中學《數(shù)學》專項試題1.1-三角形的證明-重難點題型13個（有解析）

中學《數(shù)學》專項試題1.1-三角形的證明-重難點題型13個（有解析）中學《數(shù)學》專項試題1.1-三角形的證明-重難點題型13個（有解析）PAGEPAGE1中學《數(shù)學》專項試題1.1-三角形的證明-重難點題型13個（有解析）專題1.1三角形的證明重難點題型(13個)題型1.等腰三角形的性質【解題技巧】掌握等腰三角形的性質：1).等腰三角形是軸對稱圖形,頂角平分線所在的直線是它的對稱軸.2).等腰三角形的兩底角相等(簡稱"等邊對等角”).3).等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(簡稱"三線合一”).1．(江蘇省蘇州市吳江區(qū)2021-2022學年八年級上學期12月月考數(shù)學試題)等腰三角形的一個角是80°,則它底角的度數(shù)是(

)A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°【答案】C【分析】據(jù)題意,分已知角是底角與不是底角兩種情況討論,結合三角形內角和等于180°,分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意,一個等腰三角形的一個角等于80°,①當這個角是底角時,即該等腰三角形的底角的度數(shù)是80°,②設該等腰三角形的底角是x,則2x+80°=180°,解可得,x=50°,即該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°;綜上,該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°或80°．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質,及三角形內角和定理;通過三角形內角和定理,列出方程求解是正確解答本題的關鍵．2．(2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學真題)定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍,這樣的三角形叫做"倍長三角形”．若等腰△ABC是"倍長三角形”,底邊BC的長為3,則腰AB的長為______．【答案】6【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC,然后根據(jù)三角形三邊關系即可得出結果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形,底邊BC=3∴AB=AC當AB=AC=2BC時,△ABC是"倍長三角形”;當BC=2AB=2AC時,AB+AC=BC,根據(jù)三角形三邊關系,此時A、B、C不構成三角形,不符合題意;所以當?shù)妊鰽BC是"倍長三角形”,底邊BC的長為3,則腰AB的長為6．故答案為6．【點睛】本題考查等腰三角形,三角形的三邊關系,涉及分類討論思想,結合三角形三邊關系,靈活運用分類討論思想是解題的關鍵．3．(2022年廣西梧州市中考數(shù)學真題)如圖,在中,是的角平分線,過點D分別作,垂足分別是點E,F,則下列結論錯誤的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質即可判斷求解．【詳解】解：∵是的角平分線,∴,∴,故選項A、D結論正確,不符合題意;又是的角平分線,,∴,故選項B結論正確,不符合題意;由已知條件推不出,故選項C結論錯誤,符合題意;故選：C．【點睛】本題考察了等腰三角形的性質及角平分線的性質,屬于基礎題,熟練掌握其性質即可．4．(陜西省西安市高新一中2021-2022學年八年級下學期期末考試數(shù)學試題)如圖,中,于點D,于點E,于點F,,則的長為(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質可得CD=BD,從而得到,從而得到,即可求解．【詳解】解：∵,∴CD=BD,∴,∵,,∴,∴,∵,∴DE=4．故選：C【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質,熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．5．(2022成都市·八年級期中)如圖,在△ABC中,AB=AC=2,點P在BC上;若點P為BC的中點,則的值為___________．若BC邊上有2020個不同的點,P1,P2,P3,…,P2020．且相應的有,,,,則的值為______________．【答案】48080【分析】(1)根據(jù)勾股定理及題意可進行求解;(2)過點A作AD⊥BC交于點D,根據(jù)勾股定理可得,,根據(jù)平方差公式可得,根據(jù)等式的性質可得,由此規(guī)律可進行求解．【解析】解：①AB=AC=2,點P是BC的中點,AP⊥BC,BP=PC,在Rt△ABP中,,,②如圖過點A作AD⊥BC交BC于點D,AB=AC=2,BD=DC,在Rt△ABD中,,①在Rt△中,,②①-②得：,,同理可得：,,……;故答案為4;8080．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質、勾股定理及平方差公式,熟練掌握等腰三角形的性質、勾股定理及平方差公式是解題的關鍵．6．(2022年福建省南平市初中畢業(yè)班綜合練習(一)數(shù)學試題)已知,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,求證：∠A=2∠CBD．【答案】見解析【分析】作AE⊥BC,由等腰三角形三線合一可得AE平分∠A,通過直角三角形中兩個銳角互余,利用等量代換證明∠CBD=∠CAE,即可證明∠BAC＝2∠CBD．【詳解】證明：過點A作AE⊥BC,垂足為E,∵AB=AC,

AE⊥BC,∴AE是∠A的平分線,∴2∠CAE=∠BAC,又∵BD⊥AC,AE⊥BC,∴∠CBD+∠C=90°,∠CAE+∠C=90°,∴∠CBD=∠CAE．∴原圖中的∠A＝2∠CBD．【點睛】本題考查了三角形的相關知識,熟練運用等腰三角形的性質和直角三角形的性質是解題的關鍵．題型2.等腰三角形的判定【解題技巧】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.簡稱"等角對等邊”牢記：(1)等腰三角形的性質"等邊對等角”與等腰三角形的判定"等角對等邊”的條件和結論正好相反,要注意區(qū)分;(2)判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形,同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù).1．(江蘇省南京市玄武區(qū)四校2021-2022學年八年級11月階段檢測數(shù)學試題)如圖,四邊形ABCD是正方形,M、N分別為邊AB、AD的中點,點P在正方形的邊上(包括頂點),且△MNP是等腰三角形,則符合條件的點P的個數(shù)有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結論．【詳解】解：如圖,∵△MNP是等腰三角形,∴符合條件的點P的個數(shù)有4個,故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質,等腰三角形的判定,找出符合條件的點P的個數(shù)是解題的關鍵．2．(河北省秦皇島市第七中學2021-2022學年八年級上學期期末考試數(shù)學試題)如圖,點A、B在直線l的同側,點C在直線l上,且是等腰三角形．符合條件的點C有(

)A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】以點為圓心、長為半徑畫圓,交直線于點;再以點為圓心、長為半徑畫圓,交直線于點,然后作的垂直平分線,交直線于點,由此即可得．【詳解】解：如圖,以點為圓心、長為半徑畫圓,交直線于點;再以點為圓心、長為半徑畫圓,交直線于點,然后作的垂直平分線,交直線于點．則符合條件的點共有5個,故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定,熟練掌握等腰三角形的判定方法是解題關鍵．3．(河北省秦皇島市第七中學2021-2022學年八年級上學期期末考試數(shù)學試題)如圖,在中,點D為邊上一點,給出如下關系：①平分;②于D;③D為中點．甲說：如果①②同時成立,可證明;乙說：如果②③同時成立,可證明;丙說：如果①③同時成立,可證明．則正確的說法是(

