導體棒在磁場中的運動問題

F=FF=Fcosa-mg=0mg(R+r)sinaBd導體棒在磁場中的運動問題近十年的高考物理試卷和理科綜合試卷中，電磁學的導體棒問題復現率很高，且多為分值較大的計算題。為何導體棒問題頻繁復現，原因是:導體棒問題是高中物理電磁學中常用的最典型的模型，常涉及力學和熱學問題，可綜合多個物理高考知識點，其特點是綜合性強、類型繁多、物理過程復雜，有利于考查學生綜合運用所學的知識，從多層面、多角度、全方位分析問題和解決問題的能力;導體棒問題是高考中的重點、難點、熱點、焦點問題。導體棒問題在磁場中大致可分為兩類：一類是通電導體棒，使之平衡或運動;其二是導體棒運動切割磁感線生電。運動模型可分為單導體棒和雙導體棒。(一)通電導體棒問題通電導體棒題型，一般為平衡型和運動型，對于通電導體棒平衡型，要求考生用所學的平衡條件(包含合外力為零￡F=0，合力矩為零￡M=0)來解答，而對于通電導體棒的運動型，則要求考生用所學的牛頓運動定律、動量定理以及能量守恒定律結合在一起，加以分析、討論，從而作出準確的解答?！纠?】如圖3-9-8所示，相距為d的傾角為a的光滑平行導軌(電源的電動勢E和內阻r，電阻R均為己知)處于豎直向上磁感應強度為B的勻強磁場中，一質量為m的導體棒恰能處于平衡狀態(tài)，則該磁場B的大小為;當B由豎直向上逐漸變成水平向左的過程中，為保持導體棒始終靜止不動，則B的大小應是，上述過程中，B的最小值是 ?！窘馕觥看祟}主要用來考查考生對物體平衡條件的理解情況，同時考查考生是否能利用矢量封閉三角形或三角函數求其極值的能力.將圖3-9-8首先改畫為從右向左看的側面圖，如圖3-9-9所示，分析導體棒受力，并建立直角坐標系進行正交分解，也可采用共點力的合成法來做.￡F=0,￡F=0，即：F=F一Nsina=0②' &由①②得：tana=與mg由安培力公式：FB=Bid由閉合電路歐姆定律I=~R+r聯立③④⑤并整理可得：B=mg(R+r)tanaEd(2)借助于矢量封閉三角形來討論，如圖3-9-10所示在磁場由豎直向上逐漸變成水平的過程中，安培力由水平向右變成豎直向上，在此過程中，由圖3-9-10看出F先減小后增大，最終N=0,F.=mg，因而磁感應強度B也應先減小后增大.(3)由圖3-9-10可知，當Fb方向垂直于N的方向時F最小，其B最小，故：sina=—B而：FB=Bid ⑦I=rE~ ⑧聯立⑥⑦⑧可得：mgsina=B^d，R+r即b=mg(R+r)sinaminBd【答案】mg(R+r)tana,先減小后增大Ed點評:該題將物體的平衡條件作為重點，讓考生將公式和圖象有機地結合在一起，以達到簡單快速解題的目的，其方法是值得提倡和借鑒的。(二)棒生電類棒生電類型是電磁感應中最典型的模型，生電方式分為平動切割和轉動切割，其模型可分為單導棒和雙導棒。要從靜態(tài)到動態(tài)、動態(tài)到終態(tài)加以分析討論，其中分析動態(tài)是關鍵。對于動態(tài)分析，可從以下過程考慮:閉合電路中的磁通量發(fā)生變化-導體棒產生感應電流-導體棒受安培力和其他力作用-導體加速度變化-速度變化-感應電流變化-周而復始土地循環(huán)最后加速度減小至零—速度達到最大—導體做勻速直線運動.我們知道，電磁感應現象的實質是不同形式能量的轉化過程，因此，由功能觀點切入，分清楚電磁感應過程中能量的轉化關系，往往是我們解決電磁感應問題的關鍵，當然也是我們處理這類題型的有效途徑.單導棒問題【例9】如圖3-9-11所示，一對平行光滑軌道放置在水平面上，兩軌道間距L=0.20m，電阻R=1.0Q，有一導體棒靜止地放在軌道上，與兩軌道垂直，棒及軌道的電阻皆可忽略不計，整個裝置處于磁感應強度B=0.50T的勻強磁場中，磁場方向垂直軌道面向下.現用一外力F沿軌道方向拉棒，使之作勻加速運動，測得力F與時間t的關系如圖3-9-12所示。求棒的質量m和加速度a.【解析】此題主要用來考查學生對基本公式掌握的情況，是否能熟練將力電關系式綜合在一起，再根據圖象得出其加速度a和棒的質量m的值。從圖中找出有用的隱含條件是解答本題的關鍵。解法一:導棒在軌道上做勻加速直線運動，用v表示其速度，t表示時間，則有v=at①導體棒切割磁感線，產生感應電動勢：E=BLv②閉合電路中產生感應電流：I=E③R桿所受安培力：F=Bid④再由牛頓第二定律得：F-FB=ma⑤聯立①?⑤式得：F=ma+竺電at⑥R

