2022年湖南省郴州市明陽(yáng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2022年湖南省郴州市明陽(yáng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.奧林匹克會(huì)旗中央有5個(gè)互相套連的圓環(huán)，顏色自左至右，上方依次為藍(lán)、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲．在手工課上，老師將這5個(gè)環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)制作，每人分得1個(gè)，則事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是（）A．對(duì)立事件 B．不可能事件C．互斥但不對(duì)立事件 D．不是互斥事件參考答案：C【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件．【分析】對(duì)于紅色圓環(huán)而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均沒(méi)有分得，然后利用互斥事件和對(duì)立事件的概念得答案．【解答】解：甲、乙不能同時(shí)得到紅色，因而這兩個(gè)事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到紅色，即“甲或乙分得紅色”的事件不是必然事件，故這兩個(gè)事件不是對(duì)立事件．∴事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是互斥但不對(duì)立事件．故選：C．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：B【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，最后確定復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】，因此復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第二象限，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)復(fù)平面的位置.3.函數(shù)f（x）的定義域是R，f（0）=2，對(duì)任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，則不等式ex?f（x）＞ex+1的解集為（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex?f（x）﹣ex，結(jié)合已知可分析出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合g（0）=1，可得不等式ex?f（x）＞ex+1的解集．【解答】解：令g（x）=ex?f（x）﹣ex，則g′（x）=ex?[f（x）+f′（x）﹣1]∵對(duì)任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=ex?f（x）﹣ex在R上為增函數(shù)又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=ex?f（x）﹣ex＞1的解集為{x|x＞0}即不等式ex?f（x）＞ex+1的解集為{x|x＞0}故選A4.已知，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④。其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③

B．①④

C．②③

D．②④參考答案：C略5.下圖是計(jì)算函數(shù)y＝的值的程序框圖，在①、②、③處應(yīng)分別填入的是()A．y＝ln(－x)，y＝0，y＝2xB．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0C．y＝0，y＝2x，y＝ln(－x)D．y＝0，y＝ln(－x)，y＝2x參考答案：B6.若，則在中，最大的一個(gè)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.過(guò)雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=45°，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．2參考答案：B8.若關(guān)于的不等式的解集是（一，＋），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：Ｂ9.設(shè)點(diǎn)A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），則線段AB的中點(diǎn)與點(diǎn)C的距離為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用．【分析】先求出線段AB的中點(diǎn)M，再由兩點(diǎn)間距離公式能求出線段AB的中點(diǎn)與點(diǎn)C的距離．【解答】解：∵點(diǎn)A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），∴線段AB的中點(diǎn)M（2，，3），∴線段AB的中點(diǎn)與點(diǎn)C的距離為：|MC|==．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．10.已知平面α∥平面β，它們的距離是d，直線aìα，則在平面β內(nèi)與直線a平行且相距為2d的直線有（

）（A）0條

（B）1條

（C）2條

（D）無(wú)數(shù)多條參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)在直線上，若在圓上存在兩點(diǎn)，，使，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是__________．參考答案：根據(jù)題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線為切線時(shí)才是最大的角，此時(shí)的長(zhǎng)度為，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點(diǎn)，便它到點(diǎn)的距離為．設(shè)，則：，解得或，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是：．12.不等式的解為

▲

．參考答案：13.已知直線ax+4y-2=0與2x-5y+b=0互相垂直，垂足為（1，c）,則a+b+c=

參考答案：14.擲一枚骰子兩次，所得點(diǎn)數(shù)之和為11的概率為_(kāi)_____________。參考答案：略15.已知前n項(xiàng)和，則…的值為_(kāi)_______。參考答案：67略16.不相等的正實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，c、a、b成等比數(shù)列，則a:b:c=

。參考答案：2:(-1):417.若直線被兩平行線所截得的線段的長(zhǎng)為，則的傾斜角可以是

①

②

③

④

⑤其中正確答案的序號(hào)是

.（寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào)）參考答案：解析：兩平行線間的距離為，由圖知直線與的夾角為，的傾斜角為，所以直線的傾斜角等于或。故填寫(xiě)①或⑤三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，記．