)A．甲、乙正確,丙錯誤B．甲正確,乙、丙錯誤C．乙正確,甲、丙錯誤D．甲、乙、丙都正確【答案】D【分析】通過①②可證出,根據(jù)全等三角形的性質可得,由此即可得判斷甲的說法;通過②③可得垂直平分,根據(jù)線段垂直平分線的性質可得,由此即可得判斷乙的說法;延長至點,使,連接,先證出,再根據(jù)全等三角形的性質可得,從而可得,然后根據(jù)等腰三角形的判定可得,由此即可判斷丙的說法．【詳解】解：當①②同時成立時,平分,,,,在和中,,,,即甲的說法正確;當②③同時成立時,則垂直平分,,即乙的說法正確;當①③同時成立時,如圖,延長至點,使,連接,為中點,,在和中,,,,平分,,,,,即丙的說法正確;綜上,甲、乙、丙都正確,故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、線段垂直平分線的判定與性質、三角形全等的判定與性質等知識點,較難的是證明丙的說法,通過作輔助線,構造全等三角形是解題關鍵．4．(2022年遼寧省營口市中考數(shù)學真題)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點D,則以下推斷錯誤的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)作圖過程可得BD平分∠ABC,然后根據(jù)等腰三角形的性質即可解決問題．【詳解】解：∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°,根據(jù)作圖過程可知：BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,∴∠BDC=180°-36°-72°=72°,∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°,故選項C成立;∵∠BDC=∠ACB=72°,∴BD=BC,故選項A成立;∵∠ABD=∠A=36°,∴AD=BD,故選項B成立;沒有條件能證明CD=AD,故選項D不成立;故選：D．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖,等腰三角形的判定和性質,解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．5．(江西省新余市第一中學2021-2022學年八年級下學期第二次摸底考試數(shù)學試卷)如圖,在△ABC中,∠B、∠C的平分線交于點F,過點F作DE∥BC交AB于點D,交AC于點E,下列結論：①△BDF,△ADE都是等腰三角形;②DE＝BD＋CE;③△ADE的周長等于AB＋AC;④BF＝CF;⑤若∠A＝80°,則∠BFC＝130°,其中正確的有_________【答案】②③⑤【分析】由平行線得到角相等,由角平分線得角相等,根據(jù)平行線的性質及等腰三角形的判定和性質．【詳解】解：∵∠B、∠C的角平分線交于點F,∴∠DBF＝∠CBF,∠ECF＝∠BCF,設∠DBF＝∠CBF＝α,∠ECF＝∠BCF＝β,∵,∴∠DFB＝∠CBF＝α,∠EFC＝∠BCF＝β,∴∠DBF＝∠DFB,∠EFC＝∠ECF,∴DB＝DF,EF＝EC,∴△BDF與△CEF為等腰三角形,∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE,故②正確;∴△ADE的周長為AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC,故③正確;只有當△ABC是等腰三角形時,即∠ABC=∠ACB,則∠FBC=∠FCB,∠ADE=∠AED,則BF＝CF,AD=AE,根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明BF=CF,并且無法證明∠ADE=∠A或∠AED=∠A,即無法證明△ADE為等腰三角形,故①、④錯誤;∵∠A＝80°,∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°,∴∠BFC＝180°－50°＝130°,故⑤正確．故答案為②③⑤．【點睛】本題考查等腰三角形的性質與判定及角平分線的定義及平行線的性質,三角形內角和定理;題目利用了兩直線平行,內錯角相等,及等角對等邊來判定等腰三角形的;等量代換的利用是解答本題的關鍵．6．(山東省棗莊市山亭區(qū)2021-2022學年八年級下學期期中數(shù)學試題)如圖,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝∠C＝40°,點D在線段BC上運動(D不與B、C重合),連接AD,作∠ADE＝40°,DE交線段AC于E．(1)當∠BDA＝115°時,∠EDC＝______°,∠DEC＝______°;點D從B向C運動時,∠BDA逐漸變______(填"大”或"小”);(2)當DC等于多少時,△ABD≌△DCE,請說明理由;(3)在點D的運動過程中,△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請寫出∠BDA的度數(shù)．并說明理由．【答案】(1)25,115,小(2)當DC＝2時,△ABD≌△DCE,見解析(3)可以,∠BDA的度數(shù)為110°或80°,見解析【分析】(1)先求出∠ADC的度數(shù),即可求出∠EDC的度數(shù),再利用三角形內角和定理即可求出∠DEC的度數(shù),根據(jù)點D從B向C運動時,∠BAD逐漸增大,而∠B不變化,∠B+∠BAD+∠BDA=180°,即可得到答案;(2)根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可;(3)先證明當△ADE時等腰三角形,只存在AD=ED或AE=DE兩種情況,然后分這兩種情況討論求解即可;(1)解：∵∠BDA=115°,∴∠ADC=180°-115°=65°,∵∠ADE=40°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=25°,∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°;∵點D從B向C運動時,∠BAD逐漸增大,而∠B不變化,∠B+∠BAD+∠BDA=180°,∴點D從B向C運動時,∠BDA逐漸變小,故答案為：25,115,小;(2)當DC＝2時,△ABD≌△DCE,理由：∵∠B＝∠C＝40°,∴∠DEC+∠EDC＝140°,又∵∠ADE＝40°,∴∠ADB+∠EDC＝140°,∴∠ADB＝∠DEC,又∵AB＝DC＝2,∴△ABD≌△DCE(AAS);(3)解：當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時,△ADE的形狀是等腰三角形,理由：∵∠C=∠ADE=40°,∠AED=∠C+∠EDC,∴∠AED＞∠ADE,∴當△ADE時等腰三角形,只存在AD=ED或AE=DE兩種情況,當AD=ED時,∴∠DAE=∠DEA,∵∠ADE=40°,∴,∴∠EDC=∠AED-∠C=30°,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=70°,∴∠BDA=180°-∠ADC=110°;當AE=DE時,∴∠EAD=∠EDA=40°,∴,∴∠EDC=∠AED-∠C=60°,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=100°,∴∠ADB=180°-∠ADC=80°,綜上所述,當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時,△ADE的形狀是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理,三角形外角的性質,全等三角形的判定,等腰三角形的性質,熟知相關知識是解題的關鍵．題型3.等邊三角形的性質與判定【解題技巧】等邊三角形的性質：(1)等邊三角形是軸對稱圖形,并且具有3條對稱軸;(2)等邊三角形的每個角都等于60°.等邊三角形的判定：(1)三邊相等的三角形是等邊三角形.(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有兩個角是60°的三角形是等邊三角形.(4)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.1．(山東省棗莊市山亭區(qū)2021-2022學年八年級下學期期中數(shù)學試題)如圖,AB//CD,△ACE為等邊三角形,∠DCE＝45°,則∠EAB等于()A．40° B．30° C．20° D．15°【答案】D【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質可得,再根據(jù)平行線的性質可得,然后根據(jù)角的和差計算即可．【詳解】解：為等邊三角形,,,,,,,解得．故選：D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、平行線的性質等知識點,掌握等邊三角形的性質是解答本題的關鍵．2．(福建省寧德市古田縣2021-2022學年八年級下學期期中數(shù)學試題)如圖,等邊中,,垂足為,點在線段上,,則等于(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷出AD是BC的垂直平分線,進而求出∠ECB=45°,即可得出結論．【詳解】解：∵等邊三角形ABC中,AD⊥BC,∴BD=CD,即：AD是BC的垂直平分線,∵點E在AD上,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°,故選：A．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質,垂直平分線的判定和性質,等腰三角形的性質,求出∠ECB是解本題的關鍵．3．(陜西省安康市紫陽縣2021-2022學年八年級上學期期末考試數(shù)學試題(A卷))如圖,在等邊△ABC中,AB＝4cm,BD平分∠ABC,點E在BC的延長線上,且,則CE的長是(

