機(jī)械工程測試技術(shù)4信號分析與處理

學(xué)習(xí)導(dǎo)航信號的時域分析信號的相關(guān)分析信號的頻域分析信號的時頻分析第4章信號的分析與處理（2）均方值：（3）均方根值：xrms

=（4）方差：（5）標(biāo)準(zhǔn)差：TxT

fi

￥

T0x(t)dt信號的時域分析4.1.1信號的時域統(tǒng)計(jì)參數(shù)

1、連續(xù)信號主要統(tǒng)計(jì)參數(shù)的計(jì)算

1=

lim（1）均值：m=

y

2

-

m2x

xxs

2xs

==

limT

fi

￥Tx2x2x2x[x(t)T02-

m

]

dt

=y

-

m1sxy

22Tx2

(t)dt01TxT

fi

￥y

=

lim01Tm?x(t)dtTx=2xTx2

(t)dt01T?y=（1）離散信號的均值：（3）離散信號的均方根值：（4）離散信號的方差：標(biāo)準(zhǔn)差：nxxN

fi

￥

Nn

=1

1m

=

lim4.1

信號的時域分析2、離散時間序列主要統(tǒng)計(jì)參數(shù)的計(jì)算N（2）離散信號的均方值：m

xN

xnN

fi

￥

N

n

=1=

lim1xN

fi

￥

N

n

=12n2N1

y

x

=

limnxN

fi

￥

N

n

=122[xn

-

m

x

]s

=

lim1s

x

=

y

2

-

m

2x

x3、時域統(tǒng)計(jì)參數(shù)的應(yīng)用（1）均方根值診斷法利用系統(tǒng)上某些特征點(diǎn)振動響應(yīng)的均方根值作為判斷故障的依據(jù)。均方根值診斷法可適用于作簡諧振動的設(shè)備、作周期振動的設(shè)備，也可用于作隨機(jī)振動的設(shè)備。測量的參數(shù)：低頻（幾十Hz）時宜測量位移；中頻（1000Hz左右）時宜測量速度；高頻時宜測量加速度。國際標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會的ISO2372、ISO2373對回轉(zhuǎn)機(jī)械允許的振動級別規(guī)定如表4-1所示。4.1

信號的時域分析（2）振幅－時間圖診斷法均方根值診斷法多適用于機(jī)器作穩(wěn)態(tài)振動的情況。如果機(jī)器振動不平穩(wěn)可用振幅-時間圖診斷法。振幅-時間圖診斷法多是測量和記錄機(jī)器在開機(jī)和停機(jī)過程中振幅隨時間變化過程，根據(jù)振幅-時間曲線判斷機(jī)器故障。例：離心式空壓機(jī)或其它旋轉(zhuǎn)機(jī)械的開機(jī)過程。若記錄到的振幅A隨時間t變化的幾種情況如圖所示。振幅不變，其他設(shè)備及地基振動，流體壓力脈動或閥門振動。振幅隨開機(jī)過程增大，轉(zhuǎn)子失衡，軸承座和基礎(chǔ)剛度小，推力軸承損壞等。開機(jī)過程中出現(xiàn)共振。柔性轉(zhuǎn)子，箱體、支座、基礎(chǔ)共振。振幅在開機(jī)過程中突然增大，油膜振蕩，間隙過小或過盈不足。4.1

信號的時域分析2x1p(

x)dx概率分布函數(shù)

P(

x)

=p(

x)

=p(

x)dx

=

1

-

P(

x

<

x

)P(

x

>

x

)

=P(

x

<

x

)

=對于任何隨機(jī)信號￥￥x1-￥-￥p(

x)dx

=

1P(

x)

=dxdP(

x)p(

x)dxx1111均方根值標(biāo)準(zhǔn)差￥-￥x均值

m

=xp(

x)dx￥-￥x2

p(

x)dxxrms=￥-￥x(

x

-

m

)2

p(

x)dxxs

=正弦信號正弦加隨機(jī)噪聲窄帶隨機(jī)信號寬帶隨機(jī)信號4.1

信號的時域分析4.1.2信號的概率密度函數(shù)1、概率密度函數(shù)分析x4.1

信號的時域分析2、典型信號的概率密度函數(shù)（1）正弦波信號正弦信號x=Asinωtπ

A2

-

x

21p(

x)

