2022-2023學(xué)年廣東省河源市龍窩中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022-2023學(xué)年廣東省河源市龍窩中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.參考答案：D略2.已知函數(shù)f（x）=（2+x）2﹣3x，則f′（1）為（）A．6 B．0 C．3 D．7參考答案：C【考點】63：導(dǎo)數(shù)的運算．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式計算可得f′（x）=2x+1，將x=1代入計算即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）=（2+x）2﹣3x=x2+x+4，其導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+1，則f′（1）=3；故選：C．3.設(shè)D，E，F(xiàn)分別△ABC的三邊AB，BC，CA的中點，則=（）A． B．3C．D．參考答案：C【考點】向量的三角形法則．【分析】利用向量平行四邊形法則即可得出．【解答】解：∵=，，∴=﹣==．故選：C．4.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是（

）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；

B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度；

D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度。參考答案：B略5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)函數(shù)圖像上特殊點，對選項進(jìn)行排除，由此得出正確選項.【詳解】對于A,B兩個選項，，不符合圖像，排除A,B選項.對于C選項，，不符合圖像，排除C選項，故選D.【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)圖像選擇相應(yīng)的解析式，考查利用特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)a∈[0,10]，則函數(shù)g(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的概率為__________．參考答案：略7.下列命題中，錯誤的是（A）一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交（B）平行于同一平面的兩個不同平面平行（C）如果平面不垂直平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面（D）若直線不平行平面，則在平面內(nèi)不存在與平行的直線參考答案：D8.若定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為（

）A

9.

B.7

C.5

D.4參考答案：C9.已知直線和平面，，，，且在內(nèi)的射影分別為直線和，則和的位置關(guān)系是

（

）A．相交或平行

B。相交或異面

C。平行或異面

D。相交﹑平行或異面參考答案：D10.在直角坐標(biāo)平面中，的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別為A（－1，0），B（1，0），平面內(nèi)兩點G、M同時滿足下列條件：（1），（2），（3），則的頂點C的軌跡方程為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若角的終邊經(jīng)過點P,則的值是

參考答案：【答案解析】

解析：OP=r＝＝1，∴點P在單位圓上，∴sinα＝，tanα＝，得sinαtanα＝()×()＝．故答案為.【思路點撥】求出OP的距離，利用任意角的三角函數(shù)的定義求出sinα，tanα，即可求出sinαtanα的值得到結(jié)果．12.已知函數(shù)有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：C略13.給出以下四個命題：（1）對于任意的，，則有成立；（2）直線的傾斜角等于；（3）在空間如果兩條直線與同一條直線垂直，那么這兩條直線平行；（4）在平面將單位向量的起點移到同一個點，終點的軌跡是一個半徑為1的圓．其中真命題的序號是

．參考答案：（1）（4）14.使得（3x+）n（n∈N+）的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為

。參考答案：515.復(fù)數(shù)，，則實部的最大值__________，虛部的最大值__________．參考答案：，∵，，∴，∴的實部為，∴實部的最大值為，的虛部為，∴虛部的最大值為．16.函數(shù)f(x)＝lg(x－1)的定義域為________．參考答案：(1，＋∞)17.（4分）復(fù)數(shù)z=i（1+2i）（i為虛數(shù)單位），則=．參考答案：﹣2﹣i【考點】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】：直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案．解：∵z=i（1+2i）=﹣2+i，∴．故答案為：﹣2﹣i．【點評】：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分12分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵樹．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示．（Ⅰ）如果,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；（Ⅱ）如果，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：解:（1）當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為……3分方差為………6分（Ⅱ）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P（Y=17）=。同理可得所以隨機(jī)變量Y的分布列為：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19。

………………12分19.在等差數(shù)列中，公差，且，（1）求的值．

（2）當(dāng)時，在數(shù)列中是否存在一項（正整數(shù)），使得

，

，成等比數(shù)列，若存在，求的值；若不存在，說明理由．（3）若自然數(shù)(為正整數(shù))滿足<<<

<<，使得成等比數(shù)列，

（文科考生做）當(dāng)時，

用表示

．

（理科考生做）求的所有可能值．參考答案：解析：（1）在等差數(shù)列中，公差，且，則

……3分（2）在等差數(shù)列中，公差，且，則

…………5分又

則

36=3am，

…………8分（文科）（3）在等差數(shù)列中，公差，且，

則

……10分又因為公比首項，

…………14分又因為

……16分

（理科）（3）

成等比數(shù)列，

∴

…………14分又∵成等比數(shù)列，∴∴{6，7，8，9，10，…}對一切成立，∴{2，3，4，5，…}（*），設(shè)（{2，3，4，5，…}），∴，（由二項式定理知，恒成立）

∴（{2，3，4，5，…}）（注的證明可用無窮遞降法完成，證略.）

………………16分20.已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上下底面分別是邊長為2和4的正方形，且AA1⊥底面ABCD，點P為DD1的中點.（1）求證：AB1⊥平面PBC；（2）在BC邊上找一點Q，使PQ∥平面A1ABB1，并求三棱錐的體積.參考答案：(1)證明見解析.(2).分析：(1)取中點，由平幾相似得，再由底面得，又是正方形，有，因此平面，即得，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，(2)在邊上取一點，使，由平幾知識得四邊形是平行四邊形，即有平面.設(shè)，由（1）得為高，最后根據(jù)錐體體積公式求結(jié)果.詳解：（1）取中點，連結(jié)，，在，∴平面.∵面，面，∴，∵是正方形，∴，又平面，平面，，∴平面，∵平面，∴.∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵平面，平面，，∴平面.（2）在邊上取一點，使，∵為梯形的中位線，，，∴，，又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.∵平面，平面，∴，∵，，∴，設(shè)，則.∴.∴.點睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.21.某城市隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115（1）若某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)API（記為ω）的關(guān)系式為：S=試估計在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元的概率；（2）若以上表統(tǒng)計的頻率作為概率，求該城市某三天中恰有一天空氣質(zhì)量為輕度污染的概率．（假定這三天中空氣質(zhì)量互不影響）參考答案：【考點】相互獨立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（1）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元”為事件A，由已知條件求出頻數(shù)，由此能求出該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元的概率．（2）記空氣質(zhì)量輕度污染為事件B，由已知條件求出P（B）=，由此能求出三天中恰有一天空氣質(zhì)量為輕度污染的概率．【解答】解：（1）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元”為事件A，由200＜S≤600，得150＜ω≤250，頻數(shù)為39，P（A）=．（2）記空氣質(zhì)量輕度污染為事件B，由（1）知P（B）=，則P（）=，記三天中恰有一天空氣質(zhì)量輕度污染為事件C，則P（C）=××+××+××=0.441．故三天中恰有一天空氣質(zhì)量為輕度污染的概率為0.441．【點評】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．22.如圖，設(shè)橢圓兩頂點，短軸長為，焦距為，過點的直線與橢圓交于兩點．設(shè)直線與直線交于點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：點的橫坐標(biāo)為定值.參考答案：（1）橢圓方程為.

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