微積分下第九章

第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與基本性質(zhì)一、級(jí)數(shù)的概念二、基本性質(zhì)三、收斂的必要條件四、小結(jié)一、級(jí)數(shù)的概念(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)1.

級(jí)數(shù)的定義:

一般項(xiàng)

un

u1

u2

u3

un

n1ni1sn

u1

u2

un

ui級(jí)數(shù)的部分和部分和數(shù)列s1

u1

,

s2

u1

u2

,s3

u1

u2

u3

,,sn

u1

u2

un

,2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果級(jí)數(shù)

un

的部分和n1n數(shù)列sn

有極限s,

即

lim

sn

s則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)

un

收斂,這時(shí)極限s叫做級(jí)數(shù)

un

的和.并n1

n1寫成s

u1

u2

u3

如果sn

沒(méi)有極限,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)

un

發(fā)散.n1n即

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散)

lim

sn

存在(不存在)例1

討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))

aqnaqn

a

aq

aq2

(a

0)n0的收斂性.解如果q

1時(shí)2

n1sn

a

aq

aq

aq

a

aqn1

qa

aqn

,

1

q

1

qn當(dāng)q

1時(shí),anlim

qn

0

n1

qlim

s

n當(dāng)q

1時(shí),lim

qn

n收斂lim

sn

發(fā)散如果q

1時(shí)當(dāng)q

1時(shí),當(dāng)q

1時(shí),sn

na

發(fā)散級(jí)數(shù)變?yōu)閍

a

a

a

n

lim

sn不存在發(fā)散綜上naqn0當(dāng)

q

1時(shí),收斂于

a1-q當(dāng)

q

1時(shí),發(fā)散例

2

判別無(wú)窮級(jí)數(shù)

111

3 3

51(2n

1)

(2n

1)

的收斂性.1(2n

1)(2n

1)n解

u

1

),

1

(12 2n

1 2n

111

11

3

3

5(2n

1)

(2n

1)

s

n

)1

12

3

2

3

5

2 2n

1 2n

1

1

(1

1)

1

(1

1)

1

(12n

1

lim

s

lim

1

(1

n

2nn),

1

(1

12 2n

12)

1

,2

級(jí)數(shù)收斂,

和為

1

.二、基本性質(zhì)n1n1性質(zhì)1

如果級(jí)數(shù)

un

收斂,則

kun

亦收斂.

性質(zhì)2

設(shè)兩收斂級(jí)數(shù)s

un

,

vn

,n1

n1推論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.則級(jí)數(shù)(un

vn

)收斂,其和為s

.n1結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.

性質(zhì)

3

若級(jí)數(shù)

un

收斂,則

un

也收斂n1

n

k

1(k

1).且其逆亦真.證明

uk

n

uk

1

uk

2n

uk

1

uk

2

uk

n

sk

,

sn

kk則lim

n

lim

sn

k

lim

sn

n

nk

s

s

.類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)

4

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和.反之未必.證明

(u1

u2

)

(u3

u4

u5

)

1

s2

,

2

s5

,

3

s9

,,

m

sn

,則lim

m

lim

sn

s.m

n推論

如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散.注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.例如

(1

1)

(1

1)

收斂1

1

1

1

發(fā)散三、收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂

lim

un

0.反之未必證明n1

s

unn

則

un

sn

sn1

,n

lim

un

lim

snn

n

lim

sn1

s

s

0.級(jí)數(shù)收斂的必要條件:當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),它的一般項(xiàng)un趨于零,即注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;

nn

1發(fā)散例如

1

2

3

(1)n12

3

42.必要條件不充分.n例如調(diào)和級(jí)數(shù)

1

1

1

1

2

3

n有l(wèi)im

un

0,

但級(jí)數(shù)是否收斂?討論s2n

sn1n

11n

2

12nn2n

1

,2n假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂,

其和為s.于是lim(

s2n

sn

)

s

s

0,

級(jí)數(shù)發(fā)散.2便有

0

1

(n

)這是不可能的.n

例3:若(un

2007)

2008,求lim

unn

1如何判別

un的斂散性n1nnn1nn11.考察lim

un2.若lim

un

0

un發(fā)散若lim

un

0,

un未必收斂,用其它方法判別例4

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性n

1n

1n

110n

1n(1),

100n

1

n

13

(-1)n(2)(3)3nsin

nπ21(4)

10(a

0)na發(fā)散n1