原子物理學(xué)量子力學(xué)導(dǎo)論

原子物理學(xué)量子力學(xué)導(dǎo)論第1頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章量子力學(xué)導(dǎo)論§3-1玻爾理論的局限性§3-2實(shí)物粒子的波粒二象性§3-3海森堡不確定關(guān)系§3-4波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋§3-5薛定諤方程*§3-6量子力學(xué)中的一些理論和方法*§3-7氫原子的薛定諤方程解目錄2第2頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-1玻爾理論的局限性玻爾量子理論打開了認(rèn)識原子結(jié)構(gòu)的大門,取得成功.但它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認(rèn)識.玻爾理論將微觀粒子視為經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn),把經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律用于微觀粒子,使其理論中有難以解決的內(nèi)在矛盾,有重大缺陷.如:為什么核與電子間的相互作用存在,但處于定態(tài)的加速電子不輻射電磁波？電子躍遷時輻射(或吸收)電磁波的根本原因何在？……薛定諤的非難“糟透的躍遷”在兩能級間躍遷的電子處于什么狀態(tài)？3第3頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月玻爾理論的“缺陷”

1.不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍復(fù)雜的氦原子的光譜；

2.不能給出光譜的譜線強(qiáng)度（相對強(qiáng)度）；

3.不能解釋氫光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)；

4.只能處理周期運(yùn)動不能處理非束縛態(tài)問題,如散射問題；

5.不能自洽.在理論上,能量量子化概念與經(jīng)典力學(xué)不相容.（有人為的性質(zhì),物理本質(zhì)還不清楚）4第4頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月

19世紀(jì)末,物理學(xué)理論在當(dāng)時看來已經(jīng)發(fā)展到相當(dāng)完善的階段.主要表現(xiàn)在以下兩個方面：

(1)應(yīng)用牛頓力學(xué)討論了從天體到地上各種尺度的力學(xué)客體的運(yùn)動.牛頓力學(xué)應(yīng)用于分子運(yùn)動也取得有益的結(jié)果.1897年,J.J湯姆遜發(fā)現(xiàn)了電子,并表明電子的行為類似于一個牛頓粒子.

(2)光的波動性在1803年由托馬斯.楊的衍射實(shí)驗(yàn)有力揭示出來,麥克斯韋在1864年發(fā)現(xiàn)的光和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系把光的波動性置于更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上.經(jīng)典物理學(xué)的成功5第5頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月進(jìn)入20世紀(jì)后,經(jīng)典物理學(xué)受到?jīng)_擊.經(jīng)典理論在解釋一些新的試驗(yàn)結(jié)果上遇到了嚴(yán)重的困難.困惑的主要問題：1）黑體輻射2）光電效應(yīng)3）氫原子光譜物理學(xué)的危機(jī)量子理論

1905年愛因斯坦提出光量子概念.1913年玻爾引入量子態(tài)概念建立玻爾模型并成功地解釋了氫光譜.1925年泡利提出不相容原理,同年烏侖貝克、古茲米特提出電子自旋假說,很好地解釋元素周期性、塞曼效應(yīng)等一系列實(shí)驗(yàn)事實(shí).至此形成的量子論稱為舊量子論（有嚴(yán)重缺陷）.

經(jīng)典物理學(xué)的困難6第6頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月海森堡（德）

WERNERHEISENBERG

(1901-1976)獲1932諾獎玻恩（德）M.Born(1882-1970)獲1954諾獎薛定諤（奧地利）

ERWINSCHRODINGER

(1887-1961)獲1933諾獎狄拉克

PAULDIRAC

(1902-1984)獲1933諾獎在波粒二象性思想的基礎(chǔ)上,于1925-1928年間由海森堡、玻恩、薛定諤、狄拉克等人建立了量子力學(xué),它與相對論成了近代物理學(xué)的兩大理論支柱.7第7頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月微觀規(guī)律與經(jīng)典規(guī)律的比較1）量子化（連續(xù)無級）2）隨機(jī)性（必然性、因果關(guān)系）3）模糊性（測量的宏觀準(zhǔn)確性）

索爾維會議(SolvayConference):比利時物理學(xué)家和企業(yè)家歐內(nèi)斯特·索爾維于1911年創(chuàng)辦,邀請世界著名的物理學(xué)家和化學(xué)家對前沿問題進(jìn)行討論.由于前幾次索爾維會議適逢20世紀(jì)10年代-30年代的物理學(xué)大發(fā)展時期,參加者又都是一流物理學(xué)家與化學(xué)家,使得索爾維會議在物理學(xué)發(fā)展史上占據(jù)了重要地位.愛因斯坦與玻爾第五次會議主題為“電子和光子”,愛因斯坦以“上帝不會擲骰子”的觀點(diǎn)反對測不準(zhǔn)原理,而玻爾反駁道“愛因斯坦,不要告訴上帝怎么做.”波爾-愛因斯坦論戰(zhàn)

8第8頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月德拜泡利海森堡薛定諤埃倫費(fèi)斯特布拉格康普頓狄拉克玻恩玻爾居里夫人洛倫茲愛因斯坦朗之萬普朗克第五次索爾維會議與會者合影（1927）

與會的29人中有17人先后獲得諾貝爾獎

9第9頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月1.經(jīng)典物理中的波和粒子經(jīng)典物理學(xué)中波和粒子各自獨(dú)立,在邏輯上不允許同時用這兩個概念描寫同一現(xiàn)象.粒子可視為質(zhì)點(diǎn),具有定域性,位置可無限精確地被測定.有確定的質(zhì)量、動量、速度和電荷等；波可以在空間無限擴(kuò)展,波有確定的波長和頻率.波的波長和頻率也能被精確測定(因?yàn)椴ú荒鼙患s束).§3-2實(shí)物粒子的波粒二象性10第10頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月

1672年牛頓(英)提出光的微粒說.1678年惠更斯(荷蘭)提出光的波動說.此后,兩種學(xué)說長期論戰(zhàn).光的波粒二象性波動性：干涉、衍射、偏振粒子性：熱輻射,光電效應(yīng),散射等

19世紀(jì)初,菲涅爾、夫瑯和費(fèi)、楊氏等人通過光的干涉、衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)光的波動性.