在圖線上取兩點代入⑥式，可得:a=10m/s2,m=0.1kg.解法二:從F-1圖線可建立方程F=0.1t+1，①導體棒受拉力F和安培力F作用，做勻加速直線運動，其加速度恒定。其合力不隨時間t變化，并考慮初始狀態(tài)F=0，因而F的大小為F=0.1t ②再由牛頓第二定律：F-F=ma③聯立①②③可得：ma=1B ④又因為：F=Bid⑤而：I=E⑥E=BLv⑦R聯立⑤⑥⑦式得：F=冬⑧bRTOC\o"1-5"\h\zB2Lat 廠而v=at，故F= ⑨bR由②⑨得：0.1R 0.1x1.0 ,由②⑨得：a= = =10m/s2B2L (0.50)2x(0.20)2再由④與⑩式得：m=—=0.1kga【答案】m=0.1kg a=10m/s2點評:解法一采用了物理思維方法，即用力學的觀點,再結合其F-1圖象將其所求答案一一解出。解法二則采用了數學思維方法，先從F-1圖象中建立起相應的直線方程，再根據力學等知識一一求得，此解法不落窠臼，有一定的創(chuàng)新精神。此題不愧為電磁學中的經典習題，給人太多的啟發(fā)，的確是一道選拔優(yōu)秀人才的好題?！纠?0】如圖3-9-13所示，兩根豎直放置在絕緣地面上的金屬框架上端接有一電容量為C的電容器，框架上有一質量為m，長為L的金屬棒，平行于地面放置，與框架接觸良好且無摩擦，棒離地面的高度為h，磁感應強度為B的勻強磁場與框架平面垂直，開始時電容器不帶電，將棒由靜止釋放，問棒落地時的速度多大?落地時間多長？【解析】此題主要用來考查考生對勻變速直線運動的理解，這種將電容和導棒有機地綜合在一起，使之成為一種新的題型。從另一個側面來尋找電流的關系式，更有一種突破常規(guī)思維的創(chuàng)新，因而此題很具有代表性.金屬棒在重力作用下下落，下落的同時產生了感應電動勢。由于電容器的存在，在金屬棒上產生充電電流，金屬棒將受安培力的作用，因此，金屬棒在重力和安培力F的合力作用下向下運動，由牛頓第二定律得：mg-F=ma①bFB=BiL ②由于棒做加速運動，故v、a、E、F均為同一時刻的瞬時值，與此對應電容器上瞬時電量為Q=CE，而E=BLv，設在時間At內，棒上電動勢的變化量為AE，電容器上電量的增加量為AQ,顯然：AE=BLA③TOC\o"1-5"\h\zAQ=CAE ④

再根據電流和加速度的定義式i=AQ,a=氣⑤聯立①?⑤式得:a=一些一 ⑥m+B2L2C由⑥式可知，a與運動時間無關，且是一個恒量，故金屬棒做初速度為零的勻加速直線運動，其落地速度為v，則：v=、2ah ⑦將⑥式代入⑦式得：v= 2mgh ⑧m+B2L2C2h ■2h(m+B2L2C)落地時間可由h=at2得：t=、、—= a、vmg2h(m+B2L2C)mg2mgh

