2023年北京市房山區(qū)房山中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知角的終邊經(jīng)過點（3，-4），則的值為（）A． B． C． D．2．已知三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．4 C． D．3．把十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)為A． B．C． D．4．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前10項和為（）A． B． C． D．5．若向量，，則（）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且=．則A． B． C． D．7．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何的體積為（）立方單位．A． B．C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（0，1] D．（﹣1，0）9．在空間四邊形中，，，，分別是，的中點，，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．10．在等差數(shù)列中，若，則（）A．8 B．12 C．14 D．10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若采用系統(tǒng)抽樣的方法從420人中抽取21人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，…，420，則抽取的21人中，編號在區(qū)間[241,360]內(nèi)的人數(shù)是______12．圓上的點到直線4x+3y－12=0的距離的最小值是13．一水平位置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底平行于軸，底角為，兩腰和上底長均為１的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是．14．已知x、y滿足約束條件，則的最小值為________.15．已知點，,若直線與線段有公共點，則實數(shù)的取值范圍是____________.16．在等差數(shù)列中，若，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）＝asin（x）（a＞0）在同一半周期內(nèi)的圖象過點O，P，Q，其中O為坐標(biāo)原點，P為函數(shù)f（x）的最高點，Q為函數(shù)f（x）的圖象與x軸的正半軸的交點，△OPQ為等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）將△OPQ繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0＜α），得到△OP′Q′，若點P′恰好落在曲線y（x＞0）上（如圖所示），試判斷點Q′是否也落在曲線y（x＞0），并說明理由．18．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，求：（Ⅰ）頂點的坐標(biāo)；（Ⅱ）直線的方程19．已知函數(shù)f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范圍20．已知非零數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若關(guān)于的不等式有解，求整數(shù)的最小值；（3）在數(shù)列中，是否存在首項、第項、第項()，使得這三項依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由.21．銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，，求面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

先求出的值，即得解.【詳解】由題得，，所以.故選A【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

依據(jù)題中數(shù)據(jù)，利用勾股定理可判斷出從而可得三棱錐各面都為直角三角形，進(jìn)而可知外接圓的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積【詳解】如圖，因為,又，,從而可得三棱錐各面都為直角三角形，CD是三棱錐的外接球的直徑，在中，,,即，，故選B．【點睛】本題主要考查學(xué)生空間想象以及數(shù)學(xué)建模能力，能夠依據(jù)條件建立合適的模型是解題的關(guān)鍵．3、C【解析】選C.4、C【解析】

由判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，再求出，利用等比數(shù)列前項和公式求解即可.【詳解】由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，所以，由等比數(shù)列前項和公式，.故選：C【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，先由，求得，再求的坐標(biāo)．【詳解】因為，所以，所以．故選：B【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】試題分析：由正弦定理得，，由于，，，故答案為C.考點：正弦定理的應(yīng)用.7、D【解析】由三視圖可知幾何體是由一個四棱錐和半個圓柱組合而成的，所以所求的體積為，故選D.8、C【解析】

由題意可得在上為減函數(shù)，列出不等式組，由此解得的范圍.【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，其對稱軸為，∴可得，解得.故選：C.【點睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

平移兩條異面直線到相交，根據(jù)余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)的中點為，連接，所以，則是所成的角或其補角，又根據(jù)余弦定理得：，所以，異面直線與所成角的為，故選D.【點睛】本題考查異面直線所成的角和余弦定理.注意異面直線所成的角的取值范圍是.10、C【解析】

將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則由，，得解得，，所以．故選C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值，可通過構(gòu)建和的方程組求通項公式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】試題分析：由題意得，編號為，由得共6個.考點：系統(tǒng)抽樣12、【解析】

計算出圓心到直線的距離，減去半徑，求得圓上的點到直線的最小距離.【詳解】圓的圓心為，半徑.圓心到直線的距離為，故最小距離為.【點睛】本小題主要考查圓上的點到直線距離最小值的求法，考查點到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】如圖過點作，，則四邊形是一個內(nèi)角為45°的平行四邊形且，中，，則對應(yīng)可得四邊形是矩形且，是直角三角形，．所以14、－3【解析】

