任意角的三角函數(shù)及三角恒等變換

任意角的三角函數(shù)及三角恒等變換第1頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【主干知識】1.必記公式(1)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系:①平方關(guān)系:_______________;②商數(shù)關(guān)系:__________.(2)誘導(dǎo)公式:①公式:Sα+2kπ;Sπ±α;S-α;②巧記口訣:奇變偶不變,符號看象限,α當(dāng)銳角看.sin2α+cos2α=1第2頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:①sin(α±β)=_______________________;②cos(α±β)=______________________;③tan(α±β)=____________.④輔助角公式:asinα+bcosα=_______________=cos(α+θ).sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ?sinαsinβ第3頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式:①sin2α=____________;②cos2α=_____________=2cos2α-1=1-2sin2α;③tan2α=_________.2sinαcosαcos2α-sin2α第4頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)降冪公式:①sin2α=___________;②cos2α=___________.第5頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.易錯(cuò)提醒(1)同角關(guān)系應(yīng)用錯(cuò)誤:利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系開方時(shí),忽略判斷角所在的象限或判斷出錯(cuò),導(dǎo)致三角函數(shù)符號錯(cuò)誤.(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用錯(cuò)誤:利用誘導(dǎo)公式時(shí),三角函數(shù)名變換出錯(cuò)或三角函數(shù)值的符號出錯(cuò).(3)忽視角的范圍:給值求角或給角求值時(shí),忽視角的范圍.第6頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【考題回顧】1.（2014·梅州模擬）已知α為銳角，且tan(π－α)+3=0，則sinα的值為()【解析】選B.由正切的誘導(dǎo)公式得tan(π-α)=-tanα,故tan(π-α)+3=0?tanα=3,由公式tan2α+1=得，cos2α=?sinα=±因?yàn)棣翞殇J角，所以sinα>0?sinα＝，故選B.第7頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.(2014·宜春模擬)已知α，β為銳角，cosα=,tan(α-β)=-，則tanβ的值為（）【解析】選B.因?yàn)棣?，β為銳角，cosα=,所以tanα=,tanβ=tan［α-（α-β）］=第8頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月3.（2013·浙江高考）已知α∈R，sinα+2cosα=則tan2α=()第9頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】選C.由所以tanα=-或tanα=3.當(dāng)tanα=-時(shí)，tan2α=當(dāng)tanα=3時(shí)，tan2α=第10頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月4.（2014·惠州模擬）已知函數(shù)f(x)=cos2x+sinxcosx,x∈R.（1）求f()的值.（2）若第11頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】(1)(2)f(x)=cos2x+sinxcosx=第12頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月熱點(diǎn)考向一三角函數(shù)的定義【考情快報(bào)】難度:基礎(chǔ)題命題指數(shù):★☆☆題型:以選擇題、填空題為主考查方式:主要考查三角函數(shù)的定義的應(yīng)用,一般和求三角函數(shù)值或角的大小有關(guān),常與解析幾何、平面向量交匯第13頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【典題1】（1）（2014·杭州模擬）已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為則角α的最小正值為（）（2）（2014·南昌模擬）已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2θ=()第14頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【信息聯(lián)想】（1）看到終邊α上一點(diǎn)的坐標(biāo)想到_______________.（2）①看到終邊在直線y=2x上，想到_______________；②看到cos2θ,想到___________.三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義二倍角公式第15頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)范解答】（1）選C.由三角函數(shù)的定義知：所以α是第四象限角，因此α的最小正值為第16頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)選B.方法一：在角θ的終邊上任取一點(diǎn)P（a,2a）(a≠0).則r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2.所以cos2θ=cos2θ=2cos2θ-1=方法二：由方法一知tanθ==2,cos2θ=cos2θ-sin2θ=第17頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【互動探究】若將本例（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)閯t結(jié)果如何？【解析】選D.由三角函數(shù)定義知：所以α是第四象限角，α的最小正值為第18頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)律方法】運(yùn)用定義可求解的兩類問題1.求三角函數(shù)值（或角）當(dāng)已知角的終邊所經(jīng)過的點(diǎn)或角的終邊所在的直線時(shí)，一般先根據(jù)三角函數(shù)的定義求這個(gè)角的三角函數(shù)值，再求其他.但當(dāng)角經(jīng)過的點(diǎn)不固定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論.2.建模由于三角函數(shù)的定義與單位圓、弧長公式等存在一定的聯(lián)系，因此在命題思路上可以把圓的有關(guān)知識同三角函數(shù)間建立聯(lián)系.第19頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【變式訓(xùn)練】1.（2014·廣州模擬）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則cosα=______.【解析】易知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,所以cosα=-.答案：-第20頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.角速度為的質(zhì)點(diǎn)P，從點(diǎn)(－1,0)出發(fā)，逆時(shí)針沿單位圓x2＋y2＝1運(yùn)動，經(jīng)過17個(gè)時(shí)間單位后，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____.第21頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】經(jīng)過17個(gè)單位時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的弧度是此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P在角π＋的終邊上，即在的終邊上，根據(jù)三角函數(shù)的定義，此時(shí)該點(diǎn)的坐標(biāo)是即答案：