)A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質得AC=AB=4,由等邊三角形三線合一得到CD,由∠ACB=60°,∠E=30°,求出∠CDE,得出CD=CE,即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形,∴AC=AB=BC=4cm,∠ACB=60°,∵BD平分∠ABC,∴AD=CD(三線合一)∴DC=cm,∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故選：B．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質、等腰三角形的判定,直角三角形的性質,直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．4．(廣東省深圳外國語學校2021-2022學年七年級下學期期末數(shù)學試題)如圖,C為線段AE上一動點(不與點A,E重合),在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△ECD,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q連接PQ．以下五個結論正確的是(

)①;②PQ∥AE;③;④;⑤A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,從而證出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE;②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形,又由∠PQC=∠DCE,根據(jù)內錯角相等,兩直線平行,可知②正確;③根據(jù)②△CQB≌△CPA(ASA),可知③正確;④根據(jù)∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④錯誤;⑤利用等邊三角形的性質,BC∥DE,再根據(jù)平行線的性質得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,可知⑤正確．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE,∴,∴,即,∴,∴AD=BE,∴①正確,∵,∴,又∵,∴,即,又∵,∴,∴,又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形,∴,∴PQ∥AE②正確,∵△CQB≌△CPA,∴AP=BQ,③正確,∵AD=BE,AP=BQ,∴,即DP=QE,∵,∴∠DQE≠∠CDE,∴DE≠DP,故④錯誤;∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCD=60°,∵等邊△DCE,∠EDC=60°=∠BCD,∴BC∥DE,∴∠CBE=∠DEO,∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,∴⑤正確．故選：C．【點睛】本題綜合考查了等邊三角形判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質等知識點的運用．要求學生具備運用這些定理進行推理的能力,此題的難度較大．5．(湖北省孝感市孝南區(qū)2021-2022學年八年級上學期作業(yè)檢測數(shù)學試題)如圖,已知等邊三角形ABC的邊長為4,過AB邊上一點P作PE⊥AC于點E,Q為BC延長線上一點,取PA=CQ,連接PQ,交AC于M,則EM的長為______．【答案】2【分析】過P作PF∥BC交AC于F,得出等邊三角形APF,推出AP=PF=QC,根據(jù)等腰三角形性質求出EF=AE,證△PFM≌△QCM,推出FM=CM,推出ME=AC即可．【詳解】解：過P作PF∥BC交AC于F,如圖所示：∵PF∥BC,△ABC是等邊三角形,∴∠PFM=∠QCM,∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∠A=60°,∴△APF是等邊三角形,∴AP=PF=AF,∵PE⊥AC,∴AE=EF,∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ,在△PFM和△QCM中,,∴△PFM≌△QCM(AAS),∴FM=CM,∵AE=EF,∴EF+FM=AE+CM,∴AE+CM=ME=AC,∵AC=4,∴ME=2,故答案為：2．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質和判定,等邊三角形的性質和判定,等腰三角形的性質,平行線的性質等知識點的應用;熟練掌握等邊三角形的性質與判定,證明三角形全等是解決問題的關鍵．6．(福建省三明市永安市2021-2022學年八年級下學期期中數(shù)學試題)已知：如圖,△ABC是等邊三角形,邊長為6,點D為動點,AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE．(1)如圖1,連接BD,CE,求證;(2)如圖2,,連接DE,求證：點B,D,E三點在同一條直線上;(3)如圖3,點D在△ABC的高BF上,連接EF,求EF的最小值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】(1)證明△BAD≌△CAE,從而得出結論;(2)∠BAD=∠CAE=∠CBE,所以∠ABC=∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD=60°,從而得出∠ADB=120°,進一步得出結論;(3)可證得∠ACE=∠ABF=30°,從而得出點E的運動軌跡,進而求得EF的最小值．(1)∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∵AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE,∴∠DAE=60°,AD=AE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即：∠BAD=CAE,在△BAD和△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE;(2)由(1)知：∠CAE=∠BAD,∵∠CAE=∠CBE,∴∠BAD=∠CBE,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABD+∠CBE=60°,∴∠ABD+∠BAD=60°,∴∠ADB=180°-(∠ABD+∠BAD)=120°,∵AD=AE,∠DAE=60°,∴△ADE是等邊三角形,∴∠ADE=60°,∴∠ADB+∠ADE=180°,∴B、D、E在同一條直線上;(3)如圖,連接CE,由(1)得：△BAD≌△CAE,∴∠ACE=∠ABD,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC,∠ACB=∠ABC=60°,∵BF⊥AC,∴∠ABF=∠ABC＝30°,CF=AF=AC=3,∴∠ACE=30°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,∴點E在過點C且與BC垂直的直線上運動,∴當FE垂直于該直線時,CE最小(圖中點CE′),∵∠CE′F=90°,∠ACE=30°,∴FE′=CF＝,∴EF的最小值為：．【點睛】本題考查了等邊三角形性質,直角三角形性質,全等三角形的判定和性質等知識,解決問題的關鍵是熟練掌握"手拉手”模型．題型4.直角三角形的性質與判定【解題技巧】(1)有一個角為90°的三角形,叫做直角三角形.(2)直角三角形是一種特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性質外,還具有一些特殊的性質：①直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理).;②在直角三角形中,兩個銳角互余;③在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半;④直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積;⑤在直角三角形中,如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半;在直角三角形中,如果有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于30°.1．(2022春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中)如圖,大樹垂直于地面,為測樹高,小明在C處,測得,他沿方向走了20米,到達D處,測得,則大樹的高度為()米.A．6 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】利用三角形外角的性質可得,,得到,利用含直角三角形的性質,求解即可．【詳解】解：由題意可得：,米,∴,∴米,在中,,∴米,故選：C【點睛】此題考查了含直角三角形的性質,等腰三角形的性質,解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質．2．(2022·福州·八年級?？计谀?如圖,在等腰中,,為上一點,且,若,,則的長是______．