19世紀(jì)末麥克斯韋和赫茲證明光是電磁波.2.光的波粒二象性

1905年,愛因斯坦用光量子說解釋了光電效應(yīng),提出光子的能量為,并于1917年指出光子有動量光在傳播時顯示波性,在傳遞能量時顯示粒子性.(兩者不會同時出現(xiàn))11第11頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月3.德布羅意假設(shè)(1924)deBroglie,法(1892-1987),獲1929年諾獎“過去,對光過分強(qiáng)調(diào)波性而忽視它的粒性；現(xiàn)在對電子是否存在另一種傾向,即過分強(qiáng)調(diào)它的粒性而忽視它的波性.”所有物質(zhì)粒子均具有波粒二象性,“任何物質(zhì)伴隨以波,而且不可能將物體的運(yùn)動同波的傳播分開”.德布羅意關(guān)系式：不論粒子靜質(zhì)量是否為0,德布羅意關(guān)系式均成立.12第12頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月引入波矢波動的傳播方向就是粒子的動量方向.h的意義：量子化的量度,不連續(xù)程度的最小量度單位.

h在物質(zhì)的波性和粒子性間起著橋梁作用.在量子化和波粒二象性這兩個概念中都起著關(guān)鍵作用.德布羅意關(guān)系式通過h把粒子性和波動性聯(lián)系起來.實(shí)際上,任何表達(dá)式中只要有h出現(xiàn),就意味其具有量子力學(xué)特征.13第13頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月*4.戴維孫-革末實(shí)驗(yàn)（1927）(晶體對電子束的衍射,用于驗(yàn)證德布羅意波）電子槍KD之間有加速電壓U電子束透過D打在Ni單晶M上它在晶面被散射進(jìn)入探測器BG檢測電子束(電流)的強(qiáng)度電子束強(qiáng)度0

5

10

15

20

25實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):加速電壓U=54V,散射角=50o時,探測器B中的電流有極值.14第14頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月晶體晶面為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu),德布羅意波散射和X射線衍射類似,也滿足布拉格公式.兩反射的電子束,其相干加強(qiáng)條件：理論解釋利用和代入得：與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符!15第15頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月戴維孫C.Davisson(美)和革末L.Germar(美)右圖為的電子"幾率波”戴維孫-革末觀測到的電子衍射圖樣16第16頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月電子束X射線電子雙縫干涉圖樣楊氏雙縫干涉圖樣17第17頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月

1961年,C.約恩孫讓電子束通過單縫、多縫的衍射圖樣（見右圖）

1927年,G.P湯姆遜作了電子束透過多晶薄片的衍射實(shí)驗(yàn),同樣驗(yàn)證了電子具有波動性.（實(shí)驗(yàn)裝置見右圖）電子束衍射圖樣18第18頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月

20世紀(jì)30年代后的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)一切實(shí)物粒子均有衍射現(xiàn)象,進(jìn)一步證實(shí)了德布羅意假設(shè)的正確性.

質(zhì)量為m,速率為v的實(shí)物粒子的德布羅意波長:對于電子，當(dāng)加速電壓U不太大以致能量不太高時：19第19頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月例:計(jì)算經(jīng)過電勢差U1=150V和U2=104V加速的電子的德布羅意波長(不考慮相對論效應(yīng)).解:

據(jù)加速后電子的速度為據(jù)德布羅意關(guān)系p=h/λ,電子的德布羅意波長為討論：20第20頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)物質(zhì)量m/kg速度v/(m.s-1)波長λ/pm1V電壓加速的電子9.1×10-315.9×1051200100V電壓加速的電子9.1×10-315.9×1061201000V電壓加速的電子9.1×10-311.9×1073710000V電壓加速的電子9.1×10-315.9×10712He原子（300K）6.6×10-271.4×10372Xe原子（300K）2.3×10-252.4×10212壘球2.0×10-1301.1×10-22槍彈1.0×10-21.0×1036.6×10-23實(shí)物粒子的德布羅意波長由上表知,討論質(zhì)量較重的粒子的德布羅意波已沒意義!21第21頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月朗之萬:除了思想的獨(dú)創(chuàng)性外,德布羅意以非凡的技巧作出努力克服阻礙物理學(xué)家的困難.

愛因斯坦的支持:德布羅意的導(dǎo)師朗之萬將論文寄給愛因斯坦.愛因斯坦向來欣賞物理學(xué)中的對稱性,而德布羅意的理論正是建立了這種光和物質(zhì)的對稱性.愛因斯坦稱贊道“德布羅意揭開了大幕的一角”.