第22頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【加固訓(xùn)練】1.（2014·紹興模擬）已知角的終邊上有一點(diǎn)P（1，a）,則a的值是（）【解析】選D.由三角函數(shù)的定義可知第23頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于（2，1）時(shí)，的坐標(biāo)為________.第24頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】設(shè)A（2，0），B（2，1），由題意知劣弧長為2，∠ABP=設(shè)P（x,y），則x=2-1×cos(2-)=2-sin2,y=1+1×sin(2-)=1-cos2,所以的坐標(biāo)為（2-sin2,1-cos2）.答案：(2-sin2,1-cos2)第25頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月熱點(diǎn)考向二同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及誘導(dǎo)關(guān)系【考情快報(bào)】難度:基礎(chǔ)題命題指數(shù):★☆☆題型:以選擇題、填空題為主,有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中關(guān)鍵的一步考查方式:主要考查平方關(guān)系,商數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,常與和差角公式、倍角公式相結(jié)合考查第26頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【典題2】（1）（2014·合肥模擬）若sin(π-α)=-且α∈則sin=()(2)(2014·安慶模擬)已知=-1,求下列各式的值：①②cos2(+α)-sin(π-α)cos(π+α)+2.第27頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【信息聯(lián)想】（1）看到sin(π-α)，想到_____________________.（2）①看到想到_________;②看到+α,π-α,π+α,想到_________.誘導(dǎo)公式及二倍角公式商數(shù)關(guān)系誘導(dǎo)公式第28頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)范解答】（1）選B.sin(π-α)=sinα=又α∈(π,),所以cosα=由cosα=第29頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）由已知得tanα=第30頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)律方法】1.利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式化簡求值的三種常用方法（1）切弦互換法：利用tanα＝進(jìn)行轉(zhuǎn)化.（2）和積轉(zhuǎn)化法：利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.（3）常值代換法：其中之一就是把1代換為sin2α＋cos2α.同角三角函數(shù)關(guān)系sin2α＋cos2α＝1和tanα＝聯(lián)合使用，可以根據(jù)角α的一個(gè)三角函數(shù)值求出另外兩個(gè)三角函數(shù)值．根據(jù)tanα＝可以把含有sinα，cosα的齊次式化為tanα的關(guān)系式．第31頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式化簡求值的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)（1）函數(shù)名稱和符號：利用誘導(dǎo)公式化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角的三角函數(shù)，其步驟是：去負(fù)—脫周—化銳—求值.特別注意解題過程中函數(shù)名稱和符號的確定.（2）開方：在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方特別注意根據(jù)條件進(jìn)行討論取舍.（3）結(jié)果整式化：解題時(shí)注意求值與化簡的最后結(jié)果一般要盡可能整式化.第32頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【變式訓(xùn)練】1.（2014·北京模擬）若sin(3π+α)=α∈(-,0),則tanα=_____.【解析】由sin(3π+α)=α∈(-,0)得sinα=-cosα=,故tanα=-.答案：-第33頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.直線2x-y+1=0的傾斜角為θ,則的值為____.【解析】由題意可知，tanθ=2,則答案：第34頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【加固訓(xùn)練】1.已知2sin(+θ)-sin(π-θ)=0，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=()【解析】選D.因?yàn)?sin(+θ)-sin(π-θ)=0,所以tanθ=2.sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=第35頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.計(jì)算：tan300°=______.【解析】tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=-.答案：-第36頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月3.已知α為第二象限角，sinα+cosα=則cos2α=______.第37頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】因?yàn)閟inα+cosα=,所以兩邊平方得1+2sinαcosα=，所以2sinαcosα=－＜0，因?yàn)橐阎翞榈诙笙藿牵詓inα＞0,cosα＜0，sinα－cosα=所以cos2α=cos2α－sin2α=(cosα－sinα)(cosα+sinα)答案：－第38頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月熱點(diǎn)考向三三角恒等變換【考情快報(bào)】高頻考向多維探究難度:基礎(chǔ)、中檔題命題指數(shù):★★★題型:選擇題、填空題、解答題均可考查考查方式:主要考查和差角公式、倍角公式及其變形,常與三角函數(shù)式的化簡求值及三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)相結(jié)合第39頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月命題角度一利用三角恒等變換求值（求角）【典題3】（1）（2014·天津模擬）已知則cosα+sinα等于（）（2）已知銳角α，β滿足sinα=,cosβ=則α+β=______.第40頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【信息聯(lián)想】（1）看到想到_____________________________________.（2）看到求α+β，想到____________________________.利用誘導(dǎo)公式、差角公式、倍角公式化簡先求出α+β的某一三角函數(shù)值第41頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)范解答】（1）選D.所以sinα+cosα=-第42頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）由銳角α，β滿足得cosα=所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=又因?yàn)?<α+β<π，所以α+β=答案：第43頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月命題角度二利用三角恒等變換化簡【典題4】（1）（2014·玉溪模擬）已知函數(shù)f(x)=2sinx(cosx-sinx)+1,若f(x-φ)為偶函數(shù)，則φ可以為（）(2)（2014·揭陽模擬）已知函數(shù)f(x)=①求函數(shù)f(x)的定義域和最小正周期.