=在均值μx處p(x)最??；在信號的最大、最小幅值處p(x)最大。（2）正態(tài)分布隨機(jī)信號概率密度函數(shù)一維高斯概率密度曲線和概率分布曲線1xx2s

2(x

-

m

x

)

2p(x)

=

exp-s

2p4.1

信號的時域分析]dq2s

2pexp[-(x

-

S

cosq)

210nnp(x)

=s

π

2π4.1

信號的時域分析（3）混有正弦波的高斯噪聲的概率密度函數(shù)含有正弦信號s(t)=Ssin(2πft+θ)的隨機(jī)信號x(t)的表達(dá)式：x(t

)

=

n(t)

+

s(t)其中：n(t)為零均值的高斯隨機(jī)噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)差為σn。S(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為σs，其概率密度函數(shù)表達(dá)式為：4.2.1相關(guān)系數(shù)相關(guān)指變量之間的線性關(guān)系。確定性信號的相關(guān)性可用函數(shù)關(guān)系描述，隨機(jī)信號的相關(guān)性用統(tǒng)計(jì)量描述。4.2信號的相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)E[(x

-

m

)2

]E[(

y

-

m

)2

]x

yE[(x

-

mx

)(

y

-

my)]xyx

ys

ss

xyr

==由柯西-許瓦茲不等式2

2

2E[(x

-

mx

)(

y

-

my

)]

￡

E[(x

-

mx

) ]E[(

y

-

my

)

]所以ρxy≤1。ρxy=±1說明x，y理想地線性相關(guān)；ρxy=0表示x，y完全無關(guān)。2x0lim

1x(t)x(t

+t)dt

-mxxxxs

2E{[x(t)

-

m

][x(t

+t)

-

m

]}4.2信號的相關(guān)分析4.2.2自相關(guān)函數(shù)分析1、自相關(guān)函數(shù)的概念x(t)和x(t

+t)的相關(guān)系數(shù)：xs

2E[x(t)x(t

+t)]-

m2=

x

TxTs

2T

fi

￥r（t）==定義自相關(guān)函數(shù)0Tx(t)x(t

+t)dtxTT

fi

￥R（t）=

E[x(t)x(t

+t)]

=

lim

1xs

2R

(t)

-

m

2則有

rx(t)

=

x

x

4.2信號的相關(guān)分析T

fi

￥xTR

(t)

=

lim

10Tx(t)x(t

+t)dt信號的性質(zhì)不同，自相關(guān)函數(shù)有不同的表達(dá)形式。周期信號（功率信號）非周期信號（能量信號）xTR

(t)

=

10Tx(t)x(t

+t)dt￥-￥Rx

(t)

=

x(t)x(t

+t)dt4.2信號的相關(guān)分析2、自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1）自相關(guān)函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)，即Rx(τ)=Rx(-τ)。證明：x(t

-t)x(t

-t

+t)d(t

-t)x(t)x(t

-t)dt00T1T1=

limTxR

(-t)

=

limT

fi

￥T

fi

￥

T=

Rx

(t)2）τ值不同，Rx(τ)不同，當(dāng)τ=0時，Rx(0)的值最大，并等于信號x的均方值ψ

2。=

s

2

+

m

2x

xT

fi

￥T2xxTR

(0)

=

lim

102x

(t)dt

=y=1xxr

(0)

=xR

(0)s

23）Rx(τ)值的限制范圍4.2信號的相關(guān)分析m

2

-

s

2

￡

R

(t)

￡

m

2

+

s

2x

x

x

x

x4）當(dāng)τ→∞時，x(t)和x(t+τ)之間不存在內(nèi)在聯(lián)系，彼此無關(guān)，x

x

x2即ρ

(τ→∞)→0，R

(τ→∞)→μ

。若μx=0，則Rx(τ→∞)→0，如圖所示。4.2信號的相關(guān)分析5）周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)。例 求正弦函數(shù)

x(t)

=

x0

sin(wt

+j)

的自相關(guān)函數(shù)。解xT0Tx(t)x(t

+t)dtR

(t)

=

1=T

1T0x0

sin(w

t

+j

)

sin[w

(t

+t)

+j

]dt令ωt+φ=θ[coswt

-

cos(2q

+

wt)]dq22

π

10

0

2π

2x2x2=

0

coswtxR

(t)

