱ）因為，所以Sn==﹣+﹣3n，所以，=?3n=，==，==3．故，數(shù)列{}是以為首項，公比為3的等比數(shù)列．19.已知數(shù)列滿足遞推式，其中

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）并求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）已知數(shù)列有求數(shù)列的前n項和。

參考答案：解：（Ⅰ）由，及知得同理得

------（3分）（Ⅱ）由得所以，數(shù)列{}是首項為，公比為2的等比數(shù)列

，

所以，數(shù)列的通項公式為

------（3分）（Ⅲ）∵

∴=∴

①

②

由①-②錯位相減得：

故：

------（4分）20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知函數(shù)定義域是，且，，當(dāng)時，．（1）證明：為奇函數(shù)；（2）求在上的表達(dá)式；（3）是否存在正整數(shù)k，使得時，有解，若存在求出k的值，若不存在說明理由．解：參考答案：解：(1),所以的周期為2，所以,所以為奇函數(shù)．（2）因為，所以當(dāng)時，．（3）任取

所以不存在這樣的，使得時，有解．

21.已知函數(shù)f（x）=（x2﹣x）ex（1）求y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=g（x），并證明f（x）≥g（x）（2）若方程f（x）=m（m∈R）有兩個正實數(shù)根x1，x2，求證：|x1﹣x2|＜+m+1．參考答案：【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，可得切線方程，構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論；（2）（x2﹣x）ex≥e（x﹣1），設(shè)y=m與y=﹣x和y=e（x﹣1）的兩個交點的橫坐標(biāo)為x3，x4，x3＜x1＜x2＜x4，即可證明結(jié)論．【解答】證明：（1）f′（x）=（x2+x﹣1）ex，f′（1）=e，f（1）=0，∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=g（x）=e（x﹣1），設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），則h′（x）=（x2+x﹣1）ex﹣e，h″（x）=（x2+3x）ex，令h″（x）=0，可得x=﹣3或x=0，函數(shù)y=h′（x）在（﹣∞，﹣3），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣3，0）上單調(diào)遞減，∵，∴x∈（﹣∞，1），h′（x）＜0，y=h（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞，），h′（x）＞0，y=h（x）單調(diào)遞增，∴h（x≥h（1）=0，∴f（x）≥g（x）；（2）∵y=f（x）在x=0處的切線方程為y=﹣x，則（x2﹣x）ex≥﹣x又（x2﹣x）ex≥e（x﹣1），設(shè)y=m與y=﹣x和y=e（x﹣1）的兩個交點的橫坐標(biāo)為x3，x4，∴x3＜x1＜x2＜x4，∴|x1﹣x2|＜x4﹣x3=+m+1．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，屬于中檔題．22.如圖，A、B是圓O上的兩點，且AB的長度小于圓O的直徑，直線l與AB垂于點D且與圓O相切于點C．若AB=2，DB=1（1）求證：CB為∠ACD的角平分線；（2）求圓O的直徑的長度．參考答案：【考點】與圓有關(guān)的比例線段；圓周角定理．【專題】選作題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；推理和證明．【分析】（1）由切割線定理得CD2=DA?DB=3，證明∠ACB=∠CAB，利用CD為圓O的切線，∠BCD=∠，可得∠BCD=∠ACB，即可證明CB為∠ACD的角平分線；（2）連結(jié)AO并延長交圓O于點E，連結(jié)CE，求出AE，即可求圓O的直徑的長度．【解答】（1）證明：由切割線定理得CD2=DA?DB=3，∴…又∵在Rt△CDB中，CB2=CD2+BD2=3+1=4…∴在Rt△CBA中，CB=AB=2，∴∠ACB=∠CAB…又∵CD為圓O的切線，∴∠BCD=∠CAB…∴∠BCD=∠ACB，CB為∠ACD的角平分線

…（2）解：連結(jié)AO并延長交圓O于點E，連結(jié)CE，設(shè)DC延長線上一點為F，則