愛因斯坦寫信將論文推薦給洛侖茲和玻恩.他對玻恩說:“你一定要讀它,雖然看起來有點(diǎn)荒唐,但可能是有道理的.”玻恩回信說:“讀了德布羅意的論文,漸漸明白他搞的是什么名堂,我現(xiàn)在相信物質(zhì)波可能是很重要的.”德布羅意的論文經(jīng)愛因斯坦推薦后,引起物理學(xué)界的極大重視.薛定諤在朗之萬的促使下閱讀了德布羅意的論文.愛因斯坦也將論文推薦給他.在他給愛因斯坦的回信中寫到:“如果不是你的關(guān)于氣體簡并的第二篇論文硬是把德布羅意的想法的重要性擺在我的鼻子底下,整個波動力學(xué)就建立不起來.”物理學(xué)家對德布羅意的物質(zhì)波的評價22第22頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月此前,玻爾據(jù)其角動量量子化條件導(dǎo)出氫原子的第一玻爾半徑、能量和動量的量子化結(jié)果.以下介紹德布羅意將原子中的定態(tài)和駐波聯(lián)系起來,自然地得到角動量的量子化條件.5.德布羅意波和量子態(tài)電子的波長為將此關(guān)系用于氫原子的電子.欲使電子穩(wěn)定存在,與電子相應(yīng)的波就必須是一個駐波,即電子繞核一圈后其位相不變.氫原子中的電子相應(yīng)的駐波示意圖要求圓周長是波長的整數(shù)倍l=4r23第23頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月駐波條件德布羅意把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來,即把粒子能量量子化和有限空間中駐波頻率分立性聯(lián)系起來.只有駐波可被束縛起來；而駐波條件就是角動量量子化條件.例：將玻爾第一速度v=αc代入得到而是折合電子康普頓波長的137倍,即第一玻爾半徑a1故所得的結(jié)果滿足駐波條件.24第24頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)一個速度為v的粒子在寬為d的剛性盒子中作一維運(yùn)動,由經(jīng)典理論知,粒子的動能和周期分別為：6.一維剛性盒子中的駐波用量子觀點(diǎn)分析：此粒子要在盒內(nèi)永存,其德布羅意波必為駐波,x=0,x=d必為波節(jié).盒子寬至少為半波長.即波長必滿足:dx=0

x=d25第25頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：1）被束縛粒子的動量和能量均呈量子化.2）只要粒子被束縛在某一空間（or勢阱內(nèi)）,粒子的最小動能不能為0.（即使在T＝0時）事實(shí)上,若EK可為0,則要求△x→∞,這也說明粒子不可能被束縛住.以上內(nèi)容可歸納為：禁閉的波必然導(dǎo)出量子化條件.所以,原子能級圖中不存在E＝0的能級。26第26頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月7.波和非定域性氫原子實(shí)際上是一個德布羅意波被禁閉在庫侖場中的情形.假設(shè)電子在庫侖場中是一簡單的正弦波,匣子近似為剛性邊界(V→∞),設(shè)匣子的線度是半波長,即粒子處于基態(tài),在此假設(shè)下粒子的動能為：以上考慮到匣內(nèi)一周期的路程與圓周長對應(yīng)(2d=2πr)總能量為動能T和勢能V之和：27第27頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月0

r假設(shè)的氫原子的波函數(shù)實(shí)際的波函數(shù)實(shí)際的勢能函數(shù)由得電子最小半徑：進(jìn)而可得氫原子基態(tài)能量：所得結(jié)果與玻爾所給的結(jié)果相同！28第28頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月表述和含義不確定關(guān)系的常見形式：§3-3海森堡不確定關(guān)系（1927）29第29頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月“動量-位置不確定關(guān)系”的含義

含義：表示當(dāng)粒子被限于x方向的一個有限范圍△x內(nèi)時,它相應(yīng)的動量分量必有一個不確定的范圍△px.換言之,假如x的位置完全確定(△x→0),則粒子相應(yīng)的動量就完全不確定(△px→∞),反之亦然.不確定關(guān)系揭示了一條重要的規(guī)律：粒子在客觀上不能同時具有確定的坐標(biāo)位置及相應(yīng)的動量.30第30頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月例:原子的線度約為10-10m,求原子中電子速度的不確定量.解:原子中電子的位置不確定量10-10m=105fm 由不確定關(guān)系得電子速度的不確定量為討論氫原子中電子速率約為106m/s.與速率不確定量的數(shù)量級基本相同,因此原子中電子的位置和速度不能同時完全確定,也沒有確定的軌道.31第31頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月“能量-時間不確定關(guān)系”的含義反映了原子能級寬度△E和原子在該能級的平均壽命△t之間的關(guān)系.

含義：若粒子在能量狀態(tài)E只能停留△t時間,則這段時間內(nèi)粒子的能量狀態(tài)并非完全確定,它有一個彌散ΔE≥?/2Δt.當(dāng)粒子的停留時間無限長時(穩(wěn)態(tài)),其能量才是完全確定的(△E＝0).E壽命△t基態(tài)電磁輻射基態(tài):△t∞;△E0激發(fā)態(tài):△t~10-8s;△E~10-8eV32第32頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月“不能同時精確地測量”只是這一客觀規(guī)律的一個必然結(jié)果.從這個意義上看,“測不準(zhǔn)關(guān)系”這一名稱不妥.認(rèn)為不能同時測準(zhǔn)粒子的位置坐標(biāo)x及相應(yīng)的動量的解釋是不確切的,易誤認(rèn)為不確定關(guān)系是測量過程的一個限制.不確定關(guān)系在宏觀世界不能得到直接體現(xiàn),但它并不為0.對“不確定關(guān)系”的進(jìn)一步理解33第33頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月基態(tài)氫原子的電子r1=0.053nm,p=mαc.從不確定關(guān)系看,假定電子在r1范圍內(nèi)運(yùn)動且位置確定,即Δx=r1,則相應(yīng)的動量不確定度:可見動量的不確定程度甚大,以致無法確切說明在此范圍內(nèi)運(yùn)動的電子動量為多大.1)微觀例子34第34頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月2)宏觀例子一個10g的小球以10cm/s的速度運(yùn)動,小球的瞬間位置可精確確定,如Δx=10-4cm