=4.2信號的相關(guān)分析正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個余弦函數(shù)，在τ=0時有最大值。它保留了幅值信息和頻率信息，但丟失了原正弦函數(shù)中的初始相位信息。只要信號中含有周期成分，其自相關(guān)函數(shù)在τ很大時都不衰減，并具有明顯的周期性。不包含周期成分的隨機(jī)信號，自相關(guān)函數(shù)隨τ的增大趨于零。寬帶隨機(jī)噪聲的自相關(guān)函數(shù)很快衰減到零，窄帶隨機(jī)噪聲的衰減較慢。白噪聲自相關(guān)函數(shù)收斂最快，為δ-函數(shù)，所含頻率為無限多，頻帶無限寬。4.2信號的相關(guān)分析4.2.3互相關(guān)函數(shù)分析1、互相關(guān)函數(shù)的概念互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)定義：0Tx(t)

y(t

+t)dtxyTT

fi

￥R（t）=

E[x(t)

y(t

+t)]

=

lim

1兩信號x(t)和y(t)的互相關(guān)系數(shù)0E{[x(t)

-

mx

][

y(t

+t)

-

my

]}E[x(t)

y(tlim

1x(t)

y(tx

y+t)]

-

m

mxyx

yx

yTx

yRxy（t）-mx

mys

xs

yTs

xs

yT

fi

￥r（t）=s

ss

s+t

m

m)dt

-===2、互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)是可正、可負(fù)的實(shí)函數(shù)?；ハ嚓P(guān)函數(shù)是非偶、非奇函數(shù)，并且有Rxy(τ)=Ryx(-τ)。Rxy(τ)的峰值不在τ=0處，其峰值偏離原點(diǎn)的位置τ0反映了兩信號時移的大小，相關(guān)程度最高。（4）互相關(guān)函數(shù)的限制范圍：mx

my

-sxs

y

￡

Rx（yt）￡

mxmy

+sxs

y4.2信號的相關(guān)分析4.2信號的相關(guān)分析（5）兩個統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)信號，當(dāng)均值為零時，則Rxy(τ)=0。因?yàn)?，將隨機(jī)信號x(t)和y(t)表示為其均值和波動部分之和的形式：x(t)

=

mx

+

x'(t)y(t)

=

my

+

y'(t)則有x

y=

R'

xy

(t)

+

m

mTyxxyTT

fi

￥T=

lim

1T

fi

￥R

(t)

=

lim

1

T

x(t)

y(t

+t)dt0[m

+

x

(t)][m

+

y'

(t

+t)]dt'0（6）兩個不同頻率周期信號的互相關(guān)函數(shù)為零。Rxy

(t)

=00=Tx0

y0

sin(w1t

+q1

)

sin[(w2

(t

+t)

+q2

]dtT

1T

1Tx(t)

y(t

+t)dt=

0（7）周期信號與隨機(jī)信號的互相關(guān)函數(shù)為零。4.2信號的相關(guān)分析例 求兩個同頻率正弦函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)：x(t)

=

x0

sin(wt

+q)y(t)

=

y0

sin(wt

+q

-j

)2=

10

0=

1

x

y

cos(wt

-j

)00w

(t

+t)

+q

-j

)dtwt

+q)

y

sin[x

sin(0T0TTR

(t)

=

lim

1

T

x(t)