【答案】【分析】過點作于,根據(jù)含度的直角三角形的性質,等腰三角形三線合一的性質即可求解．【詳解】解：過點作于,,,,,,在等腰中,,．故答案為：．【點睛】此題考查了含度的直角三角形的性質,等腰三角形的性質,解題的關鍵是熟練掌握含度的直角三角形的性質,等腰三角形的性質．3．(2022·黑龍江哈爾濱市·八年級期中)如圖,在等腰直角△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC,D為邊BC中點,DE⊥DF,若四邊形AEDF的面積是4,則等腰直角△ABC的面積為_____．【答案】8【分析】先連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質,求得AD＝CD,∠DAE＝∠C＝45°,∠ADE＝∠CDF,進而判定△ADE≌△CDF,得出四邊形AEDF的面積＝△ACD的面積即可．【詳解】解：連接AD,∵∠BAC＝90°,AB＝AC,D為邊BC中點,∴AD⊥BC,AD＝CD,∠DAE＝∠C＝45°,∴∠ADE+∠ADF＝∠CDF+∠ADF＝90°,∴∠ADE＝∠CDF,在△ADE和△CDF中,,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴△ADE的面積＝△CDF的面積,∴四邊形AEDF的面積＝△ACD的面積＝4,∴S△ABC＝2S△ACD＝8,故答案為：8．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質,解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形,將四邊形AEDF的面積轉化為△ACD的面積．5．(2022·浙江紹興市·九年級模擬)如圖,在等腰三角形ABC中,AC＝BC＝4,∠A＝30°,點D為AC的中點,點E為邊AB上一個動點,連接DE,將△ADE沿直線DE折疊,點A落在點F處．當直線EF與直線AC垂直時,則AE的長為_____．【答案】或【分析】當直線EF與直線AC垂直時,如圖1,如圖2,根據(jù)折疊的性質得到和等腰三角形的判定和性質定理以及直角三角形的性質健康得到結論．【詳解】解：∵AC＝4,點D為AC的中點,∴AD＝AC＝2,①當直線EF與直線AC垂直時,如圖1,∵將△ADE沿直線DE折疊,點A落在點F處,∴∠F＝∠A＝30°,∠AED＝∠FED,∵∠AGE＝90°,∴∠AEG＝60°,∴∠AED＝∠FED＝30°,∴AD＝DE＝2,過D作DM⊥AE與M,∴AE＝2AM＝2××2＝2;當直線EF與直線AC垂直時,如圖2,∵將△ADE沿直線DE折疊,點A落在點F處,∴∠F＝∠A＝30°,∠ADE＝∠FDE,∵∠AGE＝∠FGE＝90°,∴∠FGD＝60°,∴∠ADE＝∠FDE＝30°,∴∠A＝∠ADE,∴AE＝DE,∴AG＝AD＝1,∴AE＝,綜上所述,或故答案為：或2．【點睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)等腰三角形的判定和性質,直角三角形的判定和性質,正確的作出圖形是解題的關鍵．6．(2022·浙江嘉興市·八年級期末)如圖,在等腰中,,點P是內一點,且,,,以為直角邊,點C為直角頂點,作等腰,下列結論：①點A與點D的距離為;②;③;④,其中正確結論有是()A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④【答案】C【分析】連結AD,由等腰,可得AC=BC,等腰,可得CD=CP,由余角性質可∠DCA=∠PCB,可證△ADC≌△BPC(SAS)可判斷①,由勾股定理DP=,再由,可證△ADP為等腰直角三角形,可判斷②,由PB與PD可求BD=2,由勾股定理AB=,可判斷③,由面積可判斷④即可【詳解】連結AD,在等腰中,,∴AC=BC,∵是等腰三角形,∴CD=CP,∴∠ACD+ACP=90°,∠ACP+∠PCB=90°,∴∠DCA=∠PCB,在△ADC和△BPC中,AC=BC,∠DCA=∠PCB,DC=PC,∴△ADC≌△BPC(SAS),∴,①點A與點D的距離為正確,在Rt△DCP中,由勾股定理DP=,在△ADP中,,∴△ADP為等腰直角三角形,∴AD⊥DP,②正確;BD=BP+PD=2,在Rt△ADB中,由勾股定理,AB=,③不正確;,④不正確．故選擇：C．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質與判定,三角形全等的判定與性質,三角形面積,勾股定理的應用,掌握等腰直角三角形的性質與判定,三角形全等的判定與性質,三角形面積,勾股定理的應用是解題關鍵．題型5.直角三角形全等的判定(HL)【解題技巧】對于特殊的直角三角形,判定它們全等時,還有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成"斜邊、直角邊”或"HL”)1．(2022·山東臨沂市·八年級期末)在中,,,,于,,兩點分別在邊和射線上移動．當,___時,和全等．【答案】8或15【分析】分情況討論：①AP=BC=8cm時,Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);②當P運動到與C點重合時,Rt△ABC≌Rt△PQA(HL),此時AP=AC=15cm．【詳解】解：①當P運動到AP=BC時,如圖1所示：在Rt△ABC和Rt△QPA中,,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),即AP=BC=8cm;②當P運動到與C點重合時,如圖2所示：在Rt△ABC和Rt△PQA中,,∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL),即AP=AC=15cm．綜上所述,AP的長度是8cm或15cm．故答案為：8或15．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質,熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵,注意分類討論,以免漏解．2．(2022·陜西碑林初一期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,AE平分∠BAC,ED⊥AB,則ED的長()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理計算出AB的長度,再根據(jù)角平分線的性質證明直角三角形全等,得到DE＝CE,設DE＝x,再根據(jù)勾股定理得出等式計算出x即可得到ED的長度．【解析】解：∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,∴,∵AE為△ABC的角平分線,∠ACB＝90°,ED⊥AB,∴DE＝CE,在Rt△ADE和Rt△ACE中,∵AE＝AE,DE＝CE,∴Rt△ADE≌Rt△ACE(HL),∴AD＝AC＝6,∠ADE＝90°∴BD＝10﹣6＝4,設DE＝x,則CE＝x,BE＝8﹣x,在Rt△BDE中,,即,解得x＝3,所以ED的長是3,故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理和角平分線的性質以及證明直角三角形全等;其中證明直角三角形的全等即Rt△ADE≌Rt△ACE是解本題的關鍵．3．(2022·江蘇九年級專題練習)已知：如圖,BD為△ABC的角平分線,且BD=BC,E為BD延長線上的一點,BE=BA,過E作EF⊥AB,F為垂足,下列結論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC④BA+BC=2BF其中正確的是()A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易證,可得,AD=EC可得①②正確;再根據(jù)角平分線的性質可求得,即③正確,根據(jù)③可判斷④正確;【詳解】∵BD為∠ABC的角平分線,∴∠ABD=∠CBD,∴在△ABD和△EBD中,BD=BC,∠ABD=∠CDB,BE=BA,∴△(SAS),故①正確;∵BD平分∠ABC,BD=BC,BE=BA,∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA,∵△ABD≌△EBC,∴∠BCE=∠BDA,∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°,故②正確;∵∠BCE=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA,∴∠DCE=∠DAE,∴△ACE是等腰三角形,∴AE=EC,∵△ABD≌△EBC,∴AD=EC,∴AD=AE=EC,故③正確;作EG⊥BC,垂足為G,如圖所示：∵E是BD上的點,∴EF=EG,在△BEG和△BEF中∴△BEG≌△BEF,∴BG=BF,在△CEG和△AFE中∴△CEG≌△AFE,∴AF=CG,∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,故④正確;故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定,全等三角形對應邊、對應角相等的性質,本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應邊、對應角相等的性質是解題的關鍵;4．(2022·江西贛州市·八年級期末)已知：,,,．