(已是很高的精度),則相應(yīng)的動量不確定度：可見動量的不確定度甚小,目前沒有任何方法可覺察,完全可忽略不計(jì).說明:教材中的此上兩個例子均采用較為粗糙的不確定關(guān)系ΔxΔp≥h進(jìn)行運(yùn)算，因此所得結(jié)果與此有差異(相差1/4π).35第35頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月*2.不確定關(guān)系的簡單導(dǎo)出方法一：從經(jīng)典波動理論導(dǎo)出“波包”

在實(shí)驗(yàn)上,可采取“拍”的方法測一個波的波長.兩列振幅相同頻率不同的波相干涉即形成“拍”.由數(shù)學(xué)上的富里哀分析知,為得到一個位置確定的孤立波（波包）,須用多個頻率不同的波相疊加.“觀察”一個“拍”

的時間：式(1)表示,要無限精確地測準(zhǔn)頻率(△ν→0)就需要無限長的時間(△t→∞).36第36頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月在Δt內(nèi)波(波速為v)通過的路程為：式(2)表示,要無限精確地測準(zhǔn)波長(△λ→0),就需要在無限擴(kuò)展的空間(△λ→∞)中進(jìn)行觀察.式(1)、(2)是從經(jīng)典物理學(xué)的概念出發(fā)得到的.現(xiàn)將它用于微觀粒子,將其與德布羅意關(guān)系相結(jié)合,則立刻產(chǎn)生了新的觀念.37第37頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月即得同樣的處理方法,有這樣即得不確定關(guān)系的一種表示形式：38第38頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月方法二：從經(jīng)典波的單縫衍射導(dǎo)出0電子束△xxθm=1m=2m=3m=3m=2m=1確定中區(qū)位置的關(guān)系式：決定中區(qū)旁各極小值的關(guān)系式：實(shí)驗(yàn)表明,以上關(guān)系也適用于與電子對應(yīng)的德布羅意波.假如入射電子具有確定的動量p,經(jīng)過單縫（d=△x）后,即使只考慮中心區(qū)(75%的電子落在此區(qū)域),也至少有psinθ的動量不確定性,即△px≥psinθ39第39頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月3.應(yīng)用舉例1)束縛粒子的最小平均動能設(shè)質(zhì)量為m的粒子被束縛在線度為r的范圍內(nèi),則據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律,對于束縛在空間的粒子,其動量在任何方向的平均分量必定為0,即

,故有：束縛粒子的最小平均動能：與上一節(jié)所得結(jié)論一致.說明此結(jié)論與形式無關(guān),只要粒子束縛在空間(或稱勢阱內(nèi)),則粒子的最小動能就不能為0,即粒子不可能落到阱底.40第40頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月2)電子不能落入核內(nèi)當(dāng)電子距核的距離越來越近時,將從原子的線度(0.1nm)過渡到原子核的線度(1fm)

當(dāng)電子距核越來越近時電子所需的平均動能將越來越大,但電子無這樣大的能量補(bǔ)充,故而電子不能繼續(xù)靠近核,更不可能落入核內(nèi).41第41頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月3)譜線的自然寬度光譜線系中,電子在兩能級間躍遷,在初能級上必有一固有壽命（能級壽命會受外界的影響）,即△t不能無限長.按不確定關(guān)系,此能級必存在相應(yīng)的寬度△E,這正是譜線的自然寬度,已由實(shí)驗(yàn)證實(shí).例如：假定原子中某激發(fā)態(tài)壽命為則不確定關(guān)系反映的是微觀世界的“精確性”.42第42頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月4.互補(bǔ)原理(1927,由玻爾提出)

一些經(jīng)典概念的應(yīng)用不可避免地排除另一些經(jīng)典概念的應(yīng)用,而“另一些經(jīng)典概念”在另一些條件下又是描述現(xiàn)象不可缺少的.必須而且只須將這些互斥又互補(bǔ)的概念匯集起來,才能也定能形成對現(xiàn)象的詳盡無遺的描述.海森堡的不確定關(guān)系從數(shù)學(xué)上表達(dá)了物質(zhì)的波粒二象性.玻爾的互補(bǔ)原理從哲學(xué)的角度概括了波粒二象性.玻爾認(rèn)為：粒子的波粒二象性不可能在同一測量中同時出現(xiàn),兩個概念在描述微觀現(xiàn)象時是互斥的,不會在同一實(shí)驗(yàn)中直接沖突.二者在描述微觀時都是不可缺少的,它們是互補(bǔ)并協(xié)的.

玻爾的例子：在任一時刻我們只能看到銀幣的一面,而只有當(dāng)銀幣的正、反兩面都被看到后,才可能銀幣有完整的認(rèn)識.43第43頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-4波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋1.波粒二象性及幾率概念如果粒子在隨時間和位置變化的力場中運(yùn)動,它的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）,粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫,而必須用較復(fù)雜的波描寫,一般記為：問題？

怎樣描述粒子的狀態(tài)？

如何體現(xiàn)波粒二象性？

描寫的是什么樣的波？44第44頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月錯誤看法1：“波由粒子組成”.認(rèn)為波與水波,聲波一樣是由分子疏密變化而形成的一種分布.與實(shí)驗(yàn)矛盾,不能解釋長時間單個電子衍射實(shí)驗(yàn).電子一個一個的通過小孔,但只要時間足夠長,底片上就呈現(xiàn)衍射花紋.這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象,單個電子就具有波動性.波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面,而抹殺了粒子的波動性的一面,具有片面性.事實(shí)上,正是由于單個電子具有波動性,才能理解氫原子中電子運(yùn)動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象.45第45頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月錯誤看法2:“粒子由波組成”

電子是波包：視電子為三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包[波包：各種波數(shù)（長）平面波的迭加],因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象.認(rèn)為波包的大小即電子的大小,波包的群速度即電子的運(yùn)動速度.平面波描寫自由粒子,其特點(diǎn)是充滿整個空間,這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無關(guān).如果粒子由波組成,那么自由粒子將充滿整個空間,這是沒有意義的,與實(shí)驗(yàn)事實(shí)矛盾.實(shí)驗(yàn)上觀測到的電子,總是處于一個小區(qū)域內(nèi).例如在一個原子內(nèi),其廣延不會超過原子線度（約1?）.