y(t

+t)dtT

fi

￥xy可見，兩個均值為零且具有相同頻率的周期信號，其互相關(guān)函數(shù)中保留了這兩信號的圓頻率ω、對應(yīng)的幅值x0和y0以及相位差值φ的信息，即兩同頻率的周期信號，才有互相關(guān)函數(shù)。4.2.4相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用。1、自相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用自相關(guān)函數(shù)分析主要用來檢測混淆在隨機(jī)信號的確定性信號。自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，周期信號或任何確定性信號在所有時差τ值上都有自相關(guān)函數(shù)值，而隨機(jī)信號當(dāng)τ足夠大以后其自相關(guān)函數(shù)趨于零（假定為零均值隨機(jī)信號）。汽車車身振動的自相關(guān)分析在汽車車身架處測得的振動加速度時間歷程曲線圖a及其自相關(guān)函數(shù)圖b盡管測得信號本身呈現(xiàn)雜亂無章的，混有一定程度的隨機(jī)干擾，但其自相關(guān)函數(shù)卻有一定的周期性，其周期T約為50ms，說明存在著周期性激勵源，其頻率f=1/T=20Hz。4.2信號的相關(guān)分析4.2信號的相關(guān)分析從強(qiáng)噪聲中檢測到微弱的正弦信號一個微弱的正弦信號被淹沒在強(qiáng)干擾噪聲之中，但在自相關(guān)函數(shù)中，當(dāng)τ足夠大時該正弦信號能清楚地顯露出來。在機(jī)械等工程應(yīng)用中自相關(guān)分析有一定的使用價值。但一般說來，用它的傅里葉變換(自譜)來解釋混在噪聲中的周期信號可能更好些。另外，由于自相關(guān)函數(shù)中丟失了相位信息，這使其應(yīng)用受到限制。2、互相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用如果系統(tǒng)是線性的，則滯后的時間可以直接用輸入、輸出互相關(guān)圖上峰值的位置來確定。識別、提取混淆在噪聲中的信號。根據(jù)線性系統(tǒng)的頻率保持性，只有和激振頻率相同的成分才可能是由激振引起的響應(yīng)，其它是干擾成分。只要將激勵信號和響應(yīng)信號做互相關(guān)處理，就可以得到由激振引起的響應(yīng)，消除噪聲的干擾。(1)

相關(guān)測速熱軋鋼帶的光經(jīng)兩個透鏡聚焦到相距d的光電池，被轉(zhuǎn)換成電信號x(t)和y(t)。調(diào)整延遲，使延時等于鋼帶經(jīng)過d的時間。讀取互相關(guān)函數(shù)最大值對應(yīng)的延時τd。鋼帶速度：v=d/τd4.2信號的相關(guān)分析（2）相關(guān)分析在故障診斷中的應(yīng)用確定輸油管裂損位置根據(jù)互相關(guān)函數(shù)確定兩個傳感器1和2信號的時差τm

，即聲波從聲源到達(dá)兩個測點(diǎn)的時差，于是，可以確定聲源即故障點(diǎn)的位置。4.2信號的相關(guān)分析m2S

=

1

vt式中：S——兩傳感器的中點(diǎn)至漏損處的距離；V——音響通過管道的傳播速度。（3）傳遞通道的相關(guān)測定汽車司機(jī)座振動傳遞途徑的識別在發(fā)動機(jī)、司機(jī)座、后橋放置三個加速度傳感器，將輸出并放大的信號進(jìn)行相關(guān)分析，可以看到：發(fā)動機(jī)與司機(jī)座的相關(guān)性較差，而后橋與司機(jī)座的互相關(guān)較大，可以認(rèn)為司機(jī)座的振動主要是由汽車后輪的振動引起的。4.2信號的相關(guān)分析復(fù)雜管路系統(tǒng)振動傳遞途徑的識別：管路系統(tǒng)圖中，A點(diǎn)壓力正常，B點(diǎn)壓力異常。對A、B兩點(diǎn)的壓力信號做互相關(guān)分析，可以比較各傳遞途徑對B點(diǎn)壓力的影響。4.2信號的相關(guān)分析（4）相關(guān)分析的聲學(xué)應(yīng)用利用相關(guān)分析區(qū)分不同時間到達(dá)的聲音。測量墻板隔音性能時，微音器輸出信號x2(t)由穿透聲和繞射聲疊加而成。因?yàn)榇┩嘎曄鹊轿⒁羝?，所以相關(guān)圖中第一個峰表示穿透聲的功率。4.2信號的相關(guān)分析測量墻板的衰減繞射聲和穿透聲的相關(guān)峰4.3信號的頻域分析信號的頻域分析功率譜密度函數(shù)1、帕斯瓦爾（Paseval）定理帕斯瓦爾定理：在時域中信號的總能量,等于在頻域中信號的總能量￥-￥￥-￥|

X

(

f

)

|2

df2x

(t)dt

=│X

(f)│2稱為能譜,它是沿頻率軸的能量分布密度。其逆變換為4.3信號的頻域分析2、功率譜密度函數(shù)（簡稱功率譜）的定義定義：隨機(jī)信號x(t)的自功率譜密度函數(shù)（簡稱自譜）￥-￥t-

j2πftxxR

(t)e

dS

(

f

)

=￥-￥xS

(

f

)e

j2πftdfxR

(t)

=自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)為實(shí)偶函數(shù)，Sx(f)亦為實(shí)偶函數(shù)。Sx(f)中包含著Rx(τ)的全部信息。定義：兩個隨機(jī)信號x(t)和y(t)的互功率譜密度函數(shù)（簡稱互譜）￥-￥xyxyR

