高中數(shù)學(xué)必修4測(cè)試題附答案

高中數(shù)學(xué)必修4測(cè)試題附答案

數(shù)學(xué)必修4一、選擇題：1.正弦值等于（）3(A)3311(B)(C)(D)222.215°是（A）第一象限角（B）第二象限角（C）第三象限角（D）第四象限角3.角的終邊過點(diǎn)P（4，－3），則cos的值為（A）4/5（B）－3/5（C）3/5（D）－4/54.若sin<0，則角的終邊在（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第二、四象限（D）第三、四象限5.函數(shù)y=cos2x的最小正周期是（A）（B）2/3（C）2/5（D）26.給出下面四個(gè)命題：①AB+BA=；②AB+BC=AC；③AB－AC=BC；④AB=。其中正確的個(gè)數(shù)為（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)7.向量a=(1,2)，b=(2,1)，則（A）a∥b（B）a⊥b（C）a與b的夾角為60°（D）a與b的夾角為30°8.化簡(jiǎn)1sin2160°的結(jié)果是()（A）cos160°（B）cos160°（C）cos160°（D）09.函數(shù)y=2sin(2x)cos[2(x)]是（A）周期為/2的奇函數(shù)（B）周期為/2的偶函數(shù)（C）周期為的奇函數(shù)（D）周期為的偶函數(shù)10.函數(shù)y=Asin(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下，此函數(shù)的解析式為（B）y=2sin(2x/3)二、填空題11.已知點(diǎn)A（2，－4），B（－6,2），則AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）。12.若a=(2,3)與b=(4,y)共線，則y＝3/2。13.若tan=4/5，且為第三象限角，求sin的值為－3/5。14.已知a=1，b=2，a與b的夾角為/3，那么a+bab=1/2。15.函數(shù)y=sin2x2sinx的值域是y∈[3,1]。三、解答題16.(1)已知cos4=1/2，求cos2的值。解：cos4=2cos2^21，代入cos4=1/2得到2cos2^21=1/2，解得cos2=±(1±√3)/4。(2)已知tan=3，計(jì)算4sin2cos的值。解：由tan=3可得sin=3/√10，cos=1/√10，代入4sin2cos得到(12√102√10)/10=√10。17.已知向量a,b的夾角為60°，且|a|=2,|b|=1，(1)求ab；(2)求|a+b|。解：(1)ab=|a||b|cos60°=1，(2)|a+b|=√(a^2+b^2+2abcos60°)=√7。18.已知$a=(1,2),b=(-3,2)$，求$k$滿足：(1)$ka+b$與$a-3b$垂直；(2)$ka+b$與$a-3b$平行，且它們同向或反向。解：(1)$(ka+b)\cdot(a-3b)=0$，展開得$2k-38=0$，解得$k=19$。(2)$(ka+b)\parallel(a-3b)$，即$\frac{k-3}{1}=\frac{2k+2}{-3}$，解得$k=-\frac{41}{10}$。此時(shí)$ka+b=(-10,-4)$，與$a-3b=(10,-4)$方向相反。19.已知$OA=(3,1),OB=(-1,2),OC\perpOB,BC\parallelOA$，求滿足$OD+OA=OC$的$OD$的坐標(biāo)（$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)）。解：由$BC\parallelOA$，得$BC$的方向向量為$OA$的方向向量，即$(3,1)$。又由$OC\perpOB$，得$OC$的方向向量為$(2,-1)$。設(shè)$OD=(x,y)$，則$OC=OD+DC=OD+OA=(x+3,y+1)$。由$OD+OA=OC$，得$(x+3,y+1)=(a,b)$，其中$(a,b)$為$OC$的坐標(biāo)。又因?yàn)?OC\perpOB$，所以$(a,b)\cdot(-1,2)=0$，解得$a=2b$。代入$(x+3,y+1)=(a,b)$，得$x+3=2(y+1)$，即$x=2y-1$。綜上，$OD$的坐標(biāo)為$(2y-1,y)$，其中$y$為任意實(shí)數(shù)。20.某港口的水深$y$（米）是時(shí)間$t$（$0\leqt\leq24$，單位：小時(shí)）的函數(shù)。已知以下每天時(shí)間與水深的關(guān)系表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hlinet&3&6&9&12&15&18&21&24\\\hliney&10&13.9&7&10.1&15&10&7&10\\\hline\end{array}$$(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出$y=f(t)$的解析式；(2)若船舶航行時(shí)，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪幾段時(shí)間可以安全地進(jìn)出該港？解：(1)由于$y=f(t)$可近似看作$y=Asin\omegat+b$的形式，所以先畫出散點(diǎn)圖，找出一個(gè)周期內(nèi)的最大值和最小值。可見一個(gè)周期為12小時(shí)，最大值為15，最小值為7。設(shè)周期為$T=12$，則$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{6}$。又因?yàn)?A=\frac{15-7}{2}=4$，$b=\frac{15+7}{2}=11$，所以$y=4sin\frac{\pi}{6}t+11$。(2)要求水深至少為11.5米，即$4sin\frac{\pi}{6}t+11\geq11.5$，解得$t\leq2$或$t\geq10$。因此船舶在一天中的時(shí)間段為$t\in[0,2]\cup[10,24]$。21.已知$a=(3\sinx,m+\cosx),b=(\cosx,-m+\cosx)$，且$f(x)=ab$。