(1)試猜想線段與的位置關系,并證明你的結論．(2)若將沿方向平移至圖2情形,其余條件不變,結論還成立嗎?請說明理由．(3)若將沿方向平移至圖3情形,其余條件不變,結論還成立嗎?請說明理由．【答案】(1),見解析;(2)成立,理由見解析;(3)成立,理由見解析【分析】(1)先用判斷出,得出,進而判斷出,即可得出結論;(2)同(1)的方法,即可得出結論;(3)同(1)的方法,即可得出結論．【詳解】解：(1)理由如下：∵,,∴在和中∴,∴∵,∴,∴,∴;(2)成立,理由如下：∵,,∴,在和中,∴,∴,∵,∴,∴,在中,,∴;(3)成立,理由如下：∵,,∴在和中,∴,∴,∵,∴,在中,,∴．【點睛】此題是幾何變換綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質,直角三角形的性質,判斷出是解本題的關鍵．5．(2022春·河南周口·八年級統(tǒng)考期中)如圖,在中,,是過點的直線,于,于點;(1)若、在的同側(如圖所示)且．求證：;(2)若、在的兩側(如圖所示),且,其他條件不變,與仍垂直嗎?若是請給出證明;若不是,請說明理由．【答案】(1)見解析(2),理由見解析【分析】(1)由證明,根據(jù)全等三角形的性質得出,最后結合得出,即可得出,得證;(2)與仍垂直．仿照(1)證明即可．【詳解】(1)證明：∵,,∴,∴,在和中,∴,∴,又,∴,∴,∴;(2)解：理由：∵,,∴,∴,在和中,∴,∴,又,∴,∴,∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判斷與性質,根據(jù)證明是解題的關鍵．6．(2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強學校?？计谥?已知在中,于點,于點,且,．(1)如圖1,求證：;(2)如圖2,點為上一點,連接并延長與的延長線相交于點,若,求的度數(shù);(3)如圖3,在(2)的條件下,延長至點,使得,過點作交于點,若,求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一以及直角三角形中角所對的直角邊是斜邊的一半分別可得出,;進而得出結論;(2)由,可證,得出;由可得;從而可以得出;在中,由三角形的內角和定理即可求出的度數(shù);(3)設,得出,延長至,使得,連接,在上截取,構造等邊三角形,證明,進而證明,根據(jù)已知條件即可求解．【詳解】(1)證明：∵,∴,∵,∴,∵,,∴,∴;(2)解：∵,,∴,,在和中,,∴,∴,又∵,∴,在中,故答案為：;(3)解：設,∵,,∴,∴,∵,由(2)可得,∵,∴,在中,,如圖,延長至,使得,連接,在上截取,∴是等邊三角形,∴,,在與中,,∴,∴,,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∵,設,則,,∴,解得,∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質,含30度角的直角三角形的性質,全等三角形的性質與判定,等邊三角形的性質與判定,三角形的外角性質,三角形內角和定理,綜合應用以上知識是解題的關鍵．題型6逆命題與逆定理相關問題1．(2022·吉林白城·七年級期末)命題"若,則”的逆命題是________．【答案】若a<b,則-3a>-3b【分析】根據(jù)逆命題睥定義求解即可．【詳解】解：若,則的逆命題是若a<b,則-3a>-3b,故答案為：若a<b,則-3a>-3b．【點睛】本題考查逆命題,熟練掌握逆命題的定義"一個命題的題設是另一個命題結論,結論是另一個命題的題設,這樣的兩個命題互為逆命題”是解題的關鍵．故答案為：假．【點睛】本題考查命題與定理,解題的關鍵是會交換題設和結論,求出原命題的逆命題,并能判斷逆命題的真假．2．(2022·山西呂梁·七年級期末)如圖是家用的雙排折疊晾衣架的一部分,在晾衣架折疊或拉伸的過程中,與的大小關系是_________,理由是__________________,其逆命題是___________________________．【答案】

或相等

對頂角相等

如果兩個角相等,那么這兩個角是對頂角(或相等的兩個角是對頂角)【分析】①根據(jù)對頂角的性質進行判斷即可;②對頂角相等;③根據(jù)互逆命題的定義進行解答即可．【詳解】解：∵圖中與是對頂角,∴,對頂角相等的逆命題是：如果兩個角相等,那么這兩個角是對頂角．故答案為：∠1=∠2或相等;對頂角相等;如果兩個角相等,那么這兩個角是對頂角(或相等的兩個角是對頂角)．【點睛】本題主要考查了對頂角的定義和性質,解題的關鍵是熟練掌握對頂角的定義,如果一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線,且這兩個角有公共頂點,那么這兩個角是對頂角．3．(2022·河北·任丘市教育體育局教研室七年級期末)下列命題的逆命題是假命題的是(

)A．兩直線平行,同位角相等 B．全等三角形的對應角相等C．等邊三角形三個角相等 D．直角三角形的兩個銳角互余【答案】B【分析】根據(jù)已知,把各選項條件與結論互換寫出逆命題,再判定結果是否是真命題即可．【詳解】A.兩直線平行,同位角相等的逆命題為同位角相等,兩直線平行是真命題,故選項A不合題意;B.全等三角形的對應角相等的逆命題為對應角相等的三角形全等是假命題,故選項B符合題意;C.等邊三角形三個角相等的逆命題有三個角相等的三角形是等邊三角形是真命題,故選項C不合題意;D.直角三角形的兩個銳角互余的逆命題兩個銳角互余的三角形是直角三角形是真命題,故選項D不合題意．故選B．【點睛】本題考查命題與逆命題,掌握把命題變?yōu)槟婷}的方法,會判斷命題真假是解題關鍵．4．(2022·山東·泰安七年級期末)下列命題的逆命題成立的是()A．對頂角相等B．全等三角形的對應角相等C．如果兩個數(shù)相等,那么它們的絕對值相等D．兩直線平行,同位角相等【答案】D【分析】寫出各個命題的逆命題,然后判斷是否成立即可．【詳解】解：A、逆命題為相等的角為對頂角,不成立;B、逆命題為對應角相等的三角形全等,不成立;C、逆命題為絕對值相等的兩個數(shù)相等,不成立;D、逆命題為同位角相等,兩直線平行,成立,故選D．【點睛】本題考查了命題與定理的知識,解題的關鍵是能夠正確的寫出各個命題的逆命題,難度不大．5．(2022·上海·中考真題)下列說法正確的是(

)A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關系,分別舉出反例,再進行判斷,即可得出答案．【詳解】解：A、命題一定有逆命題,故此選項符合題意;B、定理不一定有逆定理,如：全等三角形對應角相等沒有逆定理,故此選項不符合題意;C、真命題的逆命題不一定是真命題,如：對頂角相等的逆命題是：相等的兩個角是對頂角,它是假命題而不是真命題,故此選項不符合題意;D、假命題的逆命題定不一定是假命題,如：相等的兩個角是對頂角的逆命題是：對頂角相等,它是真命題,故此選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理,掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關鍵．把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題,所有的命題都有逆命題;正確的命題叫真命題,錯誤的命題叫假命題．6．(2022·浙江·溫州市九年級期中)定理"直角三角形的兩個銳角互余”的逆定理是________________．【答案】有兩個角互余的三角形是直角三角形．【分析】交換命題的題設和結論即可確定該命題的逆命題．【詳解】解：定理"直角三角形的兩個銳角互余”的逆定理是：有兩個角互余的三角形是直角三角形,故答案為：有兩個角互余的三角形是直角三角形．【點睛】本題考查了命題與定理的知識,解題的關鍵是了解如何寫出一個命題的逆命題,難度不大．題型7中垂線與角平分線的實際應用【解題技巧】掌握線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等垂直平分線的性質判定：到一條直線兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線的交點;外心性質：外心到該三角形三頂點的距離相等.角平分線的性質：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.1．(2020·湖南長沙市·八年級月考)在元旦聯(lián)歡會上,三個小朋友分別站在三角形的三個頂點的位置上,他們玩搶凳子游戲,要求在他們中間放一個木凳,誰先做到凳子上誰就獲勝,為使游戲公平,則凳子應放在三角形的()A．三條角平分線的交點B．三條中線的交點C．三條高的交點D．三條邊的垂直平分線的交點【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊中垂線的交點到三個頂點的距離相等可得答案．【詳解】解：∵三角形三邊中垂線的交點到三個頂點的距離相等,∴為使游戲公平,凳子應放的最適當?shù)奈恢迷谌切蔚娜叺拇怪逼椒志€的交點,故選：D．【點睛】本題主要考查游戲公平性,判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率,然后比較概率的大小,概率相等就公平,否則就不公平,并熟練掌握三角形內心、外心、垂心和重心的性質．2．