m+B2L2C【答案】點評:本題應用了微元法求出AQ2mgh

m+B2L2C【答案】【例11】如圖3-9-14所示，傾角為9=300，寬度為L=1m的足夠長的U型平行光滑金屬導軌固定在磁感應強度B=1T，范圍充分大的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌平面斜向上，現用平行導軌，功率恒為6W的牽引力F，牽引一根質量m=0.2kg，電阻R=1Q，放在導軌上的導棒ab，由靜止沿導軌向上移動(ab棒始終與導軌接觸良好且垂直)。當金屬導棒移動S=2.8m時，獲得穩(wěn)定速度，在此過程中金屬導棒產生的熱量為Q=5.8J,(不計導軌電阻及一切摩擦，取g=10m/s2)。問：導棒達到穩(wěn)定速度是多大？導棒從靜止達到穩(wěn)定速度所需時間是多少？【解析】此題主要考查考生是否能熟練運用力的平衡條件和能量守恒定律來巧解此題。當金屬導棒勻速沿斜面上升有穩(wěn)定速度v時，金屬體棒受力如圖3-9-15所示，由力的平衡條件則有：F一F一mgsin9=0①_E_F=BIL②I=r③E=BLv④F=- ⑤v由①?⑤可得：—一mgsin9一'R'=0整理得：PR一mgvRsin9一B2Lv2=0代入有關數據得：v2-v-6=0解得：v=2m/s,v=-3m/s(舍去)。(2)由能量守恒得：Pt=mgsin9xS+—mv2+Q,2代入數據可得：t=1.5s【答案】v=2m/st=1.5s點評:此題較一般電磁感應類型題更能體現能量轉化和守恒過程，因此，在分析和研究電磁感應中的導體

棒問題時，從能量觀點去著手求解，往往更能觸及該問題的本質，當然也是處理此類問題的關鍵.雙導體棒問題在電磁感應現象中，除了單導體棒問題外，還存在較多的雙導體棒問題，這類問題的顯著特征是:兩導棒在切害U磁感線時，相當于電池的串聯或并聯，組成閉合回路，而且，求解此類型問題的最佳途徑往往從能量守恒、動量守恒的角度出發(fā)，用發(fā)展、變化的目艮光，多角度、全方位地發(fā)散思維，尋求相關物理量和公式,挖掘隱含條件，采用"隔離法”或"整體法”(系統(tǒng)法)快捷作出解答。因此，雙導體棒問題更能反映考生的分析問題和解決問題的能力，特別是方法、技巧、思路均反映在解題中，是甄別考生層次、拉大差距的優(yōu)秀試題.【例12】如圖3-9-16所示，兩金屬導棒ab和cd長均為L，電阻均為R,質量分別為M和m，(M>m)。用兩根質量和電阻均可忽略的不可伸長的柔軟導線將它們連成閉合回路，并懸掛于水平、光滑、不導電的圓棒兩側，兩金屬導體棒都處于水平位置，整個裝置處在一與回路平面相垂直的勻強磁場中，磁感應強度為6,若金屬導體棒ab正好勻速向下運動，求運動的速度.【解析】此題主要用來考查考生對力學中的受力分析、力的平衡、電磁感應、歐姆定律和安培力公式的掌握,此題也可用多種方法去解答.解法一：采用隔離法，假設磁場B的方向是垂直紙面向里，ab棒向下勻速運動的速度為V，則ab棒切割磁感線產生的感應電動勢大?。篍=BLv，方向由a一b，cd棒以速度v向上切割磁感線運動產生感應電動勢，其大小為：E=BLv，方向由d一c.回路中的電流方向由a—b—d—c，大小為：[=鳥+烏=2BLv=BLv=12R二—2R—Rab棒受到的安培力向上，①cd棒受到安培力向下，大TOC\o"1-5"\h\z小均為：F=BIL=蟲^ ②①cd棒受到安培力向下，大b R當ab棒勻速下滑時，設棒受到的導線拉力為T，則對ab棒有：T+F=mg ③則對對cd棒有：T=F+mg ④由③④解得：2F^=(M-m)g ⑤再由②⑤可得：2B2L2V=(M-m)gR(M—m)gR2B2L解法二:采用整體法，把ab、cd柔軟導線視為一個整體，因為M>m，整體動力為(M—m)g，ab棒向下，cd棒向上，整體所受安培力與整體動力相等時正好做勻速向下運動，則有：(M—m)g=2B2L2VR所以得：(M一m)gR2B2L解法三:采用能量守恒法，將整個回路視為一個整體系統(tǒng)，因其速度大小不變，故動能不變。ab棒向下，所以得：(M一m)gR2B2L能減少，將轉化為回路的電能，由能量守恒定律得E2Mgv—mgv=—0-2RE0=2E ②①E=BLv(M一①E=BLv(M一m)gR-2B2L2點評:此題為典型的雙導體棒在磁場中運動的問題。并且兩根棒都切割磁感線產生感應電動勢，對整個回路而言，相當于電池組的串聯，整個回路中有電流流過,兩棒都受安培力，在末達到穩(wěn)定速度前，兩棒均做變加速運動，當加速度減為零時，速度為最大。從以上三種解法來看，解法三更顯簡便，思維靈活.【例13】如圖3-9-17所示，兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間距為L導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路。兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計。在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B，這兩根導體棒可沿導軌無摩擦地滑行，開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：(1)在運動中產生的焦耳熱最多是多少？(2)當ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?時，cd棒的加速度是多少？【解析】此題主要用來考查考生對雙導體棒運動的動態(tài)分析和終態(tài)推理以及兩個守恒定律的熟練掌握情況。此題是一道層次較高的典型水平面雙導體棒試題。ab棒向cd棒運動時，ab棒產生感應電動勢，由于通過導軌和cd棒組成回路，于是回路中便產生感應電流，ab棒受到與運動方向相反的安培力作用作減速運動，而cd棒則在安培力作用下作加速運動。在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路中總有感應電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速，兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，即不產生感應電流，兩棒以相同的速度V作勻速直線運動.從初始至兩棒達到速度相同的過程中，兩棒組成的系統(tǒng)動量守恒，則有：mv°=2mv ①再根據能量守恒有：-mv2=-(2m)v2+Q②2 。 2聯立①②兩式得:Q=4mv2設ab棒的速度變?yōu)槌跛俚?時，cd棒的速度為