(1)求函數(shù)$f(x)$的解析式；(2)當(dāng)$x\in\left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)$且$f(x)$取最小值$-4$時(shí)，求此時(shí)$f(x)$的最大值，并求出相應(yīng)的$x$的值。解：(1)$ab=(3\sinx,m+\cosx)(\cosx,-m+\cosx)=(3\sinx\cosx-m\cosx+\cos^2x,3\sinx\cosx+m\cosx-m^2\cosx-\sinx\cosx)$，即$f(x)=(3\sinx\cosx-m\cosx+\cos^2x)+(3\sinx\cosx+m\cosx-m^2\cosx-\sinx\cosx)i$?；?jiǎn)得$f(x)=(2\sinx\cosx-m\cosx+\cos^2x)-(m^2\cosx-2m\sinx\cosx+i\sinx\cosx)$。(2)由于$x\in\left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)$，所以$\cosx>0$，$\sinx\cosx>0$。令$f(x)=a+bi$，則$f(x)$的最小值為$-4$等價(jià)于$a=2\sinx\cosx-m\cosx+\cos^2x=-2$，$b=m^2\cosx-2m\sinx\cosx=\sinx\cosx$。解得$m=-\frac{1}{2}$，$\cosx=\frac{1}{2}$，$\sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。代入$f(x)$的表達(dá)式，得$f(x)=\frac{5}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}i$。又因?yàn)?x\in\left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)$，所以$x=-\frac{\pi}{6}$或$x=\frac{\pi}{3}$。因此$f(x)$的最大值為$\frac{5}{4}$，當(dāng)$x=-\frac{\pi}{6}$或$x=\frac{\pi}{3}$時(shí)取到。解題過程：1.第一段是解析幾何的題目，需要將其格式化，補(bǔ)充缺失的符號(hào)和數(shù)字，同時(shí)可以簡(jiǎn)化解題步驟。解：設(shè)$OC=(x,y)$，由題意得：$$\begin{cases}(x,y)-(-1,2)=\lambda(3,1)\\BC=\lambdaOA\end{cases}$$又有$x=2y$，代入第一個(gè)式子得$x+1=3\lambda$，解得$\lambda=\frac{x+1}{3}$。代入第二個(gè)式子得$BC=\frac{x+1}{3}\cdot2\sqrt{5}$，而$BC=OB-OC=\sqrt{5}-\sqrt{x^2+y^2}$。整理得到$x^2+y^2-2x-4y+3=0$。又因?yàn)?x=2y$，所以$y=7$，$x=14$，$OC=(14,7)$。2.第二段是數(shù)學(xué)分析的題目，需要將其格式化，補(bǔ)充缺失的符號(hào)和數(shù)字，同時(shí)可以簡(jiǎn)化解題步驟。解：由表中數(shù)據(jù)可以看到：水深最大值為$13$，最小值為$7$，$h=\frac{13+7}{2}=10$，$2A=\frac{13-7}{2}=3$。且相隔$9$小時(shí)達(dá)到一次最大值說明周期為$9$，因此$T=\frac{2\pi}{9}$，$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\cdot\frac{9}{2\pi}=9$。故$f(t)=3\sin(\omegat)+h=3\sin\left(\frac{18}{\pi}t\right)+10$，$0\leqt\leq24$。要想船舶安全，必須深度$f(t)\geq11.5$，即$3\sin\left(\frac{18}{\pi}t\right)+10\geq11.5$，解得$\sin\left(\frac{18}{\pi}t\right)\geq\frac{1}{6}$。解不等式得$9k\pi+\arcsin\frac{1}{6}\leqt\leq9k\pi+\pi-\arcsin\frac{1}{6}$，$k\inZ$。又因?yàn)?0\leqt\leq24$，所以船舶安全進(jìn)港的時(shí)間段為$(0:45-3:45)$，$(9:45-12:45)$，$(18:45-21:45)$。3.第三段是高中數(shù)學(xué)的題目，需要將其格式化，補(bǔ)充缺失的符號(hào)和數(shù)字，同時(shí)可以簡(jiǎn)化解題步驟。解：(1)$f(x)=ab=(3\sinx,m+\cosx)(\cosx,-m+\cosx)$，即$f(x)=3\sinx\cosx+\cos^2x-m^2$。代入$m=2$，得$f(x)=3\sinx\cosx+\cos^2x-4$。(2)$f(x)=\frac{3\sin^2x}{1+\cos^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x}{\sin^2x+\cos^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x}{1+\tan^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2x\tan^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2x\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2x\sin^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2x\sin^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{1-\cos^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x}{\sec^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x}{1+\tan^2x}-m^2$。代入$m=2$，得$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}