北京師范大學附屬杭州中學2022-2023學年數學高一第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若直線與直線平行,則A． B． C． D．2．若向量的夾角為，且，，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．3．已知a、b是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，若，，，則下列三個結論：①、②、③．其中正確的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知實數m，n滿足不等式組則關于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6mn＝0的兩根之和的最大值和最小值分別是()A．7，－4 B．8，－8C．4，－7 D．6，－65．已知，，則()A． B． C． D．6．在等比數列中，則（）A．81 B． C． D．2437．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．已知直線與直線平行，則實數m的值為（）A．3 B．1 C．-3或1 D．-1或39．設的內角，，的對邊分別為，，．若，，，且，則（）A． B． C． D．10．若為圓的弦的中點，則直線的方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在直四棱柱中，，，，分別為的中點，平面平面.給出以下幾個說法：①；②直線與的夾角為；③與平面所成的角為；④平面內存在直線與平行.其中正確命題的序號是__________.12．給出下列五個命題：①函數的一條對稱軸是；②函數的圖象關于點（,0）對稱；③正弦函數在第一象限為增函數；④若，則，其中；⑤函數的圖像與直線有且僅有兩個不同的交點，則的取值范圍為.以上五個命題中正確的有（填寫所有正確命題的序號）13．如圖中，，，，M為AB邊上的動點，，D為垂足，則的最小值為______；14．某市三所學校有高三文科學生分別為500人，400人，300人，在三月進行全市聯考后，準備用分層抽樣的方法從三所高三文科學生中抽取容量為24的樣本，進行成績分析，則應從校高三文科學生中抽取_____________人．15．函數y=sin2x+2sin2x的最小正周期T為_______.16．函數的最大值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為坐標原點，，，若.（Ⅰ）求函數的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）當時，若方程有根，求的取值范圍.18．數列中，，（為常數）.（1）若，，成等差數列，求的值；（2）是否存在，使得為等比數列？并說明理由.19．已知向量，且（1）當時，求及的值；（2）若函數的最小值是，求實數的值.20．已知公差的等差數列的前項和為，且滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求證：是數列中的項；（3）若正整數滿足如下條件：存在正整數，使得數列，，為遞增的等比數列，求的值所構成的集合.21．已知函數，其中數列是公比為的等比數列，數列是公差為的等差數列．（1）若，，分別寫出數列和數列的通項公式；（2）若是奇函數，且，求；（3）若函數的圖像關于點對稱，且當時，函數取得最小值，求的最小值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由題意，直線，則，解得，故選A.2、B【解析】

結合數量積公式可求得、、的值，代入向量夾角公式即可求解．【詳解】設向量與的夾角為，因為的夾角為，且，，所以，，所以，又因為所以，故選B【點睛】本題考查向量的數量積公式，向量模、夾角的求法，考查化簡計算的能力，屬基礎題．3、C【解析】

根據題意，，，，則有，因此，，不難判斷.【詳解】因為，，，則有，所以，，所以①正確，②不正確，③正確，則其中正確命題的個數為2.故選C【點睛】本題考查空間中直線與平面之間的位置關系，考查空間推理能力，屬于簡單題.4、A【解析】由題意得，方程的兩根之和，畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由，可得，此時，由，可得，此時，故選A.5、C【解析】

利用二倍角公式變形為，然后利用弦化切的思想求出的值，可得出角的值．【詳解】，化簡得，，則，，因此，，故選C．【點睛】本題考查二倍角公式的應用，考查弦切互化思想的應用，考查給值求角的問題，著重考查學生對三角恒等變換思想的應用能力，屬于中等題．6、A【解析】解：因為等比數列中，則，選A7、B【解析】，，．選B.點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解．8、B【解析】

兩直線平行應該滿足，利用系數關系及可解得m.【詳解】兩直線平行，可得（舍去）.選B.【點睛】兩直線平行的一般式對應關系為：，若是已知斜率，則有，截距不相等.9、B【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因為，所以，故選B．考點：余弦定理．10、D【解析】

圓的圓心為O，求出圓心坐標，利用垂徑定理，可以得到，求出直線的斜率，利用兩直線垂直斜率關系可以求出直線的斜率，利用點斜式寫出直線方程，最后化為一般式方程.【詳解】設圓的圓心為O，坐標為（1，0），根據圓的垂徑定理可知：，因為，所以，因此直線的方程為，故本題選D.【點睛】本題考查了圓的垂徑定理、兩直線垂直斜率的關系，考查了斜率公式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③.【解析】