TOC\o"1-5"\h\z-v，則再次由動重守恒定律可知：mv=m4v+mv③此時回路中的感應電動勢和感應電流分別3 _ E_是:E=BL"v0-v') ④I=— ⑤此時M棒所受安培力：FB=BIL⑥cd棒的加速度：a=m⑦聯立③?⑦得：a=絲、.4mR【答案】(1)Q=~mv2 (2)a='"匕0 4mR點評:此題將分析雙棒的初態(tài)、過渡態(tài)、終態(tài)以及整個過程的運動情況，各個物理量的變化情況和動量守恒、能量守恒仍然聯系在一起，確實達到了命題人綜合考查考生分析問題能力和解決問題能力的目的。充分體現了命題專家以綜合見能力的命題意圖，即"著眼綜合，立足基礎，突出能力”.此題的確是一道經典考題。通過對以上例題的分類處理、解析，從中發(fā)現，電磁學中的導體棒問題內涵的確豐富、靈活、新穎，涉及面廣，易于拓展和延伸，的確不愧為電磁學中的精華部分?！净顚W巧練】A.B.兩根相距為L的足夠長的金屬直角導軌如圖3-9-18所示放置，它們各有一邊在同一水平面內，另一邊垂直于水平面，質量均為m的金屬細桿ab、cd與導軌垂直接觸形成閉合回路，桿與導軌之間的動摩擦因數均為日，導軌電阻不計，回路總電阻為2R，整個裝置處于磁感應強度大小為B.方向豎直向上的勻強磁場中，當ab桿在平行于水平導軌的拉力F作用下以速度v1沿導軌勻速運動時，cd桿也正好以速度v向下勻速運動.重力加速度為g,以下說法正確的是()ab桿所受拉力F的大小為hmg+'”A.B.2Rcd桿所受摩擦力為零的規(guī)律.如圖3-9-20所示，在水平面上有兩條平行導電導軌MN、PQ，導軌間距離為l，勻強磁場垂直于導軌所在的平面(紙面)向里，磁感應強度的大小為B，兩根金屬桿1、2擺在導軌上，與導軌垂直，它們的質量和電阻分別為m、m和R、R，兩桿與導軌接觸良好，與1 2 1 2導軌間的動摩擦因數均為H，己知桿1被外力拖動，以恒定的速度v0沿導軌運動;達到穩(wěn)定狀態(tài)時，桿2也以恒定速度沿導軌運動，導軌的電阻可忽略，求此時桿2克服摩擦力做功的功率.4..一個邊長為L、質量為m、電阻為R的金屬絲方框，豎直放置，以初速度^水平拋出，框在重力場中運動，并且總是位于垂直于框面(即水平方向的磁場中，如圖3-9-21所示，己知磁感應強度的大小隨方框下降高度y的變化規(guī)律是B=B。+ky，式中k為恒定系數，同一水平面上磁感應強度相同，設重力加速度為g.試分析方框水平方向和豎直方向的運動情況；試確定方框的最終運動狀態(tài).5.如圖3-9-22所示，豎直平面內有一半徑為r、內阻為R、粗細均勻的光滑半圓形金屬球，在M、N處與相1距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R，已知R=12R，R=4R,在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應強度大小均為B。現有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從半圓環(huán)的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環(huán)及軌道接觸良好，平行軌道足夠長。已知導體棒ab下落r/2時的速度大小為v，下落到MN處的速度大小為v2。 1求導體棒ab從A下落r/2時的加速度大小。若導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II之間的距離h和R2上的電功率P.若將磁場II的CD邊界略微下移，導體棒ab剛進入磁場II時速度大小為v，要使其在外力F作用下做勻加速直線運動，加速度大小為a，求所加外力F隨時間變化的關系式。【參考答案】1.【解析】cd桿的速度方向與磁場方向平行，只有abC.C.桿運動時使回路內的磁通量發(fā)生變化，根據法拉第電由①?⑤得：由①?⑤得：F=hmg+B2Lv