②若f(α)=2,α∈［0,π］，求f(α+)的值．第44頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【信息聯(lián)想】(1)看到f(x)的表達(dá)式，想到________________________________________________.(2)看到求函數(shù)f(x)=+2sinx的最小正周期，想到__________________________________.利用三角恒等變換將f(x)化為y=Asin(ωx+φ)的形式將f(x)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式第45頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)范解答】(1)選B.f(x)=2sinxcosx-2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin(2x+).因?yàn)閒(x-φ)為偶函數(shù)，所以-2φ+當(dāng)k=-1時(shí)，φ=第46頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)①由sinx≠0解得x≠kπ(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ(k∈Z)},所以f(x)=+2sinx=2cosx+2sinx所以f(x)的最小正周期T==2π.②由f(α)=2?cosα+sinα=1?2cosαsinα=0,因?yàn)棣痢剩?,π］且，sinα≠0,所以α=所以第47頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【一題多解】解決本例（2）②，還有如下方法：由f(α)=2,α∈［0,π］得，sinα+cosα=1?cosα=1-sinα,代入sin2α+cos2α=1得，sin2α+(1-sinα)2=1?2sinα(sinα-1)=0,又sinα≠0,所以sinα=1，又α∈［0,π］，所以α=所以第48頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)律方法】三角恒等變換的思路與方法1.思路：（1）和式：降次、消項(xiàng)、逆用公式.（2）三角分式：分子與分母約分或逆用公式.（3）二次根式：切化弦、變量代換、角度歸一.第49頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.方法：（1）弦切互化：一般是切化弦.（2）常值代換：特別是“1”的代換，如1=sin2α+cos2α=tan45°等.（3）降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式（降冪公式）降次.（4）公式的變形應(yīng)用：如sinα=cosαtanα,sin2α=第50頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）角的合成及三角函數(shù)名的統(tǒng)一：asinα+bcosα=（6）角的拆分與角的配湊：如α=(α-β)+β，第51頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【變式訓(xùn)練】1.（2014·廈門模擬）若則cos(+2α)=_______.第52頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】因?yàn)榇鸢福旱?3頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.（2014·廣東高考）已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)，x∈R，且（1）求A的值.（2）若f(θ)－f(－θ)=,θ∈【解題提示】（1）屬于給角求值問題，把代入解析式求A.(2)可利用兩角和與差的正弦和誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系求解.第54頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】（1）由（2）f(θ)－f(－θ)=第55頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【加固訓(xùn)練】1.求值：=_____.【解析】由題意得:答案：第56頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.已知的值為_______.第57頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】由θ∈答案：第58頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月3.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+cos2x(x∈R).（1）當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，并求其最大值.（2）若θ為銳角，且求tanθ的值.第59頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】（1）f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=所以當(dāng)2x+=2kπ+(k∈Z)，即x=kπ+(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，其最大值為（2）因?yàn)榈?0頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)棣葹殇J角，即0<θ<所以0<2θ<π,所以sin2θ=所以tan2θ=第61頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【備選考向】三角恒等變換與平面向量、解三角形的交匯問題【典題】已知銳角三角形ABC中，向量m=(2-2sinB,cosB-sinB),n=(1+sinB,cosB+sinB)，且m⊥n.（1）求角B的大小.（2）當(dāng)函數(shù)y=2sin2A+cos取最大值時(shí)，判斷三角形ABC的形狀.第62頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】（1）因?yàn)閙⊥n，所以m·n=0.即（2-2sinB）(1+sinB)+(cosB-sinB)(cosB+sinB)=0,即3-4sin2B=0,sinB=又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以B=第63頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）由（1）知B=所以y=2sin2A+cos=2sin2A+cos=2sin2A+cos第64頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)律方法】與三角恒等變換交匯問題的解題思路（1）與平面向量交匯：利用平面向量坐標(biāo)表示、數(shù)量積、向量的模、向量的夾角等進(jìn)行運(yùn)算，將平面向量問題轉(zhuǎn)化為三角恒等變換問題.（2）與三角形交匯：利用三角形內(nèi)角和為180度，確定角的范圍，有時(shí)結(jié)合正余弦定理解答.第65頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【加固訓(xùn)練】已知a=(1,cosx),b=(,sinx),x∈(0,π).（1）若a∥b，求的值.（2）若a⊥b，求sinx-cosx的值.第66頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】（1）因?yàn)閍∥b，所以sinx=cosx，所以tanx=，第67頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)因?yàn)閍⊥b，所以+sinxcosx=0，所以sinxcosx=-，所以（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=，又因?yàn)閤∈（0，π）且sinxcosx＜0，所以x∈(，π)，所以sinx-cosx＞0，所以sinx-cosx=第68頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月轉(zhuǎn)化與化歸思想——解決三角恒等變換問題【思想詮釋】三角恒等變換中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型1.求值(求角):三角中的給值求值或給值求角問題,常需根據(jù)三角函數(shù)式中角或名或