利用線面平行的性質定理可判斷①；利用平行線的性質可得直線與的夾角等于直線與所成的角，在中即可判斷②；與平面所成的角即為與平面所成的角可判斷③；根據直線與平面的位置關系可判斷④；【詳解】對于①，由，平面平面，則，又，所以，故①正確；對于②，連接，由，即直線與的夾角等于直線與所成的角，在中，，顯然直線與的夾角不為，故②不正確；對于③，與平面所成的角即為與平面所成的角，根據三棱柱為直棱柱可知為與平面所成的角，在梯形中，，，，可解得與平面所成的角為，故③正確；對于④，由于與平面相交，故平面內不存在與平行的直線.故答案為：①③【點睛】本題是一道立體幾何題目，考查了線面平行的性質定理，求線面角以及直線與平面之間的位置關系，屬于中檔題.12、①②⑤【解析】試題分析：①將代入可得函數最大值,為函數對稱軸；②函數的圖象關于點對稱,包括點；③,③錯誤；④利用誘導公式,可得不同于的表達式；⑤對進行討論,利用正弦函數圖象,得出函數與直線僅有有兩個不同的交點，則．故本題答案應填①②⑤.考點：三角函數的性質．【知識點睛】本題主要考查三角函數的圖象性質.對于和的最小正周期為.若為偶函數,則當時函數取得最值,若為奇函數,則當時,.若要求的對稱軸,只要令,求.若要求的對稱中心的橫坐標,只要令即可.13、【解析】

以為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出的值，然后利用換元法求解出對應的最小值即可.【詳解】如圖所示，設，所以，根據條件可知：，所以，設，，，所以，所以，所以，所以當時，有最小值，最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用坐標法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數中的一組“萬能公式”：，.14、8【解析】

利用分層抽樣中比例關系列方程可求.【詳解】由已知三所學?？側藬禐?00+400+300=1200，設從校高三文科學生中抽取x人，由分層抽樣的要求及抽取樣本容量為24，所以，，故答案為8.【點睛】本題考查分層抽樣，考查計算求解能力，屬于基本題.15、【解析】考點：此題主要考查三角函數的概念、化簡、性質，考查運算能力.16、【解析】

設，，，則，，可得，再根據正弦函數的定義域和值域，求得函數的最值．【詳解】解：函數，設，，則，，，，故當，即時，函數，故故答案為：；【點睛】本題主要考查求函數的值域，正弦函數的定義域和值域，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的單調減區(qū)間為;(2).【解析】試題分析：（1）根據向量點積的坐標運算得到，根據正弦函數的單調性得到單調遞減區(qū)間；（2）將式子變形為.有解，轉化為值域問題．解析：（Ⅰ）∵，，∴其單調遞減區(qū)間滿足，，所以的單調減區(qū)間為.（Ⅱ）∵當時，方程有根，∴.∵，∴，∴，∴，∴.點睛：這個題目考查了，向量點積運算，三角函數的化一公式，，正弦函數的單調性問題，三角函數的值域和圖像問題．第二問還要用到了方程的零點的問題．一般函數的零點和方程的根，圖象的交點是同一個問題，可以互相轉化．18、（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在實數，使得{an}為等比數列【解析】

（Ⅰ）由已知求得a1，a4，再由-a1，，a4成等差數列列式求p的值；（Ⅱ）假設存在p，使得{an}為等比數列，可得，求解p值，驗證得答案．【詳解】（Ⅰ）由a1=1，，得，，則，，，．由，，a4成等差數列，得a1=a4-a1，即，解得：p=1；（Ⅱ）假設存在p，使得{an}為等比數列，則，即，則1p=p+1，即p=1．此時，，∴，而，又，所以，而，且，∴存在實數，使得{an}為以1為首項，以1為公比的等比數列．【點睛】本題考查數列遞推式，考查等差數列與等比數列的性質，是中檔題．19、（1），（2）.【解析】

（1）以向量為載體求解向量數量積、模長，我們只需要把向量坐標表示出來，最后用公式就能輕松完成；（2）由（1）可以把表達式求出，最終化成二次復合型函數模式，考慮軸與區(qū)間的位置關系，我們就能對函數進行進一步的研究.【詳解】（1）因為，所以又因為，所以（2），當時，.當時，不滿足.當時，，，不滿足.綜上，實數的值為.【點睛】在研究三角函數相關的性質（值域、對稱中心、對稱軸、單調性……）我們都是將其化為（或者余弦、正切相對應）的形式，利用整體思想，我們能比較方便的去研究他們相關性質.第二問中我們其實就是求最小值問題，當然摻雜了二次函數的“軸變區(qū)間定”的考點.，綜合性較強.20、(1)；(2)證明見解析；(3)見解析【解析】

(1)根據等差數列性質,結合求得等再求的通項公式.

(2)先求出,再證明滿足的通項公式.

(3)由數列,,為遞增的等比數列可得,從而根據的通項公式求的值所構成的集合.【詳解】(1)因為為等差數列,故,故或,又公差,所以,故,故.

(2)由可得,故,若是數列中的項,則即,即,故是數列中的項；(3)由數列，，為遞增的等比數列,則即.由題意存在正整數使得等式成立,因為,故能被5整除,設,則,又為整數,故為整數設,即，故,解得,又,故,不妨設,則.即又當時,由得滿足條件.綜上所述,.【點睛】(1)本題考查等差數列性質：若是等差數列，且，則(2)證明數列中是否滿足某項或者存在正整數使得某三項為等比數列時,均先根據條件列出對應的表達式,再利用正整數的性質進行判斷,有一定的難度.21、（1），；（2）；（3）1