(t)e-

j2πftdtS

(

f

)

=其逆變換為xyS

(f

)e

j2πftdfxyR

(t)=￥-￥互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)并非偶函數(shù)，因此Sxy(f)具有虛、實(shí)兩部分，同樣，Sxy(f)保留了Rxy(τ)的全部信息。3、功率譜密度函數(shù)的物理意義由Sx(f)曲線可知這一總功率是由無數(shù)的在不同頻率上的功率元

Sx(f)df所總合而成的，Sx(f)波形的起伏表示了總功率在各頻率處的功率元分布的變化情況，稱Sx(f)為隨機(jī)信號x(t)的功率譜密度函數(shù)。用同樣的方法，可以解釋互譜密度函數(shù)Sxy(f)。4.3信號的頻域分析xR

(0)

=xT

x2

(t)dtT￥-￥

T

fi

￥

0S

(

f

)df

=

lim

4.3信號的頻域分析自譜Sx(f)和幅值譜X(f)或能譜│X(f)│2之間的關(guān)系在整個時間軸上，信號平均功率為TTavlim

1

X

(f

)2

df

￥0

-￥

T

fi

￥T

fi

￥P

=

lim

1

T

x

2

(t

)dt

=￥-￥￥-￥|

X

(

f

)

|2

df2x

(t)dt

=自功率譜密度函數(shù)和幅值譜的關(guān)系為單邊譜和雙邊譜：自功率譜密度函數(shù)是偶函數(shù)，它的頻率范圍是(-∞，∞)，稱雙邊自功率譜密度函數(shù)。它在頻率范圍(-∞，0)的函數(shù)值是其在(0，∞)頻率范圍函數(shù)值的對稱映射，因此，可用在f=0~∞范圍內(nèi)Gx(f)=2Sx(f)來表示信號的全部功率譜。把Gx(f)稱為x(t)信號的單邊功率譜密度函數(shù)。4、自功率譜密度Sx(f)與幅值譜的關(guān)系自功率譜密度Sx(f)為自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)的傅里葉變換，故Sx(f)包含著Rx(τ)中的全部信息。自功率譜密度Sx(f)反映信號的頻域結(jié)構(gòu)，這與幅值譜│x(f)│相似，但是自功率譜密度所反映的是信號幅值的平方，因此其頻域結(jié)構(gòu)特征更為明顯。幅值譜和自功率譜4.3信號的頻域分析4.3.2功率譜的應(yīng)用1、功率譜密度Sx(f)與幅值譜│x(f)│及系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(f)的關(guān)系若輸入為x(t)，輸出為y(t)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為H(f)，則有4.3信號的頻域分析X

(

f

)H

(

f

)

=

Y

(

f

)其中，H(f)、Y(f)、X(f)均為f

的復(fù)函數(shù)。X

(

f

)

=

X

R

(

f

)

+

jX

I

(

f

)X(f)表示為X(f)的共軛值為

X

*(

f

)

=

X

(

f)

-

jX

(

f

)R

I*Y

(

f

)

X

*

(

f

)Sxy

(

f

)X

(

f

)

X

(

f

)H

(

f

)

=

g

=Sxx

(

f

)則有2**Y

(

f

)

Y

*

(

f

)Sy

(

f

)H

(

f

)H

(

f

)

==

H

(

f

)X

(

f

)

X

(

f

)Sx

(

f

)=g4.3信號的頻域分析對于輸入、輸出的自功率譜密度與系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系：S

(

f

)

=

H

(

f

)

2

S

(

f

)y

xG

(

f

)

=|

H

(

f

)

|2

G

(

f

)y

xH

(

f

)

=

Sy

(

f

)

/

Sx

(

f

)通過輸入、輸出自譜的分析，就能得出系統(tǒng)的幅頻特性。但這樣的譜分析丟失了相位信息，不能得出系統(tǒng)的相頻特性。對于單輸入、單輸出的理想線性系統(tǒng)，可得Sxy

(

f

)

=

H

(

f

)Sx

(

f

)所得到的H(f)不僅含有幅頻特性而且含有相頻特性，這是因?yàn)榛ハ嚓P(guān)函數(shù)中包含著相位信息。2、利用互譜排除噪聲影響受到外界干擾測試系統(tǒng)，n1(t)為輸入噪聲，n2(t)為加于系統(tǒng)中間環(huán)節(jié)的噪聲，n3(t)為加在輸出端的噪聲。該系統(tǒng)的輸出y(t)為y(t)

