數(shù)值分析習(xí)題

用時可以刪除112111222即取(,)之間的任意數(shù)，都具有4位有效數(shù)字。有幾位有效數(shù)字(有效數(shù)字的計算)12122222x*x*xxx則相對誤差為==lnx*lnx*x*lnx*誤差限。(誤差限的計算)xx*yy*xnx*nxx*解：=a%，=n=(na)%x*y*x*nx*誤差限為多大(函數(shù)誤差的計算)33v(r)v(r*)4.幾.r*2rr*rr*rr*1欲使==3=1%，必須=%。v(r*)4.幾.r*3r*r*33n0 nn1 (2)利用(1)中的公式正向遞推計算時誤差逐步增大；反向遞推計算時誤差逐步減小。(計算方法的比較選擇)n0n100000如果初始誤差為=II*，若是向前遞推，有000=II*=(1nI)(1nI*)=n=(1)2n(n1)=…=(1)nn!nnnn1n1n1n20可見，初始誤差的絕對值被逐步地擴大了。0如果是向后遞推I=11I，其誤差為n1nnnII(1)n0111111111.22n!n可見，初始誤差的絕對值被逐步減少了。n77|623解法二(基函數(shù)法)：由插值條件，有11323S已知y=x,x=4,x=9，用線性插值求7的近似值。(拉格朗日線性插101555jxl(x)=01j一1j+1nj(x一x)(x一x)…(x一x)(x一x)…(x一x)j0j1jj一1jj+1jnjjj=0jjF(x)是次數(shù)不超過n的多項式，在節(jié)點xx(0in)處，有iF(x)nxkl(x)xkxkl(x)xkxkxk0ijjiiiiiiii故F(x)0，從而nxkl(x)xk對于任意的0kn均成立。jjL(x)(x0.34)(x0.36)0.314567(0.320.34)(0.320.36)665用余弦函數(shù)cosx在x0，x，x三個節(jié)點處的值，寫出二次拉格422朗日插值多項式,并近似計算cos及其絕對誤差與相對誤差，且與誤差余項估6計值比較。(拉格朗日二次插值)幾2幾2662918幾幾cosL(幾幾相對誤差為：66934866666646264xxy0614346629/35xx4y二階均差134661n0,1pif[xx…x]=xpf(x)i0,1p(x一x)(x一x)…(x一x)(x一x)…(x一x)(x一x)i=0i0i1ii一1ii+1ip一1ipi0,1p8如下函數(shù)值表xxf(x)24309建立不超過三次的牛頓插值多項式。(牛頓插值多項式的構(gòu)造)差表xx01三階均差1982343-10-8-11/44解法二(帶重節(jié)點的均差法)：據(jù)插值條件，造差商表xxy一階差商二階差商三階差商242243131285210構(gòu)造一個三次多項式H(x)，使它滿足條件利用插值條件，有(d(d012爾M特插值多項式H(x)，使得H(x)=f(x),j=0,1,2,H,(x)=f,(x)，H(x)jj11及其余項的計算)。f4848222254504502522545045025442!iix84MM1683rxxxMM1683669271101220(v,v)=x2dx=122301爪2爪爪2爪000||=||21爪2爪101[-1,1]上的最佳平方逼近多項式。(最佳平方逼近)11-112-1(v,v)=x2dx=2223-12-1-112a=23231：切比雪夫多項式序列klk1-x2"1-cos2t0202l-kl+k02l-kl+k0-1"1-cos2t0cosktdttsinkt222k020k正交。|12|12212121212達到最小。于是，令12121221212212122(3x+2x=9(x=2.5714xx222(x=2.5714解之，得〈1。2lx=0.642925已知一組實驗數(shù)據(jù)x2345ky4689k試用直線擬合這組數(shù)據(jù).(計算過程保留3位小數(shù))。(最小二乘線性逼近)「4]「4]68345(ATA)X=(ATy)即xxxkyk(最小二乘二次逼近)38442kyk習(xí)題主要考察點：代數(shù)精度的計算，構(gòu)造插值型求積公式(梯形，辛甫生公式)，復(fù)化求積的計算，高斯公式的構(gòu)造。-h|||lahch)2=2h3/3333故求積公式為jhf(x)dx如hf(-h)+4hf(0)+hf(h)。