(2021·上海奉教院附中八年級期末)隨著人們生活水平的不斷提高,汽車逐步進入到千家萬戶,小紅的爸爸想在本鎮(zhèn)的三條相互交叉的公路(如圖所示),建一個加油站,要求它到三條公路的距離相等,這樣可供選擇的地址有_______處.【答案】4【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等作出圖形即可得解．【詳解】如圖所示,加油站站的地址有四處．故選D．【點睛】考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質,熟記性質并是解題的關鍵,作出圖形更形象直觀．3．(2021·遼寧大連市·八年級期末)如圖,電信部門要在公路l旁修建一座移動信號發(fā)射塔．按照設計要求,發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M,N的距離必須相等,則發(fā)射塔應該建()A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【答案】C【分析】利用垂直平分線的性質即可判斷．【詳解】如圖,可知兩個圓弧交點所連直線為線段MN的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的性質,可得發(fā)射塔應該在C處,故選：C．【點睛】本題考查線段垂直平分線的實際應用,理解中垂線的性質是解題關鍵．4．(2021·四川省自貢市貢井區(qū)成佳中學校八年級月考)近年來,國家實施"村村通”工程和農村醫(yī)療衛(wèi)生改革,某縣計劃在張村、李村之間建一座定點醫(yī)療站P,張、李兩村座落在兩相交公路內(如圖所示)．醫(yī)療站必須滿足下列條件：①使其到兩公路距離相等,②到張、李兩村的距離也相等,請你通過作圖確定P點的位置(不寫作法,但要保留痕跡)【答案】見解析【分析】畫出兩條公路夾角的平分線和張、李兩村之間線段的垂直平分線,交點即是所求．【詳解】解：如圖所示：【點睛】此題主要考查角平分線、垂直平分線的作法在實際中的應用,熟練掌握垂直平分線以及角平分線的性質得出是解題關鍵．5．(2020?花垣縣期末)茅坪民族中學八(2)班舉行文藝晚會,桌子擺成兩直條(如圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了桔子,OB桌面上擺滿了糖果,站在C處的學生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到C處,請你在下圖幫助他設計一條行走路線,使其所走的總路程最短?【分析】本題意思是在OA上找一點D,在OB上找一點E,使△CDE的周長最小．如果設點C關于OA的對稱點是M,關于OB的對稱點是N,當點D、E在MN上時,△CDE的周長為CD+DE+EC＝MN,此時周長最?。敬鸢浮拷猓孩俜謩e作點C關于OA、OB的對稱點是M、N,②連接MN,分別交OA于D,OB于E．則C→D→E→C為所求的行走路線．【點睛】靈活運用對稱性解決生活中的最短距離問題．6.(2020?東西湖區(qū)期末)如圖,為了做好元旦期間的交通安全工作,自貢市交警執(zhí)勤小隊從A處出發(fā),先到公路m上設卡檢査,再到公路n上設卡檢査,最后再到達B地執(zhí)行任務,他們應如何走才能使總路程最短?畫出圖形并說明做法．【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,作A關于公路m的對稱點A′,作B關于公路n的對稱點B′,連接A′B′與公路m,n分別相交于點M、N,然后沿A→M→N→B走才能使總路程最短．【答案】解：如圖所示,分別作A、B關于公路m、n的對稱點A′、B′,連接A′B′交m、n于M、N兩點,連AM、BN,則A→M→N→B即為最短路線．【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題,應用與設計作圖,此類問題的求解方法比較單一,需熟記．7.(2021?西湖區(qū)校級月考)如圖直線l1,l2表示一條河的兩岸,且l1∥l2,現(xiàn)要在這條河上建一座橋．橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過河到村莊B的路線最短?畫出示意圖,并說明理由．【分析】先確定AA′與河等寬,且AA′⊥河岸,連接BA′,與河岸的交點就是點C,過點C作CD垂直河岸,交另一河岸于點D,即可得出答案．【答案】解：如圖,先確定AA′與河等寬,且AA′⊥河岸,連接BA′,與河岸的交點就是點C,過點C作CD垂直河岸,交另一河岸于點D,CD就是所求的橋的位置．理由：由作圖過程可知,四邊形ACDA′為平行四邊形,AD平移至A′C即可得到線段A′B,兩點之間,線段最短,由于河寬不變,CD即為橋．【點睛】本題考查的是作圖﹣平移變換以及利用軸對稱解決最短路徑問題,熟知圖形平移不變性的性質是解答此題的關鍵．題型8與中垂線與角平分線有關的角度和長度計算1．(2022·安徽·八年級期末)如圖,等腰直角△ABC中,AC＝BC,∠ACB＝90°,D為AC邊上一動點(不與A、C重合),過點A作AE垂直BD于點E,延長AE交BC的延長線于點F,連接CE,則為(

)A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【分析】如圖所示,過點C作CH⊥AF于H,CG⊥BE于G,證明△AHC≌△BCG得到CH=CG,即可證明CE平分∠BEF,即可得到∠BEC=．【詳解】解：如圖所示,過點C作CH⊥AF于H,CG⊥BE于G,∴∠AHC=∠BGC=90°,∵∠ACB=90°,AF⊥BE,∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°,又∵∠ADE=∠BDC,∴∠CAH=∠CBG,又∵AC=BC,∴△AHC≌△BCG(AAS),∴CH=CG,∵CH⊥EF,CG⊥BE,∴CE平分∠BEF,∴∠BEC=．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定,角平分線的判定,角平分線的定義,正確作出輔助線,構造全等三角形是解題的關鍵．2．(2022·江西·八年級期中)如圖,在△ABC中,AB＝7,BC＝5,AC的垂直平分線分別交AB,AC于點D,E,點F是DE上任意一點,△BCF的周長的最小值是()A．2 B．12 C．5 D．7【答案】B【分析】由于,關于直線為對稱,所以和重合時,最小,最小值等于,即可求得的周長的最小值．【詳解】解：是線段的垂直平分線,,關于直線為對稱,和重合時,最小,即的周長的最小值,是線段的垂直平分線,,的最小值,的最小周長,故選：B．【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路線問題,線段垂直平分線的性質,解題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質．3．(2022·四川八年級期中)如圖,在△ABC中,∠B＝30°,用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點D,則∠ADC＝()A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】由圖知虛線為的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的性質得出,再由三角形的內角和及外角的性質即可求解．【詳解】解：由圖知虛線為的垂直平分線,,,,,故選：D．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質,三角形內角和、三角形的外角的性質,解題的關鍵是：確定虛線為的垂直平分線．4．(2022·內蒙古通遼·八年級期末)如圖,,C為OB上的定點,M,N分別為射線OA、OB上的動點．當?shù)闹底钚r,的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】作點C關于OA的對稱點E,作EN⊥OC交OA于點M,此時CM+MN=EM+MN=EN最短,進而根據(jù)∠AOB=35°,和直角三角形兩個銳角互余即可求解．【詳解】解：如圖：作點C關于OA的對稱點E,過點E作EN⊥OC于點N,交OA于點M,∴ME=MC,∴CM+MN=EM+MN=EN,根據(jù)垂線段最短,EN最短,∵∠AOB=35°,∠ENO=CFM=90°,∴∠OMN=55°,∠OCF=55°,∴∠EMF=∠OMN=55°,∴∠E=∠MCE=35°,∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題,熟知直角三角形的兩個銳角互余是解題關鍵．5．(2022·天津八年級期末)如圖,,點M,N分別是邊,上的定點,點P,Q分別是邊,上的動點,記,,當?shù)闹底钚r,的大小=____(度)．【答案】50【分析】作M關于OB的對稱點,N關于OA的對稱點,連接,交OB于點P,交OA于點Q,連接MP,QN,可知此時最小,此時,再根據(jù)三角形外角的性質和平角的定義即可得出結論．【詳解】作M關于OB的對稱點,N關于OA的對稱點,連接,交OB于點P,交OA于點Q,連接MP,QN,如圖所示．根據(jù)兩點之間,線段最短,可知此時最小,即,∴,∵,∴,∵,,∴,∴．故答案為：50．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形內角和,三角形外角的性質等知識,靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵,綜合性較強．6．