=

x'

(t)

+

n1

(t)

+

n2

(t)

+

n3

(t)式中：x′(t)、n1′(t)和n2′(t)分別為系統(tǒng)對x(t)、n1(t)和n2(t)的響應(yīng)。輸入與輸出y(t)的互相關(guān)函數(shù)為Rxy

(t)

=

Rxx￠(t)

+

Rxn1￠(t)

+

Rxn2￠(t)

+

Rxn3

(t)Rxy

(t)

=

Rxx

￠(t)Sxy

(

f

)

=

Sxx

￠(

f

)

=

H

(

f

)Sx

(

f

)4.3信號的頻域分析3、功率譜在設(shè)備診斷中的應(yīng)用汽車變速箱正常工作譜圖機(jī)器運(yùn)行不正常時的譜圖增加了9.2Hz和18.4Hz兩個譜峰，這兩個頻率為設(shè)備故障的診斷提供了依據(jù)。4.3信號的頻域分析4、瀑布圖4.3信號的頻域分析各轉(zhuǎn)速下的功率譜組合為轉(zhuǎn)速——功率譜三維圖，稱為瀑布圖。瀑布圖兩種階次共振5、坎貝爾圖坎貝爾圖是在三維譜圖的基礎(chǔ)上，以諧波階次為特征的振動旋轉(zhuǎn)信號三維譜圖。汽輪發(fā)電機(jī)組振動的坎貝爾圖4.3信號的頻域分析4.3.3相干函數(shù)1、相干函數(shù)的定義4.3信號的頻域分析(

f)

=S

(

f)S

(

f

)2(0

￡

gxy

(

f)

￡

1)2x

y|

Sxy

(

f)

|2gxy2、相干函數(shù)的物理含義相干函數(shù)是在頻域內(nèi)反映兩信號相關(guān)程度的指標(biāo)。評價其輸入信號與輸出信號間的因果性。(

f

)

=

=

= =

1S

(

f

)S

(

f

)

S

(

f

)S

(

f

)

S

(

f

)S

(

f

)2H

(

f

)Sx

(

f

)

Sy

(

f)Sx

(

f)2x

y

x

y

x

y2|

Sxy

(

f

)

|gxy線性系統(tǒng)表明：對于一個線性系統(tǒng)，其輸出與輸入之間的功率譜關(guān)系是相干函數(shù)為1，這表明輸出完全是由輸入引起的線性響應(yīng)。xy0<γ2

(f)<1表明有三種可能性：(1)聯(lián)系x(t)和y(t)的系統(tǒng)不完全是線性的；

(2)系統(tǒng)的輸出y(t)是由x(t)和其他干擾信號共同輸入所引起的；(3)在輸出端有干擾噪聲混入。xy所以γ2

(f)的數(shù)值標(biāo)志了y(t)由x(t)線性引起響應(yīng)的程度。3、相干函數(shù)的應(yīng)用系統(tǒng)因果性檢驗(yàn)鑒別物理結(jié)構(gòu)的不同響應(yīng)信號間的聯(lián)系。柴油機(jī)潤滑油泵的油壓脈動與壓油管道振動的兩信號的自譜和相干函數(shù)。結(jié)論：油管振動的主要原因是油壓脈動。4.3信號的頻域分析4.3信號的頻域分析4.3.4倒頻譜分析及其應(yīng)用1、倒頻譜的數(shù)學(xué)描述倒頻譜函數(shù)Cp(q)定義幅值倒頻譜2Cp

(q)

=|

F{log

Sx

(

f

)}

|Cp

(q)

=|

F{log

Sx

(

f

)}

|C0

(q)

=還可以定義自相關(guān)函數(shù)Cy

(q)=

F

{log

S

(f

)}-1yR(t)=

F

-1

{S

(f

)}y這種定義與自相關(guān)函數(shù)相近，變量q與τ在量綱上完全相同。x(t)的倒頻譜C0

(q)=

F

{log

X

(f

)}-12、倒頻譜的應(yīng)用（1）分離信息通道對信號的影響在機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷中，所測得的信號，往往是由故障源經(jīng)系統(tǒng)路徑的傳輸而得到的響應(yīng)，也就是說它不是原故障點(diǎn)的信號，如欲得到源信號，必須刪除傳遞通道的影響。例在噪聲測量時，所測得之信號，不僅有源信號而且混入不同方向反射的回聲信號。要提取源信號，須刪除回聲的干擾信號。