-h333-h333再取f(x)=x4，左邊=jhx4dx=2h5，右邊=h(-h)4+4h.0+h(h)4=2h5-h53333此求積公式的最高代數(shù)精度為3。2求積公式j(luò)1f(x)dx必Af(0)+Af(1)+Bf,(0)，試確定系數(shù)A,A及B，使該求積0100100公式具有盡可能高的代數(shù)精確度，并給出代數(shù)精確度的次數(shù)。(代數(shù)精度的應(yīng)用和計211A=,A=,B=。031306jfxdxfff,(0)。03360433602該公式的代數(shù)精確度為多少(插值型求積公式特征)220222022204如果f,(x)>0，證明用梯形公式計算積分jbf(x)dx所得到的結(jié)果比準(zhǔn)確值大，a并說明其幾何意義。(梯形求積)是由過點(a,f(a))，(b,f(b))的線性插值函數(shù)iiaaaa之上，因此，曲邊梯形的面積I=f(x)dx小于梯形面積T=L(x)dx。aa5用n=4的復(fù)化梯形公式計算積分j21dx，并估計誤差。(復(fù)化梯形求積)44i4j21dx=x3x11dx必x3h[f(x)+f(x)]=h[1f(x)+f(x)+f(x)+f(x)+1f(x)]1xx2ii+12012324i=0xi=00.6970424567281680j1f(x)dx，若有常數(shù)M使|f(4)|共M，則估計復(fù)化辛甫生公式的整體截斷誤差限。(復(fù)化辛甫生公式)66666666!4!dx!4!0012660001用復(fù)化高斯求積法求定積分xdx的近似值。(高斯公式)001/2440881對于xdx作變量換x=3+1t，有44xtdt8x802分公式代數(shù)精度是多少它是否為高斯型的(代數(shù)精度的應(yīng)用和計算，高斯點的0j1xf(x)dx必Af(xj1xf(x)dx必Af(x)+Af(x)。(高斯求積)0011(|A=C16〈a2(A+C)=16解得：A=C=,B=,a=99一295一2959959599525n(1)求P(x)。2(2)構(gòu)造如下的高斯型求積公式010000=(P,P)=(x,P)+a(P,P)，a=-(x.P0)=-0=-20100000(P0,P0)xdx30130321100010=(P,P)=(x2,P)+a(P,P)，a=-(x2,P0)=-0=-10200000(P0,P0)xdx20x3(x-2)dx0=(P,P)=(x2,P)+a(P,P)，a=-(x2,)1211111(,)x(x-2)2dx530P(x)=x2-PP(x)=x2-P(x)-P(x)=x2-(x-)-=x2-x+25120532510解(2)：P(x)=x2-6x+3的零點為：x=6土6。25101,21010分別取f(x)=1,x，使上述求積公式準(zhǔn)確成立，有A，A，A=+。04661466330466104661024244416248886428888642832810313511 (8)若取中點c=作為取根的近似值，其誤差小于一=想0.0326483232求x*(精確至3位有效數(shù))，并說明所用的迭代格式是收斂的。(迭代法)x此，該方程在(1，2)之間存在著惟一的實根。1==31123451由于x一x=0.0014共人101一3，故x=1.8409作為近似值，已精確到了3位有4525n+13n0nx0值。(和收斂性討論)2222333對任意初值均收斂于方程的根x*。333333301234554的序列{x}收斂于x*。(收斂性證明)nxxn+1nnn_10nnxsinxVxRlimx=x*(x*為方程的根)；此迭代的n+13n0n)wn333n)wn33333323故該迭代的收斂速度為1階的。0nx211(3)x2=，對應(yīng)迭代格式：x_1nn0算出x=1.5附近的根到4位有效數(shù)字。(收斂速度的計算和比02ff>0，故方程在[1,3]上有根x*。，282f(5)=_39<0，故方程在[5,3]上有根x*。46442f(11)=_149<0，故方程在[11,3]上有根x*。