(2022·云南·初二期末)在中,的垂直平分線交于點,的垂直平分線交于點,與相交于點,的周長為6．(1)與的數(shù)量關系為．(2)求的長．(3)分別連接,,,若的周長為16,求的長．【答案】(1);(2)6;(3)5．【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質即可得;(2)先根據(jù)垂直平分線的性質可得,,再根據(jù)三角形的周長公式、等量代換即可得;(3)先根據(jù)垂直平分線的性質可得,,再根據(jù)三角形的周長公式可得,由此即可得出答案．【解析】(1)因為的垂直平分線交于點,所以,故答案為：;(2)因為是的垂直平分線,是的垂直平分線,所以,,因為的周長為6,所以,所以;(3)因為是邊的垂直平分線,是邊的垂直平分線,所以,,因為的周長為16,所以,所以,所以．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質、三角形的周長公式等知識點,掌握理解垂直平分線的性質是解題關鍵．題型9與垂直平分線、角平分線有關的證明【解題技巧】掌握線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等注意：(1)這里的距離指的是點與點之間的距離,也就是兩點之間線段的長度.(2)在使用該定理時必須保證兩個前提條件：一是垂直于這條線段,二是平分這條線段.1．(2022.江蘇八年級期中)如圖,中,邊的垂直平分線交于點P．(1)求證：．(2)點P是否也在邊的垂直平分線上?請說明理由．【答案】(1)見解析;(2)在,理由見解析【分析】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質可求得,PA=PB,PB=PC,則PA=PB=PC．(2)根據(jù)線段的垂直平分線的性質的逆定理,可得點P在邊AC的垂直平分線上．【詳解】解：(1)證明：∵邊AB、BC的垂直平分線交于點P,∴PA=PB,PB=PC．∴PA=PB=PC．(2)∵PA=PC,∴點P在邊AC的垂直平分線上．【點睛】此題主要考查線段垂直平分線的性質定理及逆定理：(1)線段垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點的距離相等;(2)和一條線段的兩個端點的距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上．2．(2022·安徽阜陽市·八年級期末)已知：如圖,點,在的邊,上,的垂直平分線與的垂直平分線相交于點,連接,,,．(1)求證：①;②;(2)探究：滿足什么條件時,是等邊三角形,并說明理由;(3)若,請在備用圖中畫出符合條件的圖形,并探究與之間的數(shù)量關系,并說明理由．【答案】(1)①證明見解析;②證明見解析;(2),理由見解析;(3)作圖,見解析,,理由見解析．【分析】(1)①利用線段垂直平分線的性質,等量代換即可;②利用角的平分線的性質,代換計算即可;(2)利用四邊形PCOD的內角和為360°,計算得證;(3)證明即可得證.【詳解】(1)證明：①為的垂直平分線,,同理：,;②,,,同理,,;(2)．理由：∵,,,,,由(1)得,,是等邊三角形;(3)作圖如下,．理由：,,,,在和中,,,,由(1)得,,,．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線,角的平分線,等邊三角形的判定,直角三角形的全等,熟記性質,靈活運用等量代換思想,一般與特殊思想是解題的關鍵.3．(2022·山東臨沂市·八年級期末)如圖,在中,,,,垂足為點,平分交于點,交于點．點為的中點,連接交于點．(1)求的度數(shù);(2)．【答案】(1)67.5°;(2)見解析．【分析】(1)由,可得,再利用三角形的內角和定理可得：從而可得答案;(2)先證明≌,可得,連接,由,點為的中點,證明垂直平分,再求解證明從而可得結論．【詳解】解：(1)∵,∴∵∴．(2)∵,為垂足,∴∵,∴,∴,∴,又∵,平分,∴,∴,,∴,在和中∴≌,∴,連接,∵,點為的中點,∴垂直平分,又∵點在上,∴,平分,∴,∴,又∵,∴,∴,∵,∴．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,線段的垂直平分線的判定與性質,掌握以上知識是解題的關鍵．4．(2022·東北師大附中八年級期中)教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第94頁的部分內容．線段垂直平分線：我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形,線段的垂直平分線是線段的對稱軸．如圖,直線MN是線段AB的垂直平分線,P是MN上任一點,連結PA、PB．將線段AB沿直線MN對折,我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合．由此即有：線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．已知：如圖,MN⊥AB,垂足為點C,AC＝BC,點P是直線MN上的任意一點求證：PA＝PB．分析：圖中有兩個直角三角形APC和BPC,只要證明這兩個三角形全等,便可證得PA＝PB．(1)請根據(jù)教材中的分析,結合圖①,寫出"線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程;(2)如圖②,在△ABC中,直線l,m,n分別是邊AB,BC,AC的垂直平分線．求證：直線l、m、n交于一點;(請將下面的證明過程補充完整)證明：設直線l,m相交于點O．(3)如圖③,在△ABC中,AB＝BC,邊AB的垂直平分線交AC于點D,邊BC的垂直平分線交AC于點E,若∠ABC＝120°,AC＝15,則DE的長為．【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)5【分析】(1)證明△PAC≌△PBC即可解決問題．(2)如圖②中,設直線l、m交于點O,連結AO、BO、CO．利用線段的垂直平分線的判定和性質解決問題即可．(3)連接BD,BE,證明△BDE是等邊三角形即可．【詳解】證明：(1)如圖①中,∵MN⊥AB,∴∠PCA＝∠PCB＝90°．在△PAC和△PBC中,,∴△PAC≌△PBC(SAS),∴PA＝PB．(2)如圖②中,設直線l、m交于點O,連結AO、BO、CO．∵直線l是邊AB的垂直平分線,∴OA＝OB,又∵直線m是邊BC的垂直平分線,∴OB＝OC,∴OA＝OC,∴點O在邊AC的垂直平分線n上,∴直線l、m、n交于點O．(3)解：如圖③中,連接BD,BE．∵BA＝BC,∠ABC＝120°,∴∠A＝∠C＝30°,∵邊AB的垂直平分線交AC于點D,邊BC的垂直平分線交AC于點E,∴DA＝DB,EB＝EC,∴∠A＝∠DBA＝30°,∠C＝∠EBC＝30°,∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°,∠BED＝∠C+∠EBC＝60°,∴△BDE是等邊三角形,∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC,∵AC＝15,∴DE＝AC＝5．故答案為5．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了線段的垂直平分線的性質,全等三角形的判定和性質,等邊三角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考?？碱}型．5．(2022·浙江紹興市·八年級模擬)已知：如圖,是的角平分線,于點E,于點F,．(1)求證：;(2)求證：是的中垂線．【答案】(1)見解析;(2)見解析【分析】(1)依據(jù)證明,依據(jù)全等三角形的性質可得到,然后依據(jù)證明即可;(2)先證明,然后依據(jù)證明,由全等三角形的性質可得到,,故此可證明是的中垂線．【詳解】解：證明：(1)是的角平分線,,于點,于點,,在和中,,,,于點,于點,,在和中,,;(2),,又,,在和中,,,,,是的中垂線．【點睛】本題主要考查的是全等三角形的性質和判定,掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．6．(2022·福建三明市·八年級期末)在四邊形ABCD中,∠A＝∠B＝90°,BC＝4,CD＝6,E為AB邊上的點．(1)連接CE,DE,CE⊥DE．①如圖1,若AE＝BC,求證：AD＝BE;②如圖2,若AE＝BE,求證：CE平分∠BCD;(2)如圖3,F是∠BCD的平分線CE上的點,連結BF,DF,BF＝DF＝,求CF的長．【答案】(1)①證明見解析;②證明見解析;(2)【分析】(1)①先證明再證明從而可得結論;②如圖,延長交的延長線于證明可得結合利用垂直平分線的性質可得再利用等腰三角形的性質可得結論;(2)如圖,過作于作于證明再證明可得證明求解再利用勾股定理求解從而可得答案．【詳解】解：(1)①在與中,②如圖,延長交的延長線于在與中,平分(2)如圖,過作于作于平分【點睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質,線段垂直平分線的性質,等腰三角形的性質,角平分線的性質,勾股定理的應用,掌握以上知識是解題的關鍵．