46第46頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “電子既不是粒子也不是波”“電子既是粒子也是波,它是粒子和波動二重性的統(tǒng)一”波不再是經(jīng)典概念的波,粒子也不是經(jīng)典概念的粒子.經(jīng)典概念中:“粒子”意味著：1)有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性；2)有確定的運(yùn)動軌道,每一時刻有確定的位置和速度.“波”意味著：1)實(shí)在的物理量的空間分布,作周期性的變化;2)存在干涉、衍射現(xiàn)象,即相干疊加性.47第47頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月1)入射電子流強(qiáng)度小顯示電子的微粒性,長時間亦顯示衍射圖樣.2)入射電子流強(qiáng)度大,很快顯示衍射圖樣.電子源感光屏OPPQQ結(jié)論電子的單縫衍射衍射實(shí)驗(yàn)揭示的電子波動性是許多電子在同一實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,或者是一個電子在多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.48第48頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月波函數(shù)正是為描述粒子的這種行為而引進(jìn)的,在此基礎(chǔ)上,玻恩(Born)提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋.在單縫衍射實(shí)驗(yàn)中,電子的位置和動量至少有一個是不確定的,無法精確地預(yù)知電子落在屏的何處.但在不確定性中又有完全的確定性,如電子落入中區(qū)的幾率是完全確定的,為75%.又如處于能級寬度為△E的微粒的壽命為△г,在△г時間內(nèi)粒子何時衰變(或躍遷)完全不確定,但衰變幾率是完全確定的.

波粒二象性必然導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)解釋,統(tǒng)計(jì)性將波和粒子這兩個不同的經(jīng)典概念聯(lián)系起來.愛因斯坦于1917年引入統(tǒng)計(jì)性用于光輻射,而對于物質(zhì)波,則是玻恩在1927年提出德布羅意波的幾率解釋.49第49頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月2.波函數(shù)（or幾率幅）Ψ微觀粒子具有波動性薛定諤（1925）用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子狀態(tài)用波函數(shù)能確切描述粒子的運(yùn)動狀態(tài),給波函數(shù)賦于一定的物理意義后,就能把粒子和粒子的波性這兩種對立的屬性統(tǒng)一起來.經(jīng)典波的振幅是可測的,而在一般情況下ψ是不可測的,可測的只是量子物理學(xué)中最基本的觀點(diǎn)是幾率性的！50第50頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月自由粒子不受力,p及與其聯(lián)系的λ也不變,是單色波.表示為:一個自由粒子的波平面波諸量間的關(guān)系這是沿任意方向傳播的平面波.較為方便的復(fù)數(shù)形式為：式中ω、v、t分別表示角頻、波速和時間,rn是原點(diǎn)到波面的垂直距離,θ是r和rn

的夾角.51第51頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月為使平面波與粒子對應(yīng)起來而找出自由粒子的波函數(shù),利用德布羅意關(guān)系,則自由粒子的波函數(shù)一般表示為：用代表波的前進(jìn)方向,則:52第52頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月3.玻恩的統(tǒng)計(jì)解釋(1926)1)ψ是描述粒子的量子狀態(tài)的函數(shù)波函數(shù)是描述粒子量子狀態(tài)的一個波動方程.如有大量的粒子,那么某處粒子的密度就與此處發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率成正比.（可與光進(jìn)行類比）2)幾率（or:幾率密度）電子在原子空間某點(diǎn)附近單位微體積內(nèi)出現(xiàn)的幾率.若波函數(shù)用復(fù)數(shù)表示,則表示為：在體積dτ中發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率為：

t時刻,粒子在空間

處的單位體積中出現(xiàn)的幾率,又稱為幾率密度.波函數(shù)的物理意義：53第53頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月3）波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)、單值、有限因幾率不會在某處突變,波函數(shù)必須處處連續(xù).因在空間任意處只能有一個幾率,波函數(shù)必須單值.因幾率不能無限大,所以波函數(shù)必須有限.不符合這三個條件的函數(shù)沒物理意義,不代表物理實(shí)在.4）波函數(shù)的歸一化：粒子在整個空間出現(xiàn)的幾率為1,即54第54頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月電子數(shù)N=7電子數(shù)N=100電子數(shù)N=3000電子數(shù)N=20000電子數(shù)N=70000出現(xiàn)幾率大出現(xiàn)幾率小單個粒子在哪一處出現(xiàn)是偶然事件；大量粒子的分布有確定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.電子雙縫干涉圖樣55第55頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月量子力學(xué)中態(tài)的疊加與經(jīng)典物理中波的疊加雖然形式相同但本質(zhì)不同.兩列經(jīng)典波可疊加導(dǎo)致一個新的波,但兩個波函數(shù)疊加并不形成新的波函數(shù).

4.態(tài)的疊加原理態(tài)迭加原理是由微觀粒子波粒兩象性所決定的.

