天津市南開區(qū)2022-2023學年數學高一第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若函數則（）A． B． C． D．2．用數學歸納法時，從“k到”左邊需增乘的代數式是（）A． B．C． D．3．下列函數中，在區(qū)間上單調遞增的是（）A． B． C． D．4．已知等差數列的前項的和為，若，則等于（）A．81 B．90 C．99 D．1805．四邊形，，，，則的外接圓與的內切圓的公共弦長（）A． B． C． D．6．某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數據如下表：廣告費用（萬元）

4

2

3

5

銷售額（萬元）

49

26

39

54

根據上表可得回歸方程中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元7．在中，，，角的平分線，則長為()A． B． C． D．8．從某健康體檢中心抽取了8名成人的身高數據（單位：厘米），數據分別為172，170，172，166，168，168，172，175，則這組數據的中位數和眾數分別是（）A．171172 B．170172 C．168172 D．1701759．如圖，在矩形中，，，點滿足，記，，，則的大小關系為()A． B．C． D．10．若非零實數滿足，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知角的終邊上一點P的坐標為，則____.12．已知數列滿足，若對任意都有，則實數的取值范圍是_________.13．函數的部分圖像如圖所示，則的值為________．14．若直線l1：y＝kx+1與直線l2關于點（2，3）對稱，則直線l2恒過定點_____，l1與l2的距離的最大值是_____.15．已知向量，且，則_______．16．已知，均為銳角，，，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角所對的邊分別為，且.（1）求邊長；（2）若的面積為，求邊長.18．某校研究性學習小組從汽車市場上隨機抽取輛純電動汽車調查其續(xù)駛里程(單次充電后能行駛的最大里程),被調查汽車的續(xù)駛里程全部介于公里和公里之間,將統(tǒng)計結果分成組:,,,,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值;（2）求輛純電動汽車續(xù)駛里程的中位數;（3）若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機抽取輛車,求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程為的概率.19．數學的發(fā)展推動著科技的進步,正是基于線性代數、群論等數學知識的極化碼原理的應用,華為的5G技術領先世界.目前某區(qū)域市場中5G智能終端產品的制造由H公司及G公司提供技術支持據市場調研預測,5C商用初期,該區(qū)域市場中采用H公司與G公司技術的智能終端產品分別占比及假設兩家公司的技術更新周期一致,且隨著技術優(yōu)勢的體現每次技術更新后,上一周期采用G公司技術的產品中有20%轉而采用H公司技術,采用H公司技術的僅有5%轉而采用G公司技術設第n次技術更新后,該區(qū)域市場中采用H公司與G公司技術的智能終端產品占比分別為及,不考慮其它因素的影響.(1)用表示,并求實數使是等比數列;(2)經過若干次技術更新后該區(qū)域市場采用H公司技術的智能終端產品占比能否達到75%以上?若能,至少需要經過幾次技術更新;若不能,說明理由？(參考數據:)20．已知函數.（1）求函數的最小正周期；（2）將函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，若，求的值域.21．如圖，在三棱柱中，、分別是棱，的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

首先根據題意得到，再計算即可.【詳解】……，.故選：B【點睛】本題主要考查分段函數值的求法，同時考查了指數冪的運算，屬于簡單題.2、C【解析】

分別求出n＝k時左端的表達式，和n＝k+1時左端的表達式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數式．【詳解】當n＝k時，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當n＝k+1時，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數式是故選：C．【點睛】本題考查用數學歸納法證明等式，分別求出n＝k時左端的表達式和n＝k+1時左端的表達式，是解題的關鍵．3、A【解析】

判斷每個函數在上的單調性即可.【詳解】解：在上單調遞增，，和在上都是單調遞減.故選：A.【點睛】考查冪函數、指數函數、對數函數和反比例函數的單調性.4、B【解析】

根據已知得到的值，利用等差數列前項和公式以及等差數列下標和的性質，求得的值.【詳解】依題意，所以，故選B.【點睛】本小題主要考查等差數列的性質，考查等差數列前項和的計算，屬于基礎題.5、C【解析】

以為坐標原點，以為軸，軸建立平面直角坐標系，求出的外接圓與的內切圓的方程，兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，求出弦心距，進而可得公共弦長.【詳解】解：以為坐標原點，以為軸，軸建立平面直角坐標系，過作交于點，則，故，則為等邊三角形，故，的外接圓方程為，①的內切圓方程為，②①-②得兩圓的公共弦所在直線方程為:,的外接圓圓心到公共弦的距離為，公共弦長為，故答案為：C.【點睛】本題考查兩圓公共弦長的求解，關鍵是要求出兩圓的公共弦所在直線方程，將兩圓方程作差即可得到，是中檔題.6、B【解析】

試題分析：，∵數據的樣本中心點在線性回歸直線上，回歸方程中的為1.4，∴42=1．4×2．5+a，∴=1．1，∴線性回歸方程是y=1．4x+1．1，∴廣告費用為6萬元時銷售額為1．4×6+1．1=3．5考點：線性回歸方程7、B【解析】

在中利用正弦定理可求，從而可求，再根據內角和為可得，從而得到為等腰三角形，故可求的長.【詳解】在中，由正弦定理有即，所以，因為，故，故，所以，故，為等腰三角形，故.故選B.【點睛】在解三角形中，我們有時需要找出不同三角形之間相關聯的邊或角，由它們溝通分散在不同三角形的幾何量．8、A【解析】