(Ⅰ)求，并證明是等比數(shù)列；(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．參考答案：解：（Ⅰ）∵，，

∴，∴,

……1分

∴,

………1分

另外，由得，當(dāng)時(shí)，有，

…1分

∴，

即，

……1分

∴，

……1分

又∵，∴，

…1分略19.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是BB1和CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求AE與A1F所成角的大小；（Ⅱ）求AE與平面ABCD所成角的正切值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角．【分析】（Ⅰ）建立坐標(biāo)系，利用向量方法求AE與A1F所成角的大?。唬á颍┳C明∠EAB就是AE與平面ABCD所成角，即可求AE與平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則A（0，0，0），E（1，0，），A1（0，0，1），F(xiàn)（，1，0）=（1，0，），=（，1，﹣1）∴=0，所以AE與A1F所成角為90°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，∴BB1⊥平面ABCD∴∠EAB就是AE與平面ABCD所成角，又E是BB1中點(diǎn)，在直角三角形EBA中，tan∠EAB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.(本題滿分12分)如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中點(diǎn)。

（1）求證：平面BED平面SAB；

（2）求平面BED與平面SBC夾角的大小。參考答案：解：（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．∵SD＝AD，E是SA的中點(diǎn)，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB．

…4分（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系D—xyz，不妨設(shè)AD＝2，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．設(shè)m＝(x1，y1，z1)是面BED的一個(gè)法向量，則即因此可取m＝(－1，，1)．…8分

設(shè)n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一個(gè)法向量，則即因此可取n＝(0，，1)．

…10分cosám，n?＝，故平面BED與平面SBC所成銳二面角的大小為30°．…12分21.如圖，設(shè)點(diǎn)F1（﹣c，0）、F2（c，0）分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且最小值為0．（1）求橢圓C的方程；（2）若動(dòng)直線l1，l2均與橢圓C相切，且l1∥l2，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B，點(diǎn)B到l1，l2的距離之積恒為1？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)P（x，y），可得向量坐標(biāo)關(guān)于x、y的形式，從而得到，結(jié)合點(diǎn)P為橢圓C上的點(diǎn)，化簡(jiǎn)得，說(shuō)明最小值為1﹣c2=0，從而解出a2=2且b2=1，得到橢圓C的方程．（2）當(dāng)直線l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)它們的方程為y=kx+m與y=kx+n，與橢圓方程聯(lián)解并利用根的判別式列式，化簡(jiǎn)得m2=1+2k2且n2=1+2k2，從而得到m=﹣n．再假設(shè)x軸上存在B（t，0），使點(diǎn)B到直線l1，l2的距離之積為1，由點(diǎn)到直線的距離公式列式，并化簡(jiǎn)去絕對(duì)值整理得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，再經(jīng)討論可得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）．最后檢驗(yàn)當(dāng)直線l1，l2斜率不存在時(shí)，（1，0）或（﹣1，0）到直線l1，l2的距離之積與等于1，從而得到存在點(diǎn)B（1，0）或B（﹣1，0），滿足點(diǎn)B到l1，l2的距離之積恒為1．【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），則有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴∵點(diǎn)P在橢圓C上，可得，可得y2=x2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此，最小值為1﹣c2=0，解之得c=1，可得a2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴橢圓C的方程為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）①當(dāng)直線l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，y=kx+n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣把l1的方程代入橢圓方程，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0∵直線l1與橢圓C相切，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化簡(jiǎn)得m2=1+2k2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理可得n2=1+2k2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴m2=n2，而若m=n則l1，l2重合，不合題意，因此m=﹣n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）設(shè)在x軸上存在點(diǎn)B（t，0），點(diǎn)B到直線l1，l2的距離之積為1，則，即|k2t2﹣m2|=k2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）把1+2k2=m2代入，并去絕對(duì)值整理，可得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，而前式顯然不能恒成立；因而要使得后式對(duì)任意的k∈R恒成立必須t2﹣1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）②當(dāng)直線l1，l2斜率不存在時(shí)，其方程為和，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）定點(diǎn)（﹣1，0）到直線l1，l2的距離之積為；定點(diǎn)（1，0）到直線l1，l2的距離之積為，也符合題意．綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)B為（﹣1，0）或（1，0