Ψ＝C1Ψ1+C2Ψ2

(C1、C2均為復(fù)數(shù))并非新的狀態(tài).體系處在Ψ態(tài)時,可理解為既處在態(tài)Ψ1又處在態(tài)Ψ2,但不能肯定處在何態(tài).量子態(tài)的迭加是指一個粒子的兩個態(tài)的迭加,其干涉也是自己與自己的干涉,決不是兩個粒子互相干涉.而且將導(dǎo)致在迭加態(tài)下測量結(jié)果的不確定性.56第56頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月分析電子雙縫干涉電子源感光屏通過單縫S1的電子處于1態(tài)；通過單縫S2的電子處于2態(tài).雙縫同時打開時電子處在態(tài).雙縫同時誘導(dǎo)的狀態(tài)是它們的線性組合態(tài)＝C1

1+C2

2.粒子處于態(tài)1和2的線性迭加態(tài)時,粒子是既處于態(tài)1又處于態(tài)2.57第57頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月電子處于兩態(tài)的幾率分別為：雙縫同時打開時電子的幾率分布為：12相干項(xiàng)考慮到則有：58第58頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月量子力學(xué)中態(tài)的迭加,雖然在數(shù)學(xué)上與經(jīng)典波的迭加原理相同,但在物理本質(zhì)上卻有根本的不同：量子態(tài)的迭加是指一個粒子的兩個態(tài)的迭加,其干涉也是自己與自己的干涉,決不是兩個粒子互相干涉.而且這種態(tài)的迭加將導(dǎo)致在迭加態(tài)下測量結(jié)果的不確定性.微觀粒子遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律,而不是經(jīng)典的決定性規(guī)律.(牛頓:只要給出了初始條件,下一時刻粒子的軌跡是已知的,決定性的.)波函數(shù)不給出粒子在什么時刻一定到達(dá)某點(diǎn),只給出到達(dá)各點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分布.一個粒子下一時刻出現(xiàn)在什么地方,走什么路徑是不知道的（非決定性的）.59第59頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月電子半徑小于1016cm.到目前為至,人們在1016cm范圍內(nèi)尚未發(fā)現(xiàn)電子的更小結(jié)構(gòu).欲“窺視”電子如何通過雙縫,則須在雙縫旁置一“光源”和“光探測器”.但人們經(jīng)過各種條件、不同方式的反復(fù)實(shí)驗(yàn)與考慮,發(fā)現(xiàn)“觀察效應(yīng)使干涉消失”在原則上無法避免.事實(shí)上,在1961年前,單縫衍射和雙縫干涉實(shí)驗(yàn)都為“假想實(shí)驗(yàn)”,即在承認(rèn)電子具有波性的前提下設(shè)想一定存在電子的衍射和干涉現(xiàn)象.1961年,約恩孫才巧妙地通過實(shí)驗(yàn)獲得電子的衍射和干涉圖樣.而清晰的電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)在1989年完成.60第60頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月理查德·菲利普·費(fèi)曼（R.P.Feynman)（1918-1988）美,因在量子電動力學(xué)方面的成就獲1965諾貝爾物理學(xué)獎這些實(shí)驗(yàn),都是用任何經(jīng)典方法所絕對不能解釋的,但是,量子力學(xué)的核心正是包含在這些實(shí)驗(yàn)之中.61第61頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月5.波函數(shù)服從的幾個規(guī)則規(guī)則1（幾率幅疊加規(guī)則）：

假如在i→f

間有n種可能的躍遷方式,則躍遷幾率幅是各種可能發(fā)生的躍遷幾率幅之和.即

此規(guī)則為態(tài)的疊加的一條基本原理.費(fèi)曼稱其為“量子力學(xué)第一原理”.至今無法從更基本的觀念將其導(dǎo)出）規(guī)則2（獨(dú)立事件的幾率相加律）：

假如在i→f間有n個獨(dú)立的末態(tài),則躍遷幾率等于到達(dá)各末態(tài)的躍遷幾率之和.即62第62頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)則3：假如在i→f間有某一中間態(tài),則躍遷幾率幅等于分段幾率幅之積.即規(guī)則4：

假如一獨(dú)立體系中的兩個粒子同時躍遷,則體系的躍遷幾率等于兩粒子幾率幅之積.（規(guī)則3、4均系獨(dú)立事件的幾率相乘律）63第63頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月1.薛定諤方程的建立(1926)§3-5薛定諤方程“我的朋友德拜要求有個波動方程,諾,我找了一個.”設(shè)一個非相對論自由粒子(m、p)在勢場V(x)中作一維運(yùn)動,則粒子的能量為：考慮到則有粒子的波函數(shù)[平面波形式;

(1)的解]：64第64頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月任務(wù)：找到與(1)一致的方程,且在V(x)=0時得到其解(2)當(dāng)V(x)=0時,或：65第65頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)V(x)=V0(常數(shù))(即不存在作用力)時,式(2)是方程的解且與式(1)一致.推廣到一般的勢場V(x),即得一維薛定諤方程：將其與經(jīng)典關(guān)系式（0）比較,知作了如下的變換：將其作用到波函數(shù)ψ上即得式（3）66第66頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月薛定諤方程的一般表達(dá)式當(dāng)勢場V(x)=0時自由粒子的解為：將其與經(jīng)典關(guān)系比較,知作了如下的變換：薛定諤方程不能從更基本的假設(shè)中推導(dǎo)出來,是量子力學(xué)的基本方程,其正確性只能靠實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn).事實(shí)上,可把式(4)、(5)、(6)視為量子力學(xué)的基本假設(shè).

