2021-2022學年山西省太原市英才中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學年山西省太原市英才中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，若關于x的方程f[f（x）]=0有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】利用換元法設f（x）=t，則方程等價為f（t）=0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)求出t=1，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【解答】解：令f（x）=t，則方程f[f（x）]=0等價為f（t）=0，由選項知a≠0，當a＞0時，當x≤0，f（x）=a?2x＞0，當x＞0時，由f（x）=log2x=0得x=1，即t=1，作出f（x）的圖象如圖：若a＜0，則t=1與y=f（x）只有一個交點，恒滿足條件，若a＞0，要使t=1與y=f（x）只有一個交點，則只需要當x≤0，t=1與f（x）=a?2x，沒有交點，即此時f（x）=a?2x＜1，即f（0）＜1，即a?20＜1，解得0＜a＜1，綜上0＜a＜1或a＜0，即實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0）∪（0，1），故選：B．2.有下列四種變換方式：①向左平移,再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?②橫坐標變?yōu)樵瓉淼?再向左平移;③橫坐標變?yōu)樵瓉淼?再向左平移;④向左平移,再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?其中能將正弦曲線的圖像變?yōu)榈膱D像的是（

）A.①③

B.①②

C.②④

D.①②④參考答案：B3.

已知函數(shù)(a>0,a≠1)的圖象如圖所示，則a,b滿足的關系是

(

）A．0<a<b<1

B．0<b<a<1

C．0<a<1<b

D．0<b<1<a參考答案：A4.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù),其圖象過點,又f(x)的圖象關于點對稱,且在區(qū)間上是減函數(shù)，則=(A).

(B)

(C)

(D)參考答案：C5.拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個正方體，使正方體的一個面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊，則此正方體的棱長是（A）1

（B）2

（C）

（D）參考答案：B，做出軸截面，設正方體的邊長為，則，為面的對角線，所以，所以，代入得。所以，即，解得，所以正方體的體積為。選B.【答案】略6.割補法在我國古代數(shù)學著作中稱為“出入相補”，劉徽稱之為“以盈補虛”，即以多余補不足，是數(shù)量的平均思想在幾何上的體現(xiàn)。下圖揭示了劉徽推導三角形面積公式的方法。在△ABC內(nèi)任取一點，則該點落在標記“盈”的區(qū)域的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)題意可得該點落在標記“盈”的區(qū)域的面積為三角形面積的四分之一，即可得解.【詳解】由題得.所以“盈”的區(qū)域的面積等于“虛”的區(qū)域的面積.而“虛”的區(qū)域占矩形區(qū)域的面積的四分之一，所以該點落在標記“盈”的區(qū)域的面積為三角形面積的四分之一，故該點落在標記“盈”的區(qū)域的概率為，故選：．【點睛】本題考查了幾何概型的概率公式，考查了數(shù)學文化知識，屬于基礎題7.已知x∈（﹣，0），cosx=，則tan2x=(

) A． B． C． D．參考答案：D考點：二倍角的正切．專題：計算題．分析：由cosx的值及x的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinx的值，進而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函數(shù)公式變形后，將tanx的值代入即可求出值．解答： 解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，則tan2x===﹣．故選D點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關系，以及二倍角的正切函數(shù)公式．學生求sinx和tanx時注意利用x的范圍判定其符合．8.等比數(shù)列{an}中，前n項的和為Sn，已知a3=，則S6等于(

) A． B．9或 C． D．9或參考答案：B考點：等比數(shù)列的前n項和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：分類討論：當q=1時S6=9；當q≠1時可得a1和q的方程組，解方程組代入求和公式可得．解答： 解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，當q=1時，顯然滿足a3=，此時S6=6×=9；當q≠1時，可得a1q2=a3=，a1+a1q+a1q2=S3=，解得a1=6，q=，∴S6==綜上可得S6等于9或故選：B點評：本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及分類討論的思想，屬基礎題．9.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交拋物線于A，B兩點（A在第一象限），過點A作準線l的垂線，垂足為E，若∠AFE=60°，則△AFE的面積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，利用夾角公式，求出A的坐標，即可計算三角形的面積．【解答】解：拋物線的焦點為F（1，0），準線方程為x=﹣1．設E（﹣1，2a），則A（a2，2a），∴kAF=，kEF=﹣a，∴tan60°=，∴a=，∴A（3，2），∴△AFE的面積為=4故選：A．10.定義在區(qū)間[a，b]（b＞a）上的函數(shù)的值域是，則b﹣a的最大值M和最小值m分別是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象．【專題】三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】利用兩角差的正弦化簡得，f（x）=sin（），由函數(shù)f（x）在上的值域為，不妨設，可得b﹣∈[]，由此可得b﹣a的最大值M和最小值m的值．【解答】解：=sin（），∵x∈[a，b]（b＞a），∴，由函數(shù)f（x）在上的值域為，不妨設，則b﹣∈[]，∴b﹣a的最大值M=；最小值m=．故選：D．【點評】本題考查兩角差的正弦，考查了三角函數(shù)的值是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{}的前幾項為：用觀察法寫出滿足數(shù)列的一個通項公式＝＿＿＿參考答案：，或12.若(n為正偶數(shù))的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則第5項是

．參考答案：x613.已知向量的夾角為，且，，則

．參考答案：2根據(jù)向量的點積運算得到，向量的夾角為，，故，計算得到.故答案為2.