系統(tǒng)的輸入為x(t)，輸出為y(t)，脈沖響應(yīng)函數(shù)是h(t)，三者的時域關(guān)系為y(t)

=

x(t)

*h(t)4.3信號的頻域分析頻域的關(guān)系為Y

(f

)

=

X

(f

)

*H

(f

)S

y

(

f

)

=

Sx

(

f

) |

H

(

f

)

|2功率譜的公式圖像，源信號為具有明顯周期特征的信號，經(jīng)過系統(tǒng)特性logGh(f)的影響修正，合成而得輸出信號logGy(f)。進(jìn)一步作傅里葉變換，即可得幅值倒頻譜F{log

S

y

(

f

)}

=

F[log

Sx

(

f

)]

+

F{log

|

H

(

f

)

|2

}即4.3信號的頻域分析2log

Sy

(

f

)

=

log

Sx

(

f

)

+

log

|

H

(

f

)

|Cy

(q)=

Cx

(q)+

Ch

(q)低倒頻率q1，反映系統(tǒng)的特征；高倒頻率q2，反映源信號特性。4.3信號的頻域分析（2）用倒頻譜診斷齒輪故障調(diào)幅信號y(t)

=

Sm

(t)

sin(w

0t

+j

)嚙合圓頻率齒輪偏心隨時間變化函數(shù)y(t)

=

A(1+

m

coswmt)

sin(w0t

+j)轉(zhuǎn)軸圓頻率mm00

02

2y(t

)=

A

sin

n(w

t

+

j

)+

mA

sin[(w

+

w

)t

+

j

]+

mA

sin[(w

-

w

)t

+

j

]齒輪嚙合中的拍波及頻譜如果頻譜圖上出現(xiàn)過多的頻差，則難以識別，這時，可以使用倒頻譜。例如，圖中左圖為一個減速箱的頻譜圖，右圖為其倒頻譜圖。從倒譜圖可以清楚地看出兩個主要頻率分量：117.6

Hz(8.5ms)和48.8

Hz(20.5

ms)。4.3信號的頻域分析減速箱頻譜和倒頻譜圖4.4

信號的時頻分析4.4.1時頻分析的基本概念時頻分析法是指用時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)來表示非平穩(wěn)信號，并對其進(jìn)行分析和處理的一種方法。1、從傅里葉變換到時頻分析全局性的變換能得到的僅是一個有限時間段內(nèi)的信號4.4

信號的時頻分析x(t)e-

j

2p

ft

dt

=

X

'(

f

)X

(

f

)

=￥

T-

j

2p

ft-Tx(t)e dt

?-￥時頻分析法按所設(shè)計(jì)的時頻聯(lián)合函數(shù)不同可以分為各種類型：（1）線性時頻表示若x(t)＝ax1(t)+bx2(t)，a、b為常數(shù)，而P(t，f)、P1(t，f)、P2(t，f)分別為x(t)、x1(t)、x2(t)的線性時頻表示，則P(t，f)＝a

P1(t，f)+

b

P2(t，f)線性時頻表示有短時傅里葉變換(STFT)、戈勃(Gabor)展開及小波變換等。（2）雙線性時頻表示這類時頻表示由能量譜或功率譜演化而來，其變換是二次的，也稱二次型時頻表示。二次型時頻表示不滿足線性。若x(t)＝ax1(t)+bx2(t)，P(t，f)、P1(t，f)、P2(t，f)分別為x(t)、x1(t)、x2(t)的二次型時頻表示，則有P(t，f)＝│a│2P1(t，f)+│b│2P2(t，f)+2Re[abP12(t，f)]式中：最后一項(xiàng)稱之干擾項(xiàng)，也稱互項(xiàng)，P12(t，f)稱為x1(t)，x2(t)的互時頻表示。在雙線性時頻表示中，主要有Cohen類雙線性時頻分布和仿射類雙線性時頻分布等，而著名的維格納(Wigner)分布是聯(lián)結(jié)Cohen類分布與仿射類分布的紐帶，也是研究較多的一種雙線性時頻表示。4.4