67第67頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)V(r)不顯含時間t時,用分離變數(shù)法對薛定諤方程(4)求特解即得定態(tài)薛定諤方程.將波函數(shù)寫成：2.定態(tài)薛定諤方程代入式(4)后兩邊除以ψT得：于是有：式中E是與r、t無關(guān)的分離常數(shù),具有能量的量綱68第68頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月式（8）的解為：把常數(shù)T0歸到ψ的常數(shù)中,則得到定態(tài)波函數(shù)：解定態(tài)薛定諤方程的一般步驟：1）首先分區(qū),找出問題中勢能函數(shù)的具體形式；2）建立薛定諤方程并求出通解；3）根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件和歸一化條件確定常數(shù).69第69頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月3.應(yīng)用舉例例1.一維無限深勢阱(or:無限高勢壘)0dxV(x)在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子勢能函數(shù)為：勢阱內(nèi)體系滿足的薛定諤方程為：令:則方程為：其解為：70第70頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然由歸一化條件：注意有效區(qū)域！歸一化波函數(shù)：分析方程的解：

71第71頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)粒子在勢阱中的Ψ很象兩端固定弦的駐波波形,其波長隨能級的增高而縮短.粒子出現(xiàn)的幾率：n=1時,極大值出現(xiàn)在中間；n=2時,中間為0,兩旁各有一個極值；……

n很大時,相鄰波腹靠得很近,接近經(jīng)典力學(xué)各處概率相同.n+1個節(jié)點(diǎn)72第72頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月一維無限深方勢阱中

粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度0

d/2

d0

d/2

d73第73頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月例2:一維有限深勢阱在一維有限深勢阱中運(yùn)動的粒子勢能：V(x)-d/20d/2x在阱內(nèi)的解已由例1給出,此處不予考慮其中在阱外,體系滿足的薛定諤方程為：74第74頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月V(x)-d/20d/2x由波函數(shù)的有限條件可得兩個解：可見,在E＜Vd時,粒子有一定幾率出現(xiàn)在阱外,粒子的動能在勢阱邊界發(fā)生變化,而動能的變化相當(dāng)于波長的變化,說明粒子在阱的邊界既有反射又有透射,這與經(jīng)典物理觀點(diǎn)有根本差異.75第75頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.隧道效應(yīng)(方勢壘的貫穿)在方勢壘中運(yùn)動的粒子勢能：利用一維定態(tài)薛定諤方程分區(qū)域求解區(qū)域Ⅰ,V=0：其中其解是正弦波：V0ⅠⅡⅢE0x1x2

x76第76頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域Ⅱ,V＝V0＞E：其中其解為：區(qū)域Ⅲ與區(qū)域1類同,其解為：有關(guān)常數(shù)由波函數(shù)的連續(xù)條件和歸一化條件確定!V0ⅠⅡⅢE0x1x2

x77第77頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月V0：勢壘高度；D＝x2-x1：勢壘厚度.

討論：(1)E＞V0,入射粒子并非全部透射進(jìn)入Ⅲ區(qū),仍有一定幾率被反射回Ⅰ區(qū).(2)E＜V0,入射粒子仍可能穿過勢壘進(jìn)入Ⅲ區(qū).（“隧道效應(yīng)”）(3)D和E的變化對P十分靈敏.伽莫夫首先導(dǎo)出此關(guān)系式,并用于解釋原子核的α衰變.方勢壘貫穿過程的波函數(shù)貫穿幾率（透射系數(shù)）V0ⅠⅡⅢE0x1x2

x0

x1x2x78第78頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月

1982年,蘇黎世的賓尼、羅雷爾等人研制成功世界上第一臺新型的表面分析儀器—掃描隧道顯微鏡(STM).使人類第一次能夠?qū)崟r地觀察單個原子在物質(zhì)表面的排列狀態(tài),研究與表面電子行為有關(guān)的物理和化學(xué)性質(zhì),在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景…

STM的分辨率在水平方向可達(dá)0.1nm,垂直方向可達(dá)0.01nm,它的出現(xiàn)標(biāo)志著納米技術(shù)研究的一個重大的轉(zhuǎn)折,甚至可以標(biāo)志著納米技術(shù)研究的正式起步,這是因?yàn)镾TM具有原子和納米尺度的分析和加工的能力……

STM是利用量子隧道效應(yīng)工作的.若以金屬針尖為一電極,被測固體樣品為另一電極,當(dāng)他們之間的距離小到1nm左右時,就會出現(xiàn)隧道效應(yīng),電子從一個電極穿過空間勢壘到達(dá)另一電極形成電流.隧道電流對于間距的變化非常敏感.*應(yīng)用實(shí)例1：

隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM79第79頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月

恒高模式（保持針尖高度恒定）：針尖在被測樣品表面做平面掃描時,即使表面僅有原子尺度的起伏,也會導(dǎo)致隧道電流的非常顯著的、甚至接近數(shù)量級的變化.這樣就可以通過測量電流的變化來反應(yīng)表面上原子尺度的起伏,這是它的基本工作原理.

恒流模式（常用的工作模式）：針尖掃描時,通過電子反饋回路保持隧道電流不變.為維持恒定的電流,針尖隨樣品表面的起伏上下移動,從而記錄下針尖上下運(yùn)動的軌跡,即可給出樣品表面的形貌.80第80頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月利用STM可以分辨表面上原子的臺階、平臺和原子陣列.可以直接繪出表面的三維圖象.

1981年賓尼希和羅雷爾利用電子掃描隧道顯微鏡（STM）給出了晶體表面的三維圖象.高序石墨表面碳原子規(guī)則排列的STM圖像（3nm×3nm）最小的廣告IBM公司的科學(xué)家們在金屬鎳表面用35個惰性氣體氙原子組成“IBM”三個英文字母（1990）81第81頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月被束縛在量子圍欄內(nèi)的電子的波函數(shù)82第82頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月納米神算子---分子算盤碳60分子每十個一組放在銅的表面組成了世界上最小的算盤硅原子在高溫下重構(gòu)的圖案

硅原子上刻蝕圖案（中科院物理所1994）石墨表面通過搬遷碳原子而繪制出的世界上最小的中國地圖83第83頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月最初的原子鐘頻率標(biāo)準(zhǔn)就是利用氨分子(NH3)基態(tài)勢壘貫穿的振蕩頻率.NN’HHH氨分子(NH3)是一個棱錐體,N原子在其頂點(diǎn)上,三個H原子在基底.如右圖示.如果N原子初始在N處,則由于隧道效應(yīng),可以穿過勢壘而出現(xiàn)在N’點(diǎn).當(dāng)運(yùn)動能量小于勢壘高度（如圖中能級E所示）,則N原子在兩個區(qū)域之間存在通過勢壘的緩慢的振蕩運(yùn)動.振蕩頻率為2.3786×1010Hz.這就是原子鐘在規(guī)定時間標(biāo)準(zhǔn)時所利用的氨分子的勢壘貫穿運(yùn)動.目前,最精確的銫原子鐘的誤差為2千萬年不差1秒.*應(yīng)用實(shí)例2：原子鐘（基本原理）84第84頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.一維諧振子勢阱在自然界中,很普遍的諧振動可分解為若干彼此獨(dú)立的一維諧振動,因此討論一維諧振動有重要意義.