14.對于任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍______.參考答案：15.直線與曲線的交點為，過點作軸的垂線，這條垂線與曲線的交點為，則線段的長度為

．參考答案：16.設滿足條件的點構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為，滿足條件的點構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為（其中，分別表示不大于x，y的最大整數(shù)，例如，），給出下列結(jié)論：①點在直線左上方的區(qū)域內(nèi)；②點在直線左下方的區(qū)域內(nèi)；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是___________．參考答案：①③；17.設x，y滿足約束條件則z=x﹣3y的取值范圍為．參考答案：[﹣2，4]【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，解得A（，），聯(lián)立，解得B（4，0），由圖可知，當目標函數(shù)z=x﹣3y過A時，z有最小值為﹣2；當目標函數(shù)z=x﹣3y過B時，z有最大值為：4．故答案為：[﹣2，4]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設a∈R，函數(shù)f(x)＝lnx－ax.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）已知（e為自然對數(shù)的底數(shù)）和x2是函數(shù)f(x)的兩個不同的零點，求a的值并證明：x2＞e.參考答案：解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為（0，＋∞）.求導數(shù)，得f′(x)＝－a＝.①若a≤0，則f′(x)＞0，f(x)是（0，＋∞）上的增函數(shù)，無極值；②若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝.當x∈（0，）時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)；當x∈（，＋∞）時，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù).所以當x＝時，f(x)有極大值，極大值為f()＝ln－1＝－lna－1.綜上所述，當a≤0時，f(x)的遞增區(qū)間為（0，＋∞），無極值；當a＞0時，f(x)的遞增區(qū)間為（0，），遞減區(qū)間為（，＋∞），極大值為－lna－1.…（6分）（2）因為x1＝是函數(shù)f(x)的零點，所以f()＝0，即－a＝0，解得a＝.所以f(x)＝lnx－.因為f(e)＝－＞0，f(e)＝－＜0，所以f(e)f(e)＜0.由（1）知，函數(shù)f(x)在（2，＋∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間（e，e）上有唯一零點，因此x2＞e.………………（12分）19.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講若實數(shù)a，b滿足ab>0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．(Ⅰ)求m的最大值；(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b對任意的a，b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

參考答案：(Ⅰ)解：由題設可得b=>0，∴a>0．∴a+b=a+=≥3，當a=2，b=1時，a+b取得最小值3，∴m的最大值為3．···········································5分(Ⅱ)解：要使2|x-1|+|x|≤a+b對任意的a，b恒成立，須且只須2|x-1|+|x|≤3．用零點區(qū)分法求得實數(shù)x的取值范圍是-≤x≤．········································10分20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)，（Ⅰ）實數(shù)m的取值集合為A，當m取集合A中的最小值時，定義數(shù)列滿足且，求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若,數(shù)列的前n項和為，求證：.參考答案：（1）由題意得f′（x）=﹣3x2+m，∵f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函數(shù)，∴f′（x）=﹣3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，即m≥3x2，得m≥3，-----------------------------2分故所求的集合A為[3，+∞）；所以m=3，∴f′（x）=﹣3x2+3，∵，＞0，∴=3，即=3，∴數(shù)列{}是以3為首項和公比的等比數(shù)列，故；-------------------------------6分（2）由（1）得，bn=nan=，∴Sn=1?3+2?32+3?33+…+n?3n

①

3Sn=1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1

②①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1=﹣化簡得，Sn=＞．----------------------------12分21.（本小題滿分14分）正方體ABCD-A1B1C1D1中，點F為A1D的中點．（1）求證：A1B∥平面AFC；（2）求證：平面A1B1CD平面AFC．參考答案：證明：（1）連接BD交AC于點O，連接FO，則點O是BD的中點．∵點F為A1D的中點，∴A1B∥FO．……4分

又平面AFC，平面AFC，∴A1B∥平面AFC．………………7分

（2）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．…………9分又∵CD⊥平面A1ADD1，平面A1ADD1，∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD．……………

…………12分∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．而B1D平面A1B1CD，∴平面A1B1CD平面AFC．……………14分22.為了引導居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價，具體劃分標準如表：階梯級別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量月用水量范圍（單位：立方米）（0，10]（10，15]（15，+∞）從本市隨機抽取了10戶家庭，統(tǒng)計了同一個月的用水量，得到如圖所示的莖葉圖．（1）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數(shù)的分布列和均值；（2）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到n戶月用水量為第二階梯水量的可能性最大，求出n的值．參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；BA：莖葉圖；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）由莖葉圖可知：抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶．取到第二階梯水量的戶數(shù)X的取值可能為0，1，2，3．利用P（X=k）=，可得X的概率分布列及其數(shù)學期望．（2）設從全市依次隨機抽取10戶，抽到Y(jié)戶月用水量為第二階梯水量，則Y～B．P（Y=k）=（k=0，1，2，…，10）．設t==．由t＞1，可得k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．由t＜1，則k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），即可得出．【解答】解：（1）由莖葉圖可知：抽