851282(x*)2x(x*)2x對于迭代式(1)：22*322x2x3()3()31x*3對于迭代式(2)：在x[1,2]上，(x)(1x2)1/3，(x)2x3(1x2)2/3(x)2x323x341，又(x*)2x*0，故該迭代在3(2x)2/3333(1x*2)2/3對于迭代式(3)：(x)在[1，2]上的值域為[1,)，該迭代式不收x1取迭代式x31x2，x1.5進行計算，其結(jié)果如下：n1n0123456781xx0.00011014，取x1.4656為近似值具有4位有效數(shù)字。87287設(shè)f(x)(x3a)2(2)證明此迭代格式是線性收斂的。(牛頓迭代的構(gòu)造與收斂速度)解：牛頓迭代式為x5xa，n16n6x2n方程的根為x*3a，(x)5xa，(x)5a，(3a)1066x263x32aa為22個計算a的牛頓迭代法，且不用除法(其中a>0)。(牛頓迭代解：考慮方程f(x)=a1=0，f,(x)=1，(x)=xa1/x=2xax2xx21/x2x=2xax2n+1nn而,()=22a.=0aa0數(shù)。(牛頓迭代的構(gòu)造)2x2xx=x=(x+)nnxn010設(shè)x*是非線性方程f(x)=0的m重根，試證明：迭代法x=xmf(x)nn+1nf'(x)n具有至少2階的收斂速度。(收斂速度證明)解：設(shè)x*是非線性方程f(x)=0的m重根，則f(x)=(xx*)mg(x)，且g(x*)0及m2，其牛頓迭代函數(shù)為(x)=xmf(x)牛頓迭代式x=xm(xx*)g(x)nnn+1nmg(x)+(xx*)g,(x)nnnexx*(x)x*(xx*)m(xnx*)g(xn)n1n1nnmg(x)(xx*)g(x)nnn(xx*)2g(x)g(x)mg(x)(xx*)mg(x)(xx*)g(x)mg(x)(xx*)g(x)nnnnnnnlimen1limg(xn)g(x*)ne2nmg(x)(xx*)g(x)mg(x*)nnnn11設(shè)x*是非線性方程f(x)0的m重根，證明：用牛頓迭代法求x*只是線性收斂。(收斂速度證明)解：設(shè)x*是非線性方程f(x)0的m重根，則f(x)(xx*)mg(x)，且g(x*)0及m2，其牛頓迭代函數(shù)為(x)xf(x)x(xx*)mg(x)x(xx*)g(x)f'(x)m(xx*)m1g(x)(xx*)mg(x)mg(x)(xx*)g(x)牛頓迭代式xx(xnx*)g(xn)n1nmg(x)(xx*)g(x)nnnexx*(x)x*[1g(xn)]en1n1nmg(x)(xx*)g(x)nnnnlimen1lim[1g(xn)]1g(x*)110nenmg(x)(xx*)g(x)mg(x*)mnnnnaaxapaxxapnn(x)(a)(a)(xa)(a)(xa)2…(p1)(a)(xa)p1(p)()(xa)p1!2!(p1)!p!a(p)()(xa)p，其中，在x與a之間。p!n+1n+1np!np1nnnn)wnn)wn!=p!。!=p!。n的數(shù)值解(取步長h=0.2)，并與精確解作比較。(改進的尤拉公式的應(yīng)用)2dx公式li+12pcii00fprintfxdfydfyydfn,1,x(1),1,y(1),1,y(1))。fori=1:5ypyiyix(i)/y(i))。%預(yù)報值1fprintfxdfydf,yy(%d)=%f\n',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1))。xyyy(1)=xyyy(2)=xyyy(3)=xyyy(4)=xyyy(5)=xyyy(6)=(y+y=12用四階龍格－庫塔法求解初值問題〈，取h=0.2,求x=數(shù)值解.要求寫出由h,x,y直接計算y的迭代公式，計算過程保留3位小nnn+1數(shù)。(龍格－庫塔方法的應(yīng)用)n+1n61234k=f(x,y)1nn2n2n21n2n224nn31n2n21n2nn23n22n2n2n22h4n3nn22n22n+1n6n41642264〈并證明當(dāng)h)0時，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解y=e一x。