r

2RD.H與v大小的關系為h=坐理1 B2Lv1如圖3-9-19所示，矩形裸導線框長邊的長度為21，，短邊的長度為l，在兩個短邊上均接有電阻R，其余部分電阻不計，導線框一長邊與x軸重合，左邊的坐標x=0，線框內有一垂直于線框平面的磁場，磁場 .一??一 兀x 的磁感應強度滿足關系B=B°sin(~2^),一光滑導體棒AB與短邊平行且與長邊接觸良好，電阻也是R.開始時導體棒處于x=0處，從t=0時刻起，導體棒AB在沿X方向的F作用下做速度為v的勻速運動，求:導體棒AB從x=0運動到x=21的過程中F隨時間t變化磁感應定律?；芈分械碾妱觿荩篍=BLv1 ①根據閉合電路的歐姆定律：I=旦②2Rab桿所受安培力：F=BIL③ab桿勻速運動有：F=F+f④又f=hmg⑤1回路中的電流：I=第⑥cd桿勻速運動：f=mg⑦

又：f=口又：f=口F=口竺竺-b 2RH=坐墮，所以，A、D正確B2L2v1D由⑦⑧得:TOC\o"1-5"\h\z2【解析】由于磁感應強度隨空間坐標變化，導體棒雖做勻速運動，其電動勢仍是變化的，標為x=vt ①t時刻演棒的坐感應電動勢：E=Blv=B1vsin(—^)0 2t時刻演棒的坐回路總電阻為R冶=R+~~R=1.5R總2回路感應電流：/=旦 ④R總棒做勻速運動，F=F安BI1 ⑤2B212vsin2(—x)聯立①?⑤解得：F= 2~3R-一—x2B212vsin2(—)[答案】F= 2-3R(0<t<當v(0<t<當v(0<t<21)v，由于兩桿運動時，兩桿間和導軌構成的回路中的磁通量發(fā)生變化，產生E感應電動勢E=B1尊-v)感應電流I=r+r1 2桿2做勻速運動，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，即BI1=hmg故導體桿2克服摩擦力做功的功率P=hm2gv，解得：P=Hmg[v—業(yè)/(R+R)]20 B212 1 2【答案】P=Hmg[v-Hm2g(R+R)]20B21212【解析】(1)方框水平方向的合力為零，做初速度為^的勻速直線運動；豎直方向受重力和安培力作用，0由于安培力是逐漸增大，故豎直方向上做初速度為零，加速度逐漸減小的加速運動.TOC\o"1-5"\h\z(2)最終當豎直方向上加速度為零時，方框運動達到穩(wěn)定狀態(tài)，此時有：BIL=BIL+mg①回路中的電動勢為：E=B2L1廣B1L\ ②回路電流為：I=~ ③R由已知條件得：B-B=ky-ky=kL④聯立①?④得方框在豎直方向上的最大速度為：v=m^ ⑤1k2L所以