題型10與角平分線線有關的證明【解題技巧】掌握角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等牢記：(1)角平分線的性質是證明線段相等的一個比較簡單的方法;(2)當遇到有關角平分線的問題時,通常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線,構造相等的線段.1．(2022·江蘇七年級期末)如圖,任意畫一個的,再分別作的兩條角平分線和,和相交于點,連接,有以下結論：①;②;③;④;⑤．其中正確的結論為()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】在BC上取BF=BD,通過SAS證△BDP≌△BFP,ASA證△CPF≌△CPE,作PG⊥AB于G,PH⊥AC于H通過AAS證△DPG≌EPH即可判斷各結論．【詳解】解：∵△ABC的兩條角平分線BE和CD交于P,∠BAC=60°∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)＝60°,∴∠BPC=180°-60°=120°,故①正確;∴∠BPD=60°,在BC上取BF=BD,∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠CBP,在△BDP和△BFP中,,∴△BDP≌△BFP(SAS),∴∠BPD=∠BPF=60°,∵∠BPC=120°,∴∠FPC=∠EPC=60°,∴△CPF≌△CPE(ASA),∴CE=CF,∴BC=BD+CE,故⑤正確;作PG⊥AB于G,PH⊥AC于H,∵∠BAC=60°,∴∠GPH=120°,∵∠DPE=∠BPC=120°,∴∠DPG=∠EPH,∴△DPG≌EPH(AAS)∴PG=PH,PD=PE,故③正確;∴AD-DG=AE+EH,∴AD-AE=2DG,故④不正確;∴AP是角平分線,∴P到AB、AC的距離相等,∴S△ABP：S△ACP=AB：AC,故②正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質,角平分線的性質,作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．2．(2022·廣西南寧市·八年級期末)已知點C是∠MAN平分線上一點,∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B,D兩點,且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB,垂足為E．(1)如圖1,當點E在線段AB上時,求證：BC＝DC;(2)如圖2,當點E在線段AB的延長線上時,探究線段AB、AD與BE之間的等量關系;(3)如圖3,在(2)的條件下,若∠MAN＝60°,連接BD,作∠ABD的平分線BF交AD于點F,交AC于點O,連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1,DF＝2,求線段DB的長．【答案】(1)見解析;(2)AD﹣AB＝2BE,理由見解析;(3)3．【分析】(1)過點C作CF⊥AD,根據(jù)角平分線的性質得到CE＝CF,證明△BCE≌△DCF,根據(jù)全等三角形的性質證明結論;(2)過點C作CF⊥AD,根據(jù)角平分線的性質得到CE＝CF,AE＝AF,證明△BCE≌△DCF,得到DF＝BE,結合圖形解答即可;(3)在BD上截取BH＝BG,連接OH,證明△OBH≌△OBG,根據(jù)全等三角形的性質得到∠OHB＝∠OGB,根據(jù)角平分線的判定定理得到∠ODH＝∠ODF,證明△ODH≌△ODF,得到DH＝DF,計算即可．【詳解】(1)證明：如圖1,過點C作CF⊥AD,垂足為F,∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE＝CF,∵∠CBE+∠ADC＝180°,∠CDF+∠ADC＝180°,∴∠CBE＝∠CDF,在△BCE和△DCF中,,∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC＝DC;(2)解：AD﹣AB＝2BE,理由如下：如圖2,過點C作CF⊥AD,垂足為F,∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE＝CF,AE＝AF,∵∠ABC+∠ADC＝180°,∠ABC+∠CBE＝180°,∴∠CDF＝∠CBE,在△BCE和△DCF中,,∴△BCE≌△DCF(AAS),∴DF＝BE,∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE,∴AD﹣AB＝2BE;(3)解：如圖3,在BD上截取BH＝BG,連接OH,∵BH＝BG,∠OBH＝∠OBG,OB＝OB在△OBH和△OBG中,,∴△OBH≌△OBG(SAS)∴∠OHB＝∠OGB,∵AO是∠MAN的平分線,BO是∠ABD的平分線,∴點O到AD,AB,BD的距離相等,∴∠ODH＝∠ODF,∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH,∠OGB＝∠ODF+∠DAB,∴∠DOH＝∠DAB＝60°,∴∠GOH＝120°,∴∠BOG＝∠BOH＝60°,∴∠DOF＝∠BOG＝60°,∴∠DOH＝∠DOF,在△ODH和△ODF中,,∴△ODH≌△ODF(ASA),∴DH＝DF,∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．【點睛】本題考查了角平分線的性質,三角形全等的判定和性質,關鍵是依照基礎示例引出正確輔助線．3．(2022·北京西城·二模)在△ABC中,AB=AC,過點C作射線CB′,使∠ACB′=∠ACB(點B′與點B在直線AC的異側)點D是射線CB′上一動點(不與點C重合),點E在線段BC上,且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1,當點E與點C重合時,AD與的位置關系是______,若,則CD的長為______;(用含a的式子表示)(2)如圖2,當點E與點C不重合時,連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關系,并證明;②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關系,并證明．【答案】(1)AD⊥CB′;;(2)①∠BAC=2∠DAE,理由見解析;②BE=CD+DE,理由見解析【分析】(1)先證明∠ADC=90°,再過點A作AF⊥BC于點F,根據(jù)角平分線的性質,證明△ADC≌△AFC(HL),即可求解;(2)①∠ACB′=∠ACB=α=∠B,利用三角形內角和定理得到α=90°-∠BAC,再由∠DAE+∠ACD=90°,推出∠ACD=90°-∠DAE=α,進一步計算即可求解;②在BC上截取BG=CD,先后證明△ABG≌△ACD(SAS),△GAE≌△DAE(SAS),即可求解．(1)解：∵點E與點C重合,且∠DAE+∠ACD=90°,∴∠ADC=90°,∴AD⊥CB′;過點A作AF⊥BC于點F,∵AB=AC,∴CF=BF=BC=,∵∠ACB′=∠ACB,AF⊥BC,AD⊥CB′,∴AF=AD,∴△ADC≌△AFC(HL),∴CD=CF=,故答案為：AD⊥CB′;;(2)解：①∠BAC=2∠DAE,理由如下：設∠ACB′=∠ACB=α=∠B,∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC,即α=90°-∠BAC,∵∠DAE+∠ACD=90°,∴∠ACD=90°-∠DAE=α,∴90°-∠BAC=90°-∠DAE,∴∠BAC=2∠DAE;②BE=CD+DE,理由如下：在BC上截取BG=CD,在△ABG和△ACD中,,∴△ABG≌△ACD(SAS),∴AG=AD,∠BAG=∠CAD,∵∠BAC=∠BAG+∠GAC,∠GAD=∠CAD+∠GAC,∴∠BAC=∠GAD,∵∠BAC=2∠DAE,∴∠GAD=2∠DAE,∴∠GAE=∠DAE,在△GAE和△DAE中,,∴△GAE≌△DAE(SAS),∴GE=DE,∴BE=BG+GC=CD+DE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質,角平分線的性質,作出合適的輔助線,構造全等三角形是解題的關鍵．4．(2022·山東·濟南育英中學模擬預測)如圖1,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC;(2)當∠ABC＝90°時,且AO＝3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關系,并加以證明．【答案】(1)見解析(2)AE+CD=AC,證明見解析【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=∠BAC,∠OCA=∠BCA,即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù),根據(jù)三角形內角和定理求出即可;(3)在AC上分別截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,連接OM,ON,證△AEO≌△AMO,△DCO≌△NCO,推出∠EOA=∠MOA,∠CON=∠COD,OD=ON,求出∠MON=∠MOA=45°,根據(jù)角平分線性質求出MK=ML,據(jù)此計算即可求解．(1)證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,∵∠BA