求解一般微分方程初值問題的梯形公式的形式為y=y+h[f(x,y)+f(x,y)]n+1n2nnn+1n+1對于該初值問題，其梯形公式的具體形式為n+1n2nn+12n+12nn+12+h)nn+1n2nn+12n+12nn+12+h)nxxxxh)0nt)0t)0h0時，y收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解y(x)=e-xn。nn證明：顯式的歐拉公式為y=y+hf(x,y)=(1-10h)yn+1nnnnn+1n想en隱式的歐拉公式為y=y+hf(x,y)=y-10hyn+1nn+1n+1nn+15證明：梯形公式y(tǒng)=y+h[f(x,y)+f(x,y)]無條件穩(wěn)定。(梯形公式n+1n2nnn+1n+1定性討論)00l00數(shù)值計算公式y(tǒng)=以(y+y)+h(bf+bf)，使其具有二階精度，并推導(dǎo)n+1nn-10n1n-1其局部截斷誤差主項。(局部截斷誤差和主項的計算)nnn-1n-1y=y(x)=y(x)_y,(x)h+y,,(x)nh2_y,,,(x)nh3+…n_1n_1nn26f=f(x,y)=f(x,y(x))=y,(x)nnnnnnf=f(x,y)=f(x,y(x))=y,(x)=y,(x)_y,(x)h+y,,,(x)nh2_…n_1n_1n_1n_1n_1n_1nn2y=2ay(x)+(b+b_a)y,(x)h+(a_b)y,(x)h2+(a+b1)y,(x)h3+…n+1n01n21n62n又y(x)=y(x)+y,(x)h+1y,(x)h2+1y,(x)h3+…n+1nn2n6n欲使其具有盡可能高的局部截斷誤差，必須01212于是數(shù)值計算公式為y=(y+y)+h(f_fn+12nn_14n4n_1該數(shù)值計算公式的局部截斷誤差的主項為y(x)_yy(x)_y=(__1)y,(x)h3+…=y,(x)h3+…n+1n+1662n24n7已知初值問題(y,=2x取步長h=0.1，利用阿當(dāng)姆斯公式y(tǒng)=y+h(3f_f)，求此微分方程在n+1n2nn_1[0，10]上的數(shù)值解，求此公式的局部截斷誤差的首項。(阿當(dāng)姆斯公式的應(yīng)nnn_1n_1y=y(x)，f=y,(x)，f=y,(x)=y,(x)_y,(x)h+y,,,(x)nh2_…nnnnn_1n_1nn2y=y(x)+y,(x)h+1y,(x)h2_y,(xn)h3+…n+1nn2n4而y(x)=y(x)+y,(x)h+1y,(x)h2+1y,(x)h3+…n+1nn2n6ny(x)y=(+)yp(x)h3+…=yp(x)h3+n+1n+164n12n該阿當(dāng)姆斯兩步公式具有2階精度，其局部截斷誤差的主項為yp(x)h3。12nn計算公式可改寫為yy=y+.(6x2x)=y+0.02n+0.01n+1n2nn1n僅需取一個初值y=0，可實現(xiàn)這一公式的實際計算。0forn0:99fprintfx(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8f\n',n+1,x1,n+1,y1)。x(1)=0.,y(1)=x(2)=0.,y(2)=x(3)=0.,y(3)=x(4)=0.,y(4)=0.x(5)=0.,y(5)=0.x(6)=0.,y(6)=0.x(7)=0.,y(7)=0.x(8)=0.,y(8)=0.x(9)=0.,y(9)=0.x(10)=,y(10)=x(11)=1.,y(11)=1.x(12)=1.,y(12)=1.x(13)=1.,y(13)=1.x(14)=1.,y(14)=1.x(15)=1.,y(15)=2.x(16)=1.,y(16)=2.x(17)=1.,y(17)=2.x(18)=1.,y(18)=3.x(19)=1.,y(19)=3.x(20)=,y(20)=x(21)=2.,y(21)=4.x(22)=2.,y(22)=4.x(23)=2.,y(23)=5.x(24)=2.,y(24)=5.x(25)=2.,y(25)=6.x(26)=2.,y(26)=6.x(27)=2.,y(27)=7.x(28)=2.,y(28)=7.x(29)=2.,y(29)=8.x=,y(30)=x(31)=3.,y(31)=9.x(32)=3.,y(32)=10.x(33)=3.,y(33)=10.x(34)=3.,y(34)=11.x(35