2022-2023學(xué)年河北省保定市安國(guó)小營(yíng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年河北省保定市安國(guó)小營(yíng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在三棱錐P—ABC中，∠APB=∠BPC=60°，PA=1，PB=，PC=，則三棱錐P—ABC的體積為(

)A、

B、

C、

D、參考答案：答案:B2.已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，，則球O的表面積為（）A．16π B．12π C．8π D．4π參考答案：A【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】由三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=AC=1，由此能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積．【解答】解：如圖，三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=AC=1，∴球O的半徑R==2，∴球O的表面積S=4πR2=16π．故選：A．3.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則b的取值范圍是(

)A.[0,4]

B.(－∞,0]∪[4,+∞)

C.(－∞,0)∪(4,+∞)

D.(0,4)參考答案：C4.已知A={1，2，5}，B={2，3，5}，則A∪B等于(

) A．{2，3} B．{2，5} C．{2} D．{1，2，3，5}參考答案：D考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：直接利用并集運(yùn)算得答案．解答： 解：∵A={1，2，5}，B={2，3，5}，則A∪B={1，2，5}∪{2，3，5}={1，2，3，5}．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了并集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)的會(huì)考題型．5.已知變量x，y滿足約束條件，則z=2x?4y的最大值為(

)A．64B．32C．2D．參考答案：B考點(diǎn)：基本不等式；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：計(jì)算題．分析：先畫出可行域，再把可行域的幾個(gè)角點(diǎn)分別代入，看哪個(gè)角點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值最大即可．解答： 解：由于目標(biāo)函數(shù)z=2x?4y=2x+2y，令m=x+2y，當(dāng)m最大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z就最大．畫出可行域如圖：可得點(diǎn)C（3，1）為最優(yōu)解，m最大為5，故目標(biāo)函數(shù)z=2x?4y=2x+2y的最大值為25=32，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，一般在求目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，常用角點(diǎn)法，就是求出可行域的幾個(gè)角點(diǎn)，分別代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出目標(biāo)函數(shù)的最值．6.右面是“二分法”解方程的流程圖．在①~④處應(yīng)填寫的內(nèi)容分別是A．f(a)f(m)<0

；a=m；是；

否B．f(b)f(m)<0

；b=m；是；

否C．f(b)f(m)<0

；m=b；是；

否D．f(b)f(m)<0

；b=m；否；

是參考答案：B7.已知，若恒成立，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：D8.生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．參考答案：B計(jì)測(cè)量過(guò)的3只兔子為1、2、3，設(shè)測(cè)量過(guò)的2只兔子為A、B則3只兔子的種類有,則恰好有兩只測(cè)量過(guò)的有6種，所以其概率為.

9.已知函數(shù)f（x）=，則f[f（﹣1）]等于（）A．3 B．2 C．﹣1+log27 D．log25參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣1）=2﹣（﹣1）=2，f[f（﹣1）]=f（2）=log28=3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意分段函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．10.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10:S5＝1:2，則S15:S5＝(

)

A．1:2

B．1:3

C．2:3

D．3:4參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a∈[0，6]，使得函數(shù)f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定義域?yàn)镽的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出使得函數(shù)f（x）的定義域是R的a的范圍，根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度的比值求出滿足條件的概率的值即可．【解答】解：若f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定義域?yàn)镽，則函數(shù)g（x）=ax2﹣ax+1＞0恒成立，a=0時(shí)，顯然成立，a≠0時(shí)，只需，解得：0＜a＜4，綜上，a∈[0，4），故滿足條件的概率p==，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查幾何概型問題，是一道中檔題．12.若函數(shù)（有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是

.參考答案：[Z。xx

略13.設(shè)常數(shù)a＞0.若對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，則a的取值范圍為

.參考答案：14.（x﹣）4（x﹣2）的展開式中，x2的系數(shù)為．參考答案：16【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】（x﹣）4展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1==x4﹣2r，分別令4﹣2r=2，4﹣2r=1，解得r，進(jìn)而得出．【解答】解：（x﹣）4展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1==x4﹣2r，令4﹣2r=2，解得r=1；令4﹣2r=1，解得r=舍去．∴（x﹣）4（x﹣2）的展開式中，x2的系數(shù)為=16．故答案為：16．15.我校在科藝節(jié)時(shí)進(jìn)行高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽，將考生的成績(jī)分成90分以下、90～120分、120～150分三種情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)三個(gè)成績(jī)段的人數(shù)之比依次5∶3∶1，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個(gè)容量為m的樣本，其中分?jǐn)?shù)在90～120分的人數(shù)是45，則此樣本的容量m＝________參考答案：135略16.平面向量，中，若=（4，﹣3），||=1，且?=5，則向量=