作出可行域，目標(biāo)函數(shù)過點時，取得最小值.【詳解】作出可行域如圖表示：目標(biāo)函數(shù)，化為，當(dāng)過點時，取得最大值，則取得最小值，由，解得，即，的最小值為.故答案為:【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)直線方程可確定直線過定點；求出有公共點的臨界狀態(tài)時的斜率，即和；根據(jù)位置關(guān)系可確定的范圍.【詳解】直線可整理為：直線經(jīng)過定點，又直線的斜率為的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)直線與線段的交點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠明確直線經(jīng)過的定點，從而確定臨界狀態(tài)時的斜率.16、【解析】

利用等差中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用等差中項的性質(zhì)求項的值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）見解析.【解析】

（1）由已知利用周期公式可求最小正周期T＝8，由題意可求Q坐標(biāo)為（1，0）．P坐標(biāo)為（2，a），結(jié)合△OPQ為等腰直角三角形，即可得解a的值．（2）由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，可求點P′，Q′的坐標(biāo)，由點P′在曲線y（x＞0）上，利用倍角公式，誘導(dǎo)公式可求cos2，又結(jié)合0＜α，可求sin2α的值，由于1cosα?1sinα＝8sin2α＝23，即可證明點Q′不落在曲線y（x＞0）上．【詳解】（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）＝asin（x）（a＞0）的最小正周期T8，所以函數(shù)f（x）的半周期為1，所以|OQ|＝1．即有Q坐標(biāo)為（1，0）．又因為P為函數(shù)f（x）圖象的最高點，所以點P坐標(biāo)為（2，a），又因為△OPQ為等腰直角三角形，所以a2．（Ⅱ）點Q′不落在曲線y（x＞0）上．理由如下：由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，所以點P′，Q′的坐標(biāo)分別為（2cos（），2sin（）），（1cosα，1sinα），因為點P′在曲線y（x＞0）上，所以3＝8cos（）sin（）＝1sin（2）＝1cos2α，即cos2，又0＜α，所以sin2α．又1cosα?1sinα＝8sin2α＝823．所以點Q′不落在曲線y（x＞0）上．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)，可得中點坐標(biāo)，代入直線可得；將點坐標(biāo)代入直線得，可構(gòu)造出方程組求得點坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)點關(guān)于的對稱點為，根據(jù)點關(guān)于直線對稱點的求解方法可求得，因為在直線上，根據(jù)兩點坐標(biāo)可求得直線方程.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，則中點坐標(biāo)為：，即：又，解得：，（Ⅱ）設(shè)點關(guān)于的對稱點為則，解得：邊所在的直線方程為：，即：【點睛】本題考查直線方程、直線交點的求解；關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用中點坐標(biāo)公式和點關(guān)于直線對稱點的求解方法，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）[0，].【解析】

(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x，∴f(α)＝＝＝＝.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋＝sin(2x＋)＋，∵≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin(2x＋)≤1，0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．本試題組要是考查了三角函數(shù)的運用.20、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，或.【解析】

（1）由條件可得，即，再由等比數(shù)列的定義即可得證；

（2）由等比數(shù)列的通項公式求得，，再由數(shù)列的單調(diào)性的判斷，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；

（3）假設(shè)存在首項、第項、第項()，使得這三項依次構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的中項的性質(zhì)和恒等式的性質(zhì)，可得，的方程，解方程可得所求值.【詳解】解：（1）證明：由，

得，即，

所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；

（2）由（1）可得，，則

故，

設(shè)，

則，

所以單調(diào)遞增，

則，于是，即，

故整數(shù)的最小值為；

（3）由上面得，，

設(shè)，

要使得成等差數(shù)列，即，

即，

得，

，

，

故為偶數(shù)，為奇數(shù)，

或.【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性求得最值，考查存在性問題的解法，注意運用恒等式