)=3.,y(35)=12.x(36)=3.,y(36)=12.x(37)=3.,y(37)=13.x(38)=3.,y(38)=14.x(39)=3.,y(39)=15.xy(40)=x(41)=4.,y(41)=16.x(42)=4.,y(42)=17.x(43)=4.,y(43)=18.x(44)=4.,y(44)=19.x(45)=4.,y(45)=20.x(46)=4.,y(46)=21.x)=4.,y(47)=x)=4.,y(48)=x)=4.,y(49)=x50)=,y(50)=x51)=5.,y(51)=x52)=5.,y(52)=x53)=5.,y(53)=x(54)=5.,y(54)=29.x(55)=5.,y(55)=30.x(56)=5.,y(56)=31.x(57)=5.,y(57)=32.x(58)=5.,y(58)=33.x(59)=5.,y(59)=34.x60)=,y(60)=x(61)=6.,y(61)=37.x(62)=6.,y(62)=38.x(63)=6.,y(63)=39.x(64)=6.,y(64)=40.x(65)=6.,y(65)=42.x(66)=6.,y(66)=43.x(67)=6.,y(67)=44.x(68)=6.,y(68)=46.x(69)=6.,y(69)=47.x70)=,y(70)=x(71)=7.,y(71)=50.x(72)=7.,y(72)=51.x(73)=7.,y(73)=53.x(74)=7.,y(74)=54.x(75)=7.,y(75)=56.x(76)=7.,y(76)=57.x(77)=7.,y(77)=59.x(78)=7.,y(78)=60.x(79)=7.,y(79)=62.x,y(80)=x(81)=8.,y(81)=65.x(82)=8.,y(82)=67.x(83)=8.,y(83)=68.x(84)=8.,y(84)=70.x(85)=8.,y(85)=72.x(86)=8.,y(86)=73.x(87)=8.,y(87)=75.x(88)=8.,y(88)=77.x(89)=8.,y(89)=79.x,y(90)=x(91)=9.,y(91)=82.x(92)=9.,y(92)=84.x(93)=9.,y(93)=86.x(94)=9.,y(94)=88.x(95)=9.,y(95)=90.x(96)=9.,y(96)=92.x9.,y(97)=x9.,y(98)=x9.,y(99)=xy0)=2112112222條件是a12a21<1。(雅可比迭代法的收斂性)aa-21b]1a-12a-21b]1a-12a2(ab|x1+a12x2(ab11「|x(k+1)=aa ]a]x(k)+0」aaaaaaaaaaaaaa11221122，求解方程組(x+2x=3123x+2x=412再用上述兩種迭代法求解是否收斂為什么(雅可比、高斯-塞德爾迭代法的收斂2J-塞德爾迭代式為G02G(24(2401_01_|2|_3033|_3033=，J入1 22 J313「1_|x(k)+||G=02 3133其p(B)=1<1，故高斯-塞德爾迭代收斂。G3「410]4證明解線性方程組Ax=b的雅可比迭代收斂，其中A=|。(雅可比迭代收斂性判斷)|f=fL12]]|1」12]|.0」0「1_40]|1_01045521入8(1)試討論用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解此方程組的收斂性。=JJ-塞德爾迭代式為GG-2-2-2-2當(dāng)1+0.61-0.6同時滿足時，亦即-2<a<0，-5(1-0.6)<a<0時，有p(I+aA)<1(2)使得用高斯-塞德爾迭代法解方程組Ax=b時收斂。(雅可比、高斯-塞德爾迭代法及收斂性討論)J入a當(dāng)a<1時，p(B)=a2<1，使雅可比迭代收斂。2J迭代為b=pBa2G(1)設(shè)x(k)是由雅可比迭代求解方程組Ax=b所產(chǎn)生的迭代向量，且(2)設(shè)x*是Ax=b的精確解，寫出誤差x(k)_x*的精確表達式。w的范圍，使迭代收斂。(雅可比迭代及其收斂判斷)J2222x(k)_x*=x(k)_x*=ww=w(_)k1=wx=w(_)k1=wx(k)_x*=ww2k對于迭代_1=(入_1)(入_3)，故其特征