由中位數和眾數的定義，即可得到本題答案.【詳解】把這組數據從小到大排列為166，168，168，170，172，172，172，175，則中位數為，眾數為172.故選：A【點睛】本題主要考查中位數和眾數的求法.9、C【解析】

可建立合適坐標系，表示出a,b,c的大小，運用作差法比較大小.【詳解】以為圓心，以所在直線為軸、軸建立坐標系，則，，，設，則，，，，，，，，故選C.【點睛】本題主要考查學生的建模能力，意在考查學生的理解能力及分析能力，難度中等.10、C【解析】

對每一個不等式逐一分析判斷得解.【詳解】A,不一定小于0，所以該選項不一定成立；B,如果a＜0，b＜0時，不成立，所以該選項不一定成立；C,，所以，所以該不等式成立；D,不一定小于0，所以該選項不一定成立.故選：C【點睛】本題主要考查不等式性質和比較法比較實數的大小，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由已知先求，再由三角函數的定義可得即可得解．【詳解】解：由題意可得點到原點的距離，，由三角函數的定義可得，，，此時；故答案為．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題．12、【解析】

由題若對于任意的都有，可得解出即可得出．【詳解】∵，若對任意都有，

∴．

∴，

解得．

故答案為．【點睛】本題考查了數列與函數的單調性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13、【解析】

由圖可得，，求出，得出，利用，然后化簡即可求解【詳解】由題圖知，，所以，所以．由正弦函數的對稱性知，所以答案：【點睛】本題利用函數的周期特性求解，難點在于通過圖像求出函數的解析式和函數的最小正周期，屬于基礎題14、（4，5）4.【解析】

根據所過定點與所過定點關于對稱可得，與的距離的最大值就是兩定點之間的距離.【詳解】∵直線：經過定點，又兩直線關于點對稱，則兩直線經過的定點也關于點對稱∴直線恒過定點，∴與的距離的最大值就是兩定點之間的距離，即為.故答案為：，.【點睛】本題考查了過兩條直線交點的直線系方程，屬于基礎題.15、【解析】

先由向量共線，求出，再由向量模的坐標表示，即可得出結果.【詳解】因為，且，所以，解得，所以，因此.故答案為【點睛】本題主要考查求向量的模，熟記向量共線的坐標表示，以及向量模的坐標表示即可，屬于基礎題型.16、【解析】

先求出，，再由，并結合兩角和與差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意，可知，則，又，則，或者，因為為銳角，所以不成立，即成立，所以.故.故答案為：.【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式的應用，考查同角三角函數基本關系的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】試題分析：本題主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函數值、三角形面積公式等基礎知識，同時考查考生的分析問題解決問題的能力和運算求解能力.第一問，利用正弦定理將邊換成角，消去，解出角C，再利用解出邊b的長；第二問，利用三角形面積公式，可直接解出a邊的值，再利用余弦定理解出邊c的長.試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得，又，所以，．因為，所以．…6分（Ⅱ）因為，，所以．據余弦定理可得，所以．…12分考點：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函數值、三角形面積公式.18、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用小矩形的面積和為,求得值,即可求得答案;（2）中位數的計算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標,即可求得答案;（3）據直方圖求出續(xù)駛里程在和續(xù)駛里程在的車輛數,利用排列組合和概率公式求出其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的概率,即可求得答案.【詳解】（1）由直方圖可得:（2）根據中位數的計算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標.直方圖可得:可得:輛純電動汽車續(xù)駛里程的中位數.（3）續(xù)駛里程在的車輛數為:續(xù)駛里程在第五組的車輛數為.從輛車中隨機抽取輛車,共有中抽法，其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的抽法有種，其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的概率為.【點睛】本題考查根據條型統(tǒng)計圖求數據的中位數和根據組合數求概率問題,解題關鍵是掌握條型統(tǒng)計圖基礎知識和概率的求法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.19、（1），；（2）見解析【解析】

(1)根據題意經過次技術更新后，通過整理得到，構造是等比數列，求出，得證；(2)由（1）可求出通項，令，通過相關計算即可求出n的最小值，從而得到答案.【詳解】（1）由題意，可設5商用初期，該區(qū)域市場中采用H公司與G公司技術的智能終端產品的占比分別為.易知經過次技術更新后，則，①由①式，可設，對比①式可知.又.從而當時，是以為首項，為公比的等比數列.（2）由（1）可知，所以經過次技術更形后，該區(qū)域市場采用H公司技術的智能終端產品占比.由題意，令，得.故，即至少經過6次技術更新，該區(qū)域市場采用H公司技術的智能終端產品占比能達到75%以上.【點睛】本題主要考查數列的實際應用，等比數列的證明，數列與不等式的相關計算，綜合性強，意在考查學生的閱讀理解能力，轉化能力，分析能力，計算能力，難度較大.20、（1）；（2）.【解析】

（1）將已知函數轉化為，結合周期的公式，即可求解；（2）利用三角函數的圖象變換，求得，再結合三角函數的性質，即求解.【詳解】（1）因為，所以的最小正周期；（2）若將函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象對應的解析式為，由知，，所以當即時，取得最小值；當即時，取得最大值1，因此的值域為.【點睛】本題主要考查了三角函數的恒等變換，以及正項型函數的圖象與性質的應用，其中解答中熟記三角函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.21、（1）見證