參考答案：（，﹣）【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】由，=（4，﹣3），||=1，得到cos＜＞=1，所以同向，所以，即可獲得答案【解答】解：∵||=5；∴cos＜＞=；∴同向；∴故答案為（）【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積以及向量共線的靈活運(yùn)用，對(duì)提高學(xué)生的思維能力有很好的訓(xùn)練17.已知函數(shù)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，

且g(3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是_

_.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，），且離心率e=．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)P(,0)，求k的取值范圍．參考答案：見解析【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】綜合題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由離心率得到a，c，b的關(guān)系，進(jìn)一步把橢圓方程用含有c的代數(shù)式表示，再結(jié)合點(diǎn)（1，）在橢圓上求得c，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0得到m2＜4k2+3，再結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得到MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，），求出MN的垂直平分線l′方程，由P在l′上，得到4k2+8km+3=0．結(jié)合m2＜4k2+3求得k的取值范圍【解答】解：（Ⅰ）由題意橢圓的離心率e=．∴=得a=2c，∴b2=a2﹣c2=3c2，∴橢圓方程為=1，又點(diǎn)（1，）在橢圓上∴=1，∴c2=1，∴橢圓的方程為+=1；（Ⅱ）設(shè)設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∵直線y=kx+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3，又x1+x2=﹣，∴MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，），設(shè)MN的垂直平分線l'方程：∵p在l′上即4k2+5km+3=0，，將上式代入得，∴，即∴k的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是中檔題．19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，且，證明：.參考答案：（1）因?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，對(duì)恒成立所以在上是增函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，由得或，則在，上遞增在上遞減；（2）設(shè)的兩個(gè)相異實(shí)根分別為，滿足，且，令的導(dǎo)函數(shù)，所以在上遞減由題意可知，故，所以，令，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以是減函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，所以，故，綜上所述，.20.設(shè)f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知f（x）在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x），利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）分別討論a的取值范圍，根據(jù)函數(shù)極值的定義，進(jìn)行驗(yàn)證即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，g′（x）=﹣2a=，當(dāng)a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＞0，當(dāng)x＞時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)0＜x＜，g′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，∴當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，），單調(diào)減區(qū)間是（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）在x=1處取得極大值，∴f′（1）=0，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）單調(diào)遞增，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）在x=1處取得極小值，不合題意，②當(dāng)0＜a＜時(shí)，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)1＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，）內(nèi)單調(diào)遞增，即f（x）在x=1處取得極小值，不合題意．③當(dāng)a=時(shí)，=1，f′（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，則當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，不合題意．④當(dāng)a＞時(shí)，0＜＜1，當(dāng)＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值，滿足條件．綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞．21.已知命題：函數(shù)在上是增函數(shù)；命題：函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．（1）如果命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果命題“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）如果命題p為真命題，∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+x在R上是增函數(shù)，∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0對(duì)x∈（﹣∞，+∞）恒成立∴….…………5分（2）g′（x）=ex﹣1≥0對(duì)任意的x∈[0，+∞）恒成立，∴g（x）在區(qū)間[0，+∞）遞增命題q為真命題g（0）=a+1＞0?a＞﹣1….…………7分由命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題知p，q一真一假，.…………8分若p真q假，則….…………10分若p假q真，則….…………11分綜上所述，.…………12分22.已知函數(shù)（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）已知cos（α﹣β）=，cos（α+β）=，0＜α＜β≤，求f（β）．參考答案：考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的作用；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性．專題：三角函數(shù)的求值．分析：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．（Ⅱ）由已知條件，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（α﹣β）=﹣，sin（α+β）=．再根據(jù)cos2β=cos[（α+β）﹣（α﹣β）]，利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果，可得2β=π，從而求得f（β）=2sin（β﹣）的值．解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)=sin（x﹣）﹣co