在量子力學(xué)中,一維諧振子的勢能為,相應(yīng)的薛定諤方程為：

在經(jīng)典物理中,諧振子作正弦運(yùn)動:,x0為粒子動能為0時的位置,稱為“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”.諧振子的能量和角頻率分別為):一維諧振動(振子質(zhì)量為m,彈性常數(shù)為k

)的能量：85第85頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月此非常數(shù)微分方程的精確解為：其中：厄密多項(xiàng)式Hn(y)的某些表達(dá)式為:說明普朗克量子化假設(shè)

En=nhvE0=0量子力學(xué)結(jié)果:En=(n+1/2)?ωE0=?ω/2特點(diǎn)1.能量間隔等距特點(diǎn)2.存在零點(diǎn)能86第86頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月*§3-6量子力學(xué)中的一些理論和方法1.平均值的求法在經(jīng)典物理中,欲求任意函數(shù)f(x)在定義域(0,l)范圍的平均值.權(quán)重均值為：定義域內(nèi)的幾率分布滿足歸一化條件：量子力學(xué)中,位置測量的平均值為：(ψ滿足歸一化條件)量子力學(xué)的基本規(guī)律是統(tǒng)計(jì)性的,ψ只具有幾率的含義,因此對于任何物理量,只有求出與它對應(yīng)的平均值后,才能與實(shí)驗(yàn)中觀察到的量相比較.顯然,相當(dāng)于空間的幾率分布.87第87頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月推廣：任何位置的可測量的函數(shù)f(x)的平均值為：例如,動量的x分量px是可測的量,但px(x)寫不出來,因?yàn)閜x(x)表示與每一特定的x有對應(yīng)的值,這是直接違反不確定關(guān)系的.必須明確,在位置表象(即以位置x為自變量的空間)里,只對于f(x)存在的函數(shù)才可用上述方法求平均值.88第88頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)用的波函數(shù)是在坐標(biāo)表象中,還可有別的表象,如動量表象等.在不同的表象中,力學(xué)量的算符不同.2.算符：量子力學(xué)中力學(xué)量通常的形式為在位置表象里求,只要把換為就可依照式(1)的方法求出.

稱為動量x分量的算符.推廣到三維空間則有：在勢場中,一個粒子的動能與勢能之和叫哈密頓量在直角坐標(biāo)系中的算符:89第89頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月在數(shù)學(xué)中,算符的一般定義：作用到一個函數(shù)f之后可把該函數(shù)映射為另一個函數(shù)g,即:當(dāng)函數(shù)f與g只差一個常數(shù)時即有:

f稱為本征函數(shù),λ一般是一組數(shù),稱為本征值譜.相應(yīng)的方程稱為本征方程.若一個本征值只對應(yīng)一個本征函數(shù),則此本征值對應(yīng)的狀態(tài)是非簡并的,否則就是簡并的.若一個本征值對應(yīng)n個本征函數(shù),則此本征函數(shù)是n度簡并的.3.本征方程、本征值和本征函數(shù)90第90頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月解此方程即可得到算符的一套本征函數(shù)ψA和相應(yīng)的一套本征值A(chǔ).屬于不同本征值的本征函數(shù)是正交的,即對于分屬兩個不同本征值的本征函數(shù)ψm和ψn,有：本征函數(shù)的正交歸一化條件可合并為：一個粒子可有多個可測量,若某粒子處于力學(xué)量A的本征態(tài),則測量A時可得到確定值.在本征態(tài)下測量其它力學(xué)量就不一定得到確定值.91第91頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月由于氫電子是微觀粒子,具有波粒二象性,不能用經(jīng)典力學(xué)的方法描述它.要正確地描述電子在氫原子中的運(yùn)動,必須采用量子力學(xué)的方法.1.氫原子中電子的薛定諤方程氫原子體系是中心力場中的兩體問題,應(yīng)將電子質(zhì)量m用折合質(zhì)量μ替代.*§3-7氫原子的薛定諤方程解氫原子的勢能（主要是電荷間的靜電作用）：由于是中心力場,角動量必守恒：92第92頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月因氫原子體系呈球?qū)ΨQ,電子勢能也具有球?qū)ΨQ性,因此用球極坐標(biāo)較為方便.其中三維薛定諤方程:電子的球極坐標(biāo)在球坐標(biāo)系中,拉普拉斯算符為：93第93頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月球坐標(biāo)94第94頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月由于V（r）是中心力場,可采用分離變量法簡化問題.應(yīng)用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件和歸一化條件,即可精確解得氫原子中電子的波函數(shù)為：徑向波函數(shù)球諧波函數(shù)取核位于坐標(biāo)原點(diǎn)則得定態(tài)薛定諤方程：95第95頁，課件共107頁，創(chuàng)作于2023年2月氫原子的問題可簡化為下面三個常微分方程的求解.

在以上對方程的求解過程中,自然引入三個量子數(shù)：n、l、ml.有了它們