信號的時頻分析4.4

信號的時頻分析2、信號分辨率（1）時間分辨率對于信號x(t)，其信號能量按時間的密度(分布)函數(shù)可記為│x(t)│2，在Δt內(nèi)的部分能量可記為│x(t)│2Δt，而其信號總能量可以表示為可以看出，由信號的時間函數(shù)表示x(t)，可以確切知道每個時間點(diǎn)的能量密度。因此，信號的時間函數(shù)表示具有無限的時間分辨率。信號頻譜X(f)僅為頻率的函數(shù)，從X(f)中不能直接得到任何信號能量隨時間分布的性狀，因此信號頻譜函數(shù)表示的時間分辨率為零。為描述信號能量隨時間分布的性態(tài)，可按│x(t)│2來定義信號能量分布的時間中心<t>＝t0和持續(xù)時間T=Δx=Δt，Δx稱信號的時窗半徑，t0則稱為時窗中心，它們分別滿足x(t)

2

dtE

=￥-￥0t

=-￥20(t

-t

)

x(t)x￥

￥dt-￥t x(t)

2

dt

D2

=4.4

信號的時頻分析（2）頻率分辨率對于頻譜函數(shù)X(f)的信號，其信號能量按頻率的密度(分布)函數(shù)可記為│X(f)│2，即能量譜密度函數(shù)。在Δf內(nèi)的部分能量可記為│X(f)│2Δf，信號總能量可以表示為X

(

f

)

2

dfE

=￥-￥由X(f)可以確切知道每個頻率點(diǎn)(如f＝f0)的能量密度。因此，信號的頻譜函數(shù)表示具有無限的頻率分辨率。顯然，信號的時間函數(shù)表示的頻率分辨率為零。為描述信號能量隨頻率分布的性態(tài)，可按│X(f)│2來定義信號能量分布的頻率中心<f>=f0和均方根寬帶B=ΔX=Δf，Δf稱為信號的頻窗半徑，f

0稱為頻窗中心，它們分別滿足2p

f

X

(

f

)

2

df0f

=￥￥-￥202p

(

f

-

f

)

X

(

f

)XD2df-￥=（3）不確定性原理4.4

信號的時頻分析理想的時頻表示方法,希望在時間和頻率上都具有無限分辨率，即從信號的時頻表示P(t，f)中能確切知道信號能量在(t，f)點(diǎn)的分布，然而這是不可能的。介紹的Heisenberg不確定原理不允許有“某個特定時間和頻率點(diǎn)上的能量”概念。不確定性原理：若當(dāng)│t│→∞時，tx(t)fi

0，則?

12x

XD

D只有當(dāng)x(t)是高斯函數(shù)，即2-atx(t)

=

Ae12D

D

=時，

x

X若要準(zhǔn)確求得任何信號在(t，f)處的能量密度，必須測量信號在(t，f)點(diǎn)某一無限小的二維鄰域內(nèi)的能量。這就要求所加的二維窗函數(shù)x(t)的Δx和ΔX同時無限小，而據(jù)上述定理，這是不可能的。因此，準(zhǔn)確表示信號在(t，f)點(diǎn)的能量密度的時頻表示是不存在的。所有的時頻表示，只能不同程度地近似表示信號在(t，f)處的能量密度，即只同時具有有限的時間分辨率和頻率分辨率。3、瞬時頻率（1）瞬時頻率的定義具有有限能量的復(fù)信號s(t)＝A(t)e-φ(t)(A(t)為實(shí)函數(shù))。定義s(t)的相位函數(shù)φ(t)對時間的導(dǎo)數(shù)為s(t)的瞬時頻率，即4.4

信號的時頻分析w

(t)

=

dj(t)i020is(t)的頻窗中心f

滿足wdtw

s(t)

dt￥-￥=瞬時頻率按能量時間密度加權(quán)平均值為頻窗中心，或稱平均頻率。（2）解析信號實(shí)際信號一般為實(shí)信號，其相位函數(shù)恒等于零?？啥x實(shí)信號x(t)對應(yīng)的復(fù)信號s(t)為s(t)

=

x(t)

+

jx%(t)解析信號s(t)的瞬時頻率和平均頻率為原實(shí)信號的瞬時頻率和平均頻率。（3）單分量信號單分量信號是在任意時